人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-全冊(cè)全套試卷測(cè)試卷附答案

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)全套試卷測(cè)試卷附答案一、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形解答題壓軸題（難）1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D（m，m+8）在第二象限，點(diǎn)B（0，n）在y軸正半軸上，作DA⊥x軸，垂足為A，已知OA比OB的值大2，四邊形AOBD的面積為12．（1）求m和n的值．（2）如圖2，C為AO的中點(diǎn)，DC與AB相交于點(diǎn)E，AF⊥BD，垂足為F，求證：AF＝DE．（3）如圖3，點(diǎn)G在射線AD上，且GA＝GB，H為GB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作∠HAN交y軸于點(diǎn)N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即當(dāng)點(diǎn)H在GB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NB﹣HB的值不會(huì)發(fā)生變化．【解析】【分析】（1）由點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)和四邊形AOBD的面積為12，可列方程組，解方程組即可；（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝，利用SAS可證△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面積公式即可求證；（3）取OC＝OB，連接AC，根據(jù)對(duì)稱性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，證明△ABH≌△CAN，即可得到結(jié)論.【詳解】解：（1）由題意解得；（2）如圖2中，由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），∴AD＝OA＝4，OB＝2，∴由勾股定理可得：AB＝BD＝，∵AC＝OC＝2，∴AC＝OB，∵∠DAC＝∠AOB＝90°，AD＝OA，∴△DAC≌△AOB（SAS），∴∠ADC＝∠BAO，∵∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AF⊥BD，DE⊥AB，∴S△ADB＝?AB?AE＝?BD?AF，∵AB＝BD，∴DE＝AF．（3）解：如圖，取OC＝OB，連接AC，根據(jù)對(duì)稱性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，∵AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵G為射線AD上的一點(diǎn)，∴AG∥y軸，∴∠GAB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠EBA，∴180°﹣∠GBA＝180°﹣∠ACB，即∠ABG＝∠ACN，∵∠GAN＝∠GBO，∴∠AGB＝∠ANC，在△ABG與△ACN中，，∴△ABH≌△ACN（AAS），∴BF＝CN，∴NB﹣HB＝NB﹣CN＝BC＝2OB，∵OB＝2∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），即當(dāng)點(diǎn)H在GB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NB﹣HB的值不會(huì)發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是相結(jié)合添加常用輔助線，構(gòu)造圖形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．2．（1）問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（3）結(jié)論應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．（4）能力提高：如圖4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，試求出MN的長(zhǎng)．【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN＝．【解析】試題分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG，再證△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）連接EF，延長(zhǎng)AE，BF相交于點(diǎn)C，根據(jù)探索延伸可得EF=AE+FB，即可計(jì)算出EF的長(zhǎng)度；（4）在△ABC外側(cè)作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，連接CD，DN，證明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再證MN=ND，則求出ND的長(zhǎng)度，即可得到答案．解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）EF＝BE＋FD仍然成立．證明：如答圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE與△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－∠BAD＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF．在△AEF與△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．∴EF＝BE＋FD．（3）如答圖2，連接EF，延長(zhǎng)AE，BF相交于點(diǎn)C，在四邊形AOBC中，∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF＝AE＋FB成立．∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）.答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為210海里；（4）如答圖3，在△ABC外側(cè)作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，連接CD，DN，在△ACD與△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，則△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°，∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°，∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD，又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°，∴對(duì)于四邊形AMCD符合探索延伸，則ND=MN，∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3，∴MN=ND=．