2024年中考數(shù)學(xué)考前沖刺復(fù)習(xí)：平行四邊形及特殊平行四邊形題型總結(jié)

專題07平行四邊形及特殊平行四邊形題型總結(jié)

題型解讀

中心對稱與軸對稱圖形

平行四邊形的性質(zhì)與判定

三角形的中位線

平行四邊形及特殊平行四邊形題型總結(jié)

菱形的性質(zhì)與判定

矩形的性質(zhì)與判定

正方形的性質(zhì)與判定

本專題主要通過上一專題三角形知識的學(xué)習(xí)路徑，類比學(xué)習(xí)平行四邊形，構(gòu)建知識樹；掌握

平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)和判定.清楚平行四邊形、特殊平行四邊形

（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之間的關(guān)系.經(jīng)歷從平行四邊形到矩形、菱形、正

方形的研究過程，體驗“從一般到特殊”的研究方法；通過猜想、驗證、歸納的過程，掌握矩

形、菱形、正方形的性質(zhì)定理，感悟類比思想；在考試中能利用它們的性質(zhì)和判定進行推理

和計算，提高主動探究的習(xí)慣和意識.

模型01中心對稱與軸對稱圖形

名

中心對稱中心對稱圖形

稱

區(qū)（1）是針對兩個圖形而言的（2）表示兩（1）是針對一個圖形而言的（2）表示某

別個圖形之間的對稱關(guān)系個圖形所具有的特性

(3)對稱點在兩個圖形上(3)對稱點在一個圖形上

如果把成中心對稱的兩個圖形看成一個圖形，那么它就是一個中心對稱圖形，如果用

聯(lián)

一條過對稱中心的直線將一個中心對稱圖形分成兩個圖形，那么這兩個圖形成中心對

系

稱

模型02平行四邊形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)/圖形平行四邊形

邊兩組對邊平行且相等

角對角相等、鄰角互補

對角線互相平分

對稱性中心對稱圖形

判定方法：

(1)與邊有關(guān)的判定：

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

(2)與角有關(guān)的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

(3)與對角線有關(guān)的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

模型03三角形的中位線

中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

如圖,在中，:OE是的中位線，：DEWBC,DE=^BC.

I

?寫三角形中位線有關(guān)的結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊,并

且等于第三邊的一半.

(1)三角形的三條中位線把原三角形分成4個全等的小三角形，每個小三角形的周長為原

三角形周長的;，面積為原三角形面積的;；

(2)三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.

模型04菱形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)/圖形菱形

邊四條邊相等

角對角相等、鄰角互補

對角線對角線互相垂直且平分

對稱性既是軸對稱，又是中心對稱

判定方法：

(1)先證平行四邊形，再證一組鄰邊相等；

(2)先證平行四邊形，再證對角線互相垂直；

(3)證四條邊都相等的四邊形；

(4)證對角線互相垂直且平分的四邊形；

模型05矩形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)/圖形矩形

邊對邊平行且相等

角四個角都是90°

對角線相等且互相平分

對稱性既是軸對稱，又是中心對稱

判定方法：

(1)先證平行四邊形，再證一個內(nèi)角是直角;

(2)先證平行四邊形，再證對角線相等；

(3)證三個角為直角；

模型06正方形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)/圖形正方形

邊四條邊相等

角四個角都是90°

對角線對角線互相垂直、平分且相等

對稱性既是軸對稱，又是中心對稱

判定方法：

由菱形到正方形(1)有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

(2)對角線相等的菱形是正方形；

由矩形到正方形：(1)鄰邊相等的矩形是正方形；

（2）對角線互相垂直的矩形是正方形.

模型構(gòu)建

模型01中心對稱與軸對稱圖形

考|向|預(yù)|測

中心對稱與軸對稱圖形該題型近年主要以選擇形式出現(xiàn)，難度系數(shù)較小，在各類考試中基本

為送分題型.解這類問題的關(guān)鍵是了解中心對稱與軸對稱圖形的定義，把一個圖形繞某一點

旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖

形.這個點就是它的對稱中心.

答|題|技|巧

第一步：首先判斷一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180。，看它是否能夠和另一個圖形重合；

第二步：能夠重合即為中心對稱，否則看是否具有對稱軸；

第三步：根據(jù)選項做出選擇；

例1.（2022?蘇州）

1.如圖，在方格紙中，將Rt^AC?繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到RtAAOT?,則下

列四個圖形中正確的是（）

例2.（2023?安徽）

2.對稱美是美的一種重要形式，它能給與人們一種圓滿、協(xié)調(diào)和平的美感，下列圖形屬于

中心對稱圖形的是（）

模型02平行四邊形的性質(zhì)與判定

考|向|預(yù)|測

平行四邊形的性質(zhì)與判定該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中

得分率較高.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)和判定.清楚平行四邊形、

特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之間的關(guān)系.能用平行四邊形的判

定定理和性質(zhì)定理進行幾何證明和計算是考試的重點.

