高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019必修四）第21講 11.1.5旋轉(zhuǎn)體

.1.5旋轉(zhuǎn)體TOC\o"1-3"\h\u題型1旋轉(zhuǎn)體的概念與幾何特征 6◆類型1平面圖形旋轉(zhuǎn)得到幾何體 6◆類型2由旋轉(zhuǎn)體找出旋轉(zhuǎn)圖形 14題型2圓柱、圓錐、圓臺的幾何特征 16題型3組合體 19題型4表面積 23題型5截面問題 29題型6最值問題 40知識點一.旋轉(zhuǎn)體：定義：一條平面曲線（包括直線）繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體。這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.這個平面圖形可以是平面多邊形，也可以是圓或者其他曲線;常見的旋轉(zhuǎn)體如圖——知識點二.圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱圖示相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體側(cè)面展開圖結(jié)構(gòu)特征兩個底面互相平行，有無數(shù)條母線，且長度相等，都與軸平行，軸截面是全等的矩形.軸截面在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.知識點三.圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圖示相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱錐體側(cè)面展開圖結(jié)構(gòu)特征底面是圓面，有無數(shù)條母線，長度相等且交于一點，平行于底面的截面是與底面大小不同的圓，軸截面是全等的等腰三角形.軸截面在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.知識點四圓臺的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間部分叫做圓臺圖示相關(guān)概念軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺體：棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體側(cè)面展開圖結(jié)構(gòu)特征上、下底面是平行且大小不同的圓面，母線的延長線交于一點，平行于底面的截面是與兩底面大小都不同的圓，軸截面是全等的等腰梯形.軸截面在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.知識點五．球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球圖示相關(guān)概念（1）球面定義1：一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面.定義2：球面可以看成空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合.球心：形成球面的半圓的圓心；半徑：連接球面上一點和球心的線段.直徑：連接球面上兩點并且通過球心的線段.大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓.（6）小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓.表面積S=4知識點六．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l知識點七.組合體1.簡單組合體：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.2.簡單組合體的構(gòu)成形式：有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成的；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的.題型1旋轉(zhuǎn)體的概念與幾何特征【方法總結(jié)】判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法明確旋轉(zhuǎn)體由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成.（2）明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.圓柱、圓錐、圓臺和球都是由一個平面圖形繞其特定邊（弦）所在直線旋轉(zhuǎn)而成的幾何體，必須準確認識各旋轉(zhuǎn)體對旋轉(zhuǎn)軸的具體要求.只有理解了各旋轉(zhuǎn)體的形成過程，才能明確由此產(chǎn)生的母線、軸、底面等概念，進而判斷與這些概念有關(guān)的命題的正誤.◆類型1平面圖形旋轉(zhuǎn)得到幾何體【例題1-1】（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）如圖，第一排的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周能形成第二排中的某個幾何體．請寫出第一排、第二排中相應(yīng)的圖形的對應(yīng)關(guān)系.A．B．C．D．（1）_____（2）_____（3）_____（4）_____【答案】

C

B

D

A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何性質(zhì)，判斷出對應(yīng)關(guān)系.【詳解】對于（1），旋轉(zhuǎn)所得是半球，對應(yīng)C；對于（2）旋轉(zhuǎn)所得是兩個圓錐，對應(yīng)B；對于（3）旋轉(zhuǎn)所得是一個圓錐和一個圓柱，對應(yīng)D；對于（4）旋轉(zhuǎn)所得是圓錐，對應(yīng)A.故填：（1）~C，（2）~B，（3）~D，（4）~A.【點睛】本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體的幾何性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式1-1】1．（2022·高一課時練習(xí)）充滿氣的車輪內(nèi)胎（忽略厚度）可由下面哪個圖形繞著對稱軸旋轉(zhuǎn)而成（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)車輪內(nèi)胎的幾何體特征即可求解.【詳解】車內(nèi)胎截面為圓形，故車輪內(nèi)胎是由圓形繞車輪軸所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到.故選：C【變式1-1】2．（2022·高一課時練習(xí)）下列敘述中，你認為正確的是________（填上所有正確的序號）.①流星劃過夜空，給我們一種“點動成線”的視覺感受.②如圖（1），直線l繞與它平行的一條定直線a旋轉(zhuǎn)所形成的面是曲面，叫做柱面.③如圖（2），直線l繞定點O轉(zhuǎn)動形成的曲面是錐面.④如圖（3）中的幾何體可看成圓面O上各點沿鉛垂線向上移動相同的距離到圓面O′【答案】①②③④【解析】根據(jù)線、面（曲面）的形成或特征，可得到答案.【詳解】解析：由線、面、體的生成過程知識分析，可知①②③④均正確.故答案為：①②③④【點睛】本題的對柱面、錐面等形成的直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.【變式1-1】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，直角三角形ABC繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)360°A．圓錐 B．圓柱 C．圓臺 D．球【答案】A【分析】由圓錐的定義即可求解【詳解】由圓錐的定義可得直角三角形ABC繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)360°故選：A【變式1-1】4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（