3．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下問(wèn)題：①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°．②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由見(jiàn)解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】【分析】（1）首先連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根據(jù)∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根據(jù)∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度數(shù)即可.【詳解】（1）如圖，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：過(guò)點(diǎn)A、D作射線AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如圖（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案為：50；②如圖（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用，熟知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.4．已知點(diǎn)P是線段MN上一動(dòng)點(diǎn)，分別以PM，PN為一邊，在MN的同側(cè)作△APM，△BPN，并連接BM，AN．（Ⅰ）如圖1，當(dāng)PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°時(shí)，試猜想BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想；（Ⅱ）如圖2，當(dāng)△APM，△BPN都是等邊三角形時(shí)，（Ⅰ）中BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，試說(shuō)明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，連接AB得到圖3，當(dāng)PN＝2PM時(shí)，求∠PAB度數(shù)．【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）結(jié)論成立.（3）90°．【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件可證△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延長(zhǎng)MB交AN于點(diǎn)C，得出,因此有BM⊥AN；(2)根據(jù)所給條件可證△MPB≌△APN，得出結(jié)論BM＝AN；(3)取PB的中點(diǎn)C，連接AC，AB，通過(guò)已知條件推出△APC為等邊三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，進(jìn)一步得出∠PAB的度數(shù).【詳解】解：（Ⅰ）結(jié)論：BM＝AN，BM⊥AN．理由：如圖1中，∵M(jìn)P＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延長(zhǎng)MB交AN于點(diǎn)C．∵△MBP≌△ANP，∴∠PAN＝∠PMB，∵∠PAN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）結(jié)論成立理由：如圖2中，∵△APM，△BPN，都是等邊三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝PA，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）如圖3中，取PB的中點(diǎn)C，連接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等邊三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵點(diǎn)C是PB的中點(diǎn)，且PN＝2PM，∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC為等邊三角形，∴∠PAC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于全等三角形的綜合性題目，充分考查了學(xué)生對(duì)全等三角形的判定定理及其性質(zhì)的應(yīng)用的能力，此類題目常常需要數(shù)形結(jié)合，借助輔助線才得以解決，因此，作出合理正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，5），B（12，0），在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直線CO交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）根據(jù)題意，可求得OE＝；（2）求證：△ADO≌△ECO；（3）動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿E﹣O﹣B路線運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，到B點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)沿B﹣O﹣E運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位，到E點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)．二者同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)才能停止．在某時(shí)刻，作PM⊥CD于點(diǎn)M，QN⊥CD于點(diǎn)N．問(wèn)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間△OPM與△OQN全等？【答案】（1）5；（2）見(jiàn)解析；（3）當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為、、10秒時(shí)，△OPM與△OQN全等【解析】【分析】（1）根據(jù)OA=OE即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)ASA證明三角形全等即可解決問(wèn)題．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸時(shí)若二者都沒(méi)有提前停止，當(dāng)點(diǎn)Q提前停止時(shí)；列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵A（0，5），∴OE＝OA＝5，故答案為5．（2）如圖1中，∵OE＝OA，OB⊥AE，∴BA＝BE，∴∠BAO＝∠BEO，∵∠CEF＝∠AEB，∴∠CEF＝∠BAO，∴∠CEO＝∠DAO，在△ADO與△ECO中，，∴△ADO≌△ECO（ASA）．