2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 第24章 圓（單元測試·培優(yōu)卷）含答案

第24章圓（單元測試?培優(yōu)卷）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選項,

其中只有一項符合題目要求）

（22-23九年級上?云南紅河?期末）

1.下列命題中，正確的是（）

A.頂點在圓心的角是圓心角B.半徑是弦C.長度相等的弧是等

弧D.同一個圓內(nèi)的弦都相等

（24-25九年級上,浙江溫州,期中）

2.如圖，在。。中，點C為荔的中點，半徑。C交弦AB于點已知。C=5,AB=8,

則CD的長為（）

A.2B.V5C.V7D.3

（24-25九年級上?浙江杭州?階段練習(xí)）

3.已知N（3,-3）,P（xj）三點可以確定一個圓，則以下P點坐標(biāo)不滿足要求的

是（）

A.（3,5）B.（-3,5）C.（-1,7）D.（1,-3）

（24-25九年級上?重慶江北?階段練習(xí)）

4.如圖，43是。O的直徑，點C,。在圓上，且。。經(jīng)過NC中點E,連接DC并延長，

與的延長線相交于點P,若/C48=14。，則尸C的度數(shù)為

（22-23九年級上?浙江杭州?期中）

5.如圖，48為。。的直徑，點。是工的中點，過點。作?！?/8于點E,延長?！杲?。。

試卷第1頁，共8頁

于點尸.若月C=4百，AE=2,則。。的直徑長為（）

A.873B.8C.10D.872

（2020江蘇蘇州?模擬預(yù)測）

6.如圖，扇形NO8中，//。8=90。,半徑。N=6,C是蕊的中點，CDUOA,交AB于點

D,則CD的長為（）

A.2亞-2B.72C.2D.6五-6

（24-25九年級上?重慶?階段練習(xí)）

7.如圖，A,B,C是。。上的三個點,若NACB=25°,48=55。，則//OC的度數(shù)為

A.115°B.120°C.125°D.130°

（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）

8.如圖，以△NBC的一邊N8為直徑的半圓與其他兩邊/C,3c分別交于點。，E,且E

為BC的中點，若/8=16,3c=8,則8。的長為（）

試卷第2頁，共8頁

c

C.2V14D.2V15

（2024?江蘇徐州?一模）

9.如圖，ZAOB=30°,OM=1Q,AW=20,點尸在上運動，當(dāng)/MW最大時，貝。。尸

的長度是（）

A.15B.20C.573D.106

（2024九年級上?浙江?專題練習(xí)）

10.如圖，在△4BC中，AB=AC=6,NA4c=120。，現(xiàn)以三角形的一條邊為直徑作圓,

圓與另外兩條邊所在的直線交于點。，E（D,￡不與△NBC的頂點重合），則花的長為

A.耶）兀或2兀B.6?；蜇.萬或2兀D.2G乃或4萬

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（24-25九年級上?浙江寧波?階段練習(xí)）

11.如圖，。。是UBC的外接圓，是△NBC的高，且/8=4亞，AC=5,AD=4,E

是。。上一個動點，不與4,C重合，則=.

試卷第3頁，共8頁

A

（24-25九年級上?北京?階段練習(xí)）

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，。/過原點O,交V軸，x軸分別于點BC.若點B

的坐標(biāo)為（0,6）,AB=5,則點C的坐標(biāo)為.

（23-24九年級上?天津?期末）

13.如圖，在Rta/BC中，ZC=90°,△/BC的內(nèi)切圓。。與48、BC、。分別相切于點

D、E、F,若。。的半徑為2,ADDB=24,則48的長=.

（21-22九年級上?江蘇揚州?期中）

14.如圖，5c為。。的直徑，弦NO18C于點直線/切。。于點C,延長8交/于點

F,若NE=3,ZABC=22.5°,則CF的長度為.

（2024?黑龍江綏化?模擬預(yù)測）

試卷第4頁，共8頁

15.如圖，在圓內(nèi)接正六邊形/8CDM中，BF,8。分別交/C于點G,H,若該圓的半

徑為12,則線段G8的長為.

⑵-24九年級上,四川綿陽,階段練習(xí)）

16.如圖，是。。的直徑，點。在。。上，CEJ.AB于■E.BD交CE于點、F,CF=BF,

17.如圖，4D是。。的直徑，A、B、C、。是。。上的點，過點。作為。。切線交

延長線于點P,若PD=1,OB=AB=BC,則。。半徑是.

