2024-2025學(xué)年重慶市高三上冊9月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，2．今年高二（1）班的同學(xué)參加語文和數(shù)學(xué)兩個學(xué)科的結(jié)業(yè)水平考試，每科滿分為100分．考試成績非常優(yōu)秀，每個同學(xué)都至少有一科成績在90分以上，其中語文90分以上的有45人，數(shù)學(xué)90分以上的有48人，這兩科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（

）個同學(xué)．A．45 B．48 C．53 D．433．關(guān)于x的不等式對一切恒成立，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．19世紀(jì)美國天文學(xué)家西蒙·紐康和物理學(xué)家本·福特從實際生活得出的大量數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了個現(xiàn)象，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量10進制隨機數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．若（說明符號），則k的值為（

）A．3 B．5 C．7 D．95．某機器上有相互嚙合的大小兩個齒輪（如圖所示），大輪有25個齒，小輪有15個齒，大輪每分鐘轉(zhuǎn)3圈，若小輪的半徑為，則小輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長是（

）．A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則（

）A．， B．，C．， D．，7．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分，在每個給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．若，則下列與角的終邊可能相同的角是（

）A． B．C．， D．，10．若定義在上的函數(shù)滿足：對任意都有且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．點是圖象的一個對稱中心 B．點是圖象的一個對稱中心C．是周期函數(shù) D．11．已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，，且，則下列選項正確的是（

