2024年北京大學強基計劃數(shù)學試卷（含答案詳解）

北京大學2024年強基計劃筆試數(shù)學試題

20241ni

1?求￡石模7的余數(shù)?

2.求sin36—sin3114+sin3126.

3.求1,2,3,4,5,6,7,8的排列的個數(shù)，使得排列中沒有出現(xiàn)連續(xù)的12,23,34,45,56,67,78.

4.已知數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…，求第2024項模5的余數(shù).

5.求四元組(弓，生,a3,4)的個數(shù)，使得@?{123},且10<?？跊?。4<2。.

6.求(0,2可上方程28'x=sinx的解的個數(shù).

7.求R上方程x(eg-l)+(e*T(x4-l)=。的解的個數(shù).

8.求R上方程X2-13[X]+11=0的解的個數(shù).

9.在體積為1的正方體內(nèi)取一個點，過這個點作三個平行于正方體面的平面，將正方體分

為8個長方體，求這些小長方體中體積不大于”的長方體個數(shù)的最小值.

10.在離心率為長的橢圓中，￡，月是兩個焦點，尸是橢圓上一點，且

2

一月時=?療用一上閶=3,求

11.用5(“)表示正整數(shù)n的數(shù)碼和，求滿足S(?+l)與S(n)均為5的倍數(shù)的〃的

最小值.

12.稱正整數(shù)〃為好數(shù)，當它各位數(shù)字均不相同，且對于所有正整數(shù)機滿足—>0,都有

YI

—n,求最大好數(shù)的范圍()

A.(0,1000)B.(1000,2000)C.(2000,3000)D.以上均不對

13.在ABC中，求cosAcosBcosC的最小值或下確界.

14.在ABC中，若邊上的高為1%求伍+c)的范圍.

3be

15.在ABC中，若a=2,b=&c=2叵。在5C上，比較AD2與2DCxDB的

大小.

16.在[ABC中，若。為形外一點，滿足NBOC=244C,線段0C與線段48交于。，且

OB—OC-3,OD—2,BDAD.

17.在ABC中，若。在8c上，AD平分NBAC,ADC的內(nèi)心與ABC的外

心重合，求NC.

18.在&ABC中，若。在5c上，AD平分==求二ABC的周長.

19.在qABC中，求2sinA+sinB+sinC的最大值的取等條件.

20.xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，并用{x}=x-[x]表示小數(shù)部分，已知：%=6,

12024

4+1=[%]+西,求石歿.

試卷第2頁，共2頁

1.1

【分析】只要注意到19與20的相鄰關系，容易將高斯取整寫成普通的計算式，剩下就只需

要對幕次進行常規(guī)的同余計算.

【詳解】因為19=(-i)(mod20),所以

2￡024三191三一1012+能

?i=l2。0八i=l20

19192024-1

=----------------44

2018

19仰(1嚴-I*9Tx(mod7),

2018

上述中用到196三l(mod7),192-1=20.18,所以20?18-7|192°22一1.

23-31

?16

31

【分析】由sin36=sin(e+26),化簡得到sir?e='sin6—±sin36,cos36=cos?+2。)，化

44

簡得到cos36=4cos'3cos6,從而將原式化簡為

31

sin36-sin3114+sin3126=-(sin6-sinll4+sinl26)一一(sinl8-sin342+sin378)=3sinl8

44

,利用sin360=cos540,求出sinl8，即可求解.

