四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)10月月考數(shù)學(xué)檢測試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知與是互斥事件，且，，則等于（

）A． B． C．0.3 D.2．已知直線過點，，且直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．3．已知直線，，則與的距離為(

)A．1 B．2 C． D．4．設(shè)，向量，，，且，，則（

）A．?2 B． C． D．5．設(shè)直線l的方程為（），則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行博弈游戲每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局雙方約定，各出賭金180枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金；但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局.問這360枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲270枚，乙90枚C．甲240枚，乙120枚D．甲288枚，乙72枚7．閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為．根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知正方體的棱長為3，點在棱上，且，是側(cè)面內(nèi)一動點，且，則點的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分;若只有3個正確選項，每選對一個得2分.9．一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設(shè)事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（

）A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對立事件C．事件與事件是相互獨(dú)立事件 D．事件與事件是互斥事件10．下列說法正確的是（

）A．若直線的一個方向向量為，則該直線的斜率為B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．當(dāng)點到直線的距離最大時，的值為D．已知直線過定點且與以為端點的線段有交點，則直線的斜率的取值范圍是11．在棱長為1的正方體中，動點滿足，其中，，則（

）A．B．平面平面C．當(dāng)時，點的軌跡長度為1D．存在點，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.12.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲?乙?丙三個不同的位置投中的概率分別為，該同學(xué)站在三個不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值是.13.在三棱錐中，，，，則.14．關(guān)于直線?，有下列說法:①對任意?，直線?不過定點；②平面內(nèi)任給一點，總存在?，使得直線?經(jīng)過該點；③對任意?，且有?，則直線?與?的交點軌跡為一直線；④當(dāng)?時，點?到直線?的距離最小值為?.其中正確的是.四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知頂點、、．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)若直線過點，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．16．—只不透明的袋子中裝有2個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同.(1)攪勻后從中任意摸出2個球，求這2個都球是白球的概率；(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率.17．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：平面平面.(2)若為的中點，求平面與平面的夾角的余弦值18．如圖，在四棱錐中，，，，，底面為正方形，，，分別為，，的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求三棱錐的體積．19．已知點和非零實數(shù)，若兩條不同的直線、均過點，且斜率之積為，則稱直線、是一組“共軛線對”，如直線和是一組“共軛線對”，其中是坐標(biāo)原點.（1）已知、是一組“共軛線對”，且知直線，求直線的方程；（2）如圖，已知點、點和點分別是三條傾斜角為銳角的直線、、上的點（、、與、、均不重合），且直線、是“共軛線對”，直線、是“共軛線對”，直線、是“共軛線對”，求點的坐標(biāo)；（3）已知點，直線、是“共軛線對”，當(dāng)?shù)男甭首兓瘯r，求原點到直線、的距離之積的取值范圍.四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)10月月考數(shù)學(xué)檢測試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知與是互斥事件，且，，則等于（

）A． B． C．0.3 D．【正確答案】A【詳解】由可得，由于與是互斥事件，故,2．已知直線過點，，且直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】設(shè)直線的斜率為，所以，則4.3．已知直線，，則與的距離為(

)A．1 B．2 C． D．【正確答案】D【詳解】由題意得，與的距離.4．設(shè)，向量，，，且，，則（

）A．?2 B． C． D．【正確答案】B【詳解】由，得，解得，即，由，得，解得，則，所以.故選：B5．設(shè)直線l的方程為（），則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【詳解】設(shè)直線的斜率為，則，故，而，故，6.概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行博弈游戲每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局雙方約定，各出賭金180枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金；但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局.問這360枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲270枚，乙90枚C．甲240枚，乙120枚D．甲288枚，乙72枚【正確答案】B假設(shè)兩人繼續(xù)進(jìn)行比賽，甲獲取360枚金幣有：第四局甲贏，或第四局甲輸，第五局甲贏，故概率為，乙獲取360枚金幣有：第四、五局乙都贏，故概率為，則甲應(yīng)該獲得枚金幣，乙應(yīng)該獲得枚金幣，7．閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為．根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】因為平面的方程為，所以平面的一個法向量為，同理可得平面與的一個法向量為和，設(shè)直線的一個方向向量為，則，不妨取，則，直線與平面所成的角為，則，8．如圖，已知正方體的棱長為3，點在棱上，且，是側(cè)面內(nèi)一動點，且，則點的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】作交于點，得，進(jìn)而得點P的軌跡是以G為圓心，半徑的圓弧，求出弧長即可.【詳解】作交于點，則由正方體性質(zhì)可知，，因為，所以，所以點P的軌跡是以G為圓心，半徑的圓弧，如圖，所以，所以，所以，點的軌跡的長度為弧長.故選：C.思路點睛：作交于點，由定值，和求出是一個定值，進(jìn)而得點P的軌跡是以G為圓心，半徑的圓弧，再利用已知條件求出，再結(jié)合弧長公式即可求解.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分;若只有3個正確選項，每選對一個得2分.9．一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設(shè)事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（

