2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中考前壓軸題

期中考前滿(mǎn)分沖刺之優(yōu)質(zhì)壓軸題

類(lèi)型一、代數(shù)式中的圖形規(guī)律（選、填、解）

類(lèi)型二數(shù)列中的錯(cuò)位相減法（選、填、解）

類(lèi)型三代數(shù)式中的行列規(guī)律（選.真解）

類(lèi)型四、絕對(duì)值中的"1"與"-1"化簡(jiǎn)（選、填、解）

類(lèi)＞,津的鼠4一「

交；3I1”」-5（如■舞，

類(lèi)型八、數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)求t——定值、無(wú)關(guān)問(wèn)題（解）劇

類(lèi)型九、數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)求t—相遇、追及問(wèn)題（解）,

類(lèi)型十、數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)求t—新定義問(wèn)題

【類(lèi)型覆蓋】

類(lèi)型一、代數(shù)式中的圖形規(guī)律

1.將一些完全相同的梅花按如圖所示的規(guī)律擺放，第1個(gè)圖形有5朵梅花，第2個(gè)圖形有8

朵梅花，第3個(gè)圖形有13朵梅花，…，按此規(guī)律，則第6個(gè)圖形中共有梅花的朵數(shù)是（）

A.39B.40C.41D.42

【答案】B

【分析】本題主要考查圖形規(guī)律，理解圖示中數(shù)量關(guān)系，找出規(guī)律即可求解，掌握含有乘方

的有理數(shù)的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???第1個(gè)圖形有1+4=5（朵）梅花，

第2個(gè)圖形有1+2+1+4=8（朵）梅花，

第3個(gè)圖形有1+2+3+2+1+4=13（朵）梅花，

二第九個(gè)圖形中共有梅花的朵數(shù)是1+2+3+4+...+"+"-1+...+4+3+2+1+4=/+4,

???第6個(gè)圖形中共有梅花的朵數(shù)是62+4=40.

故選：B.

2.把三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)三角形，第②個(gè)圖案中

有4個(gè)三角形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)三角形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中三

角形的個(gè)數(shù)為（）

△區(qū)grmx

①②③④

A.15B.17C.19D.24

【答案】D

【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)，根據(jù)給定圖形中三角形的個(gè)數(shù)，找出%=4（”-1）

是解題的關(guān)鍵.由圖可知：第①個(gè)圖案有三角形1個(gè)，第②圖案有三角形1+3=4個(gè)，第③

個(gè)圖案有三角形1+3+4=8個(gè)，第④個(gè)圖案有三角形1+3+4+4=12,...第〃個(gè)圖案有三角

形個(gè)(〃>1時(shí))，由此得出規(guī)律解決問(wèn)題.

【詳解】解：,??第①個(gè)圖案有三角形1個(gè),

第②圖案有三角形1+3=4個(gè),

第③個(gè)圖案有三角形1+3+4=8個(gè),

.??第〃個(gè)圖案有三角形4(〃-1)個(gè)時(shí)),

則第⑦個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是4x(7-1)=24個(gè),

故選：D.

3.如圖是用大小相等的五角星按一定規(guī)律拼成的一組圖案，請(qǐng)根據(jù)你的觀(guān)察，寫(xiě)出第2024

個(gè)圖案中小五角星有顆.

★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

【答案】6073

【分析】本題考查學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、歸納、抽象出圖形規(guī)律的能力，要求學(xué)生要會(huì)分析題意,

找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案.觀(guān)察圖案總結(jié)小五角星數(shù)與圖案數(shù)間的關(guān)系，據(jù)此規(guī)律求

和即可.

【詳解】解：第1個(gè)圖案中，小五角星有3xl+l=4個(gè),

第2個(gè)圖案中,小五角星有3x2+l=7個(gè),

第3個(gè)圖案中,小五角星有3x3+1=10個(gè),

第4個(gè)圖案中,小五角星有3x4+1=13個(gè),

...第"個(gè)圖案中，小五角星有為+1個(gè),

.?.第2024個(gè)圖案中小五角星有3x2024+1=6073個(gè).

故答案為：6073

4.疫情期間，隔壁社區(qū)搭建如圖1所示的單頂帳篷需要17根鋼管，這樣的帳篷按圖2、圖

3的方式串起來(lái)搭建，則串起來(lái)搭建6頂帳篷需要根鋼管，有171根鋼管可以串起

來(lái)搭建頂帳篷，如果想串起來(lái)搭建力頂帳篷，需要根鋼管.

圖1圖2圖3

【答案】72156

【分析】本題考查圖形中的數(shù)字規(guī)律，由題中搭建帳篷的鋼管數(shù)，找到規(guī)律即可得到答案,

讀懂題意，準(zhǔn)確找出規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：搭建1頂帳篷用鋼管數(shù)為17根；

搭建2頂帳篷用鋼管數(shù)為17+11x1=28（根）；

搭建3頂帳篷用鋼管數(shù)為17+11x2=39（根）；

以此類(lèi)推，搭建6頂帳篷用鋼管數(shù)為17+11x5=72（根）；

搭建a頂帳篷用鋼管數(shù)為+=11〃+6（根）；

故答案為：72,15,6.