（24-25九年級上?浙江紹興?階段練習(xí)）

18.如圖，已知是。。的直徑，點C為圓上一點.將前沿弦8c翻折，交AB于D,把

CF

而沿直徑翻折，交8c于點￡,作。尸18C,若點￡恰好是翻折后的麗的中點，則^

-BF

的值為.

試卷第5頁，共8頁

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）

19.如圖，是。。的弦，C是48上的一點，且OCJLO4OC=BC.若。。的半徑為6,

求弦N8的長.

（24-25九年級上?北京海淀?期中）

20.如圖，在RC4BC中，ZACB=90°,。為邊NC上的點，以4D為直徑作。。，連接BD

并延長交。。于點E,連接CE,CE=BC.

（2）連接4E,若CD=1,BC=2,求4E的長.

（24-25九年級上?江蘇宿遷?期中）

21.如圖，在△4BC中，AB=AC,以為直徑的。。分別交8C、NC于點。、G,過點

D作EF_L4c于點E,交48的延長線于點冗

（2）當(dāng)DB=2尸=3時，求陰影部分的面積.

試卷第6頁，共8頁

(22-23九年級上?浙江湖州?期中)

22.如圖，已知AD是。。的直徑，B,C是AD兩側(cè)圓上的動點，且4B=/C,過點C作

CF//BD,交直徑40于點尸，連結(jié)CD,BF.

(1)求證：BE=CE；

(2)試判斷四邊形8尸的形狀，并說明理由；

⑶若ND=10,OF=\,求3c的長.

(2024九年級上?全國?專題練習(xí))

23.如圖，N8為。。的一條弦，PB切。O于點、B,PA=PB,直線尸。交48于點E,交。。

于點C

(1)求證：尸月是。。的切線；

(2)若CD〃尸4C。交直線48于點D,交。。于另一點足

①求證：AD=CD

②若幺B=8,BD=2,求。。的半徑.

(24-25九年級上?湖南長沙?期中)

24.已知。。為A/C￡＞的外接圓，AD=CD.

試卷第7頁，共8頁

B

⑴如圖1,延長/。至點5,使AD=4D,連接C8.

①求證：△NBC為直角三角形;

②若。。的半徑為4,AD=2娓,求8C的值;

(2)如圖2,若N/Z)C=90。，E為。。上的一點，且點。，￡位于NC兩側(cè)，作△/￡>￡關(guān)于

對稱的圖形延長。/交。。于點尸，連接0C和尸C；試猜想。/,QC,三者

之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明.

試卷第8頁，共8頁

1.A

【分析】本題考查了命題與定理、圓的相關(guān)知識點，根據(jù)圓的相關(guān)概念逐項判斷即可得出答

案，熟練掌握圓的相關(guān)概念是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、頂點在圓心的角是圓心角，原說法正確，故該選項符合題意；

B、半徑不是弦，原說法錯誤，故該選項不符合題意；

C、同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，原說法錯誤，故該選項不符合題意；

D、同一個圓內(nèi)的弦不一定相等，原說法錯誤，故該選項不符合題意；

故選：A.

2.A

【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，連接04,0B,先根據(jù)圓

心角定理的推論可得//0C=N80C,再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得0C，4?,由垂徑

定理得/。=8。=(么8=4,然后在RtA/。。中，利用勾股定理求得即可求解，掌握

知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接CM,OB,

??,點。為弱的中點，

???就:前，

ZAOC=ZB0C,

???OA=OB,

0CVAB,

...AD=BD=-AB=4,/4。。=90。，

2

在RM40D中，由勾股定理得8=,0/2=,52—42=3,

.'.CD=OC-OD=5-3=2,

故選：A.

3.C

【分析】考查了確定圓的條件及一次函數(shù)圖象與點的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解“不在同一直

線上的三點確定一個圓”，難度不大.利用待定系數(shù)法求出直線"N的解析式，再把每點代

入函數(shù)解析式，根據(jù)不在同一直線上的三點能確定一個圓，由于(-1,7)在直線“N上，可知

答案.