【詳解】因為

sin30=sin(6+26)=sin0cos20+cos0sin20=sin^(1-2sin20)+2sin0(1-sin20)=3sin0-4sin30

R31

從而得至U：sin3^=—sin——sin30,

44

31

則sin'6-sin3114+sin3126=—(sin6-sinll4+sinl26)——(sin18-sin342+sin378)

44

由于sin6-sinll4+sin126=sin6-sin(120-6)+sin(120+6)=sin6-sin6=0,

sin18-sin342+sin378=sinl8-sin(360-18)+sin(360+18)=3sinl8,

3

所以sin，6-sin3114+sin3126=——sin18,

4

因為

cos30=cos(6+20)=cos0cos20-sin0sin20=cos0(2cos20-1)-2cos0(1-cos26)=4cos39-3cos0

答案第1頁，共12頁

因為sin36=cos54°

所以2sinl8°cos18°=4cos318°-3cosl8°,

BP4sin218°+2sinl8°-l=0,

解得：sin180=――-或sin18°=—~-（舍去）

44

所以sin、-sin3l14+sin3126=--x^---=--

4416

3.16687

【分析】先考慮包含連續(xù)的12,23,34,45,56,67,78排列對應的七個集合，計算它們通過取交

得到的集合的元素個數(shù)，然后利用容斥原理得到不滿足條件的排列數(shù)，再用總排列數(shù)與該數(shù)

相減即得答案.

【詳解】對有限集合T,記其元素個數(shù)為圖.

在1,2,3,4,5,6,7,8的所有排列中，設H為所有包含連續(xù)的i（i+l）的排列構(gòu)成的集合，這里

i=l,2,...,7.

則對1當q〈…氣<7。（左<7）而言，集合&A-I4中的所有排列，都相當于在將

需要相鄰的數(shù)進行捆綁以后，8-左個整體元素的全排列，從而M，c&c...c4j=（8j）!.

故由容斥原理即得

7

?…5smi產(chǎn)zRC&C...CAJ

k=T1<Z1<Z2<...<^^7

77

=E(-CS(8叫!旺(一廣?.(8/)!

k,=l1</I<i2<?.<zjfe<7k=l

771

=^(-l)^'.(8-Z:)-—=7-5040-6-2520+5-840-4-210+3-42-2-7+l-l=23633.

k=ik!

這就表明出現(xiàn)了連續(xù)的12,23,34,45,56,67,78中之一的排列有23633個，所以不出現(xiàn)連續(xù)的

12,23,34,45,56,67,78的排列有(8!)-23633=40320-23633=16687個.

故所求排列的個數(shù)為16687.

4.4

【分析】設/(%)=1+2+3+.+k=笑辿,可得/(63)<2024</(64),從而得到a2024=64,

即可求解

答案第2頁，共12頁

【詳解】設數(shù)列{風}滿足：4=1,4=2,%=2,4=3,%=3,4=3,%=4,4=4,

%=4,&=4,L,

設/(左)=1+2+3++k=k(k；?,

所以"63)=6=64=2016,/(64)=用*=2080,

貝|/(63)<2024</(64),故囁4=64

所以64模5余數(shù)為4

5.25

【分析】根據(jù)1。<%的%。4<20,可得%出生。4可能的取值，再利用排列組合求得四元組

(q,%,%,%)的個數(shù).

【詳解】因為qe{l,2,3}G=L2,3,4),且10<%?眄<20,

所以小的,%，%的取值有三種不同的組合：1,2,2,3或1,2,3,3或2,2,2,2,

即010203a&e{12,16,181,

當01a203a4=12時，四元組(q,%,%，%)有C：?A；=12個，

當qa2a3a4=16時，四元組(q,%,外,%)有1個

當203a4=18時，四元組(q,%,%,4)有C-A；=12個，

故滿足題意的四元組(％%,%,%)的個數(shù)為25個.

6.2

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)可得只能xe去兀］,分別比較x三和X=TT時，

2。。;sinx的大小關系，再根據(jù)函數(shù)〃力=2。。",口、,無］和g(x)=sinx,xe的凹凸性

即可得解.