5.【觀(guān)察思考】

第1個(gè)圖形是1個(gè)三條長(zhǎng)度都為。的線(xiàn)段構(gòu)成的小三角形；第2個(gè)圖形是4個(gè)邊長(zhǎng)都為。的

小三角形拼成的大三角形；第3個(gè)圖形是9個(gè)邊長(zhǎng)都為。的小三角形拼成的大三角形；第4

個(gè)圖形是16個(gè)邊長(zhǎng)都為"的小三角形拼成的大三角形；

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖開(kāi)

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請(qǐng)用含"的式子填空：

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出第〃個(gè)圖形有個(gè)小三角形；

（2）第1個(gè)圖形共有長(zhǎng)度為。的線(xiàn)段lx3=3=3x于（條），

第2個(gè)圖形共有長(zhǎng)度為。的線(xiàn)段（l+2）x3=9=3x學(xué)（條）

i4

第3個(gè)圖形共有長(zhǎng)度為。的線(xiàn)段(l+2+3)x3=18=3x3x—(條)，

4xS

第4個(gè)圖形共有長(zhǎng)度為。的線(xiàn)段(l+2+3+4)x3=30=3x亍(條),

..,

按此規(guī)律，第"個(gè)圖形中共有長(zhǎng)度為。的線(xiàn)段條；

⑶請(qǐng)類(lèi)比(2)的探究方法，求第"個(gè)圖形中共有交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】⑴"

3n(n+l)

-2

+1)(〃+2)

2

【分析】本題考查幾何圖形中的數(shù)字規(guī)律，由前面的幾個(gè)圖形，得到滿(mǎn)足要求的數(shù)字規(guī)律,

即可歸納概括出第〃個(gè)圖形的結(jié)論，由特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題中所給圖形，數(shù)出其中的小三角形個(gè)數(shù)，得出數(shù)字規(guī)律即可得到答案；

(2)根據(jù)題中所給圖形，數(shù)出其中的線(xiàn)段條數(shù)，得出數(shù)字規(guī)律即可得到答案；

(3)根據(jù)題中所給圖形，數(shù)出其中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出數(shù)字規(guī)律即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖所示：

第1個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)為：1=

第2個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)為：1+3=4=22；

第3個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)為：1+3+5=9=32；

第4個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)為：1+3+5+7=16=4?；

按此規(guī)律，第"個(gè)圖形中小三角形個(gè)數(shù)為

故答案為：I-；

(2)解：如圖所示:

第1個(gè)圖形第2個(gè)多形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

第1個(gè)圖形共有長(zhǎng)度為。的線(xiàn)段為：lx3=3=3x三（條）；

第2個(gè)圖形共有長(zhǎng)度為。的線(xiàn)段為：（l+2）x3=9=3x半（條）；

3x4

第3個(gè)圖形共有長(zhǎng)度為。的線(xiàn)段為：（l+2+3）x3=18=3x《一（條）；

4x5

第4個(gè)圖形共有長(zhǎng)度為。的線(xiàn)段為：（l+2+3+4）x3=30=3x《一（條）；

按此規(guī)律，第"個(gè)圖形中共有長(zhǎng)度為。的線(xiàn)段為：?jiǎn)?D條;

故答案為：叫羅；

（3）解：如圖所不：

第1個(gè)圖形共有交點(diǎn)：1+2=3=望（個(gè)）；

第2個(gè)圖形共有交點(diǎn)：1+2+3=6=苛3x4（個(gè)）；

4x5

第3個(gè)圖形共有交點(diǎn)：1+2+3+4=10=”-（個(gè)）；

Sx6

第4個(gè)圖形共有交點(diǎn)：1+2+3+4+5=15=（個(gè)）；

按此規(guī)律，第"個(gè)圖形共有交點(diǎn)：1+2+3+4+5+…+"+(〃+1)=("+"”+2)

6.人行道常用同樣大小的灰、白兩種小正方形地磚鋪設(shè)而成，如圖的每一個(gè)小正方形表示

一塊地胸，如果按圖1、圖2、圖3......的次序鋪設(shè)地磚，把第〃個(gè)圖形用圖〃表示，回答下

列問(wèn)題:

⑴完成表格中的填空;

圖形序號(hào)圖1圖2圖3圖4

白色小正方形地磚塊數(shù)1219——

(2)若設(shè)第〃個(gè)圖形中白色小正方形地磚的塊數(shù)為s,直接寫(xiě)出s與〃之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴26,33

(2)s=7〃+5

【分析】本題主要考查圖形規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)圖示分別找出每個(gè)圖形中白色方

磚的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出規(guī)律即可求解，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解圖形中數(shù)量

關(guān)系的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)圖示中白色小正方形地磚塊數(shù)增加的數(shù)量列式求解即可；

(2)根據(jù)(1)中的計(jì)算方法即可求解.

【詳解】(1)解：圖1中，白色小正方形地磚塊數(shù)為12,

圖2中，白色小正方形地磚塊數(shù)為19=12+7x(2-1),

圖3中，白色小正方形地磚塊數(shù)為12+7x(37)=26,

圖中4,白色小正方形地磚塊數(shù)為12+7X(4-1)=33,

故答案為：26,33；

(2)解：根據(jù)上述數(shù)量關(guān)系可得，s=12+7(”-l)=7〃+5.

