2024-2025學(xué)年廣東省江門市高二年級上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省江門市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知點/（2,1）,8（-1,4）,則直線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

2.已知向量1=（1,刃,-1）,5,若+則機=（）

A.4B.3C.2D.1

22

3.“0〈/<2”是“曲線工+工=1表示橢圓”的（）

t2—/

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知甲罐中有四個相同的小球，標(biāo)號為1,2,3,4,乙罐中有三個相同的小球，標(biāo)號

為1,2,3,從甲罐，乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件”="抽取的兩個小球標(biāo)號

之和大于6"，事件8=”抽取的兩個小球標(biāo)號之積小于6”，則下列說法錯誤的是

（）

A.事件A發(fā)生的概率為《B.事件43相互獨立

12

2

C.事件48是互斥事件D.事件NU3發(fā)生的概率為§

5.如圖，四棱錐尸-4BC。的底面A8CD為平行四邊形，￡為PC上一點，且

EC=2PE,貝（］（）

P

A.AE=-AB+-AD+-APB.AE=-AB+-AD+-AP

333323

—?1—?1―?2—?—?1—?1―??—?

C.AE=-AB+-AD——APD.AE=-AB——AD+-AP

333333

6.如圖，在正方體力BC。-44GA中，=分別是棱力民的中點，則點4

到直線的距離為（）

A.—B.C.1D.-

4123

7.已知圓C:x2+/_6x-8y+21=0,。為坐標(biāo)原點，以0c為直徑的圓C'與圓C交于

4B兩點，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.直線4B的方程為3x+4y-21=0B.\AB\=^-

C.040B均與圓。相切D.四邊形。OB的面積為4a

8.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)

學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之

一，指的是：已知動點M與兩個定點A,B的距離之比為;I（2>0,且,那么

點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點A,B間的距離為2,動點尸滿足

鼎=百，則1Pd+1網(wǎng)2的最大值為（）

A.16+85/3B.8+473C.7+473D.3+73

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列命題正確的是（）

A.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點/（2,3,-5）,8（0,-2,-2）,C（-2,-5,1）,則4用。三點

共線

B.已知』=（0,1,4）4=（百,0,-1）,則&在B上的投影向量為工

C.若直線/的方向向量為。=（3,0,-1）,平面1的法向量為萬=（-9,0,3）,貝!]///￡

D.已知三棱錐O-48C,點尸為平面4BC上的一點，且

OP=^OA+mOB+nOC(n,meR)>則+〃=g

10.已知直線/]：>-2=%（x+l）（%wR）,直線4：x-2y+/l=0（/leR）,則下列說法正確

的為（）

A.若4_L。，則=-2

B.若兩條平行直線與，2間的距離為2不，則4=-5

C.直線4過定點(T2)

D.點尸(2,6)到直線4距離的最大值為2aU

22

11.已知橢圓。:±+白=1(2>6>0)的左、右焦點分別為片、F2,上頂點為B,動點

4b2

尸在橢圓C上，則下列描述正確的有()

A.若耳的周長為6,則6

B.若當(dāng)/月尸片=1時，人尸耳鳥的內(nèi)切圓半徑為?，則6

C.若存在尸點，使得用，尸工，貝Ube［應(yīng)⑵

D.若戶外的最大值為2b,則［亞,2)

三、填空題(本大題共3小題)

12.a-(2,m,n),b=(1,2,-1),?//!>,則向=.

13.一只不透明的袋子中裝有形狀、大小都相同的5個小球，其中2個黃球、2個白

球、1個紅球.先后從中無放回地取兩次小球，每次隨機取出2個小球，記下顏色計

算得分，得分規(guī)則如下：“2個小球顏色相同”力口1分，“2個小球顏色一黃一白”得0

分，“2個小球中有紅球”減1分，則“兩次得分和為0分”的概率為.

14.已知圓Cj：(x-l)2+(y+l)2=1,圓C,：(x-4『+(y-5>=l,點M,N分別是圓

G，圓C?上的動點，P為x軸上的動點，則的最大值為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知圓C過點44,2)和點8(0,6).并且圓心在直線”2=0上，點尸(4,8),過點P作

圓C的切線I.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求切線/的方程.

