初三(上)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)材料（上）45、HYPERLINK一元二次方程的根46、HYPERLINK完全平方數(shù)和完全平方式47、HYPERLINK配方法48、HYPERLINK非負(fù)數(shù)49、HYPERLINK對(duì)稱式50、HYPERLINK基本對(duì)稱式51、HYPERLINK待定系數(shù)法52、HYPERLINK換元法53、HYPERLINK條件等式的證明54、HYPERLINK整數(shù)解55、HYPERLINK未知數(shù)比方程個(gè)數(shù)多的方程組解法56、HYPERLINK列表法57、HYPERLINK逆推法58、HYPERLINK觀察法59、HYPERLINK“或者”與“并且”60、HYPERLINK解三角形

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（45）HYPERLINK一元二次方程的根一、內(nèi)容提要一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根，是由它的系數(shù)a,b,c的值確定的.根公式是：x=.(b2－4ac≥0)根的判別式實(shí)系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根的充分必要條件是：b2－4ac≥0.有理系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數(shù)根的判定是：b2－4ac是完全平方式方程有有理數(shù)根.③整系數(shù)方程x2+px+q=0有兩個(gè)整數(shù)根p2－4q是整數(shù)的平方數(shù).設(shè)x1,x2是ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么ax12+bx1+c=0(a≠0，b2－4ac≥0)，ax22+bx2+c=0(a≠0，b2－4ac≥0)；x1=，x2=(a≠0,b2－4ac≥0)；韋達(dá)定理：x1+x2=,x1x2=(a≠0,b2－4ac≥0).方程整數(shù)根的其他條件整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個(gè)整數(shù)根x1的必要條件是：x1是c的因數(shù).特殊的例子有：C=0x1=0，a+b+c=0x1=1，a－b+c=0x1=－1.二、例題已知：a,b,c是實(shí)數(shù)，且a=b+c+1.求證：兩個(gè)方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）證明（用反證法）設(shè)兩個(gè)方程都沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么△1≤0和△2≤0.即由①得b≥，b+1≥代入③，得a－c=b+1≥，4c≤4a－5④②＋④：a2－4a+5≤0，即（a－2）2+1≤0，這是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一個(gè)是大于0.∴方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.本題也可用直接證法：當(dāng)△1＋△2＞0時(shí)，則△1和△2中至少有一個(gè)是正數(shù).已知首項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個(gè)方程：（a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和(b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0(其中a,b為正整數(shù))有一個(gè)公共根.求a,b的值.（1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）解：用因式分解法求得：方程①的兩個(gè)根是a和；方程②兩根是b和.由已知a>1,b>1且a≠b.∴公共根是a=或b=.兩個(gè)等式去分母后的結(jié)果是一樣的.即ab－a=b+2,ab－a－b+1=3,(a－1)(b－1)=3.∵a,b都是正整數(shù)，∴；或.解得；或.又解：設(shè)公共根為x0那么先消去二次項(xiàng)：①×（b－1）－②×（a－1）得［－（a2+2）(b－1)+(b2+2)(a－1)］x0+(a2+2a)(b－1)－(b2+2b)(a－1)=0.整理得（a－b）(ab－a－b－2)(x0－1)=0.∵a≠b∴x0＝1；或(ab－a－b－2)＝0.當(dāng)x0＝1時(shí)，由方程①得a=1,∴a－1=0，∴方程①不是二次方程.∴x0不是公共根.當(dāng)(ab－a－b－2)＝0時(shí)，得(a－1)(b－1)=3……解法同上.例3.已知：m,n是不相等的實(shí)數(shù)，方程x2+mx+n=0的兩根差與方程y2+ny+m=0的兩根差相等.求：m+n的值.（1986年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）解：方程①兩根差是＝＝＝同理方程②兩根差是＝依題意，得＝.兩邊平方得：m2－4n=n2－4m.∴（m－n）(m+n+4)=0∵m≠n，∴m+n+4＝0，m+n＝－4.例4.若a,b,c都是奇數(shù)，則二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有有理數(shù)根.證明：設(shè)方程有一個(gè)有理數(shù)根（m,n是互質(zhì)的整數(shù)）.那么a()2+b()+c=0,即an2+bmn+cm2=0.把m,n按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，∵m,n互質(zhì)，∴不可能同為偶數(shù).①當(dāng)m,n同為奇數(shù)時(shí)，則an2+bmn+cm2是奇數(shù)＋奇數(shù)＋奇數(shù)＝奇數(shù)≠0；②當(dāng)m為奇數(shù),n為偶數(shù)時(shí)，an2+bmn+cm2是偶數(shù)＋偶數(shù)＋奇數(shù)＝奇數(shù)≠0；當(dāng)m為偶數(shù),n為奇數(shù)時(shí)，an2+bmn+cm2是奇數(shù)＋偶數(shù)＋偶數(shù)＝奇數(shù)≠0.