2024-2025學年高二數(shù)學上學期第三次月考卷（新高考地區(qū)專用空間向量與立體幾何+直線與圓+圓錐曲線+數(shù)列）（全解全析）

2024-2025學年高二數(shù)學上學期第三次月考卷

（新高考地區(qū)專用）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：空間向量與立體幾何25%+直線圓20%+圓錐曲線35%+數(shù)歹IJ20%,

5.難度系數(shù)：0.63?

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知直線/與直線2x-3y+l=0平行，則直線/的斜率為（）

3322

A.—B.——C.——D.-

2233

【答案】D

21

【詳解】由題可知直線/與直線2x-3y+l=0斜率相同，將一般式2x-3y+l=0化為斜截式y(tǒng)=+所

以斜率為1.

故選：D

2.已知向量Z=(x,2,—1)了=(2,4,—2),若Q//5，則工二

A.-1B.1

C.-5D.5

【答案】B

【詳解】向量￡=(X,2,-1),B=(2,4,-2),且―〃3,

所以x2-P解得x=l，

2-

故選：B.

3.已知拋物線C:y=2/,則拋物線C的焦點到準線的距離是（）

11

A.4B.—C.2D.一

42

【答案】B

【詳解】由拋物線C:y=2/可得x2=；y,

所以22=：,0=：，

24

故拋物線C的焦點到準線的距離是P=J.

4

故選:B

4.已知圓。：/+/-〃酢+3>+3=0關于直線/：?wx+y-7〃=0對稱，則實數(shù)加=（）

A.1或-3B.1C.3D.一1或3

【答案】C

【詳解】因為。：一+/—/^+3>+3=0是圓的方程,川+9—12所以

4

2J

m+9-12>0解得加〈一6或加〉，

（3、

又因為圓。:必+/—加工+3,+3=0的圓心為m

且圓。關于直線/對稱，所以圓心在直線上代入直線方程得：—---m=0,

22

BPm2-2m-3=0?解得，m=-l（舍）或相=3,

故選：C.

5.等比數(shù)列｛0｝的前〃項和為S“，已知且％與2%的等差中項為:，則邑=（）

A.29B.31C.33D.36

【答案】B

【詳解】令等比數(shù)列｛斯｝的公比為4,a3a4=a2a5=2a3,解得@=2,

由％與2。7的等差中項為j,得知+2。7=^，解得出=:,則/=?=<，4=:，

16（1-右）

因此％=%4-3=16,所以醺=——4=31.

1——

2

故選：B

22

6.已知雙曲線C:三-q=l（a>0,b>0）的一條漸近線被圓（》-3）2+/=9所截得的弦長為2a,則雙曲線C

ab

的焦距是（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【詳解】不妨設雙曲線的一條漸近線方程為y=即區(qū)-即=0,

a

3b3b

則圓心（3,0）到漸近線的距離"=

y[a2+b2

c

9a29「2—g2Q2

由圓的半徑r=3及圓的幾何性質(zhì)可得32=/+/=/+”=/+J絲=9+/一號,

CCC

9/

化簡得/=空，解得,2=9,所以c=3,2c=6,

c

故選：D

7.平行六面體N8CZ）-4B|GA的底面是邊長為2的正方形，且/4/。=///5=60。，AA,=3,M

為4G，片。的交點，則線段9的長為（）

【答案】C

【詳解】由題意可知：就=城+3哂=函+：(病一疝)=熬+;而一3萬，

,>2(>1>1——A2>21>21——>2>>>>1>>

則^\AA1+-AD--AB\=44+-/(￡>+-AB+AACAD-AAt-AD--AB-AD

=9+l+l+3x2x--3x2x--0=ll,

22

所以網(wǎng)=而.

故選：C.

8.已知點尸為橢圓C:土+匕=1上任意一點，直線/過：X2+J?一4、+3=0的圓心且與QM交于45兩

1612

點，則萬?麗的取值范圍是（）

A.[3,35]B.[2,34]C,[2,36]D.[4,36]

【答案】A

【詳解】一敘+3=0,BP（x-2）2+y2=1,

則圓心M（2,0）,半徑為1.

22

橢圓方程C:土+匕=1,/=16萬=12,

1612

貝H=O2-Z>2=16-12=4,c=2,

則圓心M（2,0）為橢圓的焦點，

由題意的圓的直徑，且|布卜2

如圖，連接尸M,由題意知M為N3中點，則疝=_該，

可得萬.而=（兩+而）?（兩+福）=（兩-礪）（麗+福）

=|啊2一|呵=喇一1.

22

點尸為橢圓C:土+匕=1上任意一點，

1612

貝=a-c=2,\PM\=a+c=6,

IIminIImax

由2m啊V6,

得莎?麗=|歷仆ie[3,35].