16.已知動點W(x,y)滿足：7(.^-1)2+y2+y/(x+l)2+y2=2/2.

⑴求動點”的軌跡方程C;

⑵若過點尸［1,；］的直線/和曲線C相交于/，8兩點，且尸為線段的中點，求直

線/的方程.

17.某調(diào)研機構(gòu)為了了解人們對“奧運會”相關(guān)知識的認知程度，針對本市不同年齡和

不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運會”知識競賽，滿分100分(95分及以上為認知程度

高)，結(jié)果認知程度高的有機人，按年齡分成5組，其中第一組［20,25),第二組

［25,30),第三組［30,35),第四組［35,40),第五組［40,45］,得到如圖所示的頻率分布

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這加人的平均年齡；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運會”宣傳使者.

若有甲(年齡36),乙(年齡42)兩人已確定入選，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽

到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和2,第五組宣傳使者的年齡

的平均數(shù)與方差分別為42和1,據(jù)此估計這機人中35?45歲所有人的年齡的方差.

18.在梯形中，AB//CD,ABAD=60°,AB=2AD=2CD=4,尸為的中

點，線段/C與。尸交于。點，將A/CZ)沿/C折起到的位置，使得平面

平面ACD'.

(2)平面ABC與平面3C。'夾角的余弦值

(3)線段上是否存在點Q,使得C。與平面BCD'所成角的正弦值為如？若存在,

8

求出盤的值：若不存在，請說明理由.

19.已知點尸（2,0）為橢圓1+/=1（°>6>0）的焦點，且點尸2,g■在橢圓上.

（1）求橢圓的方程;

（2）已知直線/與橢圓交于M、N兩點，且坐標(biāo)原點。到直線/的距離為四,

6

NMCW的大小是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

答案

1.【正確答案】D

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為凡則0°V0<180°.

因為N(2,l),5(-1,4),所以tan6=G=W=T，故6=135°.

故選：D.

2.【正確答案】B

一vJ-

【詳解】因為3=(1,見一1),6=(1,-1,1),則a+b=(2,30),

若,+B)丁，則伍+為”=2—(〃-1)=0,解得用=3.

故選：B.

3.【正確答案】B

22

【詳解】若曲線亍+￡=1表示橢圓，則/>0,2一>0,”2一，得問0,1)。(1,2)

22

所以"0<f<2”是“曲線工+工=1表示橢圓”的必要不充分條件.

t2—/

故選：B

4.【正確答案】B

【詳解】甲罐中小球編號在前，乙罐中小球編號在后，表示一個基本事件，

有11,12,13,21,22,23,31,32,33,41,42,43,共12個，

事件A含有的基本事件有：43,共1個.

事件3含有的基本事件有：11，12,13,21,22,31,41,共7個，

..?事件A發(fā)生的概率為二，故A正確；

12

]7

尸(/)=e，P(5)='，尸(43)=0/尸(⑷尸(B),A,3不相互獨立，故B錯誤；

?.?事件48兩者不可能同時發(fā)生，它們互斥，故C正確；

事件/U8中含有8個基本事件，共有基本事件12個，因此P(/UB)=《=g,故D正

確.

故選：B.

5.【正確答案】A

—>1—>

【詳解】因為EC=2PE,所以尸￡=§PC,

=29+/=2萬+R方+孫徐+L君+醒.

3333、1333

故選：A

6.【正確答案】B

【詳解】如圖，以。為原點，而，而，麗的方向為x，V，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下

所示：

易知,oj,2vki,n4A?=[o,1,-ij,MN=

2

T_V6

MN\

4一飛

_MN-illV6

取5=AMM=?-------.i「十丁‘口’則

1\MN\’2’27另

_25__A/6

a=—.ci,u=------

412

V174

所以點4到直線跖v的距離為7?2-(?-?)2=

12

故選：B.

7.【正確答案】D

【詳解】由圓C:尤2+/-6x-8y+21=0,得(x-3/+(y—4『=4,

則圓心。(3,4),半徑『=2,

線段OC的中點坐標(biāo)為,—。。用，

2OC

則圓C:x-|+(y-2)2=—,BPx2+V-3x-4y=0.