綜上所述不論m,n取什么整數(shù)，方程a()2+b()+c=0都不成立.即假設(shè)方程有一個(gè)有理數(shù)根是不成立的.∴當(dāng)a,b,c都是奇數(shù)時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有有理數(shù)根.例5.求證：對(duì)于任意一個(gè)矩形A，總存在一個(gè)矩形B，使得矩形B與矩形A的周長(zhǎng)比和面積比都等于k(k≥1).（1983年福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明：設(shè)矩形A的長(zhǎng)為a,寬為b，矩形B的長(zhǎng)為c,寬為d.根據(jù)題意，得.∴c+d=(a+b)k,cd=abk.由韋達(dá)定理的逆定理，得c,d是方程z2－(a+b)kz+abk=0的兩個(gè)根.＝［－（a+b）k］2－4abk＝（a2+2ab+b2）k2－4abk=k［(a2+2ab+b2)k－4ab］∵k≥1，a2+b2≥2ab,∴a2+2ab+b2≥4ab，(a2+2ab+b2)k≥4ab.∴△≥0.∴一定有c,d值滿足題設(shè)的條件.即總存在一個(gè)矩形B，使得矩形B與矩形A的周長(zhǎng)比和面積比都等于k(k≥1).例6.k取什么整數(shù)值時(shí)，下列方程有兩個(gè)整數(shù)解？①（k2－1）x2－6(3k－1)x+72=0；②kx2+(k2－2)x－(k+2)=0.解：①用因式分解法求得兩個(gè)根是：x1=，x2=.由x1是整數(shù)，得k+1=±1,±2,±3,±4,±6,±12.由x2是整數(shù)，得k－1=±1,±2,±3,±6.它們的公共解是：得k=0,2,－2,3,－5.答：當(dāng)k=0,2,－2,3,－5時(shí)，方程①有兩個(gè)整數(shù)解.②根據(jù)韋達(dá)定理∵x1,x2,k都是整數(shù)，∴k=±1，±2.（這只是整數(shù)解的必要條件，而不是充分條件，故要進(jìn)行檢驗(yàn).）把k=1,－1,2,－2，分別代入原方程檢驗(yàn)，只有當(dāng)k=2和k=－2時(shí)適合.答：當(dāng)k取2和－2時(shí)，方程②有兩個(gè)整數(shù)解.三、練習(xí)45寫出下列方程的整數(shù)解：5x2－x=0的一個(gè)整數(shù)根是＿＿＿.3x2+(－3)x－=0的一個(gè)整數(shù)根是＿＿＿.x2+(+1)x+=0的一個(gè)整數(shù)根是＿＿＿.方程（1－m）x2－x－1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么整數(shù)m的最大值是＿＿＿＿.已知方程x2－(2m－1)x－4m+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于5，則m=＿＿＿.若x≠y，且滿足等式x2+2x－5=0和y2+2y－5=0.那么＝＿＿＿.（提示：x,y是方程z2+5z－5=0的兩個(gè)根.）如果方程x2+px+q=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的2倍，那么p,q應(yīng)滿足的關(guān)系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.（1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）若方程ax2+bx+c=0中a>0,b>0,c<0.那么兩實(shí)數(shù)根的符號(hào)必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）如果方程mx2－2(m+2)x+m+5=0沒有實(shí)數(shù)根，那么方程（m－5）x2－2mx+m=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）.(A)2（B）1（C）0（D）不能確定（1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）當(dāng)a,b為何值時(shí)，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實(shí)數(shù)根？（1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）9.兩個(gè)方程x2+kx－1=0和x2－x－k=0有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則這個(gè)根是（）(A)2（B）－2（C）1（D）－1（1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）已知：方程x2+ax+b=0與x2+bx+a=0僅有一個(gè)公共根，那么a,b應(yīng)滿足的關(guān)系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11.已知：方程x2+bx+1=0與x2－x－b=0有一個(gè)公共根為m，求：m，b的值.12.已知：方程x2+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根各加上1，就是方程x2－a2x+ab=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.試求a,b的值或取值范圍.（1997年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）13.已知：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根和等于s1，兩根的平方和等于s2,兩根的立方和等于s3.求證：as3+bs2+cs1=0.14.求證：方程x2－2(m+1)x+2(m－1)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不能同時(shí)為負(fù).（可用反證法）15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；c,d是方程x2+nx+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.求證：（a－c）(b－c)(a－d)(b－d)=(p－q)2.16.