類(lèi)型二、數(shù)列中的錯(cuò)位相減法

1.觀(guān)察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;已知按一

定規(guī)律排列的一組數(shù)：251,252,……2皿.若25。=。，用含。的式子表示這組數(shù)的和是

()

A.2a2—czB.2a2—2aC.4a2-aD.4a2—2a

【答案】D

【分析】分析式子猜想規(guī)律，利用規(guī)律計(jì)算解題.

【詳解】解：?.?2+2*-23-2；

2+22+23=24-2;

2+22+23+24=25-2;

,-.2+22+23+...+2"=2"+1-2，

.,250+251+252+...+299+21,,0+2101

=（2+22+23+...+2I01）-（2+22+23+...+250）

=（2102-2）-（251-2）

=2102-251,

?.-250=?,

2102=（250y?4=4/,251=2x250=2a

?,?原式=4。2-2。.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律問(wèn)題，找準(zhǔn)不變化的量和變化的量是解題關(guān)鍵.

2.求1+3+3?+33+…+32。19的值，可令$=1+3+32+3'+…+32°"①，①式兩邊都乘以3,

則3s=3+32+33+34+...+3期。②，②-①得3S-S=32°2。一1,則S=仿照以上推理，

計(jì)算出1+5+52+53+54+…+5289的值為（）

520201c2010_1

A.52019-1B.52020-1C.-~~—D.------

44

【答案】C

【分析】令S=l+5+52+53+5」+…+5叫然后兩邊同時(shí)乘以5,再兩式作差即可.

【詳解】解：45=1+5+52+53+54+--+520190>

①式兩邊同時(shí)乘以5,得5s=5+52+53+54+55+…+52°2。②，

②-①得4s=52儂T,即S=2_Z1.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是模仿題目中給出的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算.

3.為計(jì)算1+2+22+2^+24+…+220%可令5=1+2+22+23+24+…+產(chǎn)19,則

25=2+22+23+24+---+22020,因此2sT=2?02。.1,根據(jù)以上解題過(guò)程，猜想：

1+3+32+33+---+32019=

<>2020_1

［答案］

2

【分析】讀懂題目中的解題過(guò)程，模仿進(jìn)行即可得到結(jié)果.

【詳解】<5=1+3+32+33+--+32019,則3s=3+3?+3?+3“+…+32°2°,

所以3S-S=323-1,

o2020_i

所以“二上，

2

22020_1

故答案為：皂」.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算的應(yīng)用，讀懂題意并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.

4.求1+2+2?+23+…+2。雷的值,可令$=1+2+22+23+…+22°13,則

25=2+22+23+--+22014,因此25-5=2刈4一1.仿照以上推理，計(jì)算出

1+5+52+53+---+52021=.

c2022_1

［答案］

4

【分析】設(shè)5=1+5+52+5」+…+523,求出5S,二式相減即可求出S的值.

【詳解】解：設(shè)S=l+5+5?+53+…+52，

則55=5+52+53+---+52021+52022,

5S-S

2320212022232021

=5+5+5+-.+5+5-(1+5+5+5+--+5)

52022-1

C20221

4

xr2022_i

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，以及有理數(shù)的減法運(yùn)算，正確理解題目所介紹的計(jì)

算方法是解答本題的關(guān)鍵.

5.探究：22-21=2x2-1x21=2()

23-22==2（）,

24-23==2（）,

(1)請(qǐng)仔細(xì)觀(guān)察，寫(xiě)出第4個(gè)等式；

(2)請(qǐng)你找規(guī)律，寫(xiě)出第〃個(gè)等式；

(3)計(jì)算：2月22+23+…+22019_22020.

【答案】探究：1;2x22-1x22；2；2x23-1x23；3；(1)25-24=2x24-1X24=24；(2)

2n+,-2n=2x2n-lx2〃=2〃；(3)-2.

【分析】探究：根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算逐個(gè)補(bǔ)充即可；

(1)觀(guān)察探究的等式，即可寫(xiě)出第4個(gè)等式；

(2)根據(jù)探究的等式，歸納類(lèi)推出一般規(guī)律即可得；

(3)先將所求式子進(jìn)行變形，再根據(jù)題(2)中的規(guī)律進(jìn)行求解即可得.

【詳解】探究：22-2i=2x2i-lx2i=2i

23-22=2x22-lx22=22

24-23=2X23-1X23=23

(1)第4個(gè)等式為25-24=2x24-1x24=2”；

(2)歸納類(lèi)推得：第n個(gè)等式為2向-2"=2x2"-lx2"=2";

(3)原式=_(22°2。_a?。"——23-22-21)

=-(22019-----23-22-21)

=-(22-21)

=—2.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，觀(guān)察探究中的式子，歸納類(lèi)推出一般規(guī)律是解題關(guān)

鍵.