答案第1頁，共24頁

【詳解】解：設(shè)直線的解析式為了=履+6,

k+b=2

3k+b=-3

5

-

-2-

解9

-2-

59

V-X+

---22-

A、當(dāng)x=3,>=-gx3+g=-3。5,故(3,5)不在直線MN上，根據(jù)不在同一直線三點確定

一個圓得(3,5)與M0,2),N(3,-3)可以確定一個圓，故本選項不符合題意；

59

B、當(dāng)x=-3,7=--X(-3)+-=12^5,同理，故本選項不符合題意；

5a

C、當(dāng)x=-l,y=--x(-l)+-=7,故(-1,7)在直線AW上，故不能確定一個圓，故本選

項符合題意；

59

D、x=l,y=--xl+—=2^-3,同理，故本選項不符合題意.

22

故選：C.

4.B

【分析】由題意易得OC/C,即//皮9=90。，則有4400=76。，進(jìn)而可得

ZACD=；/4OD=38。,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)是可進(jìn)行求解.

本題主要考查垂徑定理的推論及圓周角定理，熟練掌握垂徑定理的推論及圓周角定理是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：「0D經(jīng)過/C中點E,

.-.OD1AC,

ZAE0=90°,

???NCAB=14。，

ZAOD=76°,

.-.ZACD=-ZAOD=38°,

2

:./BPC=/ACD-/CAB=38°-14°=24°,

故選：B.

答案第2頁，共24頁

5.B

【分析】連接。尸，首先證明4C=Z）b=46，設(shè)O4=OF=x,在R?F中,利用勾股定理構(gòu)建

方程即可解決問題

【詳解】解：如圖，連接。尸.

,點D是弧AC的中點,

-■-AD=CD，

??AC=DF，

AC=DF=46，

EF=-DF=2y/3f

2

設(shè)OA=OF=x,

在RMOEF中,則有無2=Q6『+（無一2））

解得x=4,

AB=2x=8,

故選：B.

【點睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，弧，弦之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用

參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型.

6.D

【分析】連接0C,延長CD交0B于點E,如圖，易得AAOB、△COE、ABDE都是等腰

直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE與DE的長，從而可得答案.

【詳解】解：連接OC,延長CD交OB于點E,如圖，

■.■ZAOB=90°,C是益的中點，

.-.ZCOE=45°,

■■■CD//OA,ZAOB=90°,

答案第3頁，共24頁

.-.CE1OB,

.-.ZOCE=ZCOE=45°,

...CE=OE=—OC=—x6=3V2,

22

???BE=OB—OE=6—3A/2，

vOA=OB,NAOB=90。,

.-.ZABO=45°,

/.ZBDE=ZABO=45°,

.、EB=ED=6-，

??.CD=CE—DE=3V2-（6-3收）=672-6.

故選：D.

【點睛】本題考查了圓心角和弧的關(guān)系、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，屬于?？碱}

型，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

7.B

【分析】本題考查圓周角定理及圓的基本性質(zhì)，由44c3=25。得44。5=2乙4。3=50。，再

根據(jù)等邊對等角得AOCB=/B=55。,由三角形內(nèi)角和定理得

ZBOC=180°-ZOCB-ZB=70°,可得結(jié)論.解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等

圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

【詳解】解：???在OO中，和/4O5所對的弧是冠，/ACB=25。,

??.NAOB=2ZACB=2x25°=50°,

,：OB=OC,/B=55。,

；"OCB=/B=55。,

???/BOC=180?！猌OCB—=180。—55?！?5。=70。，

答案第4頁，共24頁

ZAOC=ZAOB+ZBOC=50°+70°=120°,

???//OC的度數(shù)為120。.

故選：Bo

8.D

【分析】本題主要考查圓周角的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握圓周角

的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵；連接由題意易得則有43=/C=16,設(shè)

CD=x,則/。=16-x,然后根據(jù)勾股定理可建立方程進(jìn)行求解.

【詳解】解：連接NE,如圖所示：

ZADB=ZAEB=90°,BPAE1BC,

???￡為5c的中點，

：.AB=AC=\6,

設(shè)CZ)=x,則/D=16-x,根據(jù)勾股定理可得：

BC1-CD2=AB2-AD-,即64-/=256-(16-，

解得：x=2,

???BD=y]BC2-CD2=2V15;

故選D.