如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于5，兩實(shí)數(shù)根的積是2，那么這個(gè)方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.（1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）17.如果方程（x－1）(x2－2x+m)=0的三個(gè)根，可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）（A）0≤m≤1（B）m≥（C）<m≤1（D）≤m≤1（1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0(k是整數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范圍是()（A）3<k<4(B)-2<k<-1(C)3<k<4或-2<k<-1（D）無解（1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）返回目錄參考答案練習(xí)451.①0，②1，③－12.03.1（舍去－2）4.5.9q=2p26.一正一負(fù)7.D8.a=1,b=－0.59.C10.a+b+1=0,a≠b11.m=－1，b=212.13.左邊＝a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)=……14.用反證法，設(shè)x1<0,x2<0,由韋達(dá)定理推出矛盾（m<－1,m>1）15.由韋達(dá)定理,把左邊化為p,q16.x2±3x+2=017.C18.C

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料為（46）HYPERLINK完全平方數(shù)和完全平方式一、內(nèi)容提要一定義如果一個(gè)數(shù)恰好是某個(gè)有理數(shù)的平方，那么這個(gè)數(shù)叫做完全平方數(shù).例如0，1，0.36，，121都是完全平方數(shù).在整數(shù)集合里，完全平方數(shù)，都是整數(shù)的平方.如果一個(gè)整式是另一個(gè)整式的平方，那么這個(gè)整式叫做完全平方式.如果沒有特別說明，完全平方式是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的.例如：在有理數(shù)范圍m2,(a+b－2)2,4x2－12x+9,144都是完全平方式.在實(shí)數(shù)范圍（a+）2,x2+2x+2,3也都是完全平方式.二.整數(shù)集合里，完全平方數(shù)的性質(zhì)和判定1.整數(shù)的平方的末位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位數(shù)字為2，3，7，8的整數(shù)必不是平方數(shù).2.若n是完全平方數(shù)，且能被質(zhì)數(shù)p整除,則它也能被p2整除..若整數(shù)m能被q整除，但不能被q2整除,則m不是完全平方數(shù).例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方數(shù).又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方數(shù).三.完全平方式的性質(zhì)和判定在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)如果ax2+bx+c(a≠0)是完全平方式，則b2－4ac=0且a>0；如果b2－4ac=0且a>0；則ax2+bx+c(a≠0)是完全平方式.在有理數(shù)范圍內(nèi)當(dāng)b2－4ac=0且a是有理數(shù)的平方時(shí)，ax2+bx+c是完全平方式.四.完全平方式和完全平方數(shù)的關(guān)系1.完全平方式（ax+b）2中當(dāng)a,b都是有理數(shù)時(shí),x取任何有理數(shù)，其值都是完全平方數(shù)；當(dāng)a,b中有一個(gè)無理數(shù)時(shí)，則x只有一些特殊值能使其值為完全平方數(shù).某些代數(shù)式雖不是完全平方式，但當(dāng)字母取特殊值時(shí)，其值可能是完全平方數(shù).例如：n2+9,當(dāng)n=4時(shí)，其值是完全平方數(shù).所以，完全平方式和完全平方數(shù)，既有聯(lián)系又有區(qū)別.五.完全平方數(shù)與一元二次方程的有理數(shù)根的關(guān)系在整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a≠0)中若b2－4ac是完全平方數(shù)，則方程有有理數(shù)根；若方程有有理數(shù)根，則b2－4ac是完全平方數(shù).在整系數(shù)方程x2+px+q=0中若p2－4q是整數(shù)的平方，則方程有兩個(gè)整數(shù)根；若方程有兩個(gè)整數(shù)根，則p2－4q是整數(shù)的平方.二、例題例1.求證：五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).證明：設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)為m－2,m－1,m,m+1,m+2.其平方和為S.那么S＝（m－2）2＋（m－1）2＋m2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m2+2）.∵m2的個(gè)位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9∴m2+2的個(gè)位數(shù)只能是2，3，6，7，8，1∴m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.∴五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).例2m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，（m－1）x2+2mx+3m－2是完全平方式？解：根據(jù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)完全平方式的判定，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（m－1）x2+2mx+3m－2是完全平方式△=0，即（2m）2－4(m－1)(3m－2)=0.