6.閱讀理解:為了求1+3+32+33+...+3］。。的值,可設(shè)M=1+3+32+33+...+3i0°,則

3101_］

3M=3+32+33+34+...+3101,因此3M-M=3101-1.所以M=-——-,

2

3*1

即1+3+32+33+...+3］。。=^_^問(wèn)題解決：仿照上述方法求下列式子的值.

2

(1)1+4+42+43+...+420.

（2）5101+5102+5103+...+52016

21

4_1S2017_5101

【答案】(1)-~(2)-———.

34

【分析】⑴根據(jù)題目信息,設(shè)S=l+4+42+43+...+42。，求出4S,然后相減計(jì)算即可得解；

(2)P=5101+5102+5103+...+52016,求出5P,兩式相減計(jì)算即可得.

【詳解】解：(1)設(shè)S=l+4+42+43+...+420①，

貝I]4S=4+42+43+...+420+421(2),

②-①得：3s=421-1,

421-1

?,?cS—■--------,

3

421-1

即I+4+42+43+...+420=-----；

3

(2)設(shè)P=51°I+51°2+5103+...+52。16①，

則5P=5i°2+5i03+...+52016+52017②，

②-①得：4P=520口-5101,

52017-5101

■,■P=--------------，

4

4-2017_clOl

即5101+5102+5103+...+52016=-_.

4

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方和數(shù)字的變化類(lèi)，讀懂題目信息，解題關(guān)鍵是理解求和的運(yùn)

算方法.

類(lèi)型三、代數(shù)式中的行列規(guī)律

1.觀(guān)察下面三行數(shù)：

-3,9,-27,81……①

1,-3,9,-27......②

-2,10,-26,82……③

設(shè)x,修z分別為第①②③行的202個(gè)數(shù)，貝|x+6y+z的值為()

A.1B.-1C.6X3202+1D.8X3202+1

【答案】A

【分析】本題考查數(shù)字類(lèi)規(guī)律探究、代數(shù)式求值，找到每行數(shù)字的變化規(guī)律是解答的關(guān)

鍵.先根據(jù)每行前幾個(gè)數(shù)字的變化得到變化規(guī)律，進(jìn)而求得氏c,然后代值求解即可.

【詳解】解：①由-3,9,-27,81......,得第〃個(gè)數(shù)為(-3)",貝心=(_3廣=32°2；

②由1,-3,9,-27......,得第〃個(gè)數(shù)為(-3)，貝仃=(-3)如=_32%

③由一2,10,-26,82......,得第〃個(gè)數(shù)為(-3)"+1,則z=(-3產(chǎn)+1=3202+1,

：.x+6y+z

=3202+6X(-3201)+3202+1

=2X3202-6X3201+1

=2X3202-2X3202+1

故選：A.

2.如圖，被稱(chēng)為“楊輝三角"或"賈憲三角其規(guī)律是：從第二行起，每行兩端的數(shù)都是"1",

其余各數(shù)都等于該數(shù)"兩肩”上的數(shù)之和，表中兩平行線(xiàn)之間的一列數(shù)：1,3,6,10,

15,....我們把第一個(gè)數(shù)記為可，第二個(gè)數(shù)記為出，第三個(gè)數(shù)記為見(jiàn)，…，第〃個(gè)數(shù)記為

a?.則為oo的值為()

11

1\3\31

14\6\41

1510\1()\51

161520\15\61

A.100B.199C.5050D.10000

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)字變化的規(guī)律，根據(jù)題意尋求出變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，寫(xiě)出前幾項(xiàng)分析前幾項(xiàng)的變化特點(diǎn)，從而得到凡的表達(dá)式，再代入100

運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：由題意可得：

4=1,

出=1+2=3,

a3=1+2+3=6,

a4=1+2+3+4=10,

n(n+\\

??ci=1+2+3H—n=-------,

〃2

.?.當(dāng)"=1。。時(shí)，5叱(，+1)=5。5。,

故選：C.

3.如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，小芳在探索楊輝三角每一行中所有數(shù)字之

和的規(guī)律時(shí)，將第1行的數(shù)字之和記為1,第2行的數(shù)字之和記為S2,第3行的數(shù)字之和記

為S3,…，第〃行的數(shù)字之和記為s”.根據(jù)每一行的規(guī)律，圖中。的值為;則

【分析】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律問(wèn)題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確歸納出該組數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)

律.

根據(jù)圖形可得，。的值為。上面兩個(gè)數(shù)字之和，即可求出。的值；根據(jù)題意，總結(jié)出

4=2'S“T=2"T,即可解答.

【詳解】解：由圖可知，a=6+4=10,

根據(jù)題意可得：、=(1+1)°=1,

S2=(1+1)'=2,

S3=(1+1)2=4,

3

54=(1+1)=8,

.??，=(1+1廣=2'1,犯=(1+1廣2=2-

222

sn_=2"-'-2"-=2x2"--2"-=2"一2

故答案為：10,2"-2.

4.如圖，觀(guān)察表中數(shù)字的排列規(guī)律，則數(shù)字2000在表中的位置是第行，第列.