答I題I技I巧

第一步：理解題意；

第二步：根據(jù)題意，利用平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理進行幾何證明和計算；

第三步：注意是否引入其它知識點，例如三角形、平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)等；

第四步：利用相關(guān)的性質(zhì)和判定進行推理和計算.

例1.

3如圖將平行四邊形ABCD沿對角線8。折疊使點A落在點E處若4=56。，/2=40。，

A.68°B,70°C.110°D,112°

（2023?山東）

4.如圖，點瓦尸是平行四邊形ABCD對角線AC上的兩點，且=.

D

⑴求證：四邊形3瓦方是平行四邊形；

（2）若45,3R45=16,3/=12,AC=24.求線段斯的長.

模型03三角形的中位線

考|向|預(yù)|測

三角形的中位線該題型近年在中點型問題中考試較多，在各類考試中以輔助形式出現(xiàn)，很少

有單獨考某一個具體知識點的.解這類問題的關(guān)鍵是正確理解三角形中位線的性質(zhì)，把握題

中的關(guān)鍵信息.中位線的考法一般情況是描述出多個中點，另外根據(jù)題意條件學(xué)會構(gòu)建出存

在中位線的三角形也是至關(guān)重要的.

答|題|技|巧

第一步：分析題目中是一個中點還是多個中點的問題；

第二步：單中點問題觀察是否為直角三角形，多中點型問題注意中位線的應(yīng)用；

第三步：根據(jù)中位線的性質(zhì)解題，注意是否需要重新構(gòu)造中位線所在的三角形；

第四步：結(jié)合其它相關(guān)幾何知識解題；

例1.（2023?陜西）

5.如圖，A8兩地被池塘隔開，小明先在A3外選一點C,然后測出AC,的中點V,N.若

MN的長為18米，則A8間的距離是（）

A.9米B.18米C.27米D.36米

例2.（2023?河南）

6.如圖，在AABC中，點D,E分別是邊AB,AC的中點，點F是線段DE上的一點連接

AF,BF,zAFB=90°,且AB=8,BC=14,則EF的長是（）

模型04菱形的性質(zhì)與判定

考|向|預(yù)|測

菱形的性質(zhì)與判定該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結(jié)合或者

利用相似求長度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度.掌握菱形的性質(zhì)與判定，菱形

的面積公式，及一些特殊的菱形是解答本題的關(guān)鍵.注意菱形與平行四邊形的區(qū)別，菱形與

正方形的聯(lián)系與區(qū)別，利用數(shù)形結(jié)合及方程的思想解題.

答I題I技I巧

第一步：理解題意；

第二步：根據(jù)題意，利用菱形的判定定理和性質(zhì)定理進行幾何證明和計算；

第三步：注意菱形面積的求解，菱形與動點問題、圓及平面直角坐標(biāo)系的結(jié)合;

第四步：利用相關(guān)的性質(zhì)和判定進行推理和計算.

例1.（2023?湖南）

7.如圖，菱形ABCD中，連接AC,8。，若4=20。，則N2的度數(shù)為（）

例2.（2023?浙江）

8.如圖，在菱形4BCO中，AB=1,ZDAB=6O°,則AC的長為（）

A.1B.1C.走D.G

22

模型05矩形的性質(zhì)與判定

考|向|預(yù)|測

矩形的性質(zhì)與判定該題型近年主要以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問題，

難度系數(shù)較大.矩形或其它特殊平行四邊形的折疊問題注意折疊前后對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相

等，在多解題型中，準(zhǔn)確畫出折疊后的圖形是我們解題的關(guān)鍵.結(jié)合矩形的相關(guān)性質(zhì)及判定

定理與推論和其它幾何的相關(guān)知識點進行解題.

答I題I技I巧

第一步：確定試題考點方向，折疊、旋轉(zhuǎn)、判定等；

第二步：應(yīng)用矩形相關(guān)的性質(zhì)與判定進行解題

第三步：注意矩形的折疊、旋轉(zhuǎn)、矩形與坐標(biāo)系結(jié)合等題型的解法；

第四步：進行相關(guān)計算解決問題.

例1.（2023?安徽）

9.如圖，在矩形ABCD中，BEVAC,DF1AC,垂足分別為E.F.求證:AF=CE.