9.D

【分析】本題考查了三點共圓，切線的判定，含30。的直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵

是正確的作圖，理解當(dāng)P運動到圓上時，/MPN最大;過"N的中點0作。于P,

由含30。的直角三角形的性質(zhì)，可推出P,",N三點共圓，可證08與圓0相切于P,進(jìn)而推

出此時最大，再由勾股定理求解即可；

【詳解】過的中點0作。于P,則NOPQ=90。，

答案第5頁，共24頁

%

Q

[///Q是MN的中點，MN=2Q,

oxiz>.

：.MQ=QN=^MN=10,

OQ=OM+MQ=20,

■.■ZAOB=30",NOP。=90°,

:.QP=^OQ=W,

：.MQ=QN=QP,

三點在以0為圓心的圓上，

QP1OB,

與圓0相切與P,

,此時最大，

在RtZ\O尸。中，OP=y)OQ2-QP2=1073,

故選：D.

10.A

【分析】本題考查了圓周角定理，弧長公式，等腰三角形的性質(zhì)等，分兩種情況討論，作出

圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用圓周角定理求得NOOE的度數(shù)，然后求得圓。的半徑,

利用弧長公式求得即可.

【詳解】解：如圖1,以5c為直徑作。O,交BC于D,交CA、出的延長線于點。、E,

連接OD、OE,

圖1

■：AB=AC=6,ZBAC=U0°,

ZB=ZC=30°,OB=OC,

答案第6頁，共24頁

:"BOD=/COE=60°,

ZDOE=60°,

-AB=AC=6f。是5C的中點,

???AO1BC,

在RM/OB中，Z5=30°,

：.OA=-AB=3,

2

???OB=yjAB2-OA2=35

60?x3乃

：l_G

'DE―180一"'n

如圖2,以為直徑作OO,交于。，交C/的延長線于E,連接。。、OE,

圖2

VAB=AC=6,ZBAC=nO°,

.??/5=30。，ZAOE=60°,OA=3f

.-.ZAOD=60°f

??./DOE=120°,

7120^x3_

=----------=2%.

DE180

綜上，族的長為6加或2"，

故選：A.

11.45°##45度

【分析】本題考查了勾股定理、圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，連接CE,由

勾股定理得出BD7AB、AD2=4,證明△/2D是等腰直角三角形，得出乙480=45。，

再由圓周角定理即可得解.

【詳解】解：如圖：連接CE,

答案第7頁，共24頁

A

???40是△4BC的高，

ZADB=ZADC=90°,

AB=472,NC=5,AD=4,

■■BD=^AB1-AD1=4-

BD=AD,

.?.△NB。是等腰直角三角形，

ZABD=45°,

?:NABC和//EC所對的弧都為弧NC,

ZAEC=ZABC=45°,

：.ZEAC^45°

故答案為：45°.

12.（8,0）

【分析】本題考查了垂徑定理與勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)于圖形，全等三角形的

判定和性質(zhì)的綜合，根據(jù)題意，如圖所示，連接NC,過點A作軸于點E,作

軸于點尸，可得四邊形。以尸是矩形，BE=OE=g（JB=3,貝/=O￡=8E=3,由勾股

定理可得/E的值，再證放"屬空放AC4尸（也），可得AE=CF,由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接/C,過點A作軸于點E,作//，x軸于點尸，

四邊形OE4尸是矩形，則NE=OROE=AF,

答案第8頁，共24頁

??回0,6）,

/.OB=6,

???AEVOB,

BE=OE=—OB=；x6=3,則AF=OE=BE=3,

在Rt^ABE中，AE=y]AB2-BE2=后"=4，

■.-AB,/C是圓的半徑，

：.AB=AC,

在Rt"BE,RMCAF中,

[AB^CA

[BE=AF'

...RsABE咨RMAF（HL）,

AE=CF=4,

；.OC=OF+C尸=4+4=8,

??.C（8,0）,

故答案為：（8,0）

13.10

【分析】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題.連接。￡、OF.則由題意可知四邊形ECF。是正方形，邊

長為2.設(shè)/。=力尸=a,BD=BE=b,則/C=a+2,8c=6+2,AB=a+b,由

AC2+BC2=AB2,由此即可解決問題；

【詳解】解：如圖連接。￡、OF.則由題意可知四邊形ECR9是正方形，邊長為2.

