2024-2025學年廣西河池市高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年廣西河池市高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知拋物線C：/=4x的焦點為F，拋物線上的點”（2,2夜）到焦點廠的距離為

（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知直線4:尤-y-1=0,：x-y+l=0,則4與4的距離為（）

A.1B.2C.V2D.2也

3.若橢圓焦點在x軸上且橢圓經(jīng)過點（0,2）,c=3,則該橢圓的標準方程為（）

22222

.xyJ,y21p.xy

A.—+—=1B.—+—=1CR.——+—=1D.—+—=1A

9413449413

4.已知兩個向量2=（1,T,2）［=（2,x,y）,且￡//刃，則x+y的值為（）

A.2B.4C.6D.8

5.已知直線x-ay+2=0平分圓C:x2+（y-l）2=l的周長，貝！|。=（）

A.2B.4C.6D.8

2”2

6.已知拋物線_/=16x的準線經(jīng)過雙曲線r不-方=1040）的一個焦點，則該雙曲線的

漸近線方程為（）

1出

A.v=±］尤B.y=+2xC.尸土1xD.y=+yfix

7.在直四棱柱/BCD-44GA中，底面/BCD為等腰梯形，

AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=AlA=4,E為棱訓的中點,則到平面ED區(qū)的夾

角余弦值為（）

DiG

;

V30?V70「回c3屈

AD.------

10101010

8.已知雙曲線C：d=l的左、右焦點分別為片、F,A,

25是雙曲線上關(guān)于原點

對稱的兩點，并且|N2|=2c,則的面積等于（)

A.6B.7C.8D.9

二、多選題（本大題共1小題）

9.已知直線4：x+即+1=0,4：（。一1）工+>+。=0，則下列說法正確的是（）

A.當。=1時，直線的傾斜角為135。B.當/1_L4時，?=1

C.若〃4，貝Ua=-1D.直線4始終過定點（一1,0）

三、單選題（本大題共1小題）

10.如圖，正方體/3CD-44G。的棱長為1,M是4G上的中點，以下說法正確的

A.AM4c的面積是定值"

B.與痂同向的單位向量是

2

yj~6A/6A/6

c.冠與兩夾角的余弦值為逅

D.平面/片。的一個法向量是（1,1,-1）

四、多選題（本大題共1小題）

11.已知橢圓。：片+片=1,用工上分別為它的左右焦點，點/,8分別為它的左右

259

頂點，已知定點N（4,4）,點M是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有（）

25

A.存在4個點使得/耳明=9（TB.直線M4與直線附斜率乘積為定值-互

C.麻/麻有最小值1"D.|跖的取值范圍為

五、填空題(本大題共3小題)

12.已知直線/過點(L2),傾斜角為45。，則直線/的縱截距為.

13.已知圓x2+/-2x+6y=r-10(r>0)與直線x-y+l=O相切，貝ljr=.

14.雙曲線C:二-乙=1的離心率為_____.

m3m

六、解答題(本大題共5小題)

15.已知V/BC的頂點分別為/(2,2),8(4,-2),C(Y2).

(1)求BC邊的中線所在直線的方程；

(2)求BC邊的垂直平分線所在直線的方程.

22

16.已知橢圓C：1+4=l(a>6>0),M為橢圓上一點，K，鳥分別為它的左右焦

ab

點，M到片，與距離之和為4,離心率e=蟲.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/：y=x-l與橢圓交于4,2兩點，求的長以及三角形面積.

17.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，側(cè)棱P/_L底面4BCD,ABLBC,且尸4=2,

AB-BC=\/2，AD=CD=5/5,E為PC中點.

P

⑴求點C到平面E4D的距離；

(2)求平面PBC與平面區(qū)4D夾角的正弦值.

22

18.已矢口圓G:X?+>2_|_2%—4y+1=0,圓C*2:x+y—4x—5=0.

(1)證明兩圓相交，并求兩圓公共弦長；

⑵已知過點(0,1)的直線/與圓G交于4,3兩點,且求直線/的斜率.

19.設拋物線C:/=2pr(p>0)的焦點為尸，已知點尸到圓++/=i上一點

的距離的最大值為2.

(1)求拋物線c的方程；

⑵已知々，月是雙曲線1-：=1左右焦點，過右焦點片的直線/與C交于兩點.

證明：NFJ\M=NFJ\N.

答案

1.【正確答案】C

【詳解】解：由焦半徑公式得：”|=%+勺2+1=3.

故選：C.