例2.（2023?杭州）

10.如圖，矩形ABC。的對角線AC,3。相交于點。.若4403=60。，則后;=（）

D-T

模型06正方形的性質(zhì)與判定

考I向I預(yù)I測

正方形的性質(zhì)與判定該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強，有一定難度，本專題重

點分析正方形與平面直角坐標(biāo)系相結(jié)合、正方形的折疊等題型.結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的

變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規(guī)范了解題

步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力.

答I題I技I巧

第一步：確定正方形所考查知識點；

第二步：利用正方形的特殊性分析題目信息，根據(jù)已知條件得出相關(guān)結(jié)論；

第三步：結(jié)合各類模型中解題技巧和方法，綜合運用；

第四步：結(jié)合其它幾何的相關(guān)知識點進行解題；

例1.（2023?湖南）

11.如圖，點EF為正方形ABCD邊的點，CE，。/，點G、H分別為線段CE、上的中點，

連接G",若CF=2,GH=3五,則AB的長為.

例2.（2023?廣東）

12.如圖,ABC。是正方形,G是BC上任意一點，DEJ_AG于E,班于下.求證:

AE=BF.

BGC

強化訓(xùn)練

(2023?北京)

13.如圖所示，DE為“BC的中位線，點尸在雙上,且NA尸8=90。，若48=6,BC=8,貝!]

EF的長為()

A

A.1B.2C.1.5D.2.5

(2023?江蘇)

14.如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標(biāo)是(-2,1),點C的縱坐標(biāo)是4，則B.C兩點的坐

標(biāo)為()

o\X

323

A.(5,3)、(-§,4)B.(5「,31,4)

772771、

C.(-,-k(--,4)D.(“-)s(,4)

（2023?四川）

15.如圖，順次連接四邊形ABC。各邊中點得四邊形,要使四邊形EFG//為矩形,

應(yīng)添加的條件是（）

A.ABDCB.AC=BD

C.AC1BDD.AB=DC

（2023?福建）

16.如圖，在正方形ABCD中，點/、N為邊8c和8上的動點（不含端點），/M4N=45。.

下列三個結(jié)論:①當(dāng)腦V="wc時，則/氏4"=22.5。；②2ZAMV-ZWC=90°;@AMNC

的周長不變，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

（2023?貴州）

17.如圖所示，在正方形ABCD中，。是對角線AC、血）的交點，過。作OELO尸，分別

交AB、BC于E.F,若AE=4,CF=3,則所的長為（）

AD

C.5D,6

（2023?南京）

18.如圖，在YABCD中，AE是-54。的平分線，AB=6,AD=4,貝[]CE=

（2023?深圳）

19.如圖所示，在RtABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AB=4，點。為線段AB上的一

個動點,以8。為腰，作一個頂角為30。的等腰△BQE,其中尸為OE的中點，連接CP,則

線段CP的最小值為.

（2023?陜西）

20.如圖，ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4,8C=3,尸為4B上一動點，且PE

_LAC于E,PF_LBC于F,則線段E尸長度的最小值是.

B

(2023?湖南)

21.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,4=80°.

(1)求，54D的度數(shù)；

⑵若4萬平分交8c于點E,ZBCD=50°,求證：四邊形AECD是平行四邊形.

(2023?山東)

22.在RtA4BC中，/B4C=90。，。是BC的中點，E是AD的中點，過點A作A尸〃3c交

3E的延長線于點尸.

AL

⑴求證：VAEF納DEB；

⑵證明：四邊形ADb是菱形；

(3)若AS=6,AC=8,求菱形AZXy的面積.

（2023?重慶）

23.如圖，在正方形A3CD中，E,歹分別是A5,3C的中點，CE,。尸相交于點G,連接

AG,求證：

AD

E

BC

（1）CE±DF.

Q）ZAGE=/CDF.

通關(guān)試練

24.順次連接對角線相等且垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

（2023?浙江杭州）

25.菱形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相平分B.是軸對稱圖形C.對角線相等D.對角線互相垂直

26.如圖，在平行四邊形A8CD中，在不添加任何輔助線的情況下，添加以下哪個條件,

能使平行四邊形ABCD是矩形（）

A.AD±ABB.AB=BCC.ABCDD.ZA=ZC

（2023?江西）

27.如圖，YABCD中，AB=22cm,BC=80cm,ZA=45°,動點E從A出發(fā)，以2cm/s

的速度沿A8向點8運動，動點F從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿著8向。運動，當(dāng)點E