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)PO＝QO時(shí)，易證△OPM≌△OQN．分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)PO＝QO得：5﹣t＝12﹣3t，解得t＝（秒），②當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)PO＝QO得：5﹣t＝3t﹣12，解得t＝（秒），③當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸上時(shí)，若二者都沒(méi)有提前停止，則PO＝QO得：t﹣5＝3t﹣12，解得t＝（秒）不合題意；當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E提前停止時(shí)，有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），綜上所述：當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為、、10秒時(shí)，△OPM與△OQN全等．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．二、八年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱解答題壓軸題（難）6．（1）如圖①，D是等邊△ABC的邊BA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊，在BC上方作等邊△DCF，連接AF，你能發(fā)現(xiàn)AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線時(shí)，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；（3）Ⅰ.如圖③，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D與B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方和下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF，BF′，探究AF，BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的探究的結(jié)論；Ⅱ．如圖④，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC的邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結(jié)論是否成立？若不成立，是否有新的結(jié)論？并證明你得出的結(jié)論．【答案】（1）AF=BD，理由見(jiàn)解析；（2）AF與BD在（1）中的結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析；（3）Ⅰ.AF+BF′=AB，理由見(jiàn)解析，Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是AF=AB+BF′，理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，從而得∠BCD=∠ACF，根據(jù)SAS證明△BCD≌△ACF，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)SAS證明△BCD≌△ACF，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）Ⅰ．易證△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），進(jìn)而即可得到結(jié)論；Ⅱ．證明△BCF′≌△ACD，結(jié)合AF=BD，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）結(jié)論：AF=BD，理由如下：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°，同理知，DC=CF，∠DCF=60°，∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，在△BCD和△ACF中，∵，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF；（2）AF與BD在（1）中的結(jié)論成立，理由如下：如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°，同理知，DC=CF，∠DCF=60°，∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF，在△BCD和△ACF中，∵，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF；（3）Ⅰ．AF+BF′=AB，理由如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF；同理：△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，∴AF+BF′=BD+AD=AB；Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是AF=AB+BF′，理由如下：同理可得：，，在△BCF′和△ACD中，，∴△BCF′≌△ACD（SAS），∴BF′=AD，又由（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)定理，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．7．在等邊△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，DE=DA(如圖1)．(1)求證：∠BAD=∠EDC；(2)若點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為M(如圖2)，連接DM，AM．求證：DA=AM．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和外角性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可.（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得DM=DA，然后結(jié)合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出∠ADM=60°即可.【詳解】解：(1)如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由軸對(duì)稱可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC+∠ADB=120°，∴∠ADM=60°，∴△ADM是等邊三角形，∴AD=AM．【點(diǎn)睛】本題主要考察了軸對(duì)稱和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì).8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在x正半軸上．