2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：遇到中點(diǎn)怎么作輔助線(xiàn)

遇到中點(diǎn)怎么作輔助線(xiàn)

1.1中點(diǎn)在等腰三角形的底邊上

1.等腰三角形的性質(zhì)

(1)定義：兩邊相等.

(2)等邊對(duì)等角：兩底角相等.

⑶三線(xiàn)合一：頂角的平分線(xiàn)與底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合.

(4)對(duì)稱(chēng)性：軸對(duì)稱(chēng)圖形(頂角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的一條對(duì)稱(chēng)軸).

2.等邊三角形

(1)三條邊相等.

⑵三個(gè)內(nèi)角都為60°.

3.幾類(lèi)三角形間的關(guān)系

三角形等腰三角形人等邊三角形

兩角相等---_

一1五相尊最三不角都相尊

/A\『NA

基本圖形

8AH(pc

已知條件已知等腰三角形(三角形的兩邊相等)及其底邊中點(diǎn)(第三邊的中點(diǎn))

甫助線(xiàn)作法連接中點(diǎn)和頂角的頂點(diǎn)

可用結(jié)論如圖,AM_LBC,AM平分/BAC,BM=CM

理論依據(jù)等腰三角形中“三線(xiàn)合一”

例題詳析

例:如圖在A(yíng)ABC中,AB=AC=5,BC=6,M為BC的中點(diǎn),MN,AC于點(diǎn)N,求MN的長(zhǎng)度.

劇維I路I徑

求A/N的長(zhǎng)度

面積法

AMLBC以△/MC中,可求三邊長(zhǎng),^.MNLAC

【解析】如圖，連接AM.

：AB=AC,M為BC的中點(diǎn),.\AM，BC（三線(xiàn)合一）.

：BC=6,M為BC的中點(diǎn),，BM=CM=3.

?.?在RtAABM中,AB=5,BM=3,

根據(jù)勾股定理得AM=7AB2—BM2=7s2-32=4.

c1?.1?.,.AM-CM12

SAMC=-MN-AC=-AM?MC,??.MN=*=

對(duì)I點(diǎn)鞏I固

1.如圖所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P為BC的中點(diǎn),PD,AB于點(diǎn)D,PE±AC于點(diǎn)E,求證:PD=PE.

2.如圖在A(yíng)aBC中=2C,D是BC的中點(diǎn)過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn).EF\\BC,S.=4F,連接DE,DF.求證:DE=DF.

中考I實(shí)戰(zhàn)

3.如圖，在△4B。中,0A=OB,,C是邊AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓過(guò)點(diǎn)C.

(1)求證公8與。。相切.

⑵若/.AOB=120°,AB=4次，求。O的面積.

Q

1.2中點(diǎn)在直角三角形的斜邊上

1.直角三角形的性質(zhì)

(1)定義：有一個(gè)角是直角.

⑵角的關(guān)系：兩銳角互余.

(3)勾股定理：設(shè)直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,貝U=c2.

(4)邊角關(guān)系設(shè)/A為R3ABC中一銳角,/A,/B,NC的對(duì)邊分別為a,b,c,/C為直角，則sin力=pcos/1=

b.a

一，tanA=

c'b

(5)特殊直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.

(6)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.

2.直角三角形的分類(lèi)

上也一兩底角相等;f一工B

直角二角形-等腰11直角二角形

超級(jí)模型

AA

基本圖形

C1--------CL-----------------

已知條件已知直角三角形(某個(gè)角為直角的三角形)及其斜邊中點(diǎn)

輔助線(xiàn)作法連接斜邊中點(diǎn)和直角的頂點(diǎn)

可用結(jié)論如圖,AD=BD=CD=AB

理論依據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，中線(xiàn)的定義

例題詳析

例:如圖，在RtAABC中./CAB=9(F,/ACB=30o,D是AB上一點(diǎn)(不與A,B重合),DE_LBC于點(diǎn)E,若P是CD的中點(diǎn),

請(qǐng)判斷PE與AE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

p

思維路徑

【解析】PE=AE理由如下：

如圖，連接AP.

\?在RtACAD中,/CAD=9(r,P是斜邊CD的中點(diǎn),

1

PA=PC=-CD,

2

：.ZACD=ZPAC,

ZAPD=ZACD+ZPAC=2ZACD.

同理，在RtACED中,PE=PC=|CD,

.?.ZDPE=2ZDCB,

；.PA=PE,/APE=/APD+/DPE=2NACD+2/DCB=2/ACB=60°,

.二△PAE是等邊三角形，

；.PE=AE.

對(duì)I點(diǎn)鞏I固

L如圖，在△ABC中,BDLAC于D點(diǎn),(CE14B于E點(diǎn),F,G分別為BC,DE的中點(diǎn).若BC=18,ED10,,則FG的長(zhǎng)為

()

X.2V14B.V106C.8D.9

A

2.如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。,,點(diǎn)D,E分別是AB.BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)F，使得CF=連接EF.若.EF=4?

則AB的長(zhǎng)為()

A.8B.4V2C.4D.2V3

3.如圖,/ABC=NADC=9(r,M,N分別是AC,BD的中點(diǎn).求證:MN1BD.

中I考I實(shí)戰(zhàn)

4.如圖,.NMON=90。,,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B分別在邊OM,ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，

矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為()

X.V2+15.V5C,等

o1~~r--------N

1.3單個(gè)中點(diǎn)求線(xiàn)段相等

L三角形的中線(xiàn)

三角形頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)是三角形的中線(xiàn).

2.全等三角形的性質(zhì)與判定

(1)定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

⑵全等三角形的判定方法：①兩個(gè)一般三角形全等的判定方法ASA,AAS,SAS,SSS;

②兩個(gè)直角三角形特有的判定全等的方法HL.