解這個(gè)方程，得m1=0.5,m2=2.解不等式m－1>0，得m>1.即它們的公共解是m=2.答：當(dāng)m=2時(shí)，（m－1）x2+2mx+3m－2是完全平方式.例3.已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求證：a=b=c.證明：把已知代數(shù)式整理成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，得原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.要使等式成立，必須且只需：解這個(gè)方程組，得a=b=c.例4.已知方程x2－5x+k=0有兩個(gè)整數(shù)解，求k的非負(fù)整數(shù)解.解：根據(jù)整系數(shù)簡(jiǎn)化的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根時(shí)，△是完全平方數(shù).可設(shè)△=m2(m為整數(shù))，即（－5）2－4k=m2(m為整數(shù))，解得，k=.∵k是非負(fù)整數(shù)，∴由25－m2≥0，得，即－5≤m≤5；由25－m2是4的倍數(shù)，得m=±1,±3,±5.以m的公共解±1,±3,±5，分別代入k=.求得k=6,4,0.答：當(dāng)k=6,4,0時(shí)，方程x2－5x+k=0有兩個(gè)整數(shù)解求證：當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數(shù)根.證明：（用反證法）設(shè)方程有有理數(shù)根，那么△是整數(shù)的平方.∵△＝（8k）2－16(k2+1)＝16（3k2－1）.設(shè)3k2－1＝m2(m是整數(shù)).由3k2－m2＝1，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性討論3k2＝m2＋1能否成立.當(dāng)k為偶數(shù)，m為奇數(shù)時(shí)，左邊k2是4的倍數(shù)，3k2也是4的倍數(shù)；右邊m2除以4余1，m2＋1除以4余2.∴等式不能成立.；當(dāng)k為奇數(shù)，m為偶數(shù)時(shí)，左邊k2除以4余1，3k2除以4余3右邊m2是4的倍數(shù)，m2＋1除以4余1∴等式也不能成立.綜上所述，不論k,m取何整數(shù)，3k2＝m2＋1都不能成立.∴3k2－1不是整數(shù)的平方，16（3k2－1）也不是整數(shù)的平方.∴當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數(shù)根三、練習(xí)46如果m是整數(shù)，那么m2+1的個(gè)位數(shù)只能是＿＿＿＿.如果n是奇數(shù)，那么n2－1除以4余數(shù)是＿＿，n2+2除以8余數(shù)是＿＿＿，3n2除以4的余數(shù)是＿＿.如果k不是3的倍數(shù)，那么k2－1除以3余數(shù)是＿＿＿＿＿.一個(gè)整數(shù)其中三個(gè)數(shù)字是1，其余的都是0，問這個(gè)數(shù)是平方數(shù)嗎？為什么？一串連續(xù)正整數(shù)的平方12，22，32，………，1234567892的和的個(gè)位數(shù)是＿＿.（1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）m取什么值時(shí)，代數(shù)式x2－2m(x－4)－15是完全平方式？m取什么正整數(shù)時(shí)，方程x2－7x+m=0的兩個(gè)根都是整數(shù)？a,b,c滿足什么條件時(shí),代數(shù)式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一個(gè)完全平方式？判斷下列計(jì)算的結(jié)果，是不是一個(gè)完全平方數(shù)：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積；②兩個(gè)奇數(shù)的平方和.一個(gè)四位數(shù)加上38或減去138都是平方數(shù)，試求這個(gè)四位數(shù).已知四位數(shù)是平方數(shù)，試求a,b.已知：n是自然數(shù)且n>1.求證：2n－1不是完全平方數(shù).已知：整系數(shù)的多項(xiàng)式4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方數(shù)，求整數(shù)a和b的值.已知：a,b是自然數(shù)且互質(zhì)，試求方程x2－abx+(a+b)=0的自然數(shù)解.(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)15.恰有35個(gè)連續(xù)自然數(shù)的算術(shù)平方根的整數(shù)部分相同，那么這個(gè)整數(shù)是()(A)17(B)18(C)35(D)36(1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)練習(xí)461.1，2，5，6，7，02.0，3，33.0不是平方數(shù)，因?yàn)槟鼙?整除而不能被9整除5。因?yàn)槠椒綌?shù)的個(gè)位數(shù)是（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1）即個(gè)位數(shù)為5×8＋53，57.12，10，68.a=b,a=c且c>b9.都不是10.1987．∵A2－B2＝176＝2×2×2×2×11……11.7744（882）.∵是平方數(shù)，a+b是11的倍數(shù)∴可從中檢驗(yàn)，得出答案.用反證法，設(shè)2n－1=A2,A必是奇數(shù)，設(shè)A＝2k+1……x1=1,x2=2