（1）如圖，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的兩條角平分線，且BD、CE交于點(diǎn)F，直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng)_____．（2）如圖，△ABD是等邊三角形，以線段BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCQ，連接QD并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足PD＝DC？請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OP的最小值．【答案】（1）6；（2）C的坐標(biāo)為（12，0）；（3）.【解析】【分析】（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延長(zhǎng)線于H，分別證明△OBD≌△HCD和△AOB≌△FHC，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等解答；（2）證明△CBA≌△QBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；（3）以O(shè)A為對(duì)稱軸作等邊△ADE，連接EP，并延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn)F．證明點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短解答．【詳解】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延長(zhǎng)線于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF=AB=6，故答案為6；（2）∵△ABD和△BCQ是等邊三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（12，0）；（3）如圖3，以O(shè)A為對(duì)稱軸作等邊△ADE，連接EP，并延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn)F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OP⊥EF時(shí)，OP最小，∴OP＝OF＝則OP的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AB=DE，BE∥AC．（1）求證：△ABC≌△DEB；（2）連結(jié)AD、AE、CE，如圖2．①求證：CE是∠ACB的角平分線；②請(qǐng)判斷△ABE是什么特殊形狀的三角形，并說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①詳見(jiàn)解析；②△ABE是等腰三角形，理由詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=BC，D是BC中點(diǎn)可得AC=BD，利用HL即可證明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BCE=45°，進(jìn)而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根據(jù)SAS可證明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可證明△ABE是等腰三角形.【詳解】（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC∴∠CBE=90°∴△ABC和△DEB都是直角三角形∵AC=BC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)∴AC=BD又∵AB=DE∴△ABC≌△DEB（H.L.）（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB∴BC=EB又∵∠CBE=90°∴∠BCE=45°∴∠ACE=90°-45°=45°∴∠BCE=∠ACE∴CE是∠ACB的角平分線②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中∴△ACE≌△DCE（SAS）.∴AE=DE又∵AB=DE∴AE=AB∴△ABE是等腰三角形【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的判斷與性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.10．如果一個(gè)三角形能被一條線段割成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這條線段為這個(gè)三角形的特異線，稱這個(gè)三角形為特異三角形．（1）如圖1，是等腰銳角三角形，，若的角平分線交于點(diǎn)，且是的一條特異線，則度．（2）如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：是的一條特異線；（3）如圖3，若是特異三角形，，為鈍角，不寫(xiě)過(guò)程，直接寫(xiě)出所有可能的的度數(shù)．【答案】（1）72；（2）證明見(jiàn)解析；（3）∠B度數(shù)為：135°、112.5°或140°.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，據(jù)此進(jìn)一步利用三角形內(nèi)角和定理列出方程求解即可；（2）通過(guò)證明△ABE與△AEC為等腰三角形求解即可；（3）根據(jù)題意分當(dāng)BD為特異線、AD為特異線以及CD為特異線三種情況分類討論即可.【詳解】（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，∵BD是△ABC的一條特異線，∴△ABD與△BCD為等腰三角形，∴AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，設(shè)∠A=x，則∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠BDC=72°，故答案為：72；（2）∵DE是線段AC的垂直平分線，∴EA=EC，∴△EAC為等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴△EAB為等腰三角形，∴AE是△ABC的一條特異線；（3）如圖3，當(dāng)BD是特異線時(shí)，如果AB=BD=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；如果AD=AC，DB=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；如果AD=DB，DC=DB，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合題意，舍去；如圖4，當(dāng)AD是特異線時(shí)，AB=BD，AD=DC，則：∠ABC=180°?20°?20°=140°；當(dāng)CD為特異線時(shí)，不符合題意；綜上所述，∠B度數(shù)為：135°、112.5°或140°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.三、八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題（難）11．