(3)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等.

3.全等三角形的性質(zhì)與判定的一般應(yīng)用過(guò)程

ASAAAS——性質(zhì)I-

確定兩個(gè)三角形『三二證明兩個(gè)三角形全等—3A線(xiàn)段相等，角相等

SAS,SSS

超級(jí)模型

AA

基本圖形/DC<=/\4/D

BDC、、、/""

E圖1“圖2

已知條件D為BC的中點(diǎn)

如圖1,將中線(xiàn)AD加倍延長(zhǎng)至點(diǎn)E,與其中一個(gè)頂點(diǎn)如圖2,將中線(xiàn)AD加倍延長(zhǎng)至點(diǎn)E,與

輔助線(xiàn)作法

B連線(xiàn)另外兩個(gè)頂點(diǎn)B,C連線(xiàn)

可用結(jié)論全等三角形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)

如圖1,將AD延長(zhǎng)至E,使得DE=AD,連接BE.如圖2,將AD延長(zhǎng)至E,使得DE=AD,連接

AADC-LEDBBE,CE.

理論依據(jù)在A(yíng)ADC和AEDB中，在四邊形ABEC中,AD=DE,DC=BD,

所以四邊形ABEC為平行四邊形

所以AADC絲ZXEDB(SAS)

有些幾何題在利用中線(xiàn)加倍延長(zhǎng)，證完一次三角形全等后，還需要再證明一次三角形全等，即

方法歸納

“二次全等”

例題詳析

例：如圖，在△4BC中,AD是BC邊上的中線(xiàn),E是AD上一點(diǎn)，且BE=2C,延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F,求證:AF=EF.

思I維路I徑

【解析】方法一:如圖L延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G,使得DG=AD,連接BG.

：AD是BC邊上的中線(xiàn),；.DC=DB.

DA=DG,

在A(yíng)ADC和AGDB中,卜2。。=乙GDB,

.DC=DB,

圖1

AADC沿AGDB(SAS),.".ZCAD=ZG.BG=AC.

又BE=AC,.\BE=BG,.\ZBED=ZG.

ZBED=ZAEF,.\ZAEF=ZCAD,gPZAEF=ZFAE,/.AF=EF.

方法二:如圖2,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G,使得DG=AD,連接BG,CG.

?/AD是BC邊上的中線(xiàn),BD=CD.

又DG=AD,.?.四邊形ABGC為平行四邊形，

AC=BG,ZBGD=ZCAD.

VBE=AC,.，.BE=BG,.\ZBGD=ZBEG.

又.4BEG=^AEF,^AEF=^CAD,

即ZAEF=NFAE,，AF=EF.

對(duì)I點(diǎn)鞏I固

1.如圖，在△ABC中,AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),EF||4D,且EF交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G.若AD為.

△ABC的角平分線(xiàn)，求證：BG=CF.

2.如圖,AB=BC,AD為△ABC中BC邊上的中線(xiàn)，延長(zhǎng)BC至E點(diǎn)使（CE=BC,連接AE.求證:ND力C=ACAE.

3.⑴如圖1在四邊形ABCD中,AB〃CD,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)若AE是/BAD的平分線(xiàn)，試判斷AB,AD,DC之間的

等量關(guān)系.

解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,易證△AEBgAFEC,從而得至?。軦B=FC,從而把

AB,AD,DC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中進(jìn)行判斷.

易得AB,AD,DC之間的等量關(guān)系為.

⑵如圖2,在四邊形ABCD中,AB〃CD,AF與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)若AE是/BAF的平分線(xiàn)，試

探究AB,AF,CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

中I考I實(shí)戰(zhàn)

4.如圖，在△ABC中,/ACB=12(T,BC=4,D為AB的中點(diǎn),DCLBC,則AABC的面積是.

1.4多個(gè)中點(diǎn)

1.三角形的中位線(xiàn)

(1)定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn).

⑵三角形的中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

(3)中點(diǎn)三角形：三角形三邊中點(diǎn)的連線(xiàn)組成的三角形，其周長(zhǎng)是原三角形周長(zhǎng)的一半，面積是原三角形面

積的四分之一.

2.中點(diǎn)四邊形

(1)連接任意四邊形四邊的中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.

(2)連接矩形四邊的中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.

⑶連接菱形四邊的中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.

(4)連接正方形四邊的中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.

A

BL------xc

基本圖形(J

A

途C

BL---

已知條件任意三角形兩邊的中點(diǎn)任意一個(gè)四邊形及各邊的中點(diǎn)

輔助線(xiàn)作法連接三角形兩邊上的中點(diǎn)連接四邊形四邊上的中點(diǎn)及對(duì)角線(xiàn)

可用結(jié)論DE〃BC,DE=BC四邊形EFGH是平行四邊形等相關(guān)結(jié)論

連接四邊形的對(duì)角線(xiàn)AC,BD，順次連接各邊中點(diǎn)

E,F,G,H,如圖所示.

理論依據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理在A(yíng)ADC中,EF〃AC,且EF=AC,

同理可得HG〃AC,且HG=AC,

所以四邊形EFGH為平行四邊形

⑴已知三角形兩邊的中點(diǎn)，可以連接這兩個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造中位線(xiàn)；

方法歸納(2)已知三角形一邊的中點(diǎn)，可以在另一邊上取中點(diǎn)，連接兩中點(diǎn)構(gòu)造中位線(xiàn)；

(3)已知三角形一邊的中點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)作其他兩邊任意一邊的平行線(xiàn)可構(gòu)造相似三角形

例題詳析

例:如圖，在四邊形ABCD中,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別降BA,CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)

M,N,證明:NBME=NCNE.

思I維潞I徑

乙BME=LCNE

等邊對(duì)等角及