）A．一個圓臺、兩個圓錐 B．兩個圓柱、一個圓錐C．兩個圓臺、一個圓柱 D．一個圓柱、兩個圓錐【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念，作出直觀圖，可得答案.【詳解】圖①是一個等腰梯形，CD為較長的底邊，以CD邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為一個組合體，如圖②，包括一個圓柱、兩個圓錐，故選：D【變式1-1】5．（2022秋·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）如圖，若直角三角形ABC及其內(nèi)部各點繞斜邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)360°A．圓錐 B．圓臺C．圓錐與圓臺的組合體 D．兩個圓錐形成的組合體【答案】D【分析】作出輔助線，從而得到旋轉(zhuǎn)體為兩個圓錐形成的組合體.【詳解】直角三角形ABC及其內(nèi)部各點繞斜邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)360°過點C作CD⊥AB于點D，則△ACD繞斜邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)得到的是一個圓錐，△BCD繞斜邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)得到一個圓錐，故得到的旋轉(zhuǎn)體為兩個圓錐形成的組合體故選：D【變式1-1】6．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（

）A．一個球B．一個球挖去一個圓柱C．一個圓柱D．一個球挖去一個正方體【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義可得正確的選項.【詳解】圓及其內(nèi)部旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為球，而矩形及其內(nèi)部繞一邊旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱，故題設(shè)中的平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱，故選：B.【變式1-1】7．（2022春·河北邯鄲·高一校聯(lián)考期中）在長方形ABCD中挖掉半圓O，得到如圖所示的圖形，則將該圖形繞著AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體為（