（閱讀材料）因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法.（問(wèn)題解決）（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）證明：若為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．【答案】（1）．（2）；（3）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）把（x-y）看作一個(gè)整體，直接利用十字相乘法因式分解即可；（2）把a(bǔ)+b看作一個(gè)整體，去括號(hào)后利用完全平方公式即可將原式因式分解；（3）將原式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步整理為（n2+3n+1）2，根據(jù)n為正整數(shù)得到n2+3n+1也為正整數(shù)，從而說(shuō)明原式是整數(shù)的平方．【詳解】（1）；（2）；（3）原式．∵為正整數(shù)，∴為正整數(shù)．∴代數(shù)的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問(wèn)題的方法．12．一個(gè)四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為，十位上和個(gè)位上的數(shù)字之和為，如果，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“和平數(shù)”．例如：1423，，，因?yàn)?，所?423是“和平數(shù)”．（1）直接寫(xiě)出：最小的“和平數(shù)”是，最大的“和平數(shù)”是；（2）將一個(gè)“和平數(shù)”的個(gè)位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時(shí)，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后的這兩個(gè)“和平數(shù)”為一組“相關(guān)和平數(shù)”．例如：1423與4132為一組“相關(guān)和平數(shù)”求證：任意的一組“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．（3）求個(gè)位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12的倍數(shù)的所有“和平數(shù)”；【答案】（1）1001，9999；（2）見(jiàn)詳解；（3）2754和4848【解析】【分析】（1）根據(jù)和平數(shù)的定義，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)任意的兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”為，（a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到結(jié)論．（3）設(shè)這個(gè)“和平數(shù)”為，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、當(dāng)a=2，d=4時(shí)，2（c+1）=12k，得到c=5則b=7；②、當(dāng)a=4，d=8時(shí)，得到c=4則b=8，于是得到結(jié)論；【詳解】解：（1）由題意得，最小的“和平數(shù)”1001，最大的“和平數(shù)”9999，故答案為：1001，9999；（2）設(shè)任意的兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”為，（a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），則=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b）；即兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．（3）設(shè)這個(gè)“和平數(shù)”為，則d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，∴2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①當(dāng)a=2，d=4時(shí)，2（c+1）=12k，可知c+1=6k且a+b=c+d，∴c=5則b=7，②當(dāng)a=4，d=8時(shí)，2（c+2）=12k，可知c+2=6k且a+b=c+d，∴c=4則b=8，綜上所述，這個(gè)數(shù)為：2754和4848．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，正確的理解新概念和平數(shù)”是解題的關(guān)鍵．13．已知一個(gè)三位自然數(shù)，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱這個(gè)數(shù)為“和數(shù)”，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“諧數(shù)”．如果一個(gè)數(shù)即是“和數(shù)”，又是“諧數(shù)”，則稱這個(gè)數(shù)為“和諧數(shù)”．例如，，是“和數(shù)”，，是“諧數(shù)”，是“和諧數(shù)”．（1）最小的和諧數(shù)是，最大的和諧數(shù)是；（2）證明：任意“諧數(shù)”的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)；（3）已知（，且均為整數(shù)）是一個(gè)“和數(shù)”，請(qǐng)求出所有．【答案】（1）110；954；（2）見(jiàn)解析；（3）或853或826.【解析】【分析】（1）根據(jù)“和數(shù)”與“諧數(shù)”的概念求解可得；（2）設(shè)“諧數(shù)”的百位數(shù)字為x、十位數(shù)字為y，個(gè)位數(shù)字為z，根據(jù)“諧數(shù)”的概念得x=y2-z2=（y+z）（y-z），由x+y+z=（y+z）（y-z）+y+z=（y+z）（y-z+1）及y+z、y-z+1必然一奇一偶可得答案；（3）先判斷出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，據(jù)此可得m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-3），根據(jù)“和數(shù)”的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，從而進(jìn)一步求解可得．【詳解】（1）最小的和諧數(shù)是110，最大的和諧數(shù)是954.（2）設(shè)：“諧數(shù)”的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為y，個(gè)位數(shù)字為z（且且均為正數(shù)），由題意知，，∴，z∵與奇偶性相同，∴與必一奇一偶，∴必是偶數(shù)，∴任意“諧數(shù)”的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)；（3）∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵m為和數(shù)，∴，即，∴或或，∴或853或826.【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意、熟練掌握“和數(shù)”與“諧數(shù)”的概念及整式的運(yùn)算、不等式的性質(zhì)．14．我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來(lái)解釋，例如：圖A可以用來(lái)解釋，實(shí)際上利用一些卡片拼成的圖形面積也可以對(duì)某些二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．