到達點B時，兩個點同時停止.則EF的長為10cm時點E的運動時間是（）

28.如圖，矩形A8CQ中，A8=2,BC=4，對角線AC的垂直平分線分別交AD8C于點E.F,

A.—B.-C.2D.1

22

29.如圖，以正方形ABC。的對角線AC為一邊作菱形AEFC,則ZFAB=（）

A.20°B,30°C.50°D.22.5°

30.如圖，在矩形ABCD中，點E,尸分別是邊AB,BC的中點，連接EC,ED,點G,H

分別是EC,ED的中點，連接G"，若AB=6,8c=10,則GH的長度為（）

A.叵B,^9c.叵D,2

222

31.如圖，ZMEN=90°,矩形ABC。的頂點B,C分別是/MEN兩邊上的動點，已知BC

32.如圖，E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，且CE=AC,AE交CD于點F,則N

33.如圖，矩形A5CD中，AB=8,AD=12,E為AD中點，尸為8邊上任意一點,G,H

分別為所，BF中點，則G”的長是—.

34.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，￡>E平分N4X;交A3于點E,叱平分/ABC交CD

于點F,求證：DE=BF.

35.如圖，在矩形ABCD中，。為2。的中點，過點。作跖分別交2C,AD于點E,

F.求證：四邊形BE。F是菱形.

36.如圖，已知正方形A8CD，點E、/分別是AB、BC邊上，且ZED尸=45。，將/ME繞

點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△DCN.

⑴求證：NEDF^MDF；

(2)若正方形A3CD的邊長為5,4￡=2時，求E尸的長？

37.如圖，在YABCD中，CE平分NBCD，交AD于點￡,。尸平分/4DC，交BC于點F,

CE與交于點P,連接所,BP.

(1)求證：四邊形C￡＞彷是菱形.

(2)若AB=2,BC=3,ZA=120°,求3尸的值.

38.已知：如圖，在正方形A8CD中，8。為對角線，EF分別是A。，CD上的點，且AE

=CF,連接BE.BF、EF.

(1)求證：EM=FM;

(2)若。E：AE=2：1,設(shè)S^ABE^S,求S^BEF(用含S的代數(shù)式表示).

參考答案

1.B

【分析】根據(jù)繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。逐項分析即可.

【詳解】A.RtaAOB是由RtAAOB關(guān)于過B點與OB垂直的直線對稱得到，故A選項不

符合題意；

B.Rt^4O3是由繞點3按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到，故B選項符合題意；

C.Rt^AOT?與對應(yīng)點發(fā)生了變化，故C選項不符合題意；

D.RtAAOB是由RtAAOB繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到，故D選項不符合題意.

故選：B.

【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)變換.解題的關(guān)鍵是弄清旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的度數(shù).

2.A

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義即可作出判斷.

【詳解】解：A是中心對稱圖形，故選項正確；

B不是中心對稱圖形，故選項錯誤；

C不是中心對稱圖形，故選項錯誤；

。.不是中心對稱圖形，故選項錯誤.

故選：A.

【點撥】本題主要考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180

度后兩部分重合.

3.D

【分析】根據(jù)折疊得出N￡E?=N2=4O。，ZEBD=ZABD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZCDB=ZABD，得出NEBD=NCDB=NABD，根據(jù)N1=ZEBD+NCD3，求出/￡B￡>=28。，

即可得出ZABD=28°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可.

【詳解】解：根據(jù)折疊可知，NEDB=/2=40。，ZEBD=ZABD,

???四邊形ABC。為平行四邊形,

:.AB//CD,

:.ZCDB=ZABD,

：.ZEBD=ZCDB=ZABD,

?；4=NEBD+NCDB,

：.2ZEBD=56°,

：.ZEBD=2S°,

：.ZABD=1S°,

.-.ZA=180o-ZABD-Z2=180o-28o-40o=112°,

故選：D.

【點撥】本題主要考查了折疊性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，

三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，求出ZABD=28°.

4.(1)證明見解析

⑵16

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，

(1)如圖所示，連接3。交AC于。，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到。1=OG8=08,再

證明,即可證明四邊形3瓦5是平行四邊形；

(2)利用勾股定理求出4尸=20，進而求出AE=4，貝=AE=16.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接8D交AC于。，

■.?四邊形A8CD是平行四邊形，

：.OA=OC9OD=OB,

：AE=CF,

：.OA-AE=OC-CF,即QE=Q/,

???四邊形跳。尸是平行四邊形；

(2)解：：AB±BF,

:.ZABF=90°,

?.?AB=16,BF=12,

-AF=^AB2+BF2=20,

?/AC=24,

：.AE=CF=AC-AF=4,

：.EF=AF-AE=16.

5.D

【分析】本題主要考查三角形中位線的運用，理解并掌握中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)

點M,N是AB,3c的中點，可得=,由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意,MN是ABC的中位線，

:.MN=-AB,

2

AB=2MN=2x18=36(米)，

故選：D.