）A．一個長方體內(nèi)部挖去一個球B．一個長方體內(nèi)部挖去半個球C．一個圓柱體內(nèi)部挖去一個球D．一個圓柱體內(nèi)部挖去半個球【答案】C【分析】直接根據(jù)繞著AB所在的直線旋轉(zhuǎn)，得到幾何體，描述圖形特征.【詳解】根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)得知，將該圖形繞著AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體為一個圓柱體內(nèi)部挖去一個球.故選：C.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.【變式1-1】8．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1A． B． C． D．【答案】D【分析】計算出B、C1兩點，B【詳解】解：設(shè)正方體的棱長等于a，所以B、C1BC1的中點到旋轉(zhuǎn)軸的距離等于BC1的四等分點到旋轉(zhuǎn)軸的距離為且1所以旋轉(zhuǎn)體上下底面的圓半徑為22a，旋轉(zhuǎn)體中間圓的半徑為12a，旋轉(zhuǎn)體離地面故選：D.【變式1-1】9．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，水平的廣場上有一盞路燈掛在高10m的電線桿頂上，記電線桿的底部為點A.把路燈看作一個點光源，身高1.5m的女孩站在離點A5（1）若女孩以5m（2）若女孩向點A前行4m到達點D，然后從點D出發(fā)沿著以BD【答案】（1）人影掃過的圖形是一個圓環(huán)，S=2775【分析】（1）人影掃過的圖形是一個圓環(huán)，根據(jù)相似計算得到影長為1517（2）如圖所示，女孩在移動過程上比例關(guān)系不變，故軌跡為正方形.【詳解】（1）人影掃過的圖形是一個圓環(huán)，設(shè)影長BC=BF=1.5,AE=10,（2）如圖（2），女孩在移動過程上比例關(guān)系不變，如ADHD故女孩走一圈時頭頂影子的軌跡形狀為正方形HIPQ.【點睛】本題考查了軌跡方程，意在考查學(xué)生的空間想象能力和應(yīng)用能力.◆類型2由旋轉(zhuǎn)體找出旋轉(zhuǎn)圖形【例題1-2】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓柱、圓錐與圓臺的定義，判斷選項中的圖形旋轉(zhuǎn)一周后所得到的幾何體的形狀，進而可得結(jié)果.【詳解】A中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個圓錐與一個圓柱，不合題意；B中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個相同底面的圓錐，不合題意；C中圖形旋轉(zhuǎn)得到相同底面的圓柱與圓錐，不合題意；D中圖形旋轉(zhuǎn)得到一個圓臺與一個圓錐，合題意.故選：D.【變式1-2】（2022·高一課時練習(xí)）能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是A． B． C． D．【答案】A【解析】將A、B、C、D選項圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)可知A選項符合題意.【詳解】此幾何體自上向下是由一個圓錐、兩個圓臺和一個圓柱構(gòu)成，是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的.故選：A.【點睛】本題考查平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體，考查空間想象能力和推理能力，屬于簡單題.題型2圓柱、圓錐、圓臺的幾何特征【方法總結(jié)】圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系【例題2】給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【解析】由圓柱的母線無論旋轉(zhuǎn)到什么位置都與軸平行，故①錯誤；圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的，故②正確；③中連接的線可能存在與軸異面的情況，而圓臺的母線與軸共面，故③錯誤；④由于圓柱中任意母線均與軸平行，故其中任意兩條母線相互平行，故④正確；綜上可知②④正確，①③錯誤.故選：D.【變式2-1】1.下列說法正確的是（）A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面D．一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺【答案】C【解析】以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是是兩個同底圓錐的組合體，A錯；以直角梯形的直角腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺，B錯；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，正確；平行于圓錐底面平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺，如果截面不平行于底面，則截得的不是圓錐和圓臺，D錯.