對于選項A：聯(lián)立?27一，一?U,C，兩式作差可得：3x+4j，-21=o,

[x2+y2-6x-8y+21=0

即直線43的方程為3x+4y-21=0,故A正確；

對于選項B：圓心C（3,4）到直線《3的距離為13x3+；x4-21|=）

則|/a=2.一[g：=生智，故B正確；

對于選項C：因為43在以。C為直徑的圓上，則C/，。4c

由圓心與切點的連線與切線垂直，可得。4。8均與圓C相切，故C正確;

對于選項D：因為C4LQ4,且。。=5,。=2,

貝I0A=SC2-C4=飛25-4=后,

所以四邊形C/O3的面積為S=2x；x2x7ii=2"[,故D錯誤.

8.【正確答案】A

【分析】

設(shè)P（x,y）,由偌=百，可得點尸的軌跡為以（2,0）為圓心，半徑為

行的圓，又|尸/『+阿「=21+/+]）,其中f+/可看作圓（》一2）2+/=3上的點

（xj）到原點（0,0）的距離的平方，從而根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：由題意，設(shè)/（-1,0）,5（1,0）,尸（無,力,

因為g=所以“X+J+匚=6,即（x-2y+/=3,

PB22

\J（x-l]+y

所以點尸的軌跡為以（2,0）為圓心，半徑為百的圓,

因為四「+|尸8/=（X+I）2+y+（x-i）2+y=2（x2+/+^,其中d+支可看作圓

（無-2）2+/=3上的點（X,了）到原點（0,0）的距離的平方，

所以+/L=（2+若）2=7+46,

所以［21+/+116+86,即|尸/「+戶肝的最大值為16+8方,

故選：A.

9.【正確答案】BD

【詳解】A選項，可得益=（一2,-5,3）,%=（-4,一8,6）,

注意到二片遇，坐標(biāo)的對應(yīng)分量不成比例，

-2-5

即方，/不共線，從而4瓦。三點不共線，A選項錯誤；

B選項，根據(jù)投影向量公式可得，

G?b-*

a在B上的投影向量為—r=-b,B選項正確;

1WJb

C選項，注意到〃=-3e,則/_L。，C選項錯誤；

D選項，由于點尸為平面/5C上的一點，即4氏C,尸四點共面,

根據(jù)共面條件可知，1=7；+冽+〃，BPm+n=-,D選項正確.

22

故選：BD.

10.【正確答案】AC

【詳解】由題4:>=M+加+2=0（冽ER）,斜率為尢=加，

1a1

/2：^=-%+—（ZGR）,斜率為左2=5，

對于A,若4_L/2，則用次二T,即冽=一2,故A正確；

11

對于B,因為〃〃2，所以左=與即加=］，且5片%+2即彳25,

又兩條平行直線4與4間的距離為2石，

2_5

22

所以d=I,、2=2隨0力=15或九=一5,故B錯誤；

x+1=0

對于C,對4:＞一2=加(％+1)(加ER),令y-2=0^

所以直線4過定點（-1,2）.故C正確;

對于D,由C可知直線4過定點。（-1,2）,

所以要使點尸（2,6）到直線4距離最大，則尸?,

則點尸（2,6）到直線4距離的最大值為歸=J*2]+（2-6『=5,故D錯誤.

故選：AC.

11.【正確答案】ABD

22

【詳解】對于A,由橢圓C:土+「=1（2>，>0），可得。=2,

因為鳥的周長為6,所以2a+2c=6,解得c=l,

因為/一〃=c2,所以4_〃=],解得6=6，故A正確；

對于B,由a=2,可得|尸￡|+|9|=2a=4,

JT

2222

當(dāng)/與尸與=§時，由余弦定理可得(2c)=[F1F2|=|PF,|+|PKI-2\PF,\-\PF2\cos/￡P(guān)￡

=(|尸印+|尸庫)2-3|尸耳

貝1]3|尸耳|?|%1=4。2—4。2=462,解得|尸耳|.|尸!|=$2,

1Q

所以邑曄=§I3|-|PF2卜sin/%?犯=七段,

又小打片的內(nèi)切圓半徑為心,

一3

所以凡咫公=g（|尸"+|尸耳|+|耳與）?，=*2+c），

所以‘（2+c）=，b2,所以2+C=〃=22-C2,解得。=_2（舍去）或c=l,

所以6=百，故B正確；

對于C,若PFJPF?,則以。為圓心，c為半徑的圓與橢圓有交點，則64c,

所以/we?,<a2-b2=4-b2,解得0<6V板，

所以存在P點，使得理工尸乙，則be（O,a],故C錯誤；

對于D,設(shè)尸（x,y）,B（O,b）,

又因為-因為下頂點到上頂點的距離為26,又|尸目的最大值為26,

故y=-6時取最大值，所以——<-b,解得亞46<2，故D正確.

b2-4

故選：ABD.