【詳解】由2c°s，=sinxe(O』，只能xe合無}

71

當X=,時，28s*=sin;c=l,

當x=7i時,2C0SI>sinx,

答案第3頁，共12頁

令/(x)=2"『xe則/''(x)=-sinxfJn2<0,xe'，兀J,

所以小)在會”上單調(diào)遞減，

f"[x}=-cosx-2C0K-ln2+2的?(sinx?ln2)?>0,xe今,兀)，

所以函數(shù)〃尤)=2Fxe右兀)是凹函數(shù)，

令g(x)=sinx,xe、，兀)，則函數(shù)g(x)在1,兀)上單調(diào)遞減，

g,(x)=cosx,g"(x)=-sinx<o,xe5，兀]，

所以函數(shù)g(x)=sinx,xe!■,"是凸函數(shù)，

所以函數(shù)y=〃x)與y=g(x)有兩個交點，

即(0,2兀]上方程2COSX=sinx的解的個數(shù)為2個.

7.3

【分析】用反證法證明原方程的解都滿足元(/-1)=0,即xe{-l,0,l},然后逐一代入驗證

即可.

【詳解】一方面，假設原方程有一個滿足X，一1工0的根加，則■zl+Jzi=o.

m-1m

令/⑺則/(/_1)+/(加)=0.

對r<o,有e，-l<0,故^■>()；

t

對/>0,有寸-1>0,故J>0.

t

所以對"0,都有/(。>0,從而由知0=/(九4一1)+〃祇)>0+0=0,矛盾.

所以3產(chǎn)」-1_+]」心x_]=o無解，

x4-lX

故原方程的解，只有滿足*■4-1)=0,即xe{T0,l},直接驗證即知-1,0,1都是原方程的

解.

所以原方程一共有3個解.

8.4

【分析】由d=13[x]-lleN得x>l,由x-l<[x]<x得仁；；二^；；；>°，解得工的范

答案第4頁，共12頁

圍，得區(qū)可能取值為L2,10,11,12,代入計算檢驗即可.

【詳解】由爐一13[旬+11=0得犬=13[司一UeN,所以x>l,

「，ri,[X2-13(X-1)+11>0

因為x—l<|x]Wx,所以<]，

L」[X2-13X+11<0

得-24<f-13x4-11,

抽汨“13-岳、，13+岳13+561

解得xe(1,---)u(--—,---]，

此時[x\可能取值為1,2,10,11,12,

分別代入計算可得》=也，屈,而？,V132,^45，

經(jīng)檢驗厲不符合題意，故方程的解只有4個.

【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)x-l<[x]<x得不等式組]；；；；二二;；『>°，進而得區(qū)可能

取值為1,2/0,11,12,代入計算可得.

9.4

【分析】先通過不等式方法證明這8個長方體中至少有4個的體積不超過!，再說明當

O

a=0.25,6=0.45,c=0.45時，這8個長方體中恰有4個的體積不超過!，即可說明這些

O

小長方體中體積不大于之的長方體個數(shù)的最小值為4.

O

【詳解】設該正方體的長寬高分別被切成長度為。和1-匹6和1-匕，。和的兩段，這

里a,6,ce(O,l),且根據(jù)據(jù)對稱性，可不妨設

此時，8個長方體的體積分別是

c),a(l—Z?)c,6/(1—&)(l-c),(l—a)&c,(l—tz)&(l—c),(l—ti)(l-&)c,(l—6i)(l—/?)(1—c)

由可知abc<ab(1—c)<a(1—b)c<(1—a)bc,

<2(1—Z?)(l—c)<(1—?)Z?(1—c)<(1—6/)(1—Z?)c<(l—6/)(1—Z?)(l—c).

由于2〃(1一/?)0?〃(1一。)0+(1一〃)歷=0(〃+6—2〃6)=](1一(1一2々)(1一2/?))<]故

答案第5頁，共12頁

abc<ab(l-c^<a(l-b^c<-

8

而

,故(1—〃)歷和a(l-b)(l-c)中至少有一個數(shù)不超過:，

O

所以這8個長方體中至少有4個的體積不超過!

8

當。=0.25,b=0.45,。=0.45時，8個長方體的體積分別是

0.0625,0.061875,0.061875,0.075625,0.151875,0.185625,0.185625,0.226875,此時這8個長方

體中恰有4個的體積不超過"

O

綜上，這些小長方體中體積不大于1的長方體個數(shù)的最小值為4.