6.B

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=4，根據(jù)BC=14，由三角形中位線定理得到DE=7,

解答即可.

【詳解】解：1?NAFB=90。，點D是AB的中點,

.'.DF=；AB=4,

?.BC=14,D.E分別是AB,AC的中點，

.?.DE=：BC=7,

.-.EF=DE-DF=3,

故選：B

【點撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和中位線性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得8。，AC,CD,則/1=/4。,44。。+/2=90。，進而

即可求解.

【詳解】解：,??四邊形43co是菱形

,-.BDLAC,AB//CD,

.?.Zl=ZACD,ZACD+Z2=90°,

?.21=20。，

.?.Z2=90°-20°=70°,

故選：C.

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握是菱形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】連接應(yīng)）與AC交于。.先證明△川。是等邊三角形，由AC13。，得到

ZOAB=^ZBAD=30°,ZAC?=90。，即可得到==g，利用勾股定理求出AO的長

度，即可求得AC的長度.

【詳解】解：連接與AC交于。.

1?四邊形A3C。是菱形，

:.AB//CD,AB=AD,ACJ.BD,AO^OC=-AC,

2

:ZDAB=60°,S.AB=AD,

「.△ABD是等邊三角形，

:AC1BD,

：.ZOAB=-ZBAD=30°,ZAOB=90°,

2''

：.OB=-AB=-

22

..AO=ylAB2-OB2==R，

：.AC=2AO=y/3,

故選：D.

【點撥】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、30。角所對直

角邊等于斜邊的一半，關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì).

9.證明見解析

【分析】根據(jù)AAS定理證出△的絲△€?￡,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：四邊形ABQ）是矩形，

:.AD=CB,AD//CB,

.\ZDAF=ZBCE,

BELAC,DF1AC,

:.ZAFD=ZCEB=90°,

ZAFD=/CEB=90°

在耳和△CM中，,ZDAF=ZBCE,

AD=CB

/.Z\ADF^ACBE（AAS）,

:.AF=CE.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握矩形的性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

10.D

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出OA=OC=；AC，OB=OD=；BD,AC=BD，推出04=03則

有等邊三角形A03,即/區(qū)40=60°,然后運用余切函數(shù)即可解答.

【詳解】解：,??四邊形A3C。是矩形，

,-.OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,AC=BD,

22

/.OA=OB,

:ZAOB=6Q°.

：AQ5是等邊三角形，

ZBAO=6Q°z

ZACB=90。—60。=30。，

,/tanZACB==tan30°=,故D正確.

BC3

故選：D.

【點撥】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識點，求出

/胡。=60。是解答本題的關(guān)鍵.

11.8

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，設(shè)

DF、CE交于點Q,證ACDF咨4BCE彳導(dǎo)CE=DF,設(shè)正方形ABC。的邊長為。，分別表

示出GQ,即可求解.

【詳解】解：設(shè)DF、CE交于點Q,如圖所示：

:CE1DF,

.-.ZDCQ+ZCDF=90°

■,ZDCQ+ZBCE^90°

:.ZCDF=ZBCE

■,ZDCF=NCBE=90°,DC=CB

:.ACDF^ABCE

:.CE=DF,

設(shè)正方形ABC。的邊長為a,

貝!1DF=y/CLf+CF2=J〃+4=CE

?.點G、H分別為線段CE、。廠的中點，

:.CGMHF/。*

2

「八CDxCF2a

?CO=-----------=/

-DF行工

\la2+42a。~+4—4a

:.GQ=CG-CQ=—

a2-4

HQ=HF-FQ=--—

22荷+4

:GH2=GQ2+HQ2

Zo..、2('“、

(3&Y一〃+4-4Q+a-4

''12行+4J[2力2+4,

解得：a=8

故答案為：8

12.證明見解析.

【分析】由正方形的性質(zhì)結(jié)合，AGzBF±AGf證明ABF咨即可得到答案.

［詳解］解：MCD是正方形，

:.AB=AD,ZBAD=90°,

/.ZBAF+ZDAE=90°,

QDE1AG,BF±AG,

:.ZDEA=ZAFB=90\

ZDAE+AADE=9Q\

ZBAF=NADE,

在aAB尸與JME中,

ZBAF=ZADE

<ZAFB=ZDEA,

AB=DA

.'ABF空DAE,

BF=AE.

【點撥】本題考查的正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

13.A

【分析】先根據(jù)三角形中位線定理求出OE的長，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半求出。下的長即可得到答案.

【詳解】解：1?OE是AA8C的中位線,BC=8,

:.DE=gBC=4，。是A8的中點，

\^AFB=90°z

:.DF=-AB=3,

2

:.EF=DE-DF=\,

故選A.