12.【正確答案】2庭

【詳解】因為萬=（2,皿"）范=（1,2,-1）,力/力，所以：=￡=今，得至卜〃=4,〃=-2,

所以）=（2,4,-2）,得到向=j22+4?+（-2）2=2，,

故答案為.2新

2

13.【正確答案】y/0.4

【詳解】“兩次得分和為0分”可能的情況有第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個

小球中有紅球”，

或第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”，或兩次均為“2個小球顏

色一黃一白”，

第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”，

記黃球為4,4，2個白球為鳥,不、1個紅球為C,

利用枚舉法可知從中一次取2個小球為（4，4），（4聲）,（4,鳥）,（4,C）,（4聞,

（外也）,（4?,（耳,鳥）,但?,（%。）共有10種取法,而顏色相同的取法有兩種，

故第一次取2個小球顏色相同的概率為正=:，第二次取2個小球中有紅球的概率為

2

3,

122

所以第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”的概率為=

5315

第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”，

第一次取2個小球中有紅球的概率為14=：2,第二次2個小球顏色相同的概率為：1，

所以第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”的概率為=

兩次均為“2個小球顏色一黃一白”,

42

第一次取2個小球，“2個小球顏色一黃一白”的概率為伍=丁

第二次取2個小球，“2個小球顏色一黃一白”的概率為g,

所以兩次均為“2個小球顏色一黃一白”的概率為12x；1=]2.

所以兩次先后取2個小球，得分為零分的概率為於+]+]=（.

,,2

故答案為.W

14.【正確答案】7

【詳解】解析：由點M,N分別是圓￡,圓Cz上的動點，

可知：網(wǎng)"股|+1,\PM\mm=\PC^-\

所以，（I尸叫-|叫）.=匹|+1-（|尸。卜1）=囪卜因|+2,

設(shè)。關(guān)于X軸的對稱點為c；（1,1）,則忸。；|=|PG|,

當(dāng)尸，C；,C2三點共線時，|尸。2卜|尸弓取最大，最大值為|GG|=5,

所以（網(wǎng)-回憶=7.

故7

15.【正確答案】⑴尤2+（y_2>=16

（2）5%-12〉+76=0和x=4

【詳解】（1）解：設(shè)圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X-4+8-6）2=產(chǎn)，

圓心為。（〃力）,半徑為r,

b=24=0

解之得卜=2,

依題意可得(4-。)2+(2-6)2=戶

(0-a)2+(6-6)2=Fr—4

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+（y-2）2=16.

5

4

3

24

-4^2-105^

-2

（2）解：切線斜率存在時，設(shè)切線/的斜率為左,

則切線I的方程為/=/*-4）+8,即米一y-4%+8=0,

UtxO-2-4^+8解得左吟,

所以…J"

所以切線I的方程為5x-12y+76=0,

又因為圓心C（0,2）到直線x=4的距離為4,

所以直線x=4也為圓圓。的切線.

故切線I的方程為5x-12y+76=0和x=4.

r2

16.【正確答案】（1）C的方程是：y+r=1

3

（2）y=-x+-

【詳解】（1）設(shè)￡（一1,0）,月（I,。），M（x,y）,因為J（x-l）2+y2+J（x+l）2+G

所以|"|+|阿|=2四,且2行>|[段=2,

所以點M的軌跡C是以片（TO）,8（1,0）為焦點，長軸長為2萬的橢圓.