（1）圖B可以解釋的代數(shù)恒等式是

；（2）現(xiàn)有足夠多的正方形和矩形卡片（如圖C），試畫(huà)出一個(gè)用若干張1號(hào)卡片、2號(hào)卡片和3號(hào)卡片拼成的矩形（每?jī)蓧K紙片之間既不重疊，也無(wú)空隙，拼出的圖中必須保留拼圖的痕跡），使該矩形的面積為，并利用你所畫(huà)的圖形面積對(duì)進(jìn)行因式分解．【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)圖所示，可以得到長(zhǎng)方形長(zhǎng)為2a，寬為a+b，面積為：2a（a+b），或四個(gè)小長(zhǎng)方形和正方形面積之和；（2）①根據(jù)題意，可以畫(huà)出相應(yīng)的圖形然后完成因式分解.試題解析：（1）（2）①根據(jù)題意，可以畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示②因式分解為：15．在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代，密碼與我們的生活已經(jīng)緊密相連，密不可分．而諸如“123456”、生日等簡(jiǎn)單密碼又容易被破解，因此利用簡(jiǎn)單方法產(chǎn)生一組容易記憶的6位數(shù)密碼就很有必要了．有一種用“因式分解法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，如多項(xiàng)式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的結(jié)果為（x﹣1）（x+1）（x+2），當(dāng)x＝18時(shí)，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此時(shí)可以得到數(shù)字密碼171920．（1）根據(jù)上述方法，當(dāng)x＝21，y＝7時(shí)，對(duì)于多項(xiàng)式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些數(shù)字密碼？（寫(xiě)出兩個(gè)）（2）若多項(xiàng)式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本題的方法，當(dāng)x＝27時(shí)可以得到其中一個(gè)密碼為242834，求m、n的值．【答案】（1）可以形成的數(shù)字密碼是：212814、211428；（2）m的值是56，n的值是17．【解析】【分析】（1）先將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，然后再根據(jù)數(shù)字密碼方法形成數(shù)字密碼即可；（2）設(shè)x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），當(dāng)x＝27時(shí)可以得到其中一個(gè)密碼為242834，得到方程解出p、q、r，然后回代入原多項(xiàng)式即可求得m、n【詳解】（1）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），當(dāng)x＝21，y＝7時(shí)，x+y＝28，x﹣y＝14，∴可以形成的數(shù)字密碼是：212814、211428；（2）設(shè)x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），∵當(dāng)x＝27時(shí)可以得到其中一個(gè)密碼為242834，∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，∴得，即m的值是56，n的值是17．【點(diǎn)睛】本題屬于閱讀理解題型，考查知識(shí)點(diǎn)以因式分解為主，本題第一問(wèn)關(guān)鍵在于理解題目中給到的數(shù)字密碼的運(yùn)算規(guī)則，第二問(wèn)的關(guān)鍵在于能夠?qū)⒃囗?xiàng)式設(shè)成（x+p）（x+q）（x+r），解出p、q、r四、八年級(jí)數(shù)學(xué)分式解答題壓軸題（難）16．小明和小強(qiáng)兩名運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者周末相約到濱江大道進(jìn)行跑步鍛煉．（1）周六早上6點(diǎn)，小明和小強(qiáng)同時(shí)從家出發(fā)，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500米和1200米的濱江大道入口匯合，結(jié)果同時(shí)到達(dá).若小明每分鐘比小強(qiáng)多行220米，求小明和小強(qiáng)的速度分別是多少米/分？（2）兩人到達(dá)濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強(qiáng)的跑步速度是小明跑步速度的倍，兩人在同起點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，結(jié)果小強(qiáng)先到目的地分鐘．①當(dāng)，時(shí)，求小強(qiáng)跑了多少分鐘？②小明的跑步速度為_(kāi)______米/分（直接用含的式子表示）．【答案】（1）小強(qiáng)的速度為80米/分，小明的速度為300米/分；（2）①小強(qiáng)跑的時(shí)間為3分；②．【解析】【分析】（1）設(shè)小強(qiáng)的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，根據(jù)路程除以速度等于時(shí)間得到方程，解方程即可得到答案；（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，由m＝3，n＝6，根據(jù)小明的時(shí)間-小強(qiáng)的時(shí)間=6列方程解答；②根據(jù)路程一定，時(shí)間與速度成反比，可求小強(qiáng)的時(shí)間進(jìn)而求出小明的時(shí)間，再根據(jù)速度=路程除以時(shí)間得到答案.【詳解】（1）設(shè)小強(qiáng)的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，根據(jù)題意得：＝．解得：x＝80．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是原方程的根，且符合題意．∴x+220＝300．答：小強(qiáng)的速度為80米/分，小明的速度為300米/分．（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，∵m＝3，n＝6，∴，解之得.經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴小強(qiáng)跑的時(shí)間為：（分）②小強(qiáng)跑的時(shí)間：分鐘，小明跑的時(shí)間：分鐘，小明的跑步速度為：分．