【點撥】本題主要考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，熟知三角形中位線

定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

14.B

【分析】先過點A作AD±x軸于點。，過點8作BE±x軸于點E,過點。作CFIIy軸，過

點A作AFlIx軸，交點為F,易得ACA4B0E,AAOD-^OBE,然后由相似三角形的對應(yīng)

邊成比例求得答案.

【詳解】解：如圖，過點A作軸于點。，過點8作的4?軸于點￡,過點。作CFI1

》軸，過點A作AFlIx軸，交點為F,延長CA交x軸于點H,

???四邊形AO8C是矩形,

：AC\\OB,AC=OB,

"CAF=NBOE=NCHO,

在aAC尸和aOBE中，

Z=/BEO=90。

<NCAF=NBOE,

AC=OB

.^CAF^BOE(AAS),

..BE=CF=4-1=3,

"AOD+NBOE=NBOE+NOBE=9。。，

：.Z_AOD=z_OBE,

\^ADO=^OEB=90°z

：AAODj()BE,

AD_OP

'~OE~~BE'

即圭=1，

3

：.OE=—

2

3

.?點B(—,3),

3

,\AF=OE=-,

2

二點c的橫坐標(biāo)為：-(2-。)=］，

2乙

.?點C(-1,4).

故選：B.

【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)此

題注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

15.C

【分析】連AGBD,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到瓦〃AC,AC;HG//AC,

XG=；AC,即四邊形EFGH為平行四邊形，當(dāng)ABDC^AB=DC,只能判斷四邊形

EFG/7為平行四邊形；當(dāng)AC1Z?,能判斷四邊形EFG//為矩形;^AC=BD,能判斷四

邊形屏GH為菱形.

【詳解】解：如圖所示，連AGBD,

:E、F、G、〃為四邊形"CD各中點，

:.EF〃AC,EF=-AC;HG//AC,HG=-AC,

'22

;,EFGH,EF=GH,

」?四邊形EFGH為平行四邊形，

要使四邊形石FGH為菱形，則￡尸=團，

而EH=；BD,

AC=BD.

當(dāng)ABDCAB=DC,只能判斷四邊形EFGH為平行四邊形，故A.D選項錯誤；

當(dāng)ACJ.BD,能判斷四邊形EFGH為矩形，故C選項正確；

當(dāng)=,可判斷四邊形EFGH為菱形，故B選項錯誤.

故選：C.

【點撥】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位線的性質(zhì)，掌握

矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

16.D

【分析】根據(jù)題目條件判定AAND當(dāng)AMB,從而判斷①的正誤；利用截長補短的方法判定

三角形全等，從而判斷②③正誤.

【詳解】解：在正方形ABCD中，AD=AB=CD=CB,ND=NB=NC=90°

,:MN=-fiMC

八”MC1V2

/.cosZNMC==—f==——

MN422

.-.ZNMC=45°,AMNC是等腰直角三角形

」.NOMC

.*.DN=BM

所以^AND%AMB

%一』

:"BAM=NNAD=MAN=4，因此①正確;

2

,e

如圖：延長CD,使得DE=BM

AB=AD

在^ADE和2XABM中1=NADE

BM=DE

/.△ADE^AABM

.t.ZDAE=ZBAM,AM=AE

'：ZMAN=45°

：.ZDAN+ZBAM=45

：.ZDAN+ZDAE=45

：./EAN:/MAN

又「AE二AM,AN=AN

/.△AEN^AAMN

.?.MN=EN=ED+DN=BM+DN

ZAMN=ZE,NANM=NANE

.*.zENM=zANM+zANE=2(180°-45°-zAMN)=270°-2zAMN

而NMNC=180。-NENM=180。-(270°-2zAMN)=2zAMN-90°

即②2NAW—NMNC=90。，正確;

AMNC的周長=MN+MC+NC=EN+NC+MC=ED+DN+NC+MC=BM+DN+NC+MC=CD+BC,

即正方形邊長的2倍，二③AM2VC的周長不變，正確

正確的共三個，故選D.

【點撥】此題考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定，用截長補短的方法證明三角形全等是

解題關(guān)鍵.

17.C

【分析】先利用ASA證明四△CFO,故得BE=FC,進而得出AE=BF,在RtaBEA

中利用勾股定理即可解得斯的長.本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與

性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

【詳解】解：四邊形ABCD是正方形，

:.OB=OC,NOBE=NOCF=45。,AC1BD,

又'OELOF,

ZEOB+ZBOF=90°=ZBOF+Z.COF,

:.ZEOB=ZCOF,

BEgCFO(ASA),,

：.BE=CF=3,

X-AB=BC,

.-.AE=BF=4,

...RtZkB歷中，EF=《BE?+BF?=用+不=5.

