2025年湘教版高一數(shù)學下冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年湘教版高一數(shù)學下冊階段測試試卷108考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、函數(shù)的定義域為（）A.B.C.D.2、所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成的一個集合S是A.{|=+k·1800，k∈Z}B.{|=+k·3600,k∈Z}C.{|=+k·1800，k∈R}D.{|=+k·3600,k∈R}3、【題文】函數(shù)的最大值是（）A.B.C.D.4、【題文】函數(shù)在以下哪個區(qū)間內(nèi)一定有零點()A.B.C.D.5、函數(shù)的遞減區(qū)間為（）A.B.C.D.6、把函數(shù)y=sin3x的圖象向右平移個長度單位，所得曲線的對應函數(shù)式（）A.y=sin（3x﹣）B.y=sin（3x+）C.y=sin（3x﹣）D.y=sin（3x+）評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)7、已知函數(shù)f（x）=則f（5）=____．8、設(shè)函數(shù)則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍為____．9、從編號為1至5的5個大小相同的球中任取2個，則所取球的最大號碼不超過3的概率為________．10、【題文】一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四面體封閉容器內(nèi)可向各個方向自由運動，則該小球表面永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是____．11、在直角坐標系中，定義兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．現(xiàn)有下列命題：

①已知P（1，3），Q（sin2α，cos2α）（α∈R）；則d（P，Q）為定值；

②原點O到直線x﹣y+1=0上任一點P的直角距離d（O，P）的最小值為

③若|PQ|表示P、Q兩點間的距離，那么|PQ|≥d（P；Q）；

④設(shè)A（x；y）且x∈Z，y∈Z，若點A是在過P（1，3）與Q（5，7）的直線上，且點A到點P與Q的“直角距離”之和等于8，那么滿足條件的點A只有5個．

其中的真命題是____．（寫出所有真命題的序號）12、在等差數(shù)列{an}

中，已知a3=3a5=鈭?3

則a7=

______．評卷人得分三、計算題(共6題，共12分)13、（2009?廬陽區(qū)校級自主招生）如圖所示的方格紙中，有△ABC和半徑為2的⊙P，點A、B、C、P均在格點上（每個小方格的頂點叫格點）．每個小方格都是邊長為1的正方形，將△ABC沿水平方向向左平移____單位時，⊙P與直線AC相切．14、如果從數(shù)字1、2、3、4中，任意取出兩個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，那么這個兩位數(shù)是奇數(shù)的概率是____．15、設(shè)，c2-5ac+6a2=0，則e=____．16、關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是____．17、如圖，兩個等圓圓O1，O2外切，O1A、O1B分別與圓O2切于點A、B．設(shè)∠AO1B=α，若A（sinα，0），B（cosα，0）為拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點，則b=____，c=____．18、已知：x=，求-÷的值．評卷人得分四、解答題(共2題，共20分)19、已知△的三個內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c，向量且．（1）求角的大?。唬?）若判斷△的形狀．20、某公司對營銷人員有如下規(guī)定：

①年銷售額x在9萬元以下；沒有獎金；

②年銷售額x（萬元），當x∈[9，81]時，獎金為y（萬元），y=logax；y∈[2，4]，且年銷售額x越大，獎金越多；

③年銷售額超過81萬元；按5%（x-1）發(fā)獎金（年銷售額x萬元）．

（1）求獎金y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）某營銷人員爭取年獎金3≤y≤10（萬元）；年銷售額x在什么范圍內(nèi)？

評卷人得分五、證明題(共2題，共18分)21、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點；弦AD與邊BC相交于點E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．評卷人得分六、綜合題(共1題，共7分)23、已知y=ax2+bx+c（a≠0）圖象與直線y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）兩點，與x軸交于原點及點C．

（1）求直線和拋物線解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出點D坐標，如果不存在，說明理由．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、B【分析】試題分析：要使有意義，需滿足故選項B正確.考點：函數(shù)的定義域.【解析】【答案】B2、B【分析】【解析】【答案】B3、D【分析】【解析】

試題分析：可以求得函數(shù)的定義域為又令解得可以判斷出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取到最大值

考點：本小題主要考查含兩個根號的函數(shù)的最值的求法.

