2024年高考數(shù)學(xué)試題和模擬題分類匯編：平面向量（含解析）

專題06平面對量

一、選擇題部分

1.(2024?新高考全國I卷叮10)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)《(cos。,sin。)，^(cos/?,-sin/7),

4(cos(a+^),sin(a+^)),A(l,0),則()

A.阿|=|。回B.|叫=|叫

C.OAOP3=OP\OP2D.OAO^=OP,OI^

【答案】AC.

【解析】A項(xiàng)，OP{=(cosa,sina),O?=(cos尸,-sin尸)，所以||=Jcos2a+sin2a=1，

|OP,|=7(cos^)2+(-sin^)2=1-故|O片|=|ORI，正確；C項(xiàng)，由題意得：

OAOP3=1xcos(?+/?)+0xsin(?+J3)=cos(?+/?),

OPXOP2=cos?-cos/?+sintz(-sin/?)=cos(?+/?),正確；故選AC.

2.(2024?浙江卷?T3)已知非零向量a,。,c,貝.c=c”是“a=6”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B.

【解析】如圖所示，04=。,。8=仇OC=c,BA=a—方，當(dāng)AB_LOC時(shí)，。―8與c垂直，

|u-A|-0,所以7；5成立，此時(shí)aw"

；?“；/；＜不是。=6的充分條件，

/Tr、rrr

當(dāng)。=匕時(shí),a—6=0,?.?(a—6),c=0-c=0,；.J.成立，

是。=匕的必要條件，

綜上，二心不是"G=歹的必要不充分條件?

A.2MC.近

【答案】D.

【解析】向量之(1,x),b=(°，2),

當(dāng)兀＞0時(shí)，1W=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，取等號,

—+x

X

德信的最大值為：L

I_I4

4.（2024?河北張家口三模打6）我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周牌算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給

出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小

正方形拼成的一個(gè)大正方形，=XAB+U.AD,則入+P=（）

【答案】D.

【解析】以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，樂所在直線為x軸，建立如圖直角坐標(biāo)系,

設(shè)|EF|=1.由E為AF的中點(diǎn)，

可得E(0,8),1),0),-8),2),

所以而=(1,4),AB=(2,-1),AD=(7,2)，

因?yàn)槎?入族+N標(biāo)，所以(1,-5)+四(1,

、3

'2入+1=8,入二A

即，、解得，則人+!"!=￡.

-X+2P-=1,15

5.(2024?山東聊城三模叮7.)在△力BC中，\AB\=3,|4C|=4,|BC|=5,M為BC中點(diǎn)，O

—>—>—>

為△ABC的內(nèi)心，且4。=448+4AM,則；I+〃=().

A.—B.—C.-D.1

1246

【答案】A.

【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，三角形五心

【解析】由題知，/4=泉依據(jù)三角形面積與周長和內(nèi)心的關(guān)系求得，內(nèi)切圓半徑。E=OF

三2=1,四邊形AEOF為矩形,

3+4+5

則4。=/E+4F=》C+士曲=-AB+-AC

4322

—>—?—>—>T1TlT

則40=AAB+nAM=（A+^）AB+^AC=-AB+^AC

2+-=i

則｛△一則

2-4

【分析】依據(jù)勾股定理可知△力BC為直角三角形結(jié)合O為內(nèi)心，可得四邊形AEOF為正方形

內(nèi)切圓半徑OE=OF=L再過依據(jù)向量線性運(yùn)算即可求得。

6.（2024?四川內(nèi)江三模?理T3.）已知平面對量；,W滿意Z+E+W=O；|=|%|=1%則［芯

的值為（）

A1R1「愿nV3

A.——D.C.--------D.------

2222

【答案】A

【解析】：a+b+c=A，a+b=-c，且Ia1=Ib1=Ic1=1，,（Z+芯）3=/，即

”-?-*.-***5

l+7a?b+l=>??&”=??