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法不正確的是（）

A."直線a2x-y+l=0與直線x-ay-2=0互相垂直"是"a=-1"的充分不必要條件

TT3兀\

B.直線xsina+y+2=0的傾斜角0的取值范圍是0,-U—,7TI

C.若圓“：。-釬+(y-釬=/(,->0)上恰有兩點到點2V(l,0)的距離為1,則r的取值范圍是(4,6)

D.設6為實數(shù)，若直線y=x+6與曲線x=g7恰有一個公共點，則T<b〈l

【答案】AD

【詳解】A.由兩直線垂直得,a2xl+(-l)x(-a)=0,解得。=0或T,

"。=0或-1"是"。=-1"的必要不充分條件，選項A錯誤.

B.由xsina+y+2=0得，y=-xsina-2,直線斜率左=-sina,

,.,-l<sincr<1,-1<A：<1,BP-l<tan^<l,

-兀］「3兀、

?.?。￡血兀)，.?.傾斜角，的取值范圍是0,-o:，兀.選項B正確.

L4」［4)

C到點N(l,0)距離為1的點在圓N:+/=1上，

由題意得，M(4,4),圓M：(x-4)2+(y-4)2=/卜>0)與圓N：(X-1)2+J?=I有兩個公共點，兩圓相交,

???圓心是巨MN=7(4-1)2+(4-0)2=5,

.,.r-l<5<r+l,

.?.4</<6,即廠的取值范圍是(4,6),選項C正確.

D.由x=二了得=1(x20)，曲線表示圓心為原點，半徑為1的半圓，如圖所示，

/1_M八

當直線了=x+8過點4(0,1)時，6=1,

當直線了=X+6過點5(1,0)和點C(0-l)時，b=-l,

當直線y=x+z)與半圓相切于點。時，

|0-0+Z?|,

由圓心O到直線x-y+b=o的距離為1得/,2=1，解得6=-近或6=血(舍)，

9+(T)

所以當直線丁=x+6與曲線x=恰有一個公共點時，-l<bVl或6=

選項D錯誤.

故選：AD.

22

10.設耳耳是橢圓￡+巳=1的兩個焦點，尸是橢圓上一點，且歸周周=2.則下列說法中正確的是

()

A.|尸耳|=5,|尸閭=3B.離心率為:

C.△尸耳耳的面積為6D.△尸與耳的面積為12

【答案】ABC

【詳解】由土+乙=1,得"=16萬=12,貝！Ja=4,6=2VJ,c=后％7=2,

1612

因為。是橢圓上一點，所以|尸周+|尸到=2〃=8,

因為|尸德-|P閭=2,所以歸用=5,|尸￡|=3,故A正確；

c1

對于B,離心率為e=—=彳，故B正確；

對于CD,因為歸耳『=|尸段2+|耳閭②，所以△刊例為直角三角形，PFQFR,所以以依內(nèi)=gx3*4=6,

故C正確，D錯誤.

故選：ABC

11.對于數(shù)列｛%｝,定義：A\=Aa?+1-Aa?,?GN,,則下列說法正確的是()

A.若％=〃，則424=0

B.右4〃=〃，則A%+i>A%

C.若冊=",數(shù)列出｝的前〃項和為則a=6〃

D.若Aa〃=（幾+2>2〃，％=2,貝12A%=4+相?！?/p>

【答案】ABD

【詳解】對于A,因為=%+1-?！?〃+1-〃=1,

所以乂%=A%-Aa〃=1一1=0,故A正確;

對于B因為A%=(〃+1)2-〃2=2幾+1,

△%+i=("+2)2+=2〃+3,所以Aa〃+i>Aa〃,故B正確；

對于C,因為=(〃+1>-〃3=3/+3〃+1,

,f7,H=1

所以4=A%=7,又〃22時，b=\a~^a_=6n,b=<,故C錯誤;

nnnxn[6n,n>2

對于D,因為△“〃=%+―%=(〃+2)-2",

n1

所以%-4=3?21，9-4=4,22,an—an_x=(H+1),2,

n>2,所以%—%=3-21+4-22+---+(n+l)-2n-1,

所以2(%—%)=3?22+…+〃.2〃T+(〃+1)2,

22.(1-2n~2]

JM-(Q〃-QI)=3.21+22+...+2〃T-5+1).2〃=6+—--------M〃+l>2〃

1—2

=6+2W-4-(H+1)-2\

所以一。〃+。1=一幾?2"+2,則Q〃=〃-2",2.又〃=1時也成立，

所以％=山2〃，〃wN*,

2

又因Aa?=Aa?+1-^an=(〃+3)?2向-(〃+2)?2"=(〃+4)?2",

所以?！?個氏=n?2"+(〃+4)?2"=(2〃+4)?2"=2?(〃+2)?2"=2\an,故D正確.

