2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)6.2第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的概念圖象與性質(zhì)教學(xué)案含解析蘇教版必修第一冊(cè)

PAGE1-6.2指數(shù)函數(shù)第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．理解指數(shù)函數(shù)的概念．(重點(diǎn))2．駕馭指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．(重點(diǎn))3．能夠利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))4．駕馭函數(shù)圖象的平移變換和對(duì)稱(chēng)變換．通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，培育學(xué)生的邏輯推理和直觀(guān)想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．某種細(xì)菌在培育過(guò)程中，每20分鐘分裂1次(1個(gè)分裂成2個(gè))，那么經(jīng)過(guò)3h，這種細(xì)菌由1個(gè)可分裂為幾個(gè)？經(jīng)過(guò)xh，這種細(xì)菌由1個(gè)可分裂為幾個(gè)？1．指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)叫作指數(shù)函數(shù)，它的定義域是R．2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)定點(diǎn)圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，圖象在x軸的上方函數(shù)值的改變x>0時(shí)，y>1；x<0時(shí)，0<y<1x>0時(shí)，0<y<1；x<0時(shí)，y>1單調(diào)性在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝3·2x是指數(shù)函數(shù)． ()(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與x軸永不相交． ()(3)函數(shù)y＝2－x在R上為增函數(shù)． ()(4)當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于隨意x∈R總有ax＞1． ()[提示](1)y＝3·2x的系數(shù)為3，故y＝3·2x不是指數(shù)函數(shù)．(2)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，故它與x軸不相交．(3)y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是減函數(shù)．(4)a>1時(shí)，若x<0，則ax<1．[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的為．(填序號(hào))(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．(4)(6)[只有(4)(6)是指數(shù)函數(shù)，因它們滿(mǎn)意指數(shù)函數(shù)的定義；(1)中解析式可變形為y＝2x·22＝4·2x，不滿(mǎn)意指數(shù)函數(shù)的形式；(2)中底數(shù)為負(fù)，所以不是；(3)中解析式中多一負(fù)號(hào)，所以不是；(5)中指數(shù)為常數(shù)，所以不是；(6)中令b＝a－1，則y＝bx，b>0且b≠1，所以是．]3．若函數(shù)f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,9)，則f(x)＝．3x[由于a2＝9，∴a＝±3．∵a＞0，∴a＝3，∴f(x)＝3x．]指數(shù)函數(shù)的概念【例1】(1)下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是()①y＝(－8)x；②y＝2eq\s\up12(x2－1)；③y＝ax；④y＝2·3x．A．1 B．2C．3 D．0(2)已知函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)，則f(－2)＝．(1)D(2)eq\f(1,9)[(1)①中底數(shù)－8<0，所以不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)不是自變量x，而是x的函數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)；③中底數(shù)a，只有規(guī)定a>0且a≠1時(shí)，才是指數(shù)函數(shù)；④中3x前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)，故選D．(2)設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)得aeq\s\up12(－eq\f(3,2))＝eq\f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9)．]指數(shù)函數(shù)具有以下特征：①底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)，不含有自變量x；②指數(shù)位置是自變量x，且x的系數(shù)是1；③ax的系數(shù)是1.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,8)，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2xC．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x) D．f(x)＝xeq\s\up12(eq\f(1,3))B[設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則由f(3)＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故選B．]2．已知y＝(2a－1)x是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)且a≠1))))[要使y＝(2a－1)x是指數(shù)函數(shù)，則2a－1>0且2a－1≠1，∴a>eq\f(1,2)且a≠1．]