2024-2025學(xué)年重慶市九龍坡區(qū)高三上冊適應(yīng)性月考（一）數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市九龍坡區(qū)高三上學(xué)期適應(yīng)性月考（一）數(shù)學(xué)檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上．2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上．寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則集合的子集個數(shù)為（）A.16 B.8 C.4 D.2【正確答案】B【分析】化簡集合,再由集合交集運算即可求解.【詳解】所以所以集合的子集個數(shù)為8故選：B2.已知，，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得必要性，舉反例可說明不充分性，即可求解.【詳解】當(dāng)時，，故，故“”是“”的必要條件，當(dāng)時，比如，但是，故“”是“”的不充分條件，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B3.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的形式，結(jié)合對數(shù)和指數(shù)運算公式，即可求解.【詳解】因為，所以，.故選：D.4.已知角α，β都是銳角，且，是方程的兩個不等實根則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意可得，，進而由同角三角函數(shù)的關(guān)系可求的正余弦值，進而利用兩角和的余弦公式可求的值.【詳解】由，可得或，又，是方程的兩個不等實根，不妨設(shè)，，又都是銳角，所以由同角的三角函數(shù)關(guān)系可得，，.故選：A.5.我校田徑隊有十名隊員，分別記為，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊員分成甲、乙兩隊．其中將五人排成一行形成甲隊，要求與相鄰，在左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（）A.432 B.864 C.1728 D.2592【正確答案】C【分析】先計算甲隊的排列總數(shù)，分別要用上捆綁法和除序法；然后再利用插空法計算乙隊的排列總數(shù)，最后利用計數(shù)原理計算總的排列方法數(shù)即可.【詳解】甲隊，先用捆綁法，將與捆綁有種，將與看作一個整體，再用除序法得種，利用計數(shù)原理可知，一共為種；乙隊，利用插空法得種；按照計數(shù)原理可知，一共種.故選：C6.在中，若，且，則的外接圓的面積為（）A.4π B.8π C.16π D.64π【正確答案】C【分析】根據(jù)正弦定理邊角化可得，即可求解余弦值，進而可得正弦值，利用正弦定理即可得半徑求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，設(shè)，，，，則，由正弦定理得，，即，則外接圓面積為，故選：C．7.若次多項式滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式．如，由可得切比雪夫多項式，同理可得．利用上述信息計算（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)切比雪夫多項式得，即可取，結(jié)合二倍角公式以及同角關(guān)系求解.【詳解】由于,，即，變形可得，即，解可得：或（舍，則有，即，故選：A8.若，，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】分別構(gòu)造函數(shù)和，求導(dǎo)即可得到函數(shù)的單調(diào)性，進而可求解.【詳解】設(shè),則當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，故,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，故，故，即，設(shè)，則，故當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，因此，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，即，故，故選：D方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計的知識，其中說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位數(shù)是1B.已知隨機變量，若，，則C.若事件M，N概率滿足，且，則M與N相互獨立D.若一組樣本數(shù)據(jù)（，2，…，n）的對應(yīng)樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為【正確答案】ABC【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算判斷A，由二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式計算可判斷B，根據(jù)相互獨立事件及條件概率的概率公式計算可判斷C，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可判斷D.【詳解】對于選項A，8個數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，所以第25百分位數(shù)應(yīng)該是第二個與第三個的平均數(shù)，故A正確；對于選項B，因為，，，所以，解得，故B正確；對于選項C，由，可得，即，即，所以M與N相互獨立，故C正確；對于選項D，因為樣本點都在直線上，說明是負相關(guān)且線性相關(guān)性很強，所以相關(guān)系數(shù)為，故D錯誤.故選：ABC.10.若，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為2B.的最小值為C.D.