故選：ABD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知S”為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和，若M+S7=24,則19%+%=.

【答案】48

【詳解】解：由數(shù)列前〃項和的性質(zhì)可知：風+凡=3/+7%=10%+241=24,即5%+12d=12,

則19%+0,1=20%+48d=4(5/+12<7)=48.

故答案為：48

13.在正方體中，尸是BC的中點，點E在棱GA上，且?！?；?？?，則直線斯與平面

D.AC所成角的正弦值為.

癰上歷

8787

以。為坐標原點，分別以。為X軸，V軸，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

設正方體的邊長為4,則0(0,0,0),0(0,0,4),4(4,0,0),C(0,4,0),E(0,1,4),0(2,4,0),

所以麗=(2,3,-4),取=(4,0,-4),麻=(0,4,-4),

/、萬?萬1=0

設平面的一個法向量為為=X/,Z,所以_L,

jiD]C=0

4x-4z=0

所以解得萬=(l,u),

4y-4z=0

設直線EF與平面DXAC所成角為夕，

因為方.麗=lx2+lx3+lx(—4)=1,|同=6,|而|=、22+32+(—4)2=叵，

/-\n-EF1787

所以sin(9=cos(n-EF)=,.=—j=~,==-----.

'/\n^EFV3-V2987

22

14.已知雙曲線C：5-1=l(“>0力>0)的左、右焦點分別是片，鳥，過點片的直線與C交于48兩點，且

ab

AB±FtF2,現(xiàn)將平面/片入沿片與所在直線折起，點A到達點P處，使面尸￡鳥，面5片耳，若

cosZPF,S=|,則雙曲線C的離心率為.

【答案】#

因為片乙，所以尸片，片鳥，BFJKB

又平面期入，平面3片與，平面尸平面8片與=片且，且Wu面3E，

所以咫，平面8片耳，又平面8片耳，所以砍，3耳,

2

所以忸況=①「+阿「J，|+

7

盧閶:附「+|片引=]；j（）2=1142=忸可，

+2C+C

因為cos/PTJ=看,

所以由余弦定理有|尸3「二|叫『+忸工「—2|尸聞忸7小05/"8,

所以1642c2=5/=5卜2_q2),=0,

「202]C

所以二=5或彳=!，又離心率e=—>1,

aa5a

所以e='=不，

a

故答案為：V5.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知。為坐標原點，動點F到兩個定點。（。,0）,43,0）的距離的比：，記動點P的軌跡為曲線

C,

⑴求曲線C的方程;

(2)若直線/過點3(0,2),曲線C截/所得弦長等于2右，求直線/的方程.

【詳解】(1)由題知，設點尸(x/),

|尸。|+/J，所以1

則

(x-3)2+/"4'

即4x?+4/=(》_3)2+/,整理得八/+2欠-3=0,

所以曲線C是圓心為(T,0),半徑等于2的圓，

故曲線。的方程為：(X+1)2+/=4.

(2)若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為：x=Q,

與C的交點坐標為(0,-e),(0,若)，此時弦長等于2。，滿足題意;

若直線/的斜率存在，設直線/的方程為：y=kx+2,

曲線C截/所得弦長等于26，所以26=2“^，解得："=1，

…\~k+2\

圓心CT。)到直線/的距"后再

\-k+2\,3

所以k解得后="

3

則直線/的方程為：y=-x+2,即3x-4y+8=0

綜上，直線/的方程為：x=0或3x-4y+8=0.

16.(15分)過拋物線V=2px(p>0)的焦點且斜率為1的直線交拋物線于/、8兩點，已知|/邳=16.

⑴求拋物線的方程；

(2)0為坐標原點，求a/OB的面積.

【詳解】(1)設四方程為V=x-。，A(xi，%),8(%2/2)

y=x~—p1

由“2并化簡得％2-3/+2=0,

y2=2px4

則X]+x?=3P,x,-xn=^―

4

\AB\=+x2+p=4^=16,故p=4

所以拋物線方程為V=8x.

(2)由(1)知AB方程為x—y—2=0,

則原點。到AB的距離d=±6

所以邑.8=3/同"=8后.

17.(15分)如圖，在四棱錐尸一4BCD中，平面尸DC，平面/BCD,40,DC,

N3=；CD=/O=1,M為棱PC的中點.

⑴證明：瓦W7/平面尸

(2)若尸C=6,尸。=1,

(i)求二面角尸-AM-8的余弦值；

(ii)在線段尸N上是否存在點0,使得點。到平面8AM的距離是半？若存在，求出P。的值；若不存在,

說明理由.