點評：本小題函數(shù)含有兩個根號，最好的辦法就是用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而求最值，求導數(shù)之前要先考查函數(shù)的定義域.【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】本題考查函數(shù)零點存在定理;在上連續(xù)的函數(shù)若則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點.

故選B【解析】【答案】B5、D【分析】【解答】令則在是減函數(shù).由及其在為減函數(shù)，在是增函數(shù)，得，函數(shù)的遞減區(qū)間為故選D.6、A【分析】【解答】解：把函數(shù)y=sin3x的圖象向右平移個長度單位，所得曲線的對應函數(shù)式為y=sin[3（x﹣）]=sin（3x﹣）．

故選：A．

【分析】根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可求解．二、填空題(共6題，共12分)7、略

【分析】

∵5＜9

∴f（5）=5+4=9

故答案為9

【解析】【答案】判斷出5所在分段函數(shù)第二段；將x=5代入第二段的函數(shù)的解析式得到函數(shù)值．

8、略

【分析】

當x＜-1時，f（x）=（x+1）2，代入不等式得：（x+1）2≥1；

即x（x+2）≥0，可化為：或

解得：x≥0或x≤-2；則滿足題意的自變量x的取值范圍是（-∞，-2]；

當x≥-1時；f（x）=x-3，代入不等式得：x-3≥1；

解得：x≥4；則滿足題意的自變量x的取值范圍是[4，+∞）；

綜上；使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）；

故答案為：（-∞；-2]∪[4，+∞）

【解析】【答案】根據(jù)f（x）是分段函數(shù)可根據(jù)x大于等于-1和x小于-1兩種情況考慮；分別把各自的解析式代入不等式中，求出各自的解集，然后求出兩解集的并集即為滿足題意的自變量x的取值范圍．

9、略

【分析】【解析】

因為從編號為1至5的5個大小相同的球中任取2個所有的情況為C52，那么所取球的最大號碼不超過3的情況共有1,2；1,3,2,3；共有3種，因此利用古典概型概率可知為【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

試題分析：如圖甲，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為作平面//平面與小球相切于點則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心．

因

故從而．

記此時小球與面的切點為連接則。

．

考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為如圖乙．記正四面體的棱長為過作于．

因有故小三角形的邊長．

小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答圖2中陰影部分）

．

又所以．

由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為．

考點：(1)三棱錐的體積公式；（2）分情況討論及割補思想的應用?！窘馕觥俊敬鸢浮?1、①③④【分析】【解答】解：①已知P（1，3），Q（sin2α，cos2α）（α∈R），則d（P，Q）=|1﹣sin2α|+|3﹣cos2α|=cos2α+2+sin2α=3為定值；正確；

②設(shè)P（x，y），O（0，0），則d（0，P）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|y|=|x|+|x+1|；表示數(shù)軸上的x到1和0的距離之和，其最小值為1，故不正確；

③若|PQ|表示P、Q兩點間的距離，那么|PQ|=d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，因為2（a2+b2）≥（a+b）2，所以|PQ|≥d（P；Q），正確；

④過P（1；3）與Q（5，7）的直線方程為y=x+2，點A到點P與Q的“直角距離”之和等于8，則|x﹣1|+|y﹣3|+|x﹣5|+|y﹣7|=2|x﹣1|+2|x﹣5|=8，所以|x﹣1|+|x﹣5|=4，所以1≤x≤5，因為x∈Z，所以x=1，2，3，4，5，所以滿足條件的點A只有5個，正確．

故答案為：①③④．

【分析】先根據(jù)直角距離的定義分別表示出所求的問題的表達式，然后根據(jù)集合中絕對值的性質(zhì)進行判定即可．12、略

【分析】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：2a5=a3+a7隆脿2隆脕(鈭?3)=3+a7