故選：C.【變式2-1】2.下列結(jié)論中正確的是（）A．半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球B.直角三角形繞一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體D．用一個平面截圓錐底面與截面組成的部分是圓臺【答案】B【解析】因為半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球，故錯誤；當以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體是圓錐，故正確；當兩個平行截面不平行于上、下兩個底面時，兩個平行截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，故錯誤；圓錐的截面不與底面平行時，圓錐底面與截面組成的部分不是圓臺，故錯誤.故選：B.【變式2-1】3.給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的；⑤圓臺所有母線的延長線交于一點其中正確的命題是（）A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤【答案】D【解析】由于圓柱母線所在的直線互相平行且與旋轉(zhuǎn)軸平行，而在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線與旋轉(zhuǎn)軸不一定平行，故①錯誤，④正確；由圓錐母線的定義知②正確；在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是母線，且圓臺所有母線的延長線交于一點，故③錯誤，⑤正確.【變式2-1】4.下列說法不正確的是()A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺平行于底面的截面是圓面【答案】C【解析】由圓錐的概念知，直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓錐．強調(diào)一定要繞著它的一條直角邊，即旋轉(zhuǎn)軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線，因而C錯．【變式2-1】5.給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】D【解析】由圓柱、圓錐、圓臺的定義及母線的性質(zhì)可知②④正確，①③錯誤．【變式2-1】6．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面展開圖是矩形B．球面可以看成是一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°C．直角梯形繞它的一腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺D．圓柱、圓錐、圓臺中，平行于底面的截面都是圓面【答案】ABD【分析】對于A，由圓柱的側(cè)面展開圖判斷；對于B，由圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)判斷；對于C，由直角梯形繞它的直角所在的腰所在直線旋轉(zhuǎn)判斷；對于D，由圓柱、圓錐、圓臺的特征判斷.【詳解】對于A，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，所以A正確；對于B，球面可以看成是一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°對于C，當直角梯形繞它的直角所在的腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺，所以C錯誤；對于D，圓柱、圓錐、圓臺中，平行于底面的截面都是圓面，所以D正確．故選：ABD．題型3組合體【方法總結(jié)】簡單組合體的判斷方法對于不規(guī)則平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的問題，首先要將原平面圖形分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓（半圓或四分之一圓）等基本圖形，然后結(jié)合圓柱、圓臺、圓錐、球的形成過程進行分析.【例題3】如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（）A．由兩個圓錐組合成的B．由兩個圓柱組合成的C．由一個棱錐和一個棱柱組合成的D．由一個圓錐和一個圓柱組合成的【答案】D【解析】由圖知：該組合體是由一個圓錐和一個圓柱組合成的，故選：D【變式3-1】1.如圖的組合體是由（）組合而成.A．兩個棱柱B．棱柱和圓柱C．圓柱和棱臺D．圓錐和棱柱【答案】B【解析】由圖可知該組合體由圓柱和六棱柱組合而成，故選：B【變式3-1】2.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是由()A．一個圓臺、兩個圓錐構(gòu)成 B．兩個圓臺、一個圓錐構(gòu)成C．兩個圓柱、一個圓錐構(gòu)成 D．一個圓柱、兩個圓錐構(gòu)成【答案】D【解析】旋轉(zhuǎn)體如圖，中間是一個圓柱，兩端是相同的圓錐構(gòu)成，故選D．【變式3-1】3.觀察下列四個幾何體，其中可看作是由兩個棱柱拼接而成的是________(填序號).