13579

26101418

412202836

824405672

164880112144

【答案】563

【分析】本題考查數(shù)字類(lèi)規(guī)律探究，由表格中的數(shù)據(jù)可知，第一行是一些連續(xù)的奇數(shù)，后一

行的數(shù)字是前一行數(shù)字的2倍，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可知，第一行是一些連續(xù)的奇數(shù)，第二行的數(shù)據(jù)是對(duì)應(yīng)的第一

行數(shù)據(jù)的2倍，第三行的數(shù)據(jù)是對(duì)應(yīng)的第二行數(shù)據(jù)的2倍，第四行的數(shù)據(jù)是對(duì)應(yīng)的第三行數(shù)

據(jù)的2倍，

?.?2000=2x1000,1000=2x500,500=2x250,250=2x125,125=2x63-1,

數(shù)字2000在表中的位置是第5行，第63歹！J,

故答案為：5,63.

5.觀(guān)察下面的三行單項(xiàng)式

x,2x2,4x3,8x4,16%5…①

-2x,4x2,一8/,16/,-32/…②

2x,—3x2,5x3,-9A：4,I7/...③

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，完成以下各題：

⑴第①行第8個(gè)單項(xiàng)式為二第②行第2024個(gè)單項(xiàng)式為

(2)第③行第"個(gè)單項(xiàng)式為一.

⑶取每行的第9個(gè)單項(xiàng)式，令這三個(gè)單項(xiàng)式的和為A.計(jì)算當(dāng)x=g時(shí)，256(/+；)的值.

【答案】（1）27/；22024X2024

129

z⑶3

【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過(guò)所給例子，找到式子的規(guī)律，利用有理數(shù)的混

合運(yùn)算解題是關(guān)鍵.

(1)觀(guān)察所給的①與②式子可得①的特點(diǎn)，第〃個(gè)數(shù)是②的特點(diǎn)，第"個(gè)數(shù)是

(-2)工

(2)觀(guān)察③式子的特點(diǎn)，可得第"個(gè)數(shù)是(T)i(2"T+l)x",即可求出解；

(3)先求出/=2與8+(-2)9X9+(28+1卜9,再將X=；代入求出A,最后再求256(/+￡|即

可.

【詳解】(1)解：①的特點(diǎn)，第〃個(gè)數(shù)是2"。"，

,第8個(gè)單項(xiàng)式是27f；

②的特點(diǎn)，第"個(gè)數(shù)是(-2)"x",

第2024個(gè)單項(xiàng)式是22024X2024,

故答案為：27?,22024%2024.

(2)解：③的特點(diǎn)，第〃個(gè)數(shù)是(T)a(2"T+l)x",

故答案為：(-1)72"由卜".

(3)解：①的第9個(gè)單項(xiàng)式是2晨9,②的第9個(gè)單項(xiàng)式是(-2),9,③的第9個(gè)單項(xiàng)式是

(28+1)X9,

.?.^=28X8+(-2)9X9+(28+1)X9=X9,

當(dāng)W時(shí)，/=出，

.,256M=256x[l+f4K--

[4；[4(2川2

6.(1)【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】如圖，在數(shù)陣工中，第1行圓圈中的數(shù)為1,即F；第2行兩個(gè)圓圈中

的數(shù)和為2+2,即2一…；第"行"個(gè)圓圈中的數(shù)和為"+〃+〃+…+〃，即.這樣,

(2)【解決問(wèn)題】將數(shù)陣1旋轉(zhuǎn)可得數(shù)陣2,將數(shù)陣2旋轉(zhuǎn)可得數(shù)陣3,請(qǐng)仔細(xì)觀(guān)察這三個(gè)

數(shù)陣，并結(jié)合三個(gè)數(shù)陣，計(jì)算：F+22+32+...+/.(結(jié)果用含"的代數(shù)式表示)

(3)【拓展應(yīng)用】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算：1+2+3++424.

1+2+3+---+2024

【答案】(1)n2;——1;12+22+32+---+H2;(2)——-----(3)——

263

【分析】本題考查了圖形和數(shù)字的規(guī)律，

(1)根據(jù)數(shù)陣1中數(shù)的排列特征求解即可；

(2)根據(jù)這三個(gè)數(shù)陣中數(shù)的排列特征求解即可；

(3)根據(jù)上述規(guī)律計(jì)算即可；

能根據(jù)所給數(shù)陣，發(fā)現(xiàn)數(shù)字排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(1)在數(shù)陣1中，第"行"個(gè)圓圈中數(shù)的和為〃+"+7?+…+〃，即"；

這樣，數(shù)陣1中共有1+2+3+…+"=亞⑴個(gè)圓圈，

2

所有圓圈中數(shù)的和為F+22+3?+…

故答案為：n2,以竺9,12+22+32+-+/；

2

(2)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：三個(gè)數(shù)陣中各行同一位置圓圈中的三個(gè)數(shù)的和均為2"+1,

.?.3(12+22+32+---+?2)=(2?+1)-(1+2+3+---+?),

.?.3(12+22+32+---+772)=(2H+1)-W^+1^,

,『+22+32+…+〃2=小+1)伽+1)；

6

-x2024x(2024+l)x(2x2024+l)

(3)原式二^-----;----------------------

-x2024x(2024+1)

-x4049

6______

=一￡

2

4049

3

類(lèi)型四、絕對(duì)值中的"1"與〃?1〃化簡(jiǎn)

abctb

1.若則「+用+F的值可能是（）

\a\\b\\ab\

A.1和3B.一1和3C.1和-3D.一1和-3

【答案】B

【分析】本題考查的絕對(duì)值的應(yīng)用，以及化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性,

根據(jù)浦W0,即八b全為正數(shù)時(shí)，或°、6為一正一負(fù)時(shí)，或a、b全負(fù)時(shí)分類(lèi)討論計(jì)算即

可.