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的應(yīng)用，正確理解題意根據(jù)路程、時(shí)間、速度三者的關(guān)系列方程解答是解題的關(guān)鍵.17．一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)的；若由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作60天完成．(1)求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？(2)已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為8.6萬(wàn)元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為5.4萬(wàn)元，工程預(yù)算的施工費(fèi)用為1000萬(wàn)元，若在甲、乙工程隊(duì)工作效率不變的情況下使施工時(shí)間最短，問(wèn)安排預(yù)算的施工費(fèi)用是否夠用？若不夠用，需追加預(yù)算多少萬(wàn)元？【答案】(1)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需120天、180天(2)工程預(yù)算的施工費(fèi)用不夠用，需追加預(yù)算8萬(wàn)元【解析】試題分析：（1）首先表示出甲、乙兩隊(duì)需要的天數(shù)，進(jìn)而利用由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作60天完成得出等式求出答案；（2）首先求出兩隊(duì)合作需要的天數(shù)，進(jìn)而求出答案．試題解析：解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天．根據(jù)題意，得，解得：x=180．經(jīng)檢驗(yàn)，x=180是原方程的根，∴=×180=120，答：甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需120天和180天；（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程需要y天，則有，解得y=72．需要施工費(fèi)用：72×（8.6+5.4）=1008（萬(wàn)元）．∵1008＞1000，∴工程預(yù)算的施工費(fèi)用不夠用，需追加預(yù)算8萬(wàn)元．點(diǎn)睛：此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司，合做需6周完成，需工錢5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周才能完成，需工錢4.8萬(wàn)元，若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開(kāi)支角度考慮，小明家是選甲公司、還是乙公司請(qǐng)你說(shuō)明理由．【答案】從節(jié)約開(kāi)支角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨(dú)完成【解析】試題分析：需先算出甲乙兩公司獨(dú)做完成的周數(shù)．等量關(guān)系為：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；還需算出甲乙兩公司獨(dú)做需付的費(fèi)用．等量關(guān)系為：甲做6周所需錢數(shù)+乙做6周所需錢數(shù)=5.2；甲做4周所需錢數(shù)+乙做9周所需錢數(shù)=4.8．試題解析：解：設(shè)甲公司單獨(dú)完成需x周，需要工錢a萬(wàn)元，乙公司單獨(dú)完成需y周，需要工錢b萬(wàn)元．依題意得：，解得：．經(jīng)檢驗(yàn)：是方程組的根，且符合題意．又，解得：．即甲公司單獨(dú)完成需工錢6萬(wàn)元，乙公司單獨(dú)完成需工錢4萬(wàn)元．答：從節(jié)約開(kāi)支角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨(dú)完成．點(diǎn)睛：本題主要考查分式的方程的應(yīng)用，根據(jù)題干所給的等量關(guān)系求出兩公司單獨(dú)完成所需時(shí)間和工錢，然后比較應(yīng)選擇哪個(gè)公司．19．閱讀下面的解題過(guò)程：已知，求的值。解：由知≠0，所以∴，故的值為評(píng)注：該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解下面的題目已知，求的值?！敬鸢浮浚窘馕觥俊痉治觥渴紫雀鶕?jù)解答例題可得=7，進(jìn)而可得x+=8，再求的倒數(shù)的值，進(jìn)而可得答案．【詳解】∵=，∴=7，x+=8．∵=x2++1=（x+）2﹣2+1=82﹣1=63，∴=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是理解例題的解法，掌握解題方法后，再根據(jù)例題方法解答．20．楊梅是漳州的特色時(shí)令水果.楊梅一上市，水果店的老板用1200元購(gòu)進(jìn)一批楊梅，很快售完；老板又用2500元購(gòu)進(jìn)第二批楊梅，所購(gòu)件數(shù)是第一批的2倍，但進(jìn)價(jià)每件比第一批多了5元.（1）第一批楊梅每件進(jìn)價(jià)多少元？（2）老板以每件150元的價(jià)格銷售第二批楊梅，售出后，為了盡快售完，決定打折促銷.要使得第二批楊梅的銷售利潤(rùn)不少于320元，剩余的楊梅每件售價(jià)至少打幾折（利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)）？【答案】（1）120元（2）至少打7折．【解析】【分析】（1）設(shè)第一批楊梅每件進(jìn)價(jià)是x元，則第二批每件進(jìn)價(jià)是（x+5）元，再根據(jù)等量關(guān)系：第二批楊梅所購(gòu)件數(shù)是第一批的2倍；（2）設(shè)剩余的楊梅每件售價(jià)y元，由利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，根據(jù)第二批的銷售利潤(rùn)不低于320元，可列不等式求解．【詳解】解：(1)設(shè)第一批楊梅每件進(jìn)價(jià)是x元，則解得經(jīng)檢驗(yàn)，x=120是原方程的解且符合題意．答：第一批楊梅每件進(jìn)價(jià)為120元．(2)設(shè)剩余的楊梅每件售價(jià)打y折．則解得y≥7.答：剩余的楊梅每件售價(jià)至少打7折．【點(diǎn)睛】考查分式方程的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用，讀懂題目，從題目中找出等量關(guān)系以及不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.五、八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形解答題壓軸題（難）21．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了一個(gè)問(wèn)題：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，那么三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系？