【答案】①④【解析】①可看作由一個四棱柱和一個三棱柱組合而成，④可看作由兩個四棱柱組合而成.②③顯然不是棱柱拼接而成.故答案為：①④【變式3-1】4.如圖所示的螺母可以看成一個組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（）A.一個棱柱中挖去一個棱柱 B.一個棱柱中挖去一個圓柱C.一個圓柱中挖去一個棱錐 D.一個棱臺中挖去一個圓柱【答案】B【解析】螺栓是圓柱，螺母的橫截面是六邊形內(nèi)有一個圓，所以螺母可以看成一個棱柱中挖去一個圓柱.故選B.【變式3-1】5.關(guān)于如圖所示幾何體的正確說法為_____．①這是一個六面體；②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱；④這是一個四棱柱和三棱柱的組合體；⑤這是一個被截去一個三棱柱的四棱柱．【答案】①③④⑤【解析】①因為有六個面，屬于六面體的范圍，②這是一個很明顯的四棱柱，因為側(cè)棱的延長線不能交與一點，所以不正確．③如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱，④可以由四棱柱和三棱柱組成，⑤和④的想法一樣，割補方法就可以得到．故答案為：①③④⑤．【變式3-1】6．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖甲所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖乙所示.已知半球的半徑為R，酒杯內(nèi)壁表面積為6πR甲

乙A．2:3 B．2:1 C．3:1 D．3:2【答案】B【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用圓柱和球的表面積公式求出圓柱的高與球的半徑關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的高為?，因為忽略杯壁厚度，所以酒杯內(nèi)壁表面積為半球的表面積與圓柱的側(cè)面積之和，即12×4πR2+2π故選：B【變式3-1】7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知AB=9cm,A．363+81πC．243+81π【答案】A【分析】根據(jù)圓柱和圓臺的側(cè)面積公式分別求解側(cè)面積，再加上底面積，即可得該青銅器的表面積【詳解】解：因為S圓柱側(cè)=2π×3所以該青銅器的表面積S=故選：A.題型4表面積【方法總結(jié)】幾何體的側(cè)面積和全面積：幾何體側(cè)面積是指（各個）側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和，對側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進行?！纠}4】（2022春·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）一個斜邊長為2的等腰直角三角形繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的表面積為（