【詳解】解：ab^O,

...設(shè)。>0,6>0時(shí),

abab

...------1-------1--------=1+1+1=3,

|a||b||ab\

a>0,b<0或40，40時(shí),

abab44abab

---1----1--------=1—1-1=-1,^7]-r+777+]~~T-1+1-1=-1；

⑷\ab\-----------------M網(wǎng)|羽

a<0,6<0時(shí),

abab,,,

------1--------1--------=—1—1+1=—1,

\a\\b\\ab\

綜上可得：六+￡+微7=3或T，

⑷g||曲

故選：B.

那么忖+回+回的取值可能是（

2.若。6工0,)

abab

A.—3B.1C.一1或3D.1或一3

【答案】C

【分析】分為〃>0,b>0；a<0fb<0；a>0,b<0；a<0,b>0四種情況化簡(jiǎn)計(jì)算

即可.

【詳解】解：當(dāng)Q>0,6>0時(shí)，原式=1+1+1=3；

當(dāng)〃<0,6<0時(shí)，原式=一1+(-1)+1=-1；

6/>0,b<0時(shí)，原式=1-1-1=-1；

當(dāng)a<0,b>0時(shí)，原式=—1+1—1=—1.

綜上所述，回+T+4的值是3或-L

abab

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是絕對(duì)值的化簡(jiǎn)、有理數(shù)的除法，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

3.三個(gè)有理數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a6c>0,則國(guó)+回+忖的值為_(kāi)___.

abc

【答案】3或一1

【分析】。、b、c為三個(gè)非零有理數(shù)，若仍c>0,則°、b、c中有兩個(gè)為負(fù)數(shù)或者三個(gè)都是

正數(shù)，分兩種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】。、6、c為三個(gè)非零有理數(shù)，若"c>0,則0、6、c中有一個(gè)為負(fù)數(shù)或者三個(gè)都是

負(fù)數(shù)，

若°、6、c中有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，則原式=-1-1+1=-1

°、b、c三個(gè)都是正數(shù)，則原式=1+1+1=3

故答案為3或一1.

【點(diǎn)睛】考查有理數(shù)的乘法以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，注意分類(lèi)討論，不要漏解.

cibcubc

4.設(shè)a,b,c為有理數(shù)，則由構(gòu)成的各種數(shù)值是■

【答案1±4,0

【分析】此題要分類(lèi)討論a,b,c與0的關(guān)系，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解;

【詳解】解：:a,b,c為有理數(shù),

①若a>0,6>0,c>0,

bcabc

H----1----1-----=14-1+1+1=4；

|6||c|\abc\

②若a,b,。中有兩個(gè)負(fù)數(shù)，貝Ua加>0,

abcabc

---1----1----1-----=(l-2)+l=0,

|a||b||c||abc\

③若a,b,c中有一個(gè)負(fù)數(shù)，貝iJabc<0,

abcabc

--1----1----1-----=(2-l)+(T=0,

a||b||c||abc\

④若a,b,c中有三個(gè)負(fù)數(shù)，則仍c<0,

abcabc

...--------1---------1---------1------------=(-3)+(-1)=-4

|a||b||c||abc\

故答案為：±4,0.

【點(diǎn)睛】此題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是如何根據(jù)已知條件，去掉絕對(duì)值，還考

查了分類(lèi)討論的思想，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，。的絕對(duì)值是

0.

5.【總結(jié)提煉】

小明學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的性質(zhì)后，有這樣的思考和總結(jié)：當(dāng)。>o時(shí)，=。，貝I忖=@=1；當(dāng)。<o

aa

時(shí)，\a\=~a,則@=W=-1.

aa

【解決問(wèn)題】

(1)若ab>0,貝1k^+與二一.

a\b\

\a\b同

(2)abc<0,貝(J---7rH—=_?

a\b\c~

【拓展提升】

性+辿+忖=1計(jì)算.處一國(guó)

(3)若

\abc\\ab\a，'|Z?c|b

【答案】(1)-2或2(2)-3或1；(3)1或-1或3

【分析】(1)分。<0,6<0和。>0力>0,兩種情況進(jìn)行討論求解即可;

(2)分。，4c中有一個(gè)負(fù)數(shù)和三個(gè)均為負(fù)數(shù)，兩種情況進(jìn)行討論求解;

(3)分。<0,和。>0,兩種情況，進(jìn)行討論求解.