若實數(shù)，則的最小值為8【正確答案】AD【分析】根據(jù)題意，利用題設(shè)條件，結(jié)合基本不等式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為2，故A正確；對于B，由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為4，所以B錯誤；對于C，因為，，且，所以，又，所以，故C錯誤；對于D，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為8，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的一個周期為π B.函數(shù)的一個對稱中心為C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.方程在區(qū)間上共有6個不同實根【正確答案】ACD【分析】根據(jù)即可判斷A，根據(jù)可判斷B，利用三角恒等變換得，即可利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解C，利用一元二次方程以及三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象即可求解D.【詳解】對于A，，故函數(shù)的一個周期為π，A正確，對于B，，故關(guān)于對稱，B錯誤，對于C，令，由于時，，故，故，開口向下，且對稱軸為，故在單調(diào)遞減，且在單調(diào)遞減，因此單調(diào)遞增，故C正確，對于D，由于，令，則，故或，進而得或或或，當(dāng)時，，作出，的圖象如下：故或分別有2個交點，或，分別有1個交點，故方程在區(qū)間上共有6個不同實根，D正確，故選：ACD關(guān)鍵點點睛：利用和差角公式以及二倍角公式將化簡為，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及二次方程求解.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)在處取得極值，則函數(shù)的極大值為______．【正確答案】2【分析】利用函數(shù)取得極值得，并代入原函數(shù)求單調(diào)性檢驗；所得的單調(diào)性，利用函數(shù)的極值的定義即可求解【詳解】，則，因為函數(shù)在處取得極值，所以，故，則，令f'x>0，解得或；令f'x所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是極值點，符合要求，故且為極大值點，的極大值為.故2.13.已知函數(shù)，直線和點是的一組相鄰的稱軸和對稱中心，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意求出周期，從而求出，又因為且在區(qū)間上單調(diào)遞減從而求出，再由，即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得周期，所以，所以，則時單調(diào)遞減，即，又因為fx在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以則，解得：，又因為，所以，又因為，解得，所以.故答案為.14.函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，，且為奇函數(shù)，______．【正確答案】【分析】求導(dǎo)得，進一步得，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得，進而聯(lián)合可得，可得為等差數(shù)列，即可根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】對求導(dǎo)可得，故，則，又為奇函數(shù)，所以，因此，故，故，因此可得，故為等差數(shù)列，且公差為，首項為，，故答案：四、解答題（共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且，.（1）求邊的值；（2）求內(nèi)角的角平分線的長．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換運算求解可得，即可利用余弦定理求解或，利用銳角三角形即可得；（2）利用等面積法，結(jié)合三角形的面積公式即可求解．【小問1詳解】因為，由正弦定理可得：，即，又因為，則，可得，又因為，所以．余弦定理可得，即，則，解得：，或，由于三角形為銳角三角形，故，故，進而只取，故.【小問2詳解】根據(jù)面積關(guān)系可得，即，解得：．16.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）若先將的圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉肀叮賹⒑瘮?shù)圖象向右平移個單位，將函數(shù)圖象上每個點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將函數(shù)圖象向上平移個單位，得到函數(shù)圖象，求在上的值域和單調(diào)遞減區(qū)間．【正確答案】（1）（2）的值域為，在上單調(diào)遞減.【分析】（1）化簡可得的解析式，進而可得可得，利用二倍角的余弦公式可求的值；（2）求得的解析式，結(jié)合已知可求的值域與單調(diào)遞減區(qū)間.【小問1詳解】；又，可得，.【小問2詳解】將的圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉肀?，可得解析式為，再將函?shù)圖象向右平移個單位，可得函數(shù)的解析式為，將函數(shù)圖象上每個點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，，再將函數(shù)圖象向上平移個單位，得到函數(shù)，由，可得，，所以，所以的值域為；由，得又，所以在上單調(diào)遞減.17.