利用單調(diào)性比較大小【例2】比較下列各組數(shù)的大?。?1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(－1.8)與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(－2.6)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))eq\s\up12(－eq\f(2,3))與1；(3)0.6－2與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(－eq\f(2,3))；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0.3)與3－0.2；(5)0.20.6與0.30.4；(6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(eq\f(2,3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(eq\f(1,3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(eq\f(2,3))．[思路點(diǎn)撥]視察底數(shù)是否相同(或能化成底數(shù)相同)，若相同用單調(diào)性，否則結(jié)合圖象或中間值來(lái)比較大?。甗解](1)∵0<eq\f(3,4)<1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(x)在定義域R內(nèi)是減函數(shù)，－1.8>－2.6，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(－1.8)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(－2.6)．在進(jìn)行指數(shù)式的大小比較時(shí)，可以歸納為以下三類(lèi)：1底數(shù)同、指數(shù)不同：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決.2底數(shù)不同、指數(shù)同：利用冪函數(shù)的單調(diào)性解決.3底數(shù)不同、指數(shù)也不同：采納介值法.以其中一個(gè)的底為底，以另一個(gè)的指數(shù)為指數(shù).比如ac與bd，可取ad，前者利用單調(diào)性，后者利用圖象.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．比較下列各組數(shù)的大?。?1)1．9－π與1．9－3；(2)0．60．4與0．40．6；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(eq\f(1,3))，2eq\s\up12(eq\f(2,3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(eq\f(1,2))．[解](1)由于指數(shù)函數(shù)y＝1．9x在R上單調(diào)遞增，而－π<－3，∴1.9－π<1．9－3．(2)∵y＝0．6x在R上遞減，∴0.60.4>0.60.6．又在y軸右側(cè)，函數(shù)y＝0．6x的圖象在y＝0．4x圖象的上方，∴0.60.6>0．40.6，∴0.60.4>0.40.6(3)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(3)<0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(eq\f(1,3))>1,2eq\s\up12(eq\f(2,3))>1,0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(eq\f(1,2))<1，又在y軸右側(cè)，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(x)的圖象在y＝4x的下方，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(eq\f(1,3))<4eq\s\up12(eq\f(1,3))＝2eq\s\up12(eq\f(2,3))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(eq\f(1,2))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(eq\f(1,3))<2eq\s\up12(eq\f(2,3))．利用單調(diào)性解指數(shù)不等式【例3】(1)已知4≥2x＋1>2eq\s\up12(eq\f(2,3))，求x的取值范圍；(2)已知0．3x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)))eq\s\up12(y)，求x＋y的符號(hào)；(3)解不等式ax>3(a>0且a≠1)．[思路點(diǎn)撥]化為同底，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．[解](1)∵4＝22，∴原式化為22≥2x＋1>2eq\s\up12(eq\f(2,3))．∵y＝2x是單調(diào)遞增的，∴2≥x＋1>eq\f(2,3)，∴－eq\f(1,3)<x≤1，∴x的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x≤1))))．(2)0.3x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)))eq\s\up12(y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(－y)＝0.3－y．∵y＝0.3x是減函數(shù)，∴x<－y，∴x＋y<0．(3)由ax>3得ax>aeq\s\up12(loga3)當(dāng)a>1時(shí)，x>loga3當(dāng)0<a<1時(shí)，x<loga3．綜上，當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為(loga3，＋∞)，當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為(－∞，loga3)．1．形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的單調(diào)性求解，假如a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種狀況探討．2．形如ax＞b的不等式，留意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．解關(guān)于x的不等式a3x－2≤ax＋2，(a＞0且a≠1)．[解]①當(dāng)a>1時(shí)，3x－2≤x＋2，∴x≤2．②當(dāng)0<a<1時(shí)，3x－2≥x＋2，∴x≥2．綜上，當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為{x|x≤2}，當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為{x|x≥2}．圖象變換及其應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．在同一坐標(biāo)系中作出y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x＋1＋2的圖象，在另一坐標(biāo)系中做出y＝2x，y＝2x－1，y＝2x－1－2的圖象，結(jié)合以前所學(xué)的學(xué)問(wèn)，歸納出圖象變換的規(guī)律．