8

10.隨

32

【分析】根據(jù)離心率確定c=^a,根據(jù)橢圓定義及|/狎-怛閭=3求出

3a77

I尸居|=。+9,忸工|=〃一9,在耳中，由余弦定理求得/=?,再計算△尸片鳥面積即可.

228

【詳解】由題意得6=￡=迫，即。=且。，

a22

由橢圓定義知|尸浦+|尸閭=2a,F/2=2c=6a,又圖1TM=3,所以

\PFl\=a+^3\PF2\=a--3>

在△尸片鳥中,由余弦定理得cosN月P瑞解得"=三

O

11.49999

答案第6頁，共12頁

【分析】利用〃+1=a/Vi-(%+1+1)0...0的必要條件為9k=1(mod5),

得到k最小為4,得到最后的結(jié)果.

【詳解】設〃的末尾有上個9,即〃7M_i…以+19…9,以+產(chǎn)9,

所以〃+1=q/e…(以+i+1)0…0,

此時必要條件為9左三1(mod5),

所以女最小為4,當〃=9999時不符合題意，

所以〃最小可能為五位數(shù),經(jīng)檢驗n最小值為49999.

12.D.

【分析】利用題目給的“好數(shù)”的定義，設〃=/以_1，…4%，結(jié)合由%以_]…?|九，得到人的

最大可能值為4,從而求出最大的好數(shù)為3570.

【詳解】設〃=以。1，…。2%，由以％T…⑷"

可得031a，其中02al>0,

所以女的最大可能值為4.

當％=4,由。洶⑷4,得力=。,有％<9,々洶電4，

解得。4V4,

經(jīng)檢驗最大的好數(shù)為3570.

故選：D.

13.-1

【分析】要使cosAcos及osC最小，則二ABC為鈍角三角形，不妨假設。為鈍角，可得

cosAcosBcosC>—cosBcosA,利用余弦值的范圍可得cosAcosBcosC>—cosBcosA>—1,即

可得到答案.

【詳解】在[ABC中，要使cosAcos慶osC最小，則ABC為鈍角三角形，不妨假設。為鈍角，

JTJT

則A￡(0q),BG(0,—),

所以一1vcosC<0,貝ijcosAcosBcosC>—cosBcosA,

0<cosA<1,0<cosB<1,所以OvcosAcos5Vl

貝！J-1<-cosAcosB<0

答案第7頁，共12頁

貝！JcosAcosBcosC>-cosBcosA>-1,

當ulBC為等腰三角形，且C無限接近于兀時，cosAcos及osC無限接近于-1,

即cosAcos慶osC的下確界為-1

14.[4,713+2]

【分析】利用三角形面積公式和余弦定理得到_2bccosA+3bcsinA,從而表達出

S+c)=2cosA+3sinA+2,求出色2-W而+2，結(jié)合基本不等式求出色z4，得

bebebe

到結(jié)論.

【詳解】由三角形面積公式得16csinA=1a2。，

223

口12

BPbesinA=—a,

*22

由余弦定理得cosA=--------------，故廿+。2=2bccosA+3bcsinA,

2bc

(b+c\b2+c2+2bc2bccosA+3bcsinA+2Z?c八4。4c

1------L=----------------=----------------------------------=2cosA+3smA+2

bebebe

23

(而+

=^sinA+e)+2V2,其中sin。=而'8吁;B，

JTIT

當且僅當A+0=],即A-。時，等號成立,

又觸十C)-=6?2+26%2秋+26。=4,當且僅當，=c時，等號成立,

bebebe

故°：c)w14,屈+2]

15.AD2>2DCxDB

【分析】由余弦定理求出三角形每個內(nèi)角的余弦值，從而求出對應正弦，在△ABD和八位)。

ADBD工ADDC

分別利用正弦定理得到:----=---------和-----化簡

sinBsin/BADsinCsinZCAD

2DCxDB1-cosZBAC

<,即可求解.