）A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對立事件C．事件與事件是相互獨(dú)立事件 D．事件與事件是互斥事件【正確答案】ACD【詳解】列舉各事件如下：，，，A：由互斥事件同時發(fā)生的概率為0，即，故A正確；B：由對立事件的概率和為1，，，，故B錯誤；C：因為，故C正確；D：事件，事件，為互斥事件，不可能同時發(fā)生，故D正確；故選：ACD.10．下列說法正確的是（

）A．若直線的一個方向向量為，則該直線的斜率為B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．當(dāng)點到直線的距離最大時，的值為D．已知直線過定點且與以為端點的線段有交點，則直線的斜率的取值范圍是【正確答案】ACD【詳解】A.由2,3是直線的一個方向向量得也是直線的方向向量，因為是直線的方向向量，所以，選項A正確；B.由兩直線互相垂直得，，解得或，可知“”兩直線垂直的充分不必要條件，選項B錯誤；C.將直線方程變形為，由得，直線過定點，斜率為.當(dāng)直線與垂直時，點到直線的距離最大.因為，所以，選項C正確；D.如圖，，由圖可知，當(dāng)或時，直線與線段有交點.故選項D正確.故選：ACD.11．在棱長為1的正方體中，動點滿足，其中，，則（

）A．B．平面平面C．當(dāng)時，點的軌跡長度為1D．存在點，使得【正確答案】AB【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.A：，，，因為所以有，所以,正確；B:設(shè)平面的法向量為，，取，可得，所以，所以平面平面平面的法向量為，，因為所以有，C：因為，其中，，又，所以三點共線，此時點的軌跡為,長度為，錯誤；D：因為，所以點在平面上，設(shè)到平面的距離為,由可得：，解得，因為到平面的距離為到平面上點距離的最小值，又，故D錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.12.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲?乙?丙三個不同的位置投中的概率分別為，該同學(xué)站在三個不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值是.【正確答案】【詳解】由題意，，解得.故13.在三棱錐中，，，，則.【正確答案】/【詳解】如圖，因，，，則故答案為.14．關(guān)于直線?，有下列說法:①對任意?，直線?不過定點；②平面內(nèi)任給一點，總存在?，使得直線?經(jīng)過該點；③對任意?，且有?，則直線?與?的交點軌跡為一直線；④當(dāng)?時，點?到直線?的距離最小值為?.其中正確的是.【正確答案】①④【詳解】①對任意，隨著的變化，也隨之變化，故直線不過定點，①正確；平面內(nèi)取點，則，即，無解，故②錯誤；聯(lián)立直線與，得到，故交點坐標(biāo)為，又因為，所以交點坐標(biāo)滿足方程，但當(dāng)時，，不合題意，所以交點取不到，所以交點軌跡為一直線的一部分，③錯誤.點到直線的距離，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，④正確；故①④.四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知頂點、、．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)若直線過點，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由、，可知中點為，且，所以其垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；（2）當(dāng)直線過坐標(biāo)原點時，，此時直線，符合題意；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點時，由題意設(shè)直線方程為，由過點，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或.16．—只不透明的袋子中裝有2個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同.(1)攪勻后從中任意摸出2個球，求這2個都球是白球的概率；(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率.【正確答案】(1)；【詳解】（1）將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，則任意摸出2個球的樣本空間有：紅1紅2，紅1紅3，紅1白1，紅1白2，紅2紅3，紅2白1，紅2白2，紅3白1，紅3白2，白1白2共10個樣本點，其中2球均為白球事件的樣本點只有1個，因此2個球都是白球概率為；（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，列表如圖所示：第2次摸球第1次摸球紅1紅2紅3白1白2紅1（紅1，紅1）（紅1，紅2）（紅1，紅3）（紅1，白1）（紅1，白2）紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，紅3）（紅2，白1）（紅2，白2）紅3（紅3，紅1）（紅3，紅2）（紅3，紅3）（紅3，白1）（紅3，白2）白1（白1，紅1）（白1，紅2）（白1，紅3）（白1,白1）（白1,白2）白2（白2，紅1）（白2，紅2）（白2，紅3）（白2,白1）（白2,白2）所以攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球事件的樣本空間共有25個樣本點，它們出現(xiàn)的可能性相同，其中滿足事件“2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球”的樣本點有12個，所以.17．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：平面平面.(2)若為的中點，求平面與平面的夾角的余弦值【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點，連接，.

因為，，所以為等邊三角形.因為為的中點，所以，.因為是邊長為2的等邊三角形，所以，則，所以.又，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）因為，，兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，