某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產(chǎn)電池的機器進行參數(shù)調(diào)試，在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機抽取樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：產(chǎn)品合格不合格合計調(diào)試前451560調(diào)試后35540合計8020100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；（2）現(xiàn)從調(diào)試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調(diào)試，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機抽取調(diào)試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為，求使事件“”的概率最大時的取值.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.828【正確答案】（1）依據(jù)的獨立性檢驗，可認為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（3）875【分析】（1）計算的值，將其與對應(yīng)的小概率值比較即得；（2）先算出抽取的8件產(chǎn)品中的合格品與不合格品的數(shù)目，再從中抽取3件，根據(jù)合格品件數(shù)的可能值運用超幾何分布概率計算出概率，列出分布列計算數(shù)學(xué)期望即得；（3）分析得出，利用二項分布概率公式得出再利用作商法分析得時，事件“”的概率最大.【小問1詳解】零假設(shè)為：假設(shè)依據(jù)的獨立性檢驗，認為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)；則，故依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)說明零假設(shè)不成立，因此可認為成立，即認為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)；小問2詳解】依題意，用分層隨機抽樣法抽取的8件產(chǎn)品中，合格產(chǎn)品有件，不合格產(chǎn)品有2件，而從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件，其中的合格品件數(shù)的可能值有.則.故的分布列為：123則；【小問3詳解】依題意，因隨機抽取調(diào)試后的產(chǎn)品的合格率為，故，則由，故由可解得，因，故當(dāng)時，單調(diào)遞增；由可解得，即當(dāng)時，單調(diào)遞減.故當(dāng)事件“”的概率最大時，.方法點睛：（1）計算卡方值，并與小概率值比較得出結(jié)論；（2）求隨機變量的分布列關(guān)鍵在于判斷滿足的概率模型；（3）對于二項分布中概率最大值問題，一般考慮作商后分析判斷商與1的大小即得.18.在平面直角坐標(biāo)系中，若點繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)θ角后得到點，則，．已知曲線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后得到曲線：．（1）求曲線的方程；（2）已知，分別是曲線的上、下焦點，M，N是曲線上兩動點且它們分布在y軸同側(cè)、x軸異側(cè)，，若，求實數(shù)λ的值；（3）在（2）問中，若與的交點為P，則是否存在兩個定點，，使得為定值？若存在，求，的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）（2）（3），分別為，且定值為6【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)可得相關(guān)點坐標(biāo)，即可代入求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)關(guān)系可得，進而得，利用兩點距離公式，代入化簡即可求解，（3）根據(jù)平行得相似，即可根據(jù)相似比，結(jié)合雙曲線定義即可化簡求解.【小問1詳解】由于曲線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后得到曲線：，故曲線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到曲線：．設(shè)是上任意一點，繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)θ角后得到點，則，，由于在上，所以，化簡得，故的方程為，【小問2詳解】設(shè)直線，,,聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得，Δ=4所以由韋達定理可得，，Δ因為，故，，即，，化簡得，代入可得，故，結(jié)合，故，由可得，由于在雙曲線上，故，所以，代入和可得，故【小問3詳解】由雙曲線方程可得，不妨設(shè)，由（2）知，故，由于，則，，，因此，故存在兩個定點，，使得為定值，且，分別為，且定值為6關(guān)鍵點點睛：利用向量共線坐標(biāo)關(guān)系得，利用得，代入兩點距離化簡可得，第三中，利用（2）的結(jié)合和相似，結(jié)合雙曲線的定義求解.19.已知曲線（，為自然對數(shù)的底數(shù)）在處的切線的傾斜角為，函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)t的最大值；（2）證明：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在內(nèi)有5個不同的交點；（3）記（2）中的5個交點分別為A，B，C，D，E，橫坐標(biāo)依次為，，，，（），求證：．【正確答案】（1）（2）答案見詳解（3）答案見詳解【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)φx的單調(diào)遞增區(qū)間，即可求出實數(shù)t（2）將問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在內(nèi)有5個零點；（3）通過觀察可知，，即轉(zhuǎn)化為求證，再根據(jù)和均在區(qū)間，且在單調(diào)遞減，所以只需證明即可.【小問1詳解】，，即，，，令，解得，所以φx在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以實數(shù)的最大值為；【小問2詳解】證明：令，，設(shè)，則