AD2sinBsinC

【詳解】在ABC中，若°=2,b=及,C=2A/2,。在8C上

答案第8頁，共12頁

由余弦定理可得：cos/5AC=/+°2.=2+8-4=g,同理:cosB=述，cosC=-也，

2bc8484

在，ABC中，Be(0,7i),Ce(0,7i),

所以sin3=sinC=—

84

設Nfi4￡)=a,ZCAD=/?,則a+尸=NBAC,

ADBD

在△AB。，由正弦定理可得:

sinBsinZBAD

ADDC

同理在△ADC,

sinCsinZCAD

rri.2DCxDB2sinsinBcos(6f->0)-cos(cr+B)1-cosABAC4.

JTT以==—=—<1

AD~sinBsinCsinBsinCsinBsinC7

所以AD?>2DCXDB

16.5

【分析】使用平面幾何知識證明點。是ABC外接圓的圓心，然后利用圓的相交弦定理即得

結(jié)果.

【詳解】

由于線段0C與線段AB有交點，故點A和點。一定在線段BC的同側(cè)（否則線段0C和AB整

體各位于線段BC的兩側(cè)且端點不同，不可能有交點）.

而NBOC=2N54C,OB=OC,且A和。在BC的同側(cè)，故由圓心角是圓周角的2倍，可知

點。一定是ABC外接圓的圓心.

記，ABC的外接圓為CO,并設E為C在。上的對徑點，則根據(jù)相交弦定理有

BDAD=EDCD.

再由已知有

￡DCD=(OE+OD)(OC-OD)=(C>C+OD)(OC-OD)=OC2-OD2=32-22=5,故

BDAD=5.

答案第9頁，共12頁

n

17.-

5

ACTT

【分析】利用與0cB全等，得到r=/OAC=/OC4==,求出C=g.

425

【詳解】設題中的內(nèi)心和外心為。，即圖中E］兩點，一方面。在NC的角平分線上,

又Q4==OC,所以..四與OCB為等腰三角形，

又ZACF=ZBCF,所以ZAOC=ZBOC,所以工。。=OCB（SAS）

所以AC=5C得到A=9

Arrr

另一方面4=ZOAC=ZOCA=所以A=2C,綜上可得C=g.

425

18.10.5

【分析】設3O=x,AC=y,先利用角平分線定理得出X。的關系，再利用雙余弦定理求出

蒼丫,即可得解.

【詳解】設3D=x,AC=y,

AfiAC

由角平分線定理可得的=/，則芍=6,

DDCD

化+5一⑦

由余弦定理得cos幺些=AB2+AD2—BD2

2ABAD2ADAC

9+9—y2+9—4

n即n--------=--------

將y=9代入化簡得2d+5/_36尤+36=0,

X

即(%—2)(2x—3)(x+6)=0解得x=2或x=1.5(x=—6舍去),

經(jīng)檢驗只能尤=1.5,y=4,

所以ABC的周長為10.5.

答案第10頁，共12頁

BD

人O-

1[Q9.A=2arcsin---------，BD=Cr

8

【分析】先分析得sinANsin民sinANsinC最大，再利用和差化積公式得到

2sinA+sinB+sinC<2sinA+2cos—,再利用換元法構(gòu)造函數(shù)/(x)=2sin2%+2cosx,

TT7T]

xe,結(jié)合導數(shù)研究/(x)得最大值，從而得解.

62)

【詳解】顯然要使2sinA+sinB+sinC取最大值，則sinA2sin8,sinA2sinC最大,

所以3,C都為銳角，Ae

,.n.?.B+CB—C.B+CB-C.B+CB—C

由于sinB+smC=sin(--------1---------)+sin(------------------)=2sin-------cos--------,

222222

3+CB_c

所以2sinA+sinB+sinC=2sinA+2sin-------cos--------,

22

A

則2sinA+sinB+sinC<2sinA+2cos—,當3=C時，取等號；

2

兀兀)兀兀)

令4=2尤，XG—,構(gòu)造函數(shù)/(%