???△4BC的內(nèi)切圓。。與BC、C4分別相切于點。、E、F,

.t.可以彳設(shè)設(shè)AD=AF=a,BD=BE—b,

則4C=a+2,BC=b+2,AB=a+b,

答案第9頁，共24頁

?■■AC2+BC2=AB2,

.?.(a+2)2+(6+2)2=(a+6f,

???4。+4b+8=2ab,

.?.4(a+6)=48-8,

■■-a+b=10,

.?./3=10.

故答案為：10.

14.372

【分析】本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理

的應(yīng)用，求得C尸=OC=。。是解題的關(guān)鍵，根據(jù)垂徑定理求得就=①，AE=DE=3,

即可得到ZCOD=2/ABC=45°.則OED是等腰直角三角形，得出=732+32=372根據(jù)

切線的性質(zhì)得到得到△OCF是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求得

CF=OC=OD=372

【詳解】解：8c為。。的直徑，弦NO/8C于點

AC-CD<4E=DE=3

???ZABC=22.5°,

???ZCOD=2NABC=45°

AOEO是等腰直角三角形

:.OE=ED=3

OZ)=V32+32=3A/2

???直線/切。。于點C,

BC1CF

二.△OCF是等腰直角三角形

:.CF=OC

OC=OD=3V2

:.CF=3V2

故答案為：3A/2

15.473

答案第10頁，共24頁

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接正六邊形.熟練掌握圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的

判斷和性質(zhì)，含30。的直角三角形性質(zhì)，是解題關(guān)鍵.含30。的直角三角形性質(zhì)：三邊是

1:6:2的關(guān)系.

連接04、OB,根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到a/OB是等邊三角形，得到/8=12,推出

ZABF=ABAC=30°,/DBF=60°,得到N/B〃=90°,得至（J8H=4百，推出

ZBHG=60°,ZBGH=60°,得到△2GH是等邊三角形，即得G〃=4君.

【詳解】連接04、OB,

?.?六邊形N5CD斯是圓內(nèi)接正六邊形，圓的半徑為12,

ZAOB=60°,OA=OB=\2,

是等邊三角形，

AB-OA=12,

-BC=CD=DE=EF=FA,

NABF=NBAC=30。,ZDBF=60°,

???/ABH=/ABF+/DBF=90°,

:.BH="AB=46,

3

ZBHG=90°-ABAC=60°,ZBGH=ZABF+ABAC=60°,

.?.△BG”是等邊三角形，

???GH=BH=46.

故答案為：4A/3.

16.275

【分析】由直徑所對的圓周角是直角得到乙4cB=90。，則4CF+//CE=90。，再證明

ZACE+ABAC=90。得到ABAC=ZBCF,根據(jù)等邊對等角得到NCBF=ZBCF,貝!J

答案第11頁，共24頁

NCBF=NBAC,可得8C=C￡>=4,再由勾股定理求出的長即可得到答案.

【詳解】解：:/B是。。的直徑，

：.ZACB=9Q°,

ZBCF+ZACE=90°,

■：CE1AB,

NAEC=90°,

ZACE+ABAC=90°,

：.ABAC=NBCF,

?:CF=BF,

NCBF=ZBCF,

ZCBF=ABAC,

：.BC=CD=4,

在RtzX/BC中，由勾股定理得，酢/^+小=46,

的半徑為26，

故答案為；2后.

【點睛】本題主要考查了圓周角與弦之間的關(guān)系，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，等

邊對等角，證明=得到BC=CD=4是解題的關(guān)鍵.

17.1

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，連接OC,設(shè)。。的半徑為人證明△CM8和△08C都是等

邊三角形，得N4OB=NBOC=60°,繼而得到NPOC=60。，根據(jù)切線的性質(zhì)得

ZPCO=90°,ZCPO=90°-ZPOC=30°,根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一半得

OC=\PO,即可得解.解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑.

2

【詳解】解：連接OC,設(shè)。。的半徑為「，

答案第12頁，共24頁

p

OD=OC=OB=OA=r,

vOB=AB=BC,PD=\,

AB=BC=OB=OA=OC=r,

??.AOAB和NDBC都是等邊三角形，

ZAOB=ZBOC=60°,

ZPOC=180°-ZAOB-ZBOC=180?！?0°-60°=60°,

???PC是oo的切線，

ZPCO=90°,

???4CP0=90°-ZPOC=90°—60。=30。，

.-.OC=-PO,

2

?1-r=1(r+1)-

F=1,

G>O半徑是是1.