2.【正確答案】C

【詳解】由題意得，4與4的距離4=注曾=收，

一VI2+12

故選：C

3.【正確答案】B

【詳解】橢圓焦點在x軸上且橢圓經(jīng)過點（。,2）,所以6=2,

又c=3,則02=6-2=4+9=13,

22

所以橢圓方程為土+匕=1，

134

故選：B.

4.【正確答案】A

【詳解】因為￡//人所以=='=］，解得x=-2,y=4,

所以x+y=2.

故選：A.

5.【正確答案】A

【詳解】由/+（了-1）2=1,可得圓心為（0,1）,

因為直線x-ay+2=0平分圓/+（了-1）2=1的周長，

所以直線過圓的圓心，則0-〃+2=0,解得。=2.

故選：A

6.【正確答案】D

【詳解】已知拋物線/=16x的準線為x=T,

22

所以雙曲線/方=1（6w0）的一個焦點為（-4,0）,

所以4+〃=4"解得b2=12,

22

所以雙曲線土-匕=1的漸近線方程為歹=±瓜.

412,

故選：D.

7.【正確答案】B

【詳解】底面N8C。為等腰梯形，AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=4,

如圖，在底面中，過點。作ZW_L/3,垂足為X,

舉…

以。為坐標原點，分別以南，沆,兩所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系

則￡)(0,0,0),5(73,3,0),Bx(V3,3,4),￡(73,-1,2),

可得的=(g,3,4),瓦=(V3,-1,2),函=(0,0,4),

n-DB、=A/3X+3y+4z=0

設平面瓦溝的法向量為力=(x,y,z),則

n-DE=Vlr-y+2z=0

令y=-\/3,貝!Iz=-2A/3,x=5,

可得平面瓦祖的一個法向量為力=3,百,-2百),

設BB,到平面瓦汨的夾角為6e[og],

可得cos。=Vl-sin20=工"，所以8用到平面瓦省的夾角余弦值為翌.

1010

故選：B.

8.【正確答案】B

【詳解】由雙曲線的對稱性以及A,3是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點可知，A,

B,。三點共線，

連接力大，AF2,BFX,BF2,|/3|=2c=|耳用，則四邊形/片時為矩形，

所以皿，明,忸叫=|/閭，

貝！lc=J/+62=J9+7=4，

所以|，邳=|耳閶=2c=8,所以|必「+幽2=網(wǎng)2=64,

又?凰-忸川=||明曰典卜2。=6,

所以|必『+|因『-2|9|忸周=36,解得卜周忸41=14,

所以邑曲=J/凰忸G1=7.

故選：B.

9.【正確答案】ABD

【詳解】對于A,當。=1時，直線4：尤+了+1=0,斜率左=-1,則傾斜角為135。，故

A正確；

對于B,4等價于a-1+a=。，解得。=；，故B正確；

對于C,若〃〃2，貝1Ja(aT)T=0且awa—1,故.=生6,故C錯誤；

2

對于D,4：x+即+1=0,當＞=0時x=7,所以直線4恒過(-1,0),故D正確.

故選：ABD.

10.【正確答案】C

【詳解】對A：在4G上且4GlMC，

到/c的距離等于4G到/c的距離，則為定值1,

=—xlxV2,故A選項錯誤；

/.S△秋at22

對B：因為建立不同的空間直角坐標系，與而同向的單位向量的表示方法會不同,

所以B選項錯誤；

同理，D選項也不對.

如圖所示建系，/(I,。,0),5(1,1,0),。(0,0,0),S1(l,l,l),wQ,1,ll

——.------AB?DM2V6

cos{AB,DM)二絲上一/=7-,故C選項正確;

\AB\\DM\66

lx

V4

故選：C

11.【正確答案】AD

22

【詳解】對于A中，由橢圓C：L+匕=1,可得。=5,6=3,c=4,

259

由6<c<a,以。為圓心，片片為直徑的圓，與橢圓C有4個交點,

所以存在4個點"，使得/月兒q=90。，A選項正確;

222s

對于B中，設"(')),則土+匕=1,且4(—5,0),5(5,0),可得一-25=—可/，

259

yyv29

則'^MB

2五為定值，所以B選項錯誤.

x+5x-5X-25_252

9』

對于C中,由橢圓的定義，可得|9|+|3|=10,

則

11111)曲回

--------1-----(阿|+|摩卜：

西+配叭畫\MF^)RIRI.