【詳解】解：(1),:ab>Q,

:.a,b同號(hào)，

\a\b

當(dāng)Q<0/<0時(shí)：口+由=_l—l=_2；

a\b\

\a\b

當(dāng)4>0/>0時(shí)：Fyyy=1+1=2；

a\b\

故答案為：-2或2；

(2)abc<0,

??.有兩種情況：有一個(gè)負(fù)數(shù)和兩個(gè)正數(shù)或三個(gè)均為負(fù)數(shù)，

\a\bc

當(dāng)q<0,6<0,c<0時(shí)，貝！J：U+^+U=-l-l-l=-3；

a\b\c

\a\b同

當(dāng)有兩個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，假設(shè)：Q>O/>O,C<O,則：U++U=1+1-1=1；

a\b\c

故答案為：-3或1；

abcab。,

〈2)--------1--------F」=1

t\abc\\ab\a9

abc,ab,a中有兩正一負(fù)，

①當(dāng)”0時(shí):則:abc,ab均為正,

.,./?<0,c>0,

be網(wǎng)\ac_be-b-ac

-----=-I+1+1=I?

\bc\bac\-bebac

②當(dāng)。>0時(shí)，貝U：Me,仍一正一負(fù),

be網(wǎng)\ac_bebacyy3,

若6>0,則：c<0,此時(shí):---二—1—1+1=—1；

\bc\bac\-beb-ac

be川\ac_bc-bac<?-

如b<0,則：c<0,此時(shí):.......-1+1+1—3?

\bc\bac\beb-ac

綜上，原式=1或-1或3.

故答案為：1或-1或3

【點(diǎn)睛】本題考查化簡(jiǎn)絕對(duì)值，有理數(shù)乘法的符號(hào)法則.熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)，利用分類(lèi)

討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

x,x>0

6.閱讀下列材料：|x|=0,x=0,即當(dāng)x>0時(shí)，M￡I,當(dāng)無(wú)<0時(shí)，忖=二￡=_1,

八X=X=XX

-x,x<0

運(yùn)用以上結(jié)論解決下面問(wèn)題：

(1)已知加，〃是有理數(shù)，當(dāng)加〃>0時(shí)，則?一?=；

mn

(2)已知加，小，是有理數(shù)，當(dāng)機(jī)加<0時(shí)，求國(guó)-?-口的值；

mnt

(3)已知加，n,，是有理數(shù)，m+n+t=0,且加加<0,求-^----@----也一的值.

n+tm+tm+n

【答案】(1)0;

（2）1或-3；

⑶-1或3.

【分析】本題考查的是有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟練的化簡(jiǎn)絕對(duì)值是解本題的

關(guān)鍵；

（1）先判斷機(jī)，〃同號(hào)，再分兩種情況化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算即可；

（2）先判斷加，"，/全負(fù)或加，〃，/兩正一負(fù)，再分情況化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算即可；

（3）先判斷小，"，/兩正一負(fù)，再結(jié)合（2）的結(jié)論即可得到答案.

【詳解】（1）解：TS,〃是有理數(shù)，當(dāng)加〃>0時(shí)，

:.m,n同號(hào)，

當(dāng)機(jī)>0,77>0時(shí)，

mn

當(dāng)加<0,〃<0時(shí)，

H.M_

mn=1+1=0;

（2）mnt<0

???冽，n,，全負(fù)或冽，n,，兩正一負(fù)

①當(dāng)加，”,/全負(fù)時(shí)，曰一?一;=（一1）一（一1）一（一1）=1

②當(dāng)加，〃，/兩正一負(fù)時(shí)

I）當(dāng)機(jī)>o,〃>。，/<0時(shí)，

mntt

n）當(dāng)”>o,n<o,r>o時(shí)，i

mnt=

IH）當(dāng)冽<0,n>0,￡〉0時(shí)，=（-l）-l-l=-3

mnt

綜上所述，聞-@-口的值為1或-3；

mnt

（3）m+H+/=0

=,m+t=-n,m-\-n=-t.

.__H\i

n+tm+tm+n

又??,mnt<0,

??m,n,，兩正一負(fù)

由(2)可知迎一上——人的值為t或3.

n+tm+tm+n

類(lèi)型五、絕對(duì)值中的最值問(wèn)題

L點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB,在數(shù)軸上A、

B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a—b|.

—~.--------且>

a0b

請(qǐng)用上面的知識(shí)解答下面的問(wèn)題：

(1)數(shù)軸上表示1和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示一2和一4的兩點(diǎn)之間

的距離是，數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間的距離是；

(2)數(shù)軸上表示X和一1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果|AB|=2,那么X為

(3)卜.一：-一二取最小值是.

【答案】(1)4,2,4:(2)|x+l|,1或-3；(3)3.

【詳解】試題分析：(1)在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a-b|,依此即可求解；

(2)在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a-b|,依此即可求解；

(3)根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值號(hào)，然后計(jì)算即可得解.

試題解析：(1)|1-5|=4；|-2-(-4)|=2,|1-(-3)|=4；故答案為4,2,4；

(2)|x-(-1)|=|x+l|:由|AB|=2,得到：|x+l|=2,.”=1或-3；故答案為卜+1|,1或

-3；

(3)當(dāng)xV-1時(shí)，|x+l|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+l；

當(dāng)-l<x<2時(shí),|x+l|+|x-2|=x+l-x+2=3；

當(dāng)x>2時(shí)，|x+l|+|x-2|=x+l+x-2=2x-l；

在數(shù)軸上|x+l|+|x-2|的幾何意義是：表示有理數(shù)x的點(diǎn)到-1及到2的距離之和，所以當(dāng)

-14x42時(shí)，它的最小值為3.