【詳解】(1)取PD的中點N,連接AN,MN,如圖所示：為棱尸C的中點，

:.MN//CD,MN=-CD,

2

AB//CD,AB=-CD,AB//MN,AB=MN,

2

四邊形/5AW是平行四邊形，，創(chuàng)

又BMt平面PAD,ANu平面PAD,BM//平面PAD.

(2)VPC=45,PD=\,CD=2,:.PC2=PD2+CD2,:.PD1DC,

?.■平面PDC1平面ABCD,平面PDCA平面ABCD=DC,PDu平面PDC,

PD±平面ABCD,

又u平面"BCD,;.PD_L4D,而PD_LCD,AD_LDC,???以點。為坐標原點,￡>4OC,OP所在

直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

如圖：則尸(0,0,1),。(0,0,0),/(1,0,0),C(0,2,0),

為棱PC的中點，

設平面的一個法向量為五=(x,%2),

n-DM=y+—z=0

則_2,令z=2,貝獨=—1/=1,，元=(1,—1,2),

n-DB=x+y=0

平面尸。"的一個法向量為方=(1,0,0),

---n-DA1V6

cos(n.DA)=---=-------產(chǎn)=——,

\n\\DA\lxV66

根據(jù)圖形得二面角P-DW為鈍角，則二面角尸-。河-2的余弦值為-逅

6

(ii)假設在線段以上存在點0,使得點。到平面2AM的距離是平，

T^PQ=APA,0<A<1,

則0(2,0,1-A),30=(A-1,-1,1-A),

由(2)知平面瓦加r的一個法向量為元=(1,T,2),

Bg-w=A-l+l+2(l-A)=2-/i,

???點Q到平面BDM的距離是

\BQ-n\2-225/6

問一而一丁

...X=一,

3PQ普

18.（17分）數(shù)列｛%｝的首項％=|

⑴證明土是等差數(shù)列，并求｛為｝的通項公式;

9”

(2)設"=

(4-2)x10"

①當數(shù)列也,｝的項取得最大值時，求〃的值;

②求數(shù)列也,｝的前"項和S”.

3a—43ci—4a—2

【詳解】⑴解：由%二一’可得—二力-2二大,

___1_=-i—=2

又由4=5,可得4-25

2

所以」是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以"方=2+（力-1）.1=〃+1

14-2Jan-2

貝U0“二工+2=三?,即數(shù)"」｛an｝的通項公式為??=.

及+1n+1n+1

,2〃+39〃

(2)解:①由(1)知。"=——-,可得2=

4-2)x10"

當〃=1時4=（9＜打=2君43，所以4不是最大項,

4-

設第〃項（〃之2）最大，貝I卜

（〃+1）

77+1>10

n9

可得,解得8OW9,所以數(shù)列也｝第8項和第9項取得最大,

12>〃+2

19n+1

o

②由S“=2x而+3xIH---F(〃+1)X?,①

on+1

可得歷=2xI+3xH------F(H+1)X②

2總+…+〃+1

由①-②得=2x\+一(〃+l)x

2n+1

999

一+I+L...-(T7+1)X

10To3+103

9

9Ton+i

可得_Ls

------1------一(〃+l)x

10'10A

〃+1

199

即—S〃=—+9一(〃+l)x

10〃10To

J+1QW+1Q”+l

所以邑=9+901--1O(H+I)x!=99-----7一(〃+1)—

3I10"T'’10〃

9〃+i

=99-(?+11).—.

19.(17分)通過研究，已知對任意平面向量血=(%/),把血繞其起點/沿逆時針方向旋轉e角得到向量

AP=(xcos0-ysin0,xsmO+ycosO')，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉。角得到點P,

⑴已知平面內(nèi)點/卜6,2月,點可/,-2@,把點3繞點/逆時針旋轉與得到點尸，求點P的坐標：

22

2

(2)已知二次方程/+y-xy=l的圖像是由平面直角坐標系下某標準橢圓1r+京=l(a>b>0)繞原點。逆

TT

時針旋轉7所得的斜橢圓c,

(i)求斜橢圓C的離心率;

(ii)過點。作與兩坐標軸都不平行的直線4交斜橢圓C于點M、N,過原點。作直線與直線4

411

垂直，直線4交斜橢圓C于點G、H,判斷所+0砰是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明

理由.

【詳解】(1)由已知可得在=(26,-46)，則刀=(6+g,3-2G),

設尸=(x。,%),則4P=(%+y/3,y0—2^/3j=g+垂1,3-2垂1),

所以％=6,%=3,即點尸的坐標為(6,3)；

(2)(i)由歹=》與工2+/-孫=1交點為(1,1)和㈠,一1),則/=2,

6V"3

由y=-X與/+,一切=1交點為丁丁和丁

°°)一3

26_

74

貝/二：,所以C2=§工=?

V23

V2、

產(chǎn)”(演,%)、