（1）獨(dú)立思考，請(qǐng)你完成老師提出的問(wèn)題：如圖所示，已知∠DBC和∠BCE分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A和∠DBC，∠BCE之間的數(shù)量關(guān)系.解：⑵合作交流，“創(chuàng)新小組”受此問(wèn)題的啟發(fā)：分別作外角∠CBD和∠BCE的平分線BF和CF，交于點(diǎn)F（如圖所示），那么∠A與∠F之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程.【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180o（2）∠A+∠F=90o【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.（2）根據(jù)角平分線可知∠FBC+∠FCB=（∠DBC+∠BCE，）再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合（1）即可解答.【詳解】⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180o.∠DBC+∠BCE=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A=180°+∠A即∠DBC+∠BCE－∠A=180o.（2）∠A+∠F=90°∵BF和CF分別平分∠CBD和∠BCE，∴∠CBF=∠CBD，∠BCF=∠BCE.∴∠CBF+∠BCF=(∠CBD+∠BCE).∵∠CBF+∠BCF=180o－∠F，∠DBC+∠BCE=180o+∠A.∴180o－∠F=（∠CBD+∠BCE）=(180o+∠A)∴∠A+∠F=90o.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22．(1)如圖①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奧秘嗎？請(qǐng)用你學(xué)過(guò)的知識(shí)予以證明；(2)如圖②，設(shè)x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，運(yùn)用(1)中的結(jié)論填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如圖③，一個(gè)六角星，其中∠BOD＝70°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）證明見(jiàn)解析.(2)180；180；180；(3)140【解析】【分析】（1）首先延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根據(jù)∠BDC=∠A+∠B，判斷出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根據(jù)∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，據(jù)此解答即可．b、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根據(jù)∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，據(jù)此解答即可．c、首先延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F，EA和BC交于點(diǎn)G，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根據(jù)∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，據(jù)此解答即可．（3）根據(jù)∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，據(jù)此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是多少即可．【詳解】(1)證明：如圖，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D，則∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180(3)140【點(diǎn)睛】（1）此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．（2）此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．23．如圖①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F(xiàn)是AE上一點(diǎn)，且FD⊥BC于D點(diǎn)．(1)試猜想∠EFD，∠B，∠C的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變，(1)中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．①②【答案】(1)∠EFD＝∠C－∠B.（）成立，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】先根據(jù)AE平分∠BAC推出∠BAE=∠BAC=[180°-（∠B+∠C）]，再根據(jù)外角的定義求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性質(zhì)求出∠EFD=90°-∠FED．【詳解】解：(1)∠EFD＝∠C－∠B.理由如下：由AE是∠BAC的平分線知∠BAE＝∠BAC.由三角形外角的性質(zhì)知∠FED＝∠B＋∠BAC，故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠C＋∠B＋∠BAC＝90°②.②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.(2)成立．理由如下：由對(duì)頂角相等和三角形的外角性質(zhì)知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋∠BAC，故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得：∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠B＋∠BAC＋∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和直角三角形的性質(zhì)，命題時(shí)經(jīng)常將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起進(jìn)行考查，這樣更能訓(xùn)練學(xué)生的解題能力．24．如圖1，在△ABC中，∠B=90°，分別作其內(nèi)角∠ACB與外角∠DAC的平分線，且兩條角平分線所在的直線交于點(diǎn)E．（1）∠E=°；（2）分別作∠EAB與∠ECB的平分線，且兩條角平分線交于點(diǎn)F．①依題意在圖1中補(bǔ)全圖形；②求∠AFC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，射線FM在∠AFC的內(nèi)部且∠AFM=∠AFC，設(shè)EC與AB的交點(diǎn)為H，射線HN在∠AHC的內(nèi)部且∠AHN=∠AHC，