）A．4π B．2π3 C．2【答案】D【分析】由題意可知，所形成的幾何體是由底面半徑為1，高為1的兩個圓錐拼接而成，則其表面積是兩個圓錐的側(cè)面積之和【詳解】由題意可知，所形成的幾何體是由底面半徑為1，高為1的兩個圓錐拼接而成，所以所形成的幾何體的表面積為2×1故選：D【變式4-1】1．（2022春·重慶巴南·高一重慶市實驗中學(xué)?？计谀┰谶呴L為2的菱形ABCD中，∠BAD=πA．7π B．9π C．7π【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)得到旋轉(zhuǎn)體為底面直徑、母線為2的半圓錐和上下底面直徑分別為2、4，母線為2的半圓臺，畫出幾何體，利用圓錐、圓臺的表面積公式求幾何體的表面積.【詳解】由題設(shè)，AE=繞DE所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)半周，則A與B重合，所得旋轉(zhuǎn)體為底面直徑、母線為2的半圓錐和上下底面直徑分別為2、4，母線為2的半圓臺組合而成，如下圖示：所以圓錐表面積為S1=1則幾何體的表面積12故選：C【變式4-1】2．（多選）（2022春·遼寧營口·高一營口市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（

）A．2π B．1+2π C．2【答案】AB【解析】分2種情況，一種是繞直角邊，一種是繞斜邊，分別求形成幾何體的表面積.【詳解】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊2，所以所形成的幾何體的表面積是S=如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高22所以寫成的幾何體的表面積S=2×綜上可知形成幾何體的表面積是2+1π或故選：AB【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積，意在考查空間想象能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.【變式4-1】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，OABC是邊長為1的正方形，AC是四分之一圓弧，則圖中陰影部分繞軸OC旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為________________.【答案】5【分析】幾何體是一個圓柱挖去一個半球后剩余的部分，結(jié)合幾何特征，可得幾何體的表面積.【詳解】幾何體是一個圓柱挖去一個半球后剩余的部分，且圓柱的底面半徑是1，高是1，球的半徑是1，所以該幾何體的表面積為π×故答案為：5π【變式4-1】4．（2022春·北京·高一人大附中?？计谀┤鐖D，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為底面ABCD【答案】π【分析】根據(jù)題設(shè)描述易知P的軌跡是以D為圓心，33為半徑的四分之一圓，即可求DP【詳解】由題設(shè)，DD1//CC1，要使D1P與直線CC∴D1P繞DD1以π6夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：P∴DP在ABCD上掃過的面積為14故答案為：π12【變式4-1】5．（2019春·河北保定·高一河北易縣中學(xué)?？计谀┮阎粋€幾何體是由一個直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的．若該三角形的周長為12米，三邊長由小到大依次為a，b，c，且b恰好為a，c的算術(shù)平均數(shù)．（1）求a，b，c；（2）若在該幾何體的表面涂上一層油漆，且每平方米油漆的造價為5元，求所涂的油漆的價格．【答案】（1）3，4，5；（2）84π【分析】（1）由題意，根據(jù)周長、三邊關(guān)系、勾股定理，a，b，c，建立方程組，解得即可.（2）根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為由底面半徑為125【詳解】（1）由題意得a+b+所以b=4又a2+b二者聯(lián)立解得a=3，c所以a，b，c的值分別為3，4，5．（2）繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為由底面半徑為125母線長分別為米3和4米的兩個圓錐所組成的幾何體，故其表面積為S=因為每平方米油漆的造價為5元，所以所涂的油漆的價格為845所涂的油漆的價格為：84π【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系及旋轉(zhuǎn)體表面積的應(yīng)用，考查計算能力與空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式4-1】6．（2021春·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=90A．23 B．3 C．32 【答案】A【分析】先判斷出形成的幾何體為圓錐，再由圓錐的表面積公式求解即可.【詳解】以AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面所圍成的幾何體為圓錐，設(shè)BC=則AC=2x，所以πx2+故選：A.題型5截面問題【方法總結(jié)】1.圓柱、圓錐、圓臺平行于底面的截面是圓面.2.圓柱、圓錐、圓臺過軸的截面分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形.3.經(jīng)過圓臺的任意兩條母線作截面，因為圓臺可以看成是圓錐被平行于底面的平面所截得到的幾何體，所以任意兩條母線長度均相等，且延長后相交，故經(jīng)過這兩條母線的截面是以這兩條母線為腰的等腰梯形.4.球的截面均是圓面，球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的小圓．5.與圓錐有關(guān)的截面問題的解決策略求解有關(guān)圓錐的基本量的問題時，一般先畫出圓錐的軸截面，得到一等腰三角形，進而可得到直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)直角三角形的問題進行求解.通常在求圓錐的高、母線長、底面圓的半徑長等問題時，都是通過取其軸截面，化歸求解．巧妙之處就是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決.6.球的性質(zhì)【性質(zhì)1】球心和截面圓心的連線垂直于截面.【性質(zhì)2】球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面關(guān)系：r=R.如果平面α過球心，則d=0，R2【例題5】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【答案】D【分析】應(yīng)用空間想象，討論截面與軸截面的位置關(guān)系判斷截面圖形的形狀即可.【詳解】當截面ABCD如下圖為軸截面時，截面圖形如（1）所示；當截面ABCD如下圖不為軸截面時，截面圖形如（5）所示，下側(cè)為拋物線的形狀；故選：D【變式5-1】1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一個截面，則在圖中，可能是截面的是________．【答案】（1）（2）（3）【分析】考慮截面和正方體的位置關(guān)系，即可判斷出答案.【詳解】在組合體內(nèi)取截面時，要注意交點是否在截面上，如：當截面過對角面時，得（2）；當截面平行正方體的其中一個側(cè)面時，得（3）；當截面不平行于任一側(cè)面且不過對角面時，得（1），只要是過球心就不可能截出（4）,此時四個頂點在圓上的截面只能是正方體的對角面，如（2），故答案為：（1）（2）（3）【變式5-1】2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，該幾何體是從一個水平放置的正方體中挖去一個內(nèi)切球（正方體各個面均與球面有且只有一個公共點）以后而得到的．現(xiàn)用一豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正方體內(nèi)切球的性質(zhì)，及球的截面圓即可求解.【詳解】對于A，用豎直的平面截正方體，該平面過球心，且過正方體四個面的中心，即可得到截面圖形A，如圖；對于B，用豎直的平面截正方體，該平面為正方體的對角面,過球心，及正方體兩個側(cè)面的對角線的中心，即可得到截面圖形B；對于CD，用豎直的平面截正方體，該平面過正方體一個側(cè)面的中心，如圖，切點在截面ABCD的邊CD的中點處，且CD為長方形ABCD中較短的線段，即可得到D.故選：C【變式5-1】3．（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的母線長為3，若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（