考點(diǎn)：1.絕對(duì)值；2.數(shù)軸.

2.材料閱讀：已知點(diǎn)/、8在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)。、6,卜-可表示4、3兩點(diǎn)之間的距

離，如：|1-2|表示數(shù)軸上1與2兩點(diǎn)之間的距離，所以數(shù)軸上1與2兩點(diǎn)之間的距離是

=1,式子|x-3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點(diǎn)與表示有理數(shù)3的點(diǎn)之間的距離;

同理卜-4|也可理解為x與4兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，試探索：

⑴數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是.

⑵數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)4和8之間的距離是，如果|/刈=2,那么x

為.

⑶同理|x-i|+k+2|=3表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和-2所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和為3,

則所有符合條件的整數(shù)x是.

⑷若點(diǎn)尸表示的數(shù)為x,當(dāng)點(diǎn)尸在數(shù)軸上什么位置時(shí)，|尤-1|+k+3|有最小值?如果有，直接

寫(xiě)出最小值是多少？

【答案］⑴3

(2)|l+x|,1或-3

(3)-2,-1,0,1

⑷當(dāng)點(diǎn)尸在表示1和-3的點(diǎn)連接的線(xiàn)段上時(shí)，|x-l|+|x+3|有最小值4

【分析】(1)直接根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的求法計(jì)算即可；

(2)根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離意義表示，再去絕對(duì)值求解；

(3)根據(jù)數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和一2所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和為3,找到相應(yīng)整數(shù)

點(diǎn)即可；

(4)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，分三種情況，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，可得最小值.

【詳解】(1)解：數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是卜2-(-5)|=3；

故答案為：3

(2)數(shù)軸上表示x和一1的兩點(diǎn)/和8之間的距離是=+

如果|/同=2,

貝山+司=2,

解得：苫=1或苫=-3；

故答案為：+或-3

（3）數(shù)軸上有理數(shù)無(wú)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和-2所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和為3,

則整數(shù)x對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2,-1,0,1；

（4）|x-l|+|x+3|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和-3所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和

當(dāng)x<_3日寸，卜一+3]二—X+1—x—3=—2,x-2>4；

當(dāng)—3<xW1時(shí)，|x—1|+|x+3|=—X+1+%+3=4；

當(dāng)x〉1日寸，上一l|+|x+3]=x—l+x+3=2x+2>4；

???當(dāng)點(diǎn)尸在表示1和-3的點(diǎn)連接的線(xiàn)段上時(shí)，k-1+,+3]有最小值4.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示

是解題的關(guān)鍵.

3.【定義】把在數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作時(shí).可以理解為

|a-0|=|a|.

【運(yùn)用】（1）若同=3,貝匹=；

（2）由同=四，一定能得到a=6嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展】根據(jù)時(shí)的幾何意義，式子-2|的幾何意義可以理解為在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與2

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因?yàn)?所以”的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a

的點(diǎn)與；所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

（1）式子|。+5|的幾何意義為；

（2）|"3|+|a+5]的最小值為.

【答案】【運(yùn)用】（1）±3；（2）不能，理由見(jiàn)解析；【拓展】（1）在數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與-5

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；（2）8

【分析】本題考查了絕對(duì)值的幾何意義，根據(jù)定義即可求解；

【運(yùn)用】（1）由數(shù)軸上±3表示的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離都為3即可求解；（2）由絕對(duì)值的幾何意義

即可判斷；

【拓展】⑴根據(jù)|。+5卜他-（-5）|即可求解；（2）

【詳解】解：【運(yùn)用】(1)?.,數(shù)軸上±3表示的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離都為3,

若同=3,貝1］。=±3；

故答案為：+3

(2)由時(shí)=同，不一定能得到a=b,理由如下：

若同=向，由絕對(duì)值的幾何意義可知：a=6或a+6=0；

【拓展】(1),■,|a+5|=|a-(—5)|,

二式子I。+5］的幾何意義為在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與-5所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；

故答案為：在數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與-5所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；

(2)-3|++5|=-3|+-(-5),

故式子卜-3|+|a+5|的幾何意義為在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與-5和3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離之

和；

當(dāng)數(shù)a在-5和3之間時(shí)，|"3|+|a+5|有最小值，最小值為：3-(-5)=8,

故答案為：8.

4.我們知道，同可以理解為它表示：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這是絕

對(duì)值的幾何意義.進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)/,B,分別用數(shù)a,6表示，那么48兩點(diǎn)

之間的距離為/8=|a-b|,反過(guò)來(lái)，式子一4的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)和表示

數(shù)6的點(diǎn)之間的距離.利用此結(jié)論，回答以下問(wèn)題：

⑴數(shù)軸上點(diǎn)/用數(shù)a表示，若問(wèn)=5,那么a的值為.

⑵數(shù)軸上點(diǎn)/用數(shù)。表示，

①若|"3|=5,那么