解得a7=鈭?9

．

故答案為：鈭?9

．

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：2a5=a3+a7

代入即可得出．

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．【解析】鈭?9

三、計算題(共6題，共12分)13、略

【分析】【分析】平移后利用切線的性質(zhì)作PD⊥A′C′于點D求得PD，再求得PA′的長，進而得出PA-PA′和AA″的長，即可求得平移的距離．【解析】【解答】解：∵A′C′與⊙P相切；

作PD⊥A′C′于點D；

∵半徑為2；

∴PD=2；

∵每個小方格都是邊長為1的正方形；

∴AB=5，AC=2；

∴cosA==；

∴PA′=PD÷cosA=2÷=；

∴AA′=5-，AA″=5+；

故答案為5-或5+．14、略

【分析】【分析】列表列舉出所有情況，看兩位數(shù)是偶數(shù)的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可解答．【解析】【解答】解：列表如下。12341121314221232433132344414243共有12種等可能的結(jié)果，其中是奇數(shù)的有6種，概率為=．

故答案為．15、略

【分析】【分析】根據(jù)題意，將等式c2-5ac+6a2=0兩邊同時除以a2，得出關(guān)于e的一元二次方程，求解即可．【解析】【解答】解：∵c2-5ac+6a2=0；

∴（c2-5ac+6a2）÷a2=0；

即（）2-5×+6=0；

∵；

∴e2-5e+6=0

因式分解得；（e-2）（e-3）=0；

解得e=2或3．

故答案為2或3．16、略

【分析】【分析】首先根據(jù)一元二次方程的一般形式求得b2-4ac的值，再進一步根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0有兩個實數(shù)根，即△≥0進行求解．【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0有兩個實數(shù)根；

∴△=b2-4ac≥0；

即：4-4（m-1）≥0；

解得：m≤2；

∵關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0中m-1≠0；

∴m≠1；

故答案為：m≤2且m≠1．17、略

【分析】【分析】連接O1O2，O2A，O2B，根據(jù)切線的性質(zhì)得到直角三角形，再由直角三角形中邊的關(guān)系得到角的度數(shù)，確定A，B兩點的坐標，用待定系數(shù)法可以求出b，c的值．【解析】【解答】解：如圖：

連接O1O2，O2A，O2B；

∵O1A，O1B是⊙O2的切線，∴O1A⊥O2A，O1B⊥O2B；

又因為兩圓是等圓，所以O(shè)1O2=2O2A，得∠AO1O2=30°

∴∠AO1B=60°；即：α=60°；

∴A（，0）B（；0）．

把A；B兩點的坐標代入拋物線得：

；

解方程組得：．

故答案為：-，．18、略

【分析】【分析】把分式化簡，然后把x的值代入化簡后的式子求值就可以了．【解析】【解答】解：原式=×

=-1

=-；

當x=時；

原式=-=2-4．四、解答題(共2題，共20分)19、略

【分析】試題分析：（1）通過向量的垂直可知由坐標運算并化簡得結(jié)合余弦定理可求得C=（2）利用倍角公式將條件變形化簡得利用三角形內(nèi)角和定理和（1）可變形為求得A=因此三角形為等邊三角形．試題解析：（1）由題意得即由余弦定理得（2）∵∴∴∴∴∴∵∴∴△為等邊三角形．考點：1．向量的坐標運算；2．倍角公式；3．輔助角公式【解析】【答案】（1）（2）等邊三角形．20、略

【分析】

（1）∵y=logax在[9，81]上是增函數(shù)．∴l(xiāng)oga9=2；∴a=3（2分）

另外log381=4（符合題意）∴（3分）

（2）∵3≤y≤10，∴3≤log3x≤4；∴27≤x≤81（2分）

∵∴81＜x≤201（1分）

∴27≤x≤201（2分）

所以年銷售額x的范圍為[27；201]萬元．

【解析】【答案】（1）由題意知，獎金y關(guān)于x的函數(shù)解析式是一個分段函數(shù)，其中y=logax在[9；81]上是增函數(shù)可求得a值，最后利用分段函數(shù)的形式寫出獎金y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）欲求年銷售額x在什么范圍內(nèi)；即由3≤y≤10，解出相應的x的取值范圍即可．

五、證明題(共2題，共18分)21、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出=；代入求出即