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（47）HYPERLINK配方法一、內(nèi)容提要配方：這里指的是在代數(shù)式恒等變形中，把二次三項(xiàng)式a2±2ab+b2寫成完全平方式（a±b）2.有時(shí)需要在代數(shù)式中添項(xiàng)、折項(xiàng)、分組才能寫成完全平方式.常用的有以下三種：①由a2+b2配上2ab，②由2ab配上a2+b2，③由a2±2ab配上b2.運(yùn)用配方法解題，初中階段主要有：用完全平方式來因式分解例如：把x4+4因式分解.原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝……這是由a2+b2配上2ab.二次根式化簡(jiǎn)常用公式：，這就需要把被開方數(shù)寫成完全平方式.例如：化簡(jiǎn).我們把5－2寫成2－2＋3＝－2＋＝（－）2.這是由2ab配上a2+b2.求代數(shù)式的最大或最小值，方法之一是運(yùn)用實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，零就是最小值.即∵a2≥0，∴當(dāng)a=0時(shí)，a2的值為0是最小值.例如：求代數(shù)式a2+2a－2的最值.∵a2+2a－2=a2+2a+1－3=(a+1)2－3當(dāng)a=－1時(shí),a2+2a－2有最小值－3.這是由a2±2ab配上b2有一類方程的解是運(yùn)用幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都是零，有時(shí)就需要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x,y.解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化為（x+1）2+(y－2)2=0.要使等式成立，必須且只需.解得此外在解二次方程中應(yīng)用根的判別式，或在證明等式、不等式時(shí)，也常要有配方的知識(shí)和技巧.二、例題因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2)（折項(xiàng)，分組）＝（ab+1）2－(a－b)2（配方）＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）本題的關(guān)鍵是用折項(xiàng)，分組，樹立配方的思想.化簡(jiǎn)下列二次根式：①；②；③.解：化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是把被開方數(shù)配方①＝＝＝＝2＋.②＝＝＝＝＝.③＝＝＝＝＝=2－.求下列代數(shù)式的最大或最小值：①x2+5x+1；②－2x2－6x+1.解：①x2+5x+1＝x2+2×x+－+1＝（x+）2－.∵（x+）2≥0，其中0是最小值.即當(dāng)x=時(shí)，x2+5x+1有最小值－.②－2x2－6x+1＝－2（x2+3x-）=－2(x2+2×x+－)＝－2（x+）2+∵－2（x+）2≤0，其中0是最大值，∴當(dāng)x=－時(shí)，－2x2－6x+1有最大值.解下列方程：①x4－x2+2xy+y2+1=0；②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0.（折項(xiàng)，分組）(x2－1)2+(x+y)2=0.（配方）根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都應(yīng)等于零”.得∴或②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0.(折項(xiàng)，分組)(x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y－1)2＝0.（配方）∴∴已知：a,b,c,d都是整數(shù)且m=a2+b2,n=c2+d2,則mn也可以表示為兩個(gè)整數(shù)的平方和，試寫出其形式.（1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）解：mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2++a2d2+b2c2+b2=a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c=(ac+bd)2+(ad-bc)2求方程x2+y2-4x+10y+16=0的整數(shù)解解：x2-4x+16+y2+10y+25=25(添項(xiàng))（x－4）2+(y+5)2＝25（配方）∵25折成兩個(gè)整數(shù)的平方和，只能是0和25；9和16.∴由得同理，共有12個(gè)解……三、練習(xí)47因式分解：①x4+x2y2+y4；②x2-2xy+y2-6x+6y+9；③x4+x2-2ax-a2+1.化簡(jiǎn)下列二次根式：①（－＜x<）；②(1<x<2)；③；④；⑤；⑥；⑦（14＋6）÷（3＋）；⑧（）2＋.3求下列代數(shù)式的最大或最小值：①2x2+10x+1；②－x2+x-1.4.已知：a2+b2－4a－2b+5.求：的值.5.已知：a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29.求：a+b+c的值.6.已知：實(shí)數(shù)a,b,c滿足等式a+b+c=0,abc=8.試判斷代數(shù)式值的正負(fù).（1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）7.已知：x=.求：.（1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）8.已知：a2+c2+2(b2-ab-bc)=0.求證：a=b=c.9.解方程：①x2-4xy+5y2-6y+9；②x2y2+x2+4xy+y2+1=0；③5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0.10.求下列方程的整數(shù)解：①（2x-y－2）2＋(x+y+2)2=5；②x2-6xy+y2+10y+25=0.返回目錄參考答案練習(xí)471.②（x－y－3）22.①8，②0.5x，③3－2，④，⑤2＋，⑥⑦3＋，⑧7－2x（x≤3）3.①當(dāng)x=－時(shí)，有最小值－②x=1時(shí)，有最大值－4.a=2,b=1代數(shù)式值是3＋25.±136.負(fù)數(shù)。由（a+b+c）2=0得出ab+ac+bc<0值為5。先化簡(jiǎn)已知為4－，代入分母值為2，可知x2－8x+13=0分子可化為（x2+2x+1）(x2－8x+13)+10＝10配方（a－b）2+(b－c)2=0①②③①②（x-3）2+(y+5)2=9……