故選：C.

18.2

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)四邊形A3CD是平行四邊形得

到ABCD,AB=CD，得到Z&4E=ZA￡D,根據(jù)角平分線得到44E=ZZM￡,即可得

至U/ZME=/4ED，得到AD=DE,即可得到答案

【詳解】解：1?四邊形A3C。是平行四邊形，

:.ABCD,AB=CD,

:.ZBAE=ZAED,

是254。的平分線，

:.ZBAE=ZDAE,

:.ZDAE=ZAED,

AD=DE,

:AB=6,AD=4,

/.EC=6—4=2,

故答案為：2.

19.76

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，連接3尸，得到點尸在“①?的

角平分線上運動是解決問題的關(guān)鍵.

連接BP,依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得到點尸在“跖的角平分線上運動；當(dāng)點。在CP

上時，ZCPB=90°,根據(jù)垂線段最短可知，此時CP最短，最后根據(jù)CB的長即可得到CP的

長.

【詳解】解：如圖所示，連接成，

在等腰中，尸是OE的中點，

BPA.DE,BP平分/DBE,

ZDBE=30°,

.■.ZDBP=15°,即點尸在/D3E的角平分線上運動,

二當(dāng)點。在CP上時，ZCPB=90°,根據(jù)垂線段最短可知，此時CP最短，

又ZABC=30°,

:.NCBP=45°,

ZACB=90°,ZABC=30°,AB=4,

:.BC=^-AB=2y/3,

.'.Rt3cp中,CP=BCxsinZCBP=2>/3x^=^6,

??線段CP的最小值為".

故答案為：仇.

20-f

【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形PEC9是矩形；連接PC，則PC=EF,所以要使

EF,即PC最短，只需尸CLAB即可；然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得PC的值.

【詳解】解：連接PC.

：PE±AC,PF1BC,

.?ZPEC=NPFC=NC=90。；

又?.NACB=90。，

???四邊形ECQ是矢巨形，

：.EF=PC,

:當(dāng)尸。最小時,七月也最小，

即當(dāng)CPJ_A8時，尸。最小，

\'AC=4,BC=3,

：.AB=5,

：.^AC^BC=；AB?PC,

「.PC=g

12

，線段所長的最小值為彳;

12

故答案是：y.

【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，以及三角形的面積公式等知識，熟練

掌握矩形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

21.(1)100°

(2)見解析

【分析】此題重點考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行四邊形的定義等知識，求得

NA4D=100。及證明=是解題的關(guān)鍵.

(1)由AD/BC,得/3仞+/3=180。，則/34￡>=180。-/3=100。;

(2)SAEZBAD^DAE=ZBAE=|ZBAD=50°,貝[]ZAE3=/ZME=50。，而

48=50。，所以ZAEB=NBCD，則AE〃CD,即可根據(jù)平行四邊形的定義證明四邊形

AECD是平行四邊形.

【詳解】(1)解：BC,

.-.ZBAD+ZB=180°,

ZB=80°,

ZBAD=180°-ZB=180°-80°=100°,

.?.N54D的度數(shù)是100°；

(2)AE平分44。交BC于點E,ZBAD=100°,

ZDAE=NBAE=-ZBAD」x100。=50。

22'

AD1?/BC

:.ZAEB=ZDAE=50°,

/BCD=50。,

:.ZAEB=ZBCD,

：.AE//CD,

ADUEC,AE//CD,

二?四邊形AFC。是平行四邊形.

22.⑴見詳解

⑵見詳解

(3)24

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得N4FE=N￡BD,再根據(jù)中線的性質(zhì)即可證明；

（2）由（1）所得條件結(jié)合直角三角形中位線的性質(zhì)即可證明；

（3）過點A作AGL8C,應(yīng)用等面積法求出AG,即可求解.

【詳解】（1）解：?.??〃―

:.ZAFE=ZEBD,

“是的中點，

AE=DE,

在AAEF和ADEB中

ZAFE=ZEBD

■ZAEF=ZDEBI

AE=DE

:.MEF^ADEB（AAS）;

（2）:MEF^ADEB（AAS）,

:.AF=BD,

二四邊形ADb是平行四邊形，

又力是的中點，

:.AF=BD=CD=AD,

二四邊形ADCF是菱形；

（3）如圖，過點人作48，左，

AB=6；AC-8,

?，-BC=7AB2+AC2=A/62+82=10,

5

???ZAVALBDC=2-AB-AC2=-AG-B，C,

ABAC24

即AG=----=—

BC5

貝11sAecF=AG，0=^x5=24.