）A．的取值范圍是 B．C． D．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知為鈍角，，則．13．已知，，則的最大值是．14．對于函數(shù)，，若對任意的，存在唯一的使得，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．已知數(shù)列滿足，且．(1)求證：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．16．已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在處取得極大值，求的極值及單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式對一切恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．17．為研究“眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關(guān)”的問題，對某班同學(xué)的近視情況和看電子產(chǎn)品的時間進行了統(tǒng)計，得到如下的列聯(lián)表：近視情況每天看電子產(chǎn)品的時間合計超過一小時一小時內(nèi)近視10人5人15人不近視10人25人35人合計20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．(1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關(guān)；(2)在該班近視的同學(xué)中隨機抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時的概率是多少？(3)以頻率估計概率，在該班所在學(xué)校隨機抽取2人，記其中近視的人數(shù)為X，每天看電子產(chǎn)品超過一小時的人數(shù)為Y，求的值．18．已知雙曲線的離心率為，，分別為其左、右焦點，P為雙曲線上任一點，是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，的最小值是．(1)過點分別作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，與漸近線分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，求四邊形OAQB的面積；(2)若不過點Q的直線l與雙曲線交于不同的兩點M，N，且滿足．證明：直線MN過定點，并求出該定點坐標(biāo)．19．已知函數(shù)，．(1)求在上的最大值；(2)求過點且與曲線相切的直線方程；(3)證明：，．1．B【分析】利用全稱量詞命題的否定即可解答.【詳解】命題“，”為全稱量詞命題，它的否定是存在量詞命題，即，，故選：B.2．C【分析】由題意設(shè)出集合得到集合以及中元素的個數(shù)，即可得出中元素的個數(shù)．【詳解】設(shè)集合表示語文在90分以上的學(xué)生，則集合中有45個元素，集合表示數(shù)學(xué)在90分以上的學(xué)生，則集合中有48個元素，表示兩科均在90分以上的學(xué)生，則集合中有40個元素，表示至少有一科成績在90分以上的學(xué)生，由題意可知中有個元素，又因為每個同學(xué)都至少有一科成績在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故選：C．3．D【分析】當(dāng)時，可知不等式恒成立；當(dāng)時，由二次函數(shù)圖象和性質(zhì)可得不等式組，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】x的不等式對一切恒成立，當(dāng)時，不等式對一切恒成立，當(dāng)時，時，則有，解得，所以k的取值范圍是.故選：D4．B【分析】根據(jù)題意利用對數(shù)的運算法則可得，再由符號說明表達(dá)式即可求得.【詳解】易知，由可得；所以，解得.故選：B5．C【分析】根據(jù)給定條件，求出小輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)，再借助弧長公式計算即得.【詳解】由大輪有25個齒，小輪有15個齒，大輪每分鐘轉(zhuǎn)3圈，得小輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)為，因此小輪每秒鐘轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為，所以小輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長是.故選：C6．D【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得恒成立，化簡可求.【詳解】因為為奇函數(shù)，，所以，所以，所以，所以，所以，，所以，，故選：D.7．B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用在上有變號零點列式求解即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，得在上有變號零點，由，得，則，令，于是，即有，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到，由在上有變號零點，得直線與函數(shù)的圖象有交點，且當(dāng)有兩個交點時，兩個交點不重合，因此，解得，所以k的取值范圍是.故選：B8．A【分析】先得到的奇偶性和單調(diào)性，從而令，若僅有一個實數(shù)根，則，，此時推出只有兩個根，不合要求，若有兩個實數(shù)根，由對稱性可知，故和均有兩個解，有根的判別式得到且，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性得到.【詳解】的定義域為R，且，故為偶函數(shù)，且當(dāng)時，恒成立，故在0,+∞上單調(diào)遞增，由對稱性可知在上單調(diào)遞減，，令，若僅有一個實數(shù)根，則，，此時，解得或，僅有2個實數(shù)根，不合要求，舍去；若有兩個實數(shù)根，由對稱性可知，需要滿足和均有兩個解，即和均有兩個解，由，解得，又，故且，即.故選：A方法點睛：復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)問題處理思路：①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點個數(shù)或范圍；③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點個數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點個數(shù).9．ACD【分析】通過正切函數(shù)值相等，分析判斷對應(yīng)角的終邊是否相同.【詳解】對于A，，因此A正確；對于B，，因此B不正確；對于C，，因此C正確；對于D，，因此D正確。故選：ACD.10．ABD【分析】A選項，分別令和令，得，可判斷結(jié)論；B選項，分別令和令，得，可判斷結(jié)論；C選項，當(dāng)滿足已知，不符合結(jié)論，可判斷；D選項，令，證得時是3為首項1為公差的等差數(shù)列，可求.【詳解】令，則，有，令，則，得，又，所以點是圖象的一個對稱中心，故A正確；令，則，令，則，又，所以點是圖象的一個對稱中心，故B正確；設(shè)，符合題意，但不是周期函數(shù)，故C錯誤；令，有，則，令，有，，所以時是3為首項1為公差的等差數(shù)列，這樣，故D正確.