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(48)HYPERLINK非負(fù)數(shù)一、內(nèi)容提要非負(fù)數(shù)的意義：在實(shí)數(shù)集合里，正數(shù)和零稱為非負(fù)數(shù).a是非負(fù)數(shù)，可記作a≥0,讀作a大于或等于零，即a不小于零.初中學(xué)過的幾種非負(fù)數(shù)：⑴實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù).若a是實(shí)數(shù)，則≥0.⑵實(shí)數(shù)的偶數(shù)次冪是非負(fù)數(shù).若a是實(shí)數(shù)，則a2n≥0（n是正整數(shù)）.⑶算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，且被開方數(shù)也是非負(fù)數(shù).若是二次根式，則≥0，a≥0.⑷一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，根的判別式是非負(fù)數(shù)，反過來也成立.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則b2－4ac≥0.若b2－4ac≥0(a≠0)，則二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.⑸數(shù)軸上，原點(diǎn)和它的右邊所表示的數(shù)是非負(fù)數(shù)，幾何中的距離，圖形中的線段、面積、體積的量數(shù)也都是非負(fù)數(shù).非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：⑴非負(fù)數(shù)集合里，有一個(gè)最小值，它就是零.例如：a2有最小值0（當(dāng)a=0時(shí)），也有最小值0（當(dāng)x=－1時(shí)）.⑵如果一個(gè)數(shù)和它的相反數(shù)都是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)就是零.若a≥0且－a≥0，則a=0；如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0.⑶有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和或積仍是非負(fù)數(shù).例如：若a，b，x都是實(shí)數(shù)數(shù)，則a2+b2≥0,×≥0,a2≥0.⑷若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)也都只能是零.例如若（b＋3）2+=0那么即∴.二、例題求證：方程x4+3x2+2x+6=0沒有實(shí)數(shù)根證明：把方程左邊分組配方，得（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0即（x2+1）2+(x+1)2=－4∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0，∴（x2+1）2+(x+1)2≥0.但右邊是－4.∴不論x取什么實(shí)數(shù)值，等式都不能成立.∴方程x4+3x2+2x+6=0沒有實(shí)數(shù)根.a取什么值時(shí)，根式有意義？解：∵二次根式的被開方數(shù)（a－2）(與(a－2)(1－都是非負(fù)數(shù)，且（a－2）(與(a－2)(1－是互為相反數(shù)，∴（a－2）(＝0.（非負(fù)數(shù)性質(zhì)2）∴a－2=0；或=0.∴a1=2,a2=1,a3=－1.答：當(dāng)a=2或a=1或a=－1時(shí)，原二次根式有意義.要使等式（2－x）2+＝0成立，x的值是＿＿＿＿.（1991年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）解：要使原等式成立∵（2－x）2≥0，∴≤0.∴＝＝－1，(x－4≠0)∴（2－x）2＝1，且x－4<0.即解得∴x=3.答：x的值是3.當(dāng)a,b取什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實(shí)數(shù)根？（1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）解：∵當(dāng)△≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.解如下不等式：［2（1＋a）］2－4(3a2+4ab+4b2+2)≥0－8a2－16ab－16b2+8a－4≥0，2a2+4ab+4b2－2a+1≤0，（a+2b）2+(a－1)2≤0①∵（a+2b）2≥0且(a－1)2≥0，得（a+2b）2+(a－1)2≥0②∴只有當(dāng)（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0不等式①和②才能同時(shí)成立.答：當(dāng)a=1且b=－時(shí)，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實(shí)數(shù)根.三、練習(xí)48已知在實(shí)數(shù)集合里有意義，則x=____.要使不等式（a+1）2≤0成立，實(shí)數(shù)a=_____.已知＝0，則a=＿＿,b=＿＿,a100b101=____.把根號(hào)外因式移到根號(hào)里：①－a=＿＿＿，②b=＿＿＿＿，③－c=＿＿＿＿.5.如果a<b,那么等于（）（A）（x+a）.(B)（x+a）.(C)－（x+a）.(D)－（x+a）.（1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）已知a是實(shí)數(shù)且使a=,則x=＿＿＿＿.(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)7.已知a,b是實(shí)數(shù)且a.化簡(jiǎn)后的值是＿＿＿＿.(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)8.當(dāng)x=＿＿時(shí)，－（x＋）有最大值＿＿＿.（1986年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）9.已知：且,都是整數(shù).求a,c的值.（1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）10.求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的實(shí)數(shù)解.11.求適合不等式2x2+4xy+4y2－4x+4≤0的未知數(shù)x的值.12.求證：不論k取什么實(shí)數(shù)值，方程x2+(2k+1)x－k2+k=0都有不相等的實(shí)數(shù)解.13.比較a2+b2+c2與ab+bc+ca的大小.14.已知方程組的解x,y,z都是非負(fù)數(shù).求a的值.練習(xí)481.32.－13.1，－1，－14.①－，②－，③5.C6.0。因?yàn)樽筮卆≤0，右邊≥0。7.－a?！遙=1,a8.x=－,最大值9.10.11△＝8k2+1……13.用求差法，配方（乘上2×0.5）14.－＜1