7.（2024?安徽馬鞍山三模?文T3.）已知向量Z=（3,1）,b=（2m-l,3），若之與E共線，則

實(shí)數(shù)m=()

127

A.—B.5C.—D.1

22

【答案】B.

【解析】向量；=（3,1）-b=（2m-l,3），若之與石共線，可得：9=2%-1,解得根=5.

8.（2024?安徽蚌埠三模?文T6.）己知向量彳，%滿意，=2,（:+百4=2，12-卞=2?，

則陰=（）

A.1B.近C.2D.4

【答案】C.

【解析】向量2E滿意斕=2，。+口吃=2，立小=2?，可得丁+!京=2,

a2-2；-b+b2=12'解得芯2=4,所以后1=2.

9.（2024?貴州畢節(jié)三模?文T7.）如圖，在△ABC中，。是BC邊的中點(diǎn)，E,F是線段4。的兩

個(gè)三等分點(diǎn)，若道?贏=7，BE-CE=2＞則而?赤=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B.

【解析】是8c的中點(diǎn)，E,F是4。上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

..>—?.>...2.9

BA=BD+3DF-CA=-BD+3DF'BA-CA=7-9DF-BD=7,

BE=BD+2DF-CE=-BD+2DF-BE'CE=2>可得4口尸-BD2，

所以DF=「BD2，--BF^BD+DF-CF=DF-BD-BF-CF=DF-BD1-2=-r

10.（2024?遼寧朝陽三模?T2.）在△ABC中，若AB=1,AC=5,sinA="|,則藤?菽=（）

5

A.3B.±3C.4D.±4

【答案】D.

2A

【解析】在△ABC中，若A3=l,AC=5,sinA=—,可得cosA=±w，

55

所以AB'AC=1X5X（±-1）=+4.

11.（2024?四川瀘州三模?理T4.）已知平面對量2三滿意|口=正，1^1=1-la+bl=la-bl）

則亡2辛=（）

A.泥B.5C.赤D.7

【答案】C.

【解析】平面對量；,E滿意圖=?，陰=L|；+1=|；-二

可得；2+2；后+芯2=;2刀?方薩，可得;芯=0,

則在2鏟4；2_4；++髭2=萬由="

12.（2024?江蘇常數(shù)三模?T3.）設(shè)人為實(shí)數(shù)，已知向量：=（1,入），n=（2，-1）.若

m則向量if-口與門的夾角為（）

【答案】D.

【解析】VmJ_門，「?m?n=2-入=0,解得入=2,,m=（l,2），m-n=（-l,3），

??（m-n）?n=-2-3=-51|m-n|n|

Acos<m-n,n〉-5dC=八介、/￡=且〈孟二序〉€［。，兀］，

lm-nlIniV10xV52

；?m-n與n的夾角為'“?

13.（2024?江西上饒三模?理T6.）已知A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O）,且示=①而+2〃權(quán)

（m>0,〃>0）,則■的最小值是（）

mn

A.10B.9C.8D.4

【答案】C.

【解析】由“八、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O）,且贏=團(tuán)神+2"祈”可知m+2〃

=1（m>0,n>0）,；.24=（m+2n）（2二）=4+至+衛(wèi)24+2、隹■?衛(wèi)=8,當(dāng)且僅當(dāng)

mnmnmnVmn

1

m+2n=l

2時(shí)取“.，2二的最小值是8.

<4nm,即，

1mn

mnI

14.（2024?福建寧德三模?T9）已知向量落b,3滿意萬+B=（1,—1）,a-3b=（-7,-1）,c=

（1,1）,設(shè)五了的夾角為仇則（）

A.\a\=\b\B.a//cC.6=135。D.b1c

【答案】BC.

【解析】■.■a+b=(1,-1)-a-3b=(-7,-1).u=(-1,-1),b=(2,0)，得解|=

V(-l)2+(-1)2=V2,\b\=2,故A錯(cuò)誤；又3=(1,1),則1=—落則//落故8正

確；cos0=X6G[0°,180°],.1-0=135°,故C正確；

|a|-|D|2V22

31=2x1+0x1=2大0，B與壞垂直，故。錯(cuò)誤.故選：BC.