）A．3+32π B．9+92π2 【答案】B【分析】求得圓錐的底面半徑，進而求得圓錐的表面積.【詳解】依題意，圓錐的母線長為3，軸截面為等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑為r=所以圓錐的表面積為π×3故選：B【變式5-1】4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）過圓錐頂點的截面三角形面積的取值范圍是0,43，該圓錐的母線長為4A．90° B．60° C．120°【答案】B【分析】設(shè)過圓錐頂點的截面三角形的頂角為α，其中0°<α<180°，根據(jù)三角形的面積公式可求得【詳解】設(shè)過圓錐頂點的截面三角形的頂角為α，其中0°由題意可知，過圓錐頂點的截面三角形面積為S=所以，0<sinα因為0°<α<180故選：B.【變式5-1】5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若圓柱軸截面周長C為定值，則表面積最大值為（

）A．π?C2 B．π2?C【答案】D【分析】設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，由已知及圓柱的表面積公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得到表面積的最大值．【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，因為圓柱的軸截面周長為4r+2?所以圓柱的表面積為S=πr當r=C4故選：D．【變式5-1】6．（多選）（2023春·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，ABA．該圓臺軸截面ABCD面積為3B．該圓臺的體積為14πC．該圓臺的側(cè)面積為6D．沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5cm【答案】ACD【分析】求出圓臺的高，由梯形的面積公式可判斷選項A；由臺體的體積公式可判斷選項B；由臺體的側(cè)面積公式可判斷選項C；將圓臺補成圓錐，側(cè)面展開，取AD的中點為P，連接CP，可判斷選項D.【詳解】對于A，由AB=AD=可得CD=4，高O則圓臺軸截面ABCD的面積為12對于B，圓臺的體積為V=對于C，圓臺的體積為S側(cè)對于D，由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm，底面半徑為2cm，側(cè)面展開圖的圓心角θ=設(shè)AD的中點為P，連接CP，可得∠COP則CP=所以沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5cm，故D正確．故選：ACD．【變式5-1】7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）從一個底面半徑和高均為R的圓柱中，挖去一個以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點的棱錐，得到一個如圖幾何體.如果用一個與圓柱下底面距離為d的平行平面去截這個幾何體，截面面積為______.【答案】π【分析】作出如圖所示的軸截面，根據(jù)平面幾何關(guān)系即可得解.【詳解】解：如圖所示作出軸截面，圓柱被平行于下底面的平面所截得的截面圓的半徑O1設(shè)圓錐的截面圓的半徑O1D為因為OA=AB=又CD//OA，所以CD=所以截面積S=π故答案為：πR【變式5-1】8．（2021秋·上海虹口·高一上外附中?？计谥校┮阎獔A柱的上、下底面的中心分別為O1、O2，過直線O1【答案】12π【分析】先由三角形面積公式求出三角形邊長，再由正弦定理求底面圓的半徑，由表面積公式求圓柱的表面積.【詳解】如圖所示，設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，則高為?=2再設(shè)底面圓的內(nèi)接正三角形邊長為a，則該三角形的面積為S△ABC=由正弦定理得2r=a所以該圓柱的表面積為S=2π故答案為：12π.【變式5-1】9．（2021·高一課時練習(xí)）在球內(nèi)有相距14的兩個平行截面，它們的面積分別是64π和36【答案】400【分析】分兩個平行平面在球心同側(cè)和異側(cè)兩種情況，進而結(jié)合球體中截面的性質(zhì)解得答案.【詳解】設(shè)球半徑為R，①當兩個平行截面在球心同側(cè)時，有R2而此方程無解，故兩個平行截面不可能在球心的同側(cè).②當兩個平行截面在球心異側(cè)時，有R2?36+所以球的表面積S=4【變式5-1】10．（2022春·山東泰安·高一統(tǒng)考期中）用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形．如圖，圓錐SO底面圓的半徑是23，軸截面SAB的面積是4(1)求圓錐SO的母線長；(2)過圓錐SO的兩條母線SB，SC作一個截面，求截面SBC面積的最大值．【答案】(1)4(2)8【分析】（1）由面積求得高SO，再勾股定理得母線長；（2）求出軸截面頂角∠ASB，即圓錐的頂角，從而可得圓錐任意兩條母線SB,SC的夾角的范圍．由面積公式得截面△【詳解】（1）軸截面SAB的面積12所以SO=2所以圓錐SO的母線長l=（2）在軸截面SAB中，SO=2，SA所以∠SAB=π設(shè)∠BSC=θ所以△SBC的面積S所以當θ=π2時，截面SBC【變式5-1】11．（2022春·山東泰安·高一統(tǒng)考期中）用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形．如圖，圓錐SO底面圓的半徑是23，軸截面SAB的面積是4(1)求圓錐SO的母線長；(2)過圓錐SO的兩條母線SB，SC作一個截面，求截面SBC面積的最大值．【答案】(1)4(2)8【分析】（1）由面積求得高SO，再勾股定理得母線長；（2）求出軸截面頂角∠ASB，即圓錐的頂角，從而可得圓錐任意兩條母線SB,SC的夾角的范圍．由面積公式得截面△【詳解】（1）軸截面SAB的面積12所以SO=2所以圓錐SO的母線長l=（2）在軸截面SAB中，SO=2，SA所以∠SAB=π設(shè)∠BSC=θ所以△SBC的面積S所以當θ=π2時，截面SBC題型6最值問題【例題6】（2022春·福建泉州·高一福建省晉江市養(yǎng)