故選：ABD11．BCD【分析】先令，參變分離化簡，得，我們將題中函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為，函數(shù)交點問題，然后求得a的取值范圍；利用圖像可知兩個零點的大小關(guān)系，然后去驗證兩個關(guān)系即可；然后利用兩個的關(guān)系，利用基本不等式判斷；假設(shè)正確，利用零點與的關(guān)系消元，然后利用不等式性質(zhì)以及構(gòu)造函數(shù)證明即可.【詳解】令，令，由題可知，，，令，得，顯然，當(dāng)x∈0,1時，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)x∈1,+∞時，，所以單調(diào)遞増；，得示意圖所以都符合題意，故A錯誤；由示意圖可知，顯然，當(dāng)且時，易知取兩個互為倒數(shù)的數(shù)時，函數(shù)值相等，因為，所以互為倒數(shù)，即，故B正確；，等且僅當(dāng)時等號成立，因為，所以，故C正確；因為，要證，即證，因為，所以，即證，我們分別證明，，證明：因為，所以，證明：要證，即證，不妨設(shè)，得，顯然，當(dāng)時，?′x<0，此時當(dāng)時，?′x>0，此時故，故，即，所以證得，即證得，即得，故選項D正確.故選：BCD關(guān)鍵點點睛：零點問題解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，有變量的式子，我們經(jīng)常參變分離，然后將零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，畫圖判斷即可；對于選擇題中的一些選項，我們可以假設(shè)正確，然后驗證即可；題中存在多個變量，我們經(jīng)常需要找到變量之間的關(guān)系，然后消元，變成一個變量，然后解決即可.12．【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系以及平方關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，即，又因為，可得，因此可得，即得，又因為為鈍角，所以.故13．【分析】先求出的最小值，再將化為，即可求得答案.【詳解】因為，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時等號成立，所以，即的最大值是，故14．【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，并求出函數(shù)在給定區(qū)間上的值域，再結(jié)合集合包含關(guān)系，列出不等式解題即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到；在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到，由對任意的，存在唯一的使得，得，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是將題目轉(zhuǎn)化為值域之間的包含關(guān)系，再借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，得到值域.15．(1)(2)【分析】（1）化簡已知條件，根據(jù)等比數(shù)列的知識求得正確答案.（2）先求得，然后利用錯位相減求和法求得.【詳解】（1）由得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）得，當(dāng)時，.當(dāng)時，由，得，兩式相減得，也符合，所以.所以，所以，兩式相減得，兩邊乘以得.16．(1)有極大值，無極小值，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）求出的定義域，求導(dǎo)，由得到或2，驗證后舍去，滿足要求，求出的單調(diào)區(qū)間，并得到極值情況；（2），定義域為0,+∞，求導(dǎo)，得到φx的單調(diào)性及，根據(jù)得到實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1），定義域為0,+∞，則，因為函數(shù)在處取得極大值，所以，解得或2，當(dāng)時，，令得或，令得，故在上單調(diào)遞增，在12,1上單調(diào)遞減，此時為極小值點，不合要求，當(dāng)時，，令得或，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時為極大值點，滿足要求，綜上，，有極大值，無極小值，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），定義域為0,+∞，則，因為，所以，令φ′x>0得，令φ′故φx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令得，，解得，故實數(shù)a的取值范圍是.17．(1)認(rèn)為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān)；(2)；(3).【分析】（1）假設(shè)為：學(xué)生患近視與長時間使用電子產(chǎn)品無關(guān)，求得，再根據(jù)小概率值判斷；（2）根據(jù)給定條件，利用組合計數(shù)問題及互斥事件的概率公式計算即得.（3）分別求得，，，再將概率相加即可求解．【詳解】（1）零假設(shè)為：學(xué)生患近視與長時間使用電子產(chǎn)品無關(guān)．計算可得，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān)．（2）每天看電子產(chǎn)品超過一小時的人數(shù)為，則，所以在該班近視的同學(xué)中隨機抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時的概率是．（3）依題意，，，事件包含兩種情況：①其中一人每天看電子產(chǎn)品超過一小時且近視，另一人既不近視，每天看電子產(chǎn)品也沒超過一小時；②其中一人每天看電子產(chǎn)品超過一小時且不近視，另一人近視且每天看電子產(chǎn)品沒超過一小時，于是，所以．18．(1)(2)證明見解析；【分析】（1）由題意先求出雙曲線方程，即可確定，進而設(shè)出直線方程求得坐標(biāo)，即可求得答案；（2）分類討論，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合化簡，可得的關(guān)系，即可求得直線所過定點坐標(biāo)，再說明直線斜率不存在時也過該定點，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意知，設(shè)Px0,則，當(dāng)時，取到最小值，即，又，則，故雙曲線方程為；將代入可得，由于是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，故，又雙曲線漸近線方程為，不妨設(shè)QA方程為，聯(lián)立，解得，則,設(shè)QB方程為，聯(lián)立，得，則，由雙曲線漸近線方程可知，則,則為鈍角，結(jié)合，可得，故四邊形OAQB的面積為；（2）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，則，因為，故，故即，可得即得或；當(dāng)時，直線l方程為過點，不合題意；當(dāng)時，直線l方程為過點；當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)其方程為，則