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（49）HYPERLINK對(duì)稱式一、內(nèi)容提要一.定義在含有多個(gè)變量的代數(shù)式f(x,y,z)中，如果變量x,y,z任意交換兩個(gè)后，代數(shù)式的值不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為絕對(duì)對(duì)稱式，簡(jiǎn)稱對(duì)稱式.例如：代數(shù)式x+y，xy，x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy,，.都是對(duì)稱式.其中x+y和xy叫做含兩個(gè)變量的基本對(duì)稱式.在含有多個(gè)變量的代數(shù)式f(x,y,z)中，如果變量x,y,z循環(huán)變換后代數(shù)式的值不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為輪換對(duì)稱式，簡(jiǎn)稱輪換式.例如：代數(shù)式a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b),2x2y+2y2z+2z2x,，（xy+yz+zx）(，.都是輪換式.顯然，對(duì)稱式一定是輪換式,而輪換式不一定是對(duì)稱式.二.性質(zhì)含兩個(gè)變量x和y的對(duì)稱式，一定可用相同變量的基本對(duì)稱式來表示.這將在下一講介紹.對(duì)稱式中，如果含有某種形式的一式，則必含有，該式由兩個(gè)變量交換后的一切同型式，且系數(shù)相等.例如：在含x,y,z的齊二次對(duì)稱多項(xiàng)式中，如果含有x2項(xiàng)，則必同時(shí)有y2,z2兩項(xiàng)；如含有xy項(xiàng)，則必同時(shí)有yz,zx兩項(xiàng)，且它們的系數(shù)，都分別相等.故可以表示為：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx)其中m,n是常數(shù).輪換式中，如果含有某種形式的一式，則一定含有，該式由變量字母循環(huán)變換后所得的一切同型式，且系數(shù)相等.例如：輪換式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b一項(xiàng),必有同型式b－c和c－a兩項(xiàng).兩個(gè)對(duì)稱式（輪換式）的和，差，積，商（除式不為零），仍然是對(duì)稱式（輪換式）.例如：∵x+y,xy都是對(duì)稱式，∴x+y＋xy，（x+y）xy，等也都是對(duì)稱式.∵xy+yz+zx和都是輪換式，∴＋xy+yz+z，（）（xy+yz+z）.也都是輪換式..二、例題例1.計(jì)算：（xy+yz+zx）(－xyz(.分析：∵（xy+yz+zx）(是關(guān)于x,y,z的輪換式，由性質(zhì)2，在乘法展開時(shí)，只要用xy分別乘以，，連同它的同型式一齊寫下.解：原式＝（）＋（z+x＋y）+(y+z+x)－()＝2x+2y+2z.已知：a+b+c=0,abc≠0.求代數(shù)式的值（1989年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）分析：這是含a,b,c的輪換式，化簡(jiǎn)第一個(gè)分式后，其余的兩個(gè)分式，可直接寫出它的同型式.解：∵＝＝，∴＝－－－＝－＝0.計(jì)算：（a+b+c）3分析：展開式是含字母a,b,c的三次齊次的對(duì)稱式，其同型式的系數(shù)相等，可用待定系數(shù)法.解：設(shè)（a+b+c）3＝m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2（m,n,p是待定系數(shù)）令a=1,b=0,c=0.比較左右兩邊系數(shù)得m=1；令a=1,b=1,c=0比較左右兩邊系數(shù)得2m+2n=8；令a=1,b=1,c=1比較左右兩邊系數(shù)得3m+6n+p=27.解方程組得∴（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c因式分解：a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)；（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5.解：①∵當(dāng)a=b時(shí)，a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝0.∴有因式a－b及其同型式b－c,c－a.∵原式是四次齊次輪換式，除以三次齊次輪換式（a－b）(b－c)(c－a)，可得一次齊次的輪換式a+b+c.用待定系數(shù)法：得a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝m(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a)比較左右兩邊a3b的系數(shù)，得m=－1.∴a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝－(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a).x=0時(shí)，（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝0∴有因式x，以及它的同型式y(tǒng)和z.∵原式是五次齊次輪換式，除以三次輪換式xyz，其商是二次齊次輪換式.