故答案為：1.

18.V2-l##l-V2

【分析】根據(jù)弧與圓周角的關(guān)系可得72=①=族，再由點￡恰好是翻折后的麗的中點,

得到公=①=洗=靛，則乙48c=22.5。，如圖所示，連接CD,在即上截取=

連接則/8C￡>=45。，ZHDB=ZHBD=22.5°,證明△DCF,都是等腰直角

三角形，得至“CF=DF=H尸，設(shè)CF=DF=HF=x,則BH=DH￡DF?HF?=旦，

CF_x后、

貝|]8尸=8〃+切=(a+l)x,據(jù)此可得函=西）；3T

答案第13頁，共24頁

【詳解】解：???就、CD，族所在的圓是等圓，AC，CD，族所對的圓周角都是

NABC,

■■AC=cb=DE>

,點E恰好是翻折后的礪的中點，

■■DE=BE'

■■AC^CD=DE^BE>

^■■AC+CD+DE+BE=AB>

.-.AC^-AB,

4

ZABC=90°x-^22.5°,

4

如圖所示，連接CD,在B尸上截取8〃=?！ǎB接。H,

:.NHDB=AHBD=22.5°,

???防的度數(shù)為90。，

ZBCD=45°

ZFHD=ZHDB+ZHBD=45°,

■.■DF1BC,

:MCF,△ZV/F都是等腰直角三角形，

CF=DF=HF,

設(shè)CF=DF=HF=x,則BH=DH=[DF。+HF：亞x，

.-.BF=BH+FH=(y/2+l^x,

-BF(夜+1卜'

故答案為：V2-1.

【點睛】本題主要考查了弧與圓周角之間的關(guān)系，折疊的性質(zhì)，等邊對等角，等腰直角三角

答案第14頁，共24頁

形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，證明乙48c=22.5。是解題的關(guān)鍵.

19.AB=6y/3

【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵，連接03,根據(jù)題意結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得到//=30。，AC^2OC,再利用勾股定

理可得OC的長，進(jìn)而得到/C、8c的長，從而得到答案.

【詳解】解：連接

???OB=OA,

ZCBO=N4,

OC1OA,

ZCOA=90°,

ZCBO+ZCOB+ZA+ZCOA=180°,

:.ZA=30°,

:.AC^2OC,

X-.-AC2-OC2=AO2,即30c2=36,

OC=273,AC=4>/3,BC=OC=2y[3,

AB=AC+BC=66

20.(1)詳見解析

(2)/E=g火，詳見解析

【分析】(1)連接OE,貝l]/OED=NODE=4BDC,由CE=3C,得NCEB=NCBE,而

ZACB=90°,貝!|/0m?=/0&>+/。￡5=/8。。+473￡=90。，即可證明CE是O。的切線；

(2)由勾股定理得。爐+。爐=oc2,而CE=8C=2,OC=OD+CD=OD+l,所以

35

OD2+22=(OD+1)7-,求得OD=OE=%,則g=弓，如圖，過點E作所交/。于點

F,利用三角形的面積公式求得￡尸的長，然后利用勾股定理即可求得的長.

答案第15頁，共24頁

【詳解】(1)連接則08=0,

???ZOED=/ODE,

?：/ODE=/BDC,

???ZOED=ABDC,

???CE=BC,

???/CEB=/CBE,

???NACB=90°,

???ZOEC=ZOED+NCEB=ZBDC+ZCBE=90°,

??,。￡是0。的半徑，且C￡，O￡,

???CE是O。的切線.

(2)vZ(9EC=90o,

-OE2+CE2=OC2,

vCD=1,BC=2,OE=OD,

：.CE=BC=2,OC=OD+CD=OD+\,

.?.O02+2?=(8+I)2.

3

解得。。=。七=5,

35

OC=-+1=-

22

如圖，過點E作郎140交/。于點R

???在RtZ\O￡C中，-OExEC=-OCxEF,

22

3r5B

???一x2=—xEF,

22

答案第16頁，共24頁

EF=-

5

在RQOEF中，OE2=OF2+EF2,

■.OF=0.9（負(fù)值舍去），

：.AF^OA+OF^2.4,

在RtdEF中，AE2=AF2+EF2,

..?/E?=(2.4『+][],

：.AE=^(負(fù)值舍去)，

???/E的長是：石.