由已知求解方程組可得2與另，求模推斷4由五=-不推斷B；由數(shù)量積求夾角推斷C；由

數(shù)量積不為0推斷。.本題考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，訓(xùn)練了利用數(shù)量積求夾角，考查

運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.

15.(2024?寧夏中衛(wèi)三模?理T3.)若向量而=(5,6),而=(2,3),則前=()

A.(-3,-3)B.(7,9)C.(3,3)D.(-6,-10)

【答案】C.

【解析】?向量而=(5,6),CA=(2,3),WJBC=BA+AC=BA-CA=(3,3).

16.(2024?江西九江二模?理T7.)如圖所示，四邊形ABC。是邊長為2的菱形，E是邊BC上

靠近C的三等分點(diǎn)，尸為C。的中點(diǎn)，則應(yīng)?而=()

【答案】C.

【解析】屈+|?五，EF=yBCCD=yBC-yAB'

―?—.―?2—.1—?1—?9—*21--.29110

?"-AE?EF=(AB=BC)?(WBC=AB)=^BC萬AB=萬義4方義4=一..

17.(2024?浙江杭州二模?理T3.)設(shè)Z,E是非零向量，則是“函數(shù)/(x)=(xa+b)

?(xE-Z)為一次函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B.

【解析】八尤)=(。+百,(元-之)=[育+(|b|2"|a|2)a,b'

若;4則；工=。，假如同時(shí)有國=用，則函數(shù)恒為。，

不是一次函數(shù)，故不充分；假如/(x)是一次函數(shù)，則？E=°，故該條件必要.

18.(2024?河北邯鄲二模?理T2.)已知向量之=(-2,6),E=(1,x),若Z與E反向，則

a,(3a+b)=()

A.-30B.30C.-100D.100

【答案】D.

【解析】向量1=(-2,6),石=(1，x),:與E反向，可得尤=-3,

所以1(33+^)=(-2,6)?(-5,15)=10+90=100.

19.(2024?江西上饒二模?理T10.)如圖，AB是圓。的一條直徑且A8=2,EF是圓。的一條

弦，且￡F=1,點(diǎn)尸在線段跖上，則位.瓦的最小值是()

【答案】B.

【解析】PA-PB=(P0+0A)?(P0+0B)=：(P0+0A)?(P0-0A)=|P0|-1-

當(dāng)P為EF中點(diǎn)時(shí)|PQ|加評'則FX"瓦的最小值為

20.(2024?河北秦皇島二模?理T5.)在△ABC中,已知屈+同=|函，|AB|=4,|AC|=3,BD

=2DC,則AC?AD=()

416

A.—B.3C.—D.6

33

【答案】D.

【解析】VIAB+ACl=IBCbIAB+ACl=IAC-ABb

?■?lAB+ACl2=lAC-ABl21AB2+AC2+2AB，AC=AB2+AC2-2AB*AC'

?*-AB,AC=0---?AB±AC-

..._?.....1..1,..、1.2.

?BD=2DC---AD=AC+CD=AC+1CB=AC+y(AB-AC)=§AB+百AC，

?—?—?—?z1—*2—?、1—?—*2—?2二

??AC,AD=AC,(yAB+^AC)=yAC,AB+g-AC6-

21.(2024?江西鷹潭二模?理T4.)已知向量a是單位向量，E=(3,4),且E在a方向上的投

7_

影為-4,貝叨2二芯=()

A.36B.21C.9D.6

【答案】D.

【解析】向量W是單位向量，b=（3,4）,且芯在之方向上的投影為

222=6

可得整la-bl=74l-41-b+b-

IaI"f

22.（2024?遼寧朝陽二模?T5.）已知向量;,1滿意|；|=后|=2,；?6.）=-2,則|2；_3

=（）

A.2B.2yC.4D.8

【答案】B.

【解析】向量；,E滿意1；1=g=2,1（S；）=-2,可得：[]=2,

2a-H=。47-42?]+]2=5/16-8+4=71^=2?.