[提示]結(jié)論：y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向左平移1個(gè)單位得到；y＝2x＋1＋2的圖象是由y＝2x＋1的圖象再向上平移2個(gè)單位得到；y＝2x－1的圖象是由y＝2x的圖象向右平移1個(gè)單位得到；y＝2x－1－2的圖象是由y＝2x－1的圖象再向下平移2個(gè)單位得到．2．在同一坐標(biāo)系中，做出y＝2x－1，y＝3x－1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－1的圖象，它們有公共點(diǎn)嗎？坐標(biāo)是什么？能否由此得出結(jié)論y＝ax－1均過(guò)該點(diǎn)？在另一坐標(biāo)系中，做出y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x＋1)－1的圖象，它們有公共點(diǎn)嗎？坐標(biāo)是什么？能得出y＝ax＋1－1均過(guò)該點(diǎn)的結(jié)論嗎？由以上兩點(diǎn)，能否說(shuō)明形如y＝ax＋m＋n(m，n>0)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是什么？[提示]結(jié)論：y＝2x－1，y＝3x－1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－1都過(guò)定點(diǎn)(0,0)，且y＝ax－1也總過(guò)定點(diǎn)(0,0)．y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x＋1)－1都過(guò)定點(diǎn)(－1,0)，且y＝ax＋1－1也總過(guò)定點(diǎn)(－1,0)．綜上得y＝ax＋m＋n的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(－m,1＋n)．3．除去用圖象變換的方法外，還有無(wú)其它方式找尋定點(diǎn)．如y＝4a2x－4[提示]還可以整體代換．將y＝4a2x－4＋3變形為eq\f(y－3,4)＝a2x－4．令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,4)＝1，,2x－4＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝7，))即y＝4a2x－4＋3過(guò)定點(diǎn)(2,7)．【例4】(1)函數(shù)y＝3－x的圖象是．(填序號(hào))(2)已知0＜a＜1，b＜－1，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象必定不經(jīng)過(guò)第象限．(3)函數(shù)f(x)＝2ax＋1－3(a＞0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)．[思路點(diǎn)撥]題(1)中可將y＝3－x轉(zhuǎn)化為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)．題(2)中，函數(shù)y＝ax＋b的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1＋b)，因?yàn)閎＜－1，所以點(diǎn)(0,1＋b)在y軸負(fù)半軸上．題(3)應(yīng)當(dāng)依據(jù)指數(shù)函數(shù)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)求解．(1)②(2)一(3)(－1，－1)[(1)y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)為單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，其圖象為②．(2)函數(shù)y＝ax(0＜a＜1)在R上單調(diào)遞減，圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，所以函數(shù)y＝ax＋b的圖象在R上單調(diào)遞減，且過(guò)點(diǎn)(0,1＋b)．因?yàn)閎＜－1，所以點(diǎn)(0,1＋b)在y軸負(fù)半軸上，故圖象不經(jīng)過(guò)第一象限．(3)令x＋1＝0，得x＝－1，此時(shí)y＝2a01．處理函數(shù)圖象問(wèn)題的策略(1)抓住特別點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)．(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．2．指數(shù)型函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的處理方法求指數(shù)型函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)時(shí)，只要令指數(shù)為0，求出對(duì)應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])5．(一題兩空)函數(shù)y＝f(x)＝ax＋2－eq\f(1,2)(a>1)的圖象必過(guò)定點(diǎn)，其圖象必不過(guò)第象限．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))四[y＝ax(a>1)在R上單調(diào)遞增，必過(guò)(0,1)點(diǎn)，故求f(x)所過(guò)的定點(diǎn)時(shí)可以令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,y＋\f(1,2)＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝\f(1,2)，))即定點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))．結(jié)合圖象(圖略)可知，f(x)的圖象必不在第四象限．]1．推斷一個(gè)函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)，關(guān)鍵是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)這一結(jié)構(gòu)形式，即ax的系數(shù)是1，指數(shù)是x且系數(shù)為1．2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的性質(zhì)分底數(shù)a>1,0<a<1兩種狀況，但不論哪種狀況，指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)的．3．指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，值域?yàn)?0，＋∞)，且f(0)＝1．4．(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解．假如a的值不確定，需分0<a<1和a>1兩種狀況進(jìn)行探討．(2)形如ax>b的不等式，留意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，即b＝