【點晴】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余、切線的判定定理、

勾股定理，三角形的面積等知識點，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

21.(1)證明見解析

9733兀

⑷Z------z-

22

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，切線的判定，等邊三角形的判定

與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解扇形的面積，熟練的證明圓的切線是解本題的關(guān)鍵.

(1)連接OD,由=可得=再由可得=，等量

代換可得NO〃8=NC,根據(jù)同位角相等兩條直線平行可得8〃/C,又因為跖，/C,

根據(jù)垂直于兩條平行線中的一條，與另一條也垂直，得到即可證明結(jié)論；

(2)先證明/0。2=/。5。=/80。=60。，可得08=00=3,ZF=ZBDF=30°,利用

含30。的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理可得。尸=6,DF=34,結(jié)合$陰影=邑。.-5扇形。助

從而可得答案.

【詳解】（1）證明：-：AB=AC,

ZC=NOBD,

OD=OB,

ZODB=ZOBD,

ZODB=ZC,

答案第17頁，共24頁

OD//AC,

■：EFLAC,

EFVOD,

即是。。的切線.

(2)解:?:BD=BF=3,

■.ZBDF=NBFD,

0D1EF,則NO。尸=90°,

ZODB+ZBDF=90°=ZDOB+NF,

ZODB=ZBOD,

5LZODB=ZOBD,

ZODB=ZOBD=NBOD=60°,

OB=OD=3,ZF=ZBDF=30°,

???OF=6,DF=y/OF2-OD2=373-

S陰影=S.ODF-5扇形。助

9百3K

22

22.（1）證明見解析

（2）四邊形8尸CD是菱形，詳見解析

⑶2后或8

【分析】本題是圓的綜合題，考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，垂徑定理推論，勾股定理，菱

形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

（1）由弧、弦、圓心角的關(guān)系和垂徑定理推論可得出答案;

（2）證明△PCE絲△D8E,得出3=8。，證出四邊形3尸C￡＞是平行四邊形，由（1）得

AD1BC,則可得出結(jié)論;

（3）分兩種情況畫出圖形，由勾股定理可求出答案.

【詳解】（1）證明：AB=AC,

...AB=4C，

,.,40是直徑,

答案第18頁，共24頁

AD±BC,

BE=CE；

(2)解：四邊形BFCD是菱形，理由如下:

???CF//BD,

NFCE=ZDBE,

又；/FEC=NDEB,BE=CE,

:必FCE%DBE(ASA),

CF=BD,

??.四邊形師CD是平行四邊形，

由(1)得4DJ.BC,

.?.四邊形昉CD是菱形；

(3)解:0D=5,

①如圖1,當(dāng)點尸在點。左側(cè)時，

「一’

圖1

:.DE==DF=3,

2

:.0E=0D-DE=2,

在RUOBE中，BE=4OB--OE1=V21，

BC=2BE=2V21.

②如圖2,當(dāng)點尸在點。右側(cè)時，

答案第19頁，共24頁

B

OF\\E

:.DF=OD-OF=4,

圖2

:.DE=LDF=2,

2

:.OE=OD-DE=3,

在RMOBE中，BE=NOB「OE。=4,

BC=2BE=8.

23.(1)見解析

(2)①見解析；@5

【分析】(1)連接。4,OB.證明AP4。gAPBO(SSS),推出/尸/。=/P3O=90。即可解決

問題.

(2)①連接NC,想辦法證明ND4C=NDC4即可解決問題.

②利用勾股定理求出EC,設(shè)OB=OC=r,在RMOBE中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解

決問題.

【詳解】(1)證明：連接CM,OB.

?:PB是OO的切線,

PB工OB,

NPBO=90°,

PA=PB,PO=PO,OA=OB,

:.^PAO^PBO(SSS),

:.ZPAO=ZPBO=90°,

PA±OA,

答案第20頁，共24頁

廠.尸/是O。的切線；

(2)①證明：連接4C.

:.OPlABf

ZAEC=90°,

???/尸4。=90。，

ZEAO+ZAOE=90°,ZAOE+ZAPO=90°,

ZEAO=ZAPO,

???APHCD,