23.（2024?廣東潮州二模"4.）設(shè);,三均為單位向量，則“1；”3]|=|3；+中”是:工”的

（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C.

【解析】："I；-3卞=|3；+]|".,.平方得|第+90-6；工=9|第+后|2+6；虧，

即1+9-6；工=9+1+6；工,即12；1=0,則；1=0,即；J_],

反之也成立，則“I；-3%|=|3；+力”是“；式”的充要條件*

24.（2024?天津南開二模?T9.）在直角梯形ABC。中，ADLAB,CD//AB,E為BC邊上一點(diǎn),

BC=3EC'F為直線AE上一點(diǎn),則樂.祚（）

A.—B.C.—D.—

13132020

【答案】c.

【解析】以A為原點(diǎn)，AB、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

：.A(0,0),7),1),1),

設(shè)￡(。，b),則前=(-8,1),EC=(l-a,7-b)，

**BC="3EC,,*?(-1，2)=3(l-o,解得現(xiàn)春，E4,馬，

oTIoO

.,.直線AE的方程為丫="^*，設(shè)F（x,y）,

o

CF=（x-l,y-1）,FB=（4-X,-y），

CF?FB=（x-l）（2-x）-yx（-^-x-l）=得3+^-?

又：F為直線AE上一點(diǎn)，.?.當(dāng)x=^時(shí)，CF?FB有最大值扁.

25.（2024?安徽淮北二模?文T6.）在平行四邊形ABC。中，若沃=2正，AE交BD于F點(diǎn),

則而=（）

A.羯44■屈B.-f-AB^-ADC.-1-AB-1-ADD.yAB-4AD

oOoooOoO

【答案】D.

【解析】如圖所示：由玩=2位，則點(diǎn)E為CO的中點(diǎn)，在平行四邊形ABC。中，DEHAB,

所以隼嚕-斗則踴4標(biāo)="1"（而+5?）=看（說4瓦）］疝4瓦

ADArZoooZoo

26.（2024?吉林長春一模?文T2.）若平面對a=（2,%）,）=（—1,2）且a〃方，則x的值為

A.-B.-1C.-4D.4

2

【答案】C.

2x

【解析】由?！ㄍ呖芍?—即％=-4,故選C.

-12

27.（2024?寧夏銀川二模?文T3.）已知向量；,磔勺夾角為60。，|n=2,后|=1,則。+2百

<2a卜（）

7

A.--B.2C.1D.0

2

【答案】D.

【解析】?.響量:芯的夾角為60。，|』=2,陰=1,

???（薩芯）?弓￡百得,2,=恭22MX』.

28.（2024?山西調(diào)研二模?文T7）平行四邊形ABC。中，E為AD邊上的中點(diǎn)，連接BE交AC于

點(diǎn)G,若同=；1而+〃而，貝!M+〃=（）

521

A.1B.-C.-D.-

633

【答案】c.

【解析】??,四邊形ABC。為平行四邊形，.?.40=8C,為AD邊上的中點(diǎn)，.?.AE="D,

,:AD"BC,:AAEGSACBG,???—=—=i,,-.AG=-CG=-AC,AG=-AC=-（AB+

''CGBC22333、

AD）=|AB+|AD,AG=AAB+[J.AD,.,"=〃='；.2+〃=|.故選：C.

先推斷△AEGSACBG,求出相像比，得到4G=lAC,再利用平面對量的線性運(yùn)算即可求解.本

題考查平行四邊形的性質(zhì)和相像三角形的判定和性質(zhì)，平面對量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題部分

29.（2024?高考全國甲卷?理T14）已知向量°=G/）力=（L°），c=°+如.若則

k=.

10

【答案】3.

【解析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量e的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得女的值

a=（3』）,Z?=（l,0）,;.c=a+劭=（3+左,1）,，aXc,.,.a-c=3（3+Zr）+lxl=O,解得

,1010

k=----，故答案為：----

33

30.（2024?高考全國乙卷?文T13）已知向量。=（2,5））=（44）,若。，則％=

8

【答案】5.