42

>—2+2

10105

\MF\\ME\

當且僅當2媼=身時，即|%|=|町|=5時等號成立，所以C選項錯誤.

對于D中，由點N在橢圓外，設直線g,八寫與橢圓相交于乂,生,

如圖所示，則=|N闿+EM=|=J(4+4)2+42=4石,

因為|八罵|=4,且|MV|+W小;|=2a+|血W|-|九里|=10+|MV|-|M用，

可知|初兇-|〃罵閆7\閭，^\MN\-\MF2\<4,當/與小重合時，等號成立,

所以(|皿|+|阿|)3=10+|^|-|^|=10+|^|=14,

所以|ACV|+MFje[4614],所以D選項正確.

故選：AD.

12.【正確答案】1

【詳解】由題意知，斜率為tan45o=l,則直線方程為k2=x-l,令即x=0,y=l,直

線1的縱截距為1.

故1.

13.【正確答案】巫

2

【詳解】由已知圓的標準方程為(x-l)2+(y+3)2=/(r>0),

所以圓心為(L-3),半徑為

|1-(-3)+1|5A/2

依題意’"不汨FT

故答案為?竽

14.【正確答案】2或名8

3

【詳解】當機>0,/=〃712=3",所以6=也罕絲=2.

y/m

當冽<0,。2=—mb2=-m,e=/—

y/-3m3

故2或限

15.【正確答案】(l)2x—3y+2=0

(2)5x-2y+5=0.

【詳解】(1)設8c中點的坐標為。(%,%),貝!=%=二^吆=0,所以

。(-1,0),

8c邊的中線過點A(2,2),。(-1,0)兩點,

,2—02

所以小E

3

7

所以/。所在直線方程為0=§(%+1),

即2x—3》+2=0；

(2)因為2C的斜率無=2一(一2)=一刊=二,

-6-4105

所以8c的垂直平分線的斜率左=1，

2

所以3C的垂直平分線所在直線的方程為y-o=g(x+l),

即5x-2y+5=0.

16.【正確答案】(1)亍+必=1；

⑵竽，土

【詳解】(1)依題意，2。=4,貝|。=2,由離心率6=@,得《="5=旦，得

2a2

b=l,

所以橢圓。的方程為=+/=1.

4

y=x-1

JR

(2)由<X22」肖去歹得5%2—8%=0,解得演=0,%2=:，

——+y=15

14/

則弦長|AB|=，1+仔.|-x2\=~~~；

_710-0-116

原點。到直線/：歹=%-1距離為：d=\—

Vi+(-i)2

所以三角形面積：s=-\A^d=-x—x^l=-

【詳解】(1)設AC與BD交點、為O,連接?！?則OE〃尸/,所以平面/BCD,

所以OC,0D,。￡三條直線兩兩互相垂直，

以OC,OD,OE所在的直線分別為x,九z軸建立如圖所示的空間直角坐標系

Oxyz,

由題意知。4=1,OD=2,

則/(-1,0,0),5(0-1,0),C(l,0,0),￡>(0,2,0),尸(一1,0,2),E(0,0,l),

通=(1,2,0),2g=(1,0,1),

設平面EAD的法向量為萬=(再,%，4),

n-AD=x,+2y.=0/、

_—，可取力=(2,-1,一2),

h-AE=再+4=0

(2)麗=(1,2,-2),而=(1,2,0),P5=(l,-l,-2),5C=(l,l,0),

設平面PBC的法向量為麗=卜2，%/2),

m-PB=一%-2z=0/、

則_一/202,可取而二(1,一1,1),

m?BC=/+%=0

--麗?元1V3

所以8叫，"=麗=萬麗=7'

所以平面P8C與平面EAD夾角的余弦值為且，

9

所以平面PBC與平面EAD夾角的正弦值為叵.

9

18.【正確答案】（1）證明見解析，絲咨

（2）i一垃或i+VL

【詳解】（1）如圖：

圓G化成標準方程為（尤+l『+（y-2『=4,圓心G（T2）,半徑12,

圓C?化成標準方程為（》-2『+/=9,圓心。2（2刀），半徑々=3,

由1=1<1℃2|=V9+4=+馬=5,所以兩圓相交,

兩圓方程作差得(%?+/+2x—4〉+1)—(J+j;2—4x—5)=6x—4y+6=0.

即公共弦所在直線的方程為3x-2y+3=0.

圓C1的圓心到公共弦所在直線的距離為：d=|3x（T戶2+』二處,

V9+413

所以公共弦長為.2,22J生叵］=呸叵