22______

設(shè)橢圓C的方程為A+當(dāng)_=13>6>0）,記C7a2-廿，則2a=2后，c=l,

ab

所以a=0，c=l，所以方二八7，句,所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+/=1.

y+7i2=1

（2）設(shè)點N（X],%）,3（尤2，%），則<2，

y+^2=1

作差得看二名+才一只=0,除以七一馬得”1+（%+%）.=21=0,

2，西工2

又由點小是的中點，則有X]+=2J1+%=1，

所以2（為-工2）+2（乂-%）=0,

變形可得g=匕二"=-1,所以直線/的方程是好＜=--1）即〉=-》+:,

占一工222

經(jīng)檢驗符合題意，故直線/的方程為y=f+13.

尸,8

17.【正確答案】（1）31.75

【詳解】（1）設(shè)這機人的平均年齡為總

則工=22.5x0.02x5+27.5x0.07x5+32.5x0.05x5

+37.5x0.04x5+42.5x0.02x5=31.75.

（2）由題意得，第四組應(yīng)抽取0.2x20=4人，記為A（甲），B,C,D,

第五組抽取0.1x20=2人，記為E（乙），F(xiàn),

對應(yīng)的樣本空間的樣本點為：

。=｛（43）,（4。）,（4。）,（4￡）,（4尸）,（8,6，（瓦。）,（民￡）,（民萬），

（C,D）,（C,￡）,（C,尸）,（，￡）,（〃,尸）,（民尸）｝,

設(shè)事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則M=｛（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,￡）,（A,F）,（B,E）,（C,E）,（D,E）,（￡,F）｝,

（3）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為兀，兀，方差分別為心

搟

則X4=36,X5=42，s；=2,s；=1,

設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為白方差為s?,

mil；=4匕+2匕=4x36+2x42=

據(jù)此估計這加入中35?45歲所有人的年齡的方差為六29.

18.【正確答案】(1)證明過程見解析;

⑵卓

(3)存在點Q,(號=；，

【詳解】(1)連接尸C,

所以/尸=CD,AP//CD,

故四邊形/尸CD為平行四邊形，

故。是AC,。尸的中點，

因為尸是N8的中點，

所以。P〃C2,

因為POu平面尸。。'，C8(z平面尸。￡>',

所以3C〃平面尸。。'；

(2)因為平面/CB,平面/CO,交線為NC,

因為4D，=DC,。是/C的中點，

所以O(shè)D'±AC,

因為OD'u平面/CO,

所以?！?gt;」平面/C8,

因為/C,。尸u平面ACB,

所以O(shè)D'_L/C,OD'1OP,

因為NB/D=60。，AP=AD,

所以三角形/DP為等邊三角形，

因為。是。P的中點，

所以。尸_L/C,

所以O(shè)D',/C,OP兩兩垂直，

故以。為坐標(biāo)原點，分別以CM,OP,。。為x軸，y軸，z軸,建立空間直角坐標(biāo)

系，

因為/B=2AD=2CD=4,

所以46,0,0),網(wǎng)一6,2,0),q。,0,0,D(0,0,J,

設(shè)平面灰。的法向量為加=(x,y,z),

m-CB=(x,y,2)?(0,2,0)=2y=0

人」比?CD=(x,y,z)=V5x+z=0'

解得：)=0,令％=1,貝！Jz=—G,

平面ABC的法向量為1=(0,0,1),

設(shè)平面ABC與平面BCD的夾角為。,

故平面/5C與平面BCD'的夾角的余弦值為";

2

(3)存在點Q,

理由如下：設(shè)。(O,a,l-a),a6[0,1],

則CQ=(0,4,1_4)-(-6,0,0)=(?a,1-a),

由(2)知：平面BCD'的法向量為總=(1,0,-6),

設(shè)C。與平面8c。'所成角為a,

|(641-4(1,0,一百)|新

則

匹|?阿2^3+?2+(1-?)28

7

因為ae[0』，解得：a=(,

尸

故0J

PD'-3

丫27T

19.【正確答案】(1)—+j2^l；(2)ZMON=-,理由見解析.

52

【分析】

（1）利用橢圓的定義求出2a的值，再結(jié)合c的值可求得6的值，由此可得出橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）對直線/的斜率是否存在進行分類討論，在直線/的斜率不存在時，求出點M、

N的坐標(biāo)，計算出礪.麗=0;在直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為>=履+"?,

由已知條件得出加='（父+i）,將