Q

【解析】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4—4x5=0,解方程可得：2=-.

Q

故答案為M.

31.（2024?浙江卷叮17）已知平面對量a*,c,（c/0）滿意

H=L什=2'8"=°'（"一》）,c=°,記向量”在凡石方向上的投影分別為X，》d-a在Z方

向上的投影為z,則%2+y2+z2的最小值為一

2

【答案】5.

【解析】由題意，設(shè)a=（1,0）/=（0,2）,c=（相,及），

則（。一6）?。二加-2〃=0,即加=2〃，

又向量」在方向上的投影分別為x,?所以d=(x,y),

(d-a)-cm(x-l)+ny2x—2+y

所以d—a在c方向上的投影z=<?;=-^^=——丁,

1。1Vm2+n2±依

即2%+y.y/5z=2,

所以％2+y2+z2=j22+12+^±^5^(九2+y2+z?)>j倒x+y.君z)=g,

元二一

x_y_2

當(dāng)且僅當(dāng)<2I.75即<y=1時(shí)，等號成立,

2%+y,小z=2

V5

2=--

2?

所以Y+V+z?的最小值為二.故答案為：

32.(2024?浙江麗水湖州衢州二模416.)已知平面對量二b-c>7若1口=后1=遮,a?b

=°5?a+cHa-"cl=4,lb+dl=1,則G+力的最大值是

【答案】1+2行.

【解析】不妨令而寫，0B=b,0C=c,0D=d-

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。8所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

貝！IO(0,0),A(V3-0)，B(0,愿)，A'(~V3>0)，

因?yàn)橛?力+或二尸4,所以|CA|+|CA|=4>2次=|AA'I，

故點(diǎn)C在以4為長軸，N(-73.0),A(V3>0)為焦點(diǎn)的橢圓上，

26

則點(diǎn)C的軌跡方程為?+丫2=],又后+9=1,即IQB-OD1=1DBl=b

故點(diǎn)。在以B(0,立)為圓心，1為半徑的圓上，又G+?l=|沃-而|=|正|<lBCl+1，

所以轉(zhuǎn)化為求解出C|的最大值，由圖易得，當(dāng)以B為圓心，r為半徑的圓乂2+6-a)2=產(chǎn)

2

與橢圓菅+y2=1內(nèi)切時(shí)有最大值，聯(lián)立方程組消去X可得，3y2+2百y+r2-7=0，

則△=12-12(r2-7)=0,解得r=2亞，

所以R+Nlmaxn+lBClmaxn+Zd^

33.（2024?山東濰坊二模?T16.）已知向量W，,滿意|之+4|=3,憶1=1且之4+1=（之+口

?%則q的取值范圍是—?

【答案】[1,5].

【解析】：|；+El=3,|a-7[2=|a+bj2_4a*b=9-4a，b-

=

Ia*b+11I（a+b）（a+b）卜1$=3,???-4Wa*bW2,

???1W9-W?EW25，???1W|Z-畫2.25,即1m彳.]k5.

34.（2024?江蘇鹽城三模?T12）將平面對量2=（町，科）稱為二維向量，由此可推廣至〃維向量

Cl=（X],工2，…，物）.對于〃維向量二，號，其運(yùn)算與平面對量類似，如數(shù)量積二?7=|。||b

|cos8=f七％（6為向量7的夾角），其向量二的模|a|=JZ%：，則下列說法正確的有

i=lYz=l

A.不等式（￡＞：）（$＞:）＜（￡＞，門可能成立

1=11=11=1

B.不等式（fx；）（f短）,（卻/y肯定成立

1=1z=l1=1

C.不等式〃$＞：＜（fx,）2可能成立

i=li=l

D.若,則不等式ZTZ七三/肯定成立

X

i=lii=l

【答案】ABD.

【考點(diǎn)】新情景問題下的數(shù)量積與模的應(yīng)用.