【點撥】本題主要考查三角形的全等證明、菱形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)，掌握相

關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

23.(1)見解析；

(2)見解析.

【分析】(1)證明VCBEHOCF(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NEC?=NCD~由

ZBCE+ZECD=ZBCD=90，得到/EC￡>+/CDF=90。,即NCG￡>=90。，根據(jù)垂直的定

義得到CELO尸；

(2)延長CE,交ZM的延長線于H,根據(jù)線段中點的定義得到=,根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)得至!J3C=AH=AD,由AG是斜邊的中線，得到AG=go"=A。,求得

ZADG=ZAGD,根據(jù)余角的，性質(zhì)得至1|/AGE=/CDB.

【詳解】(1)..四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=90°,

..凡/分別是AB,BC的中點,

：,BE=-AB,CF=-BC,

22

:.BE=CF,

在△CBE與中，

BC=CD

<ZB=ZFCD/

BE=CF

二.VC助汪VOCF(SAS),

:.ZECB=ZFDC,

/ZBCE+ZECD=ZBCD=90,

」.NECD+NCD尸=90。，

.\ZCGD=90°,

：.CE.LDF.

(2)延長CE,交DA的延長線于H,

,?,在正方形A3CQ中，仞〃3。，

：.ZAHE=ZBCE,

???點￡是A5的中點，

/.AE=BE,

：ZAHE=ZBCE,ZAEH=ZCEB,AE=BE,

.-.VAEH^VBEC(AAS),

：.AH=BC,

,.在正方形ABC。中，AD=BC,

:.AH=AD,

:CELDF

:.NHGD=90。,

是RtVAGD斜邊的中線，

AG=-DH=AD,

2

一ZADG=ZAGD,

VAAGE+ZAGD=ZHGD=90,/CDF+ZADG=ZCDA=90,

..ZAGE=ZCDF.

【點撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)等，綜合性很強，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運用上述知識.

24.D

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到所得四邊形的對邊都平行且相等，那么其必為平行四邊

形，若鄰邊互相垂直且相等，那么所得四邊形是正方形.

【詳解】解：：E.F、G、H分別是AB.8C.CDA。的中點，

:.EH\\FG\\BD,EF\\AC\\HG,EF=-AC,FG=-BD,

22

二四邊形是平行四邊形，

:AC±BD,AC=BD,

:.EF_LFG,FE=FG,

二四邊形是正方形，

故選：D.

【點撥】本題考查的是中點四邊形，三角形中位線定理以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)

造三角形利用三角形的中位線定理解答.

25.C

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可得.

【詳解】解：A.菱形的對角線互相平分，此選項正確，不符合題意；

B.菱形是軸對稱圖形，此選項正確，不符合題意；

C.菱形的對角線不一定相等，此選項錯誤，符合題意；

D.菱形的對角線互相垂直，此選項正確，不符合題意；

故選：C.

【點撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性

質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組

對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線是解題的關(guān)鍵.

26.A

【分析】根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

【詳解】???四邊形是平行四邊形；且

，四邊形ABC。是矩形

故選A

【點撥】本題考查矩形的判定，掌握有一個角是直角的平行四邊形是矩形的概念是解題關(guān)鍵.

27.C

【分析】過點。作DG,于點G,由ZA=45。，可得△ADG是等腰直角三角形，過點F

作于點X,得矩形,利用勾股定理得好/=6cm,由題意可得AE=2Zcm,

CF=tcm,然后列方程求出/的值即可.

【詳解】解：在YA8CD中，AB=22cm.BC=80cm,

如圖，過點。作DG,A3于點G,

?/ZA=45°,

是等腰直角三角形,

:.AG=DG=—AD=S,

2

過點F作FHLAfi于點“，則：四邊形DGHF為矩形，

-,DG=FH=8cm,DF=GH,

,/EF=10cm,

EH=^EF--FH2=6cm,

由題意可知：AE=2fcm,CF=fem,

:.GE=AE=AG=（2r-8）cm,DF=CD-CF=（22-r）cm,

GH=GE=EH=（2f—8）+6=（2/—2）cm,

.,.21-2=22-t,

解得t=8,

斯的長為10cm時，點E的運動時間是8s,

由題意可知，點E運動最大時間為Us.

故選：C.

【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股

定理.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

28.B

【分析】由EF垂直平分AC可彳導(dǎo)AE=CE，設(shè)CE=x，貝！|EQ=A。-AE=4-x,在RtACZ)￡

中，利用勾股定理求出x的長，繼而根據(jù)三角形的面積公式進行求解即可.

【詳解】???四邊形A8CL＞是矩形，

.?e=A8