【解析】由題意，可設(shè)~?=（%1，%2，…，*，7=（y，＞2，…，m），所以（￡為2）（￡y2尸

i=li=l

n

22222

I〃Fl。F,（￡xiyi產(chǎn)=（|a|-|b\）=\a||b|cos＜a,b＞,由cos＜a,b＞W(wǎng)1,可得

Z=1

nnn、及、]、及，

）（Zy2）》（Zx，?R當(dāng)且僅當(dāng)v〃，Z?＞=0或兀時(shí)取等號，若的＞0,則Z",

i=li=li=\i=lXiz=l

n]_>nt

一七=",所以選項(xiàng)A、B、D正確；設(shè)c=（l,1,…，1）（幾個(gè)1）,則幾乞?yàn)?=川〃|2,

i=lXiz=l

~—>~?—>-?——?—?—―?—

（）2—（??c）2=|a|2|c|2cos2<a,c>=n\a|2cos2<a,c>,由cos2<a,c>Wl,可得

i=l

（之七）2,當(dāng)且僅當(dāng)<"，7>=。或無時(shí)取等號，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；綜上，答案選

1=1J=1

ABD.

35.（2024?江蘇鹽城三模?T15）若向量了滿意|:一了|=3，則I?了的最小值為.

【答案】一點(diǎn)3

【考點(diǎn)】平面對量的綜合應(yīng)用.

【解析】法一：由題意，|〃一?！?〃2+。2—2〃??！芬?〃2〃??！?q?。，即32

―?—?—?―?3

—4a?b,貝lj〃?。2一不

-*--*-Ia+h2—I/7—|21—?―?Q―?―?a

法二：由題意，ab=-----------------三―木所以。?。的最小值為一不

36.（2024?河南鄭州三模?理T13）在矩形ABCD中，其中AB=3,AD=1,AB上的點(diǎn)E滿意應(yīng)+2強(qiáng)

=a，F(xiàn)為A。上隨意一點(diǎn)，則泥?而=.

【答案】-3.

【解析】在矩形ABCO中，其中AB=3,AD=1,項(xiàng)上的點(diǎn)E滿意彘+2而=1,E是AB的

一個(gè)3等分點(diǎn)，F(xiàn)為AD上隨意一點(diǎn)，所以瓦?麗=|Eg||Bp|cos（n-/EBF）=-|gg||^g|

=-3.

B

37.（2024?河南開封三模?理T14）已知向量Z，石滿意金工）19若|b1=1，則Z在E方向上

的投影為—.

【答案】1.

【解析】?.,（a-b）J_b，，（a-b）"b=0，，a，bTb|2=0,：|1）|=]，a?b=L

在E方向上的投影為：|a|cos<a，=故答案為：1.

lbI1

38.（2024?河南開封三模?文T14.）已知向量彳二（1,&），b=（t,2&），若之在E方向上的

投影為近，則實(shí)數(shù)r=2.

【答案】2.

【解析】向量7=（1,我），E=（t,2&），Z在E方向上的投影為遮，

3.卜—.t+4—

L7=?，即：］2解得f=2.

lbIVt2+8

39.（2024?浙江杭州二模?理T16.）已知芯是單位向量，且：，總設(shè)示=工，瓦=總0C=

加7+nE（機(jī)2">°），若△ABC為等腰直角三角形，則相=.

【答案】2或1.

【解析】依據(jù)題意，已知二E是單位向量，且設(shè)7=（L0），b=（。，1），

貝晨=（m，H）（m^n>0）,則A（1,0）,B（0,1）,C（m,幾），

,_,_,_,_,fm（m-l）+n（n-l）=0

若C為直角，即AC'BC且lAd=lBd，則,,\222Z,、2'

又由m2幾>0,解可得m=n=l,

_（n-l）=0

若2為直角，即BA，BC且陶=麻1，則<2,、2，

解可得：m=2,n=l,

同理：若。為直角，可得根=1,n=2,（不合題意，舍去）

綜合可得：m=2或1.

40.（2024?上海嘉定三模?T11.）若圓。的半徑為2,圓。的一條弦AB長為2,P是圓。上隨

意一點(diǎn)，點(diǎn)P滿意而［笆，則族.而的最大值為.

【答案】10.

【解析】【法一：建系法】如圖以AB中點(diǎn)C為原點(diǎn)建系，則

A(-l,0),B(l,0),0(0,V3)-所以圓。方程為x2+(y-“)2=4,

所以設(shè)P(2cos8,，§+2sin8),Q(xo,%),因?yàn)樽蛉瞻剩?/p>

=

BP=(2cos6-1,V3+2sin6)PQ(x0-2cos9,y0-V3-2sin0)，

所以藤?而=12cos8-2，因?yàn)閏osOe[-1,1],所以屈.市的最大值為:LO.

【法二：投影法】連接。A,0B過點(diǎn)。作OC_LAB,垂足為C,

因?yàn)槎?yPQ,所以百=4AQ垮超所以與=3AP-2AB=30P-30A-2AB'

ABAQ=AB-（30P-30A-2AB）=3AB0P-3ABOA-2|AB|2

=3|AB||0P|cos<^,0P>+3X2X2cosZ0AB-2X22

1n

<3X2X2Xl+3X2X2Xy-2X2=10-

且僅當(dāng)了II標(biāo)且同向時(shí)取等號，，亞?樂的最大值為io.

41.（2024?河南濟(jì)源平頂山許昌三模?文T14.）已知平面對量:=（1,正），三=（-?,優(yōu)），

且Ia+U=la-則13；-61=----.

【答案】675.

【解析】：向量7=（1,如）,b=（-正，機(jī)），-S-la+bl=la-bl>

-“+?〃2=0,.,.機(jī)=1,貝11137-6%=

V（3a-6b）2=79a2+36b2+36a-b=^9x4+36x4+0=^/180=65/5.

42.（2024?上海浦東新區(qū)三模?T2.）已知彳=（2,3）,石=（%x）且?力［則x=6.

【答案】6.

【解析】,?.已知■；=（2,3）,石=（%%）且Z//E，則由兩個(gè)向量共線的性質(zhì)可得

2x-3X4=0,角尾得％=6.

43.（2024?江西南昌三模?理T13.）已知兩個(gè)單位向量e1，e2，且|01+62尸1，則lerezl

【答案】V3.

【解析】???32=￡2口，且畫+\|=i；

....Q.2...2***?

Ie{+e2\=+2e1?e2+e2=2+2e1-e2=l；：.2e^e2=-l；

；?Ie[-e2I2=ei-2ej*62+?2=1+l+l=3；%-e?I

44.（2024?上海浦東新區(qū)三模?T12.）已知I示|=|瓦|=1,若存在m,neR,使得優(yōu)標(biāo)+示與

“標(biāo)+祈夾角為6?！?gt;且I（疝融+示）-屈+祇）1=2則I標(biāo)I的最小值為?

【答案】

2

【解析】由題意，AB=0B-0A-^a=0A^=mAB+0A=（l-in）OA+mOB'

b=OB?'=nAB+0B=（1+n）OB-nOA'故有4A'，B,B'共線，

,/|a-b|=|ByA''為定值，在OB1中，由余弦定理可得，

■^=1a|2+|b|2-2|a||b|cos600=|1|2+|b|2-|a||b|>IaIIbb

當(dāng)且僅當(dāng)|彳|=后I時(shí)，I|bI取最大值],此時(shí)△&'OB'面積最大，則O到AB距

離最遠(yuǎn)，即當(dāng)且僅當(dāng)A'、B'關(guān)于y軸對稱時(shí)，|麻|最小，

此時(shí)O到AB的距離為?.目?...」察=而桑弓③，即|=^.

45.（2024?湖南三模?T13.）已知單位向量之，石滿意域-2中=遮，則W與E的夾角為_丁.

O

【答案】q.

o

【解析】依據(jù)題意，設(shè)；與E的夾角為。，單位向量7,E滿意17-23=“，則有（1-2三）