∴用待定系數(shù)法：可設(shè)（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝xyz［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令x=1,y=1,z=1.比較左右兩邊系數(shù)，得80=m+n；令x=1,y=1,z=2.比較左右兩邊系數(shù)，得480=6m+n.解方程組得.∴（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝80xyz(x+y+z).三、練習(xí)49已知含字母x,y,z的輪換式的三項(xiàng)x3+x2y－2xy2,試接著寫完全代數(shù)式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.已知有含字母a,b,c,d的八項(xiàng)輪換式的前二項(xiàng)是a3b－(a－b)，試接著寫完全代數(shù)式_________________________________.利用對(duì)稱式性質(zhì)做乘法，直接寫出結(jié)果：①（x2y+y2z+z2x）（xy2+yz2+zx2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.②（x+y+z）（x2+y2+z2－xy－yz－zx）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4.計(jì)算：（x+y）5.5.求（x+y）(y+z)(z+x)+xyz除以x+y+z所得的商.因式分解：ab(a－b)+bc(b－c)+ca(c－a)；(x+y+z)3－(x3+y3+z3)；（ab+bc+ca）(a+b+c)－abc；a(b－c)3+b(c－a)3+c(a－b)3.已知：.求證：a,b,c三者中，至少有兩個(gè)是互為相反數(shù).8.計(jì)算：＋＋.已知：S＝（a+b+c）.求證：＝3S（S－a）(S－b)(S－c).若x,y滿足等式x=1+和y=1+且xy≠0，那么y的值是（）（A）x－1.（B）1－x.（C）x.（D）1+x.返回目錄參考答案練習(xí)491.y3+z3+y2z+z2x－2y2z－2z2x2.b3c+c3d+d33.②x3+y3+z3－3xyz4.設(shè)(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3),a=1,b=5,c=10.5.設(shè)原式＝（x+y+z）［a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx)］,a=0,b=1.6.③當(dāng)a=－b時(shí)，原式＝0，原式＝m(a+b)(b+c)(c+a)m=17.由已知等式去分母后，使右邊為0，因式分解8.19.一個(gè)分式化為S（S－a）(S－b)(S－c)10.選C

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（50）HYPERLINK基本對(duì)稱式一、內(nèi)容提要上一講介紹了對(duì)稱式和輪換式的定義和性質(zhì).形如x+y和xy是兩個(gè)變量x,y的基本對(duì)稱式.含兩個(gè)變量的所有對(duì)稱式，都可以用相同變量的基本對(duì)稱式來表示.例如x2+y2,x3+y3,(2x－5)(2y－5),－，……都是含兩個(gè)變量的對(duì)稱式，它們都可以用相同變量x,y的基本對(duì)稱式來表示：x2+y2＝（x+y）2－2xy，x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，(2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25,－=－,==.設(shè)x+y=m,xy=n.則x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn；x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2………一般地，xn+yn(n為正整數(shù))用基本對(duì)稱式表示可建立遞推公式：xk+1+yk+1=(xk+yk)(x+y)－xy(xk－1+yk－1)(k為正整數(shù)).含x,y的對(duì)稱式，x+y,xy這三個(gè)代數(shù)式之間，任意知道兩式，可求第三式.二、例題已知x=(+1),y=求下列代數(shù)式的值：①x3+x2y+xy2+y3；②x2(2y+3)+y2(2x+3).解：∵含兩個(gè)變量的對(duì)稱式都可以用相同變量的基本對(duì)稱式來表示.∴先求出x+y=,xy=.①x3+x2y+xy2+y3＝（x+y）3－2xy(x+y)=()3－2×=2；②x2(2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y)=3［（）2×＝－6.解方程組分析：可由x3+y3,x+y求出xy，再由基本對(duì)稱式，求兩個(gè)變量x和y.解：∵x3+y3,＝（x+y）3－3xy(x+y)③把①和②代入③，得35＝53－15xy.∴xy=6.解方程組得或.化簡(jiǎn)＋.解：設(shè)＝x,=y.那么x3+y3=40,xy==2.∵x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，∴40＝（x+y）3－6（x＋y）.設(shè)x+y=u,得u3－6u－40=0.(u－4)(u2+4u+10)=0.∵u2+4u+10=0沒有實(shí)數(shù)根，∴u－4＝0,u＝4.∴x+y=4.即＋＝4.a取什么值時(shí)，方程x2－ax+a－2=0的兩根差的絕對(duì)值最??？其最小值是什么？解：設(shè)方程兩根為x1,x2.根據(jù)韋達(dá)定理，得∵＝＝＝，∴當(dāng)a=2時(shí)，有最小值是2.三、練習(xí)501.已知x－y=a,xy=b.則x2+y2=______；x3－y3=______.2.若x+y=1,x2+y2=2.則x3+y3=_______；x5+y5=______.3.如果x+y=－2k,xy=4,.則k=_____.4.已知x+=4,那么x－=____，=＿＿＿.若.＝a,那么x+=______,=＿＿＿.已知：a=,b=.求：①7a2+11ab+7b2；②a3+b3－a2－b2－3ab+1.已知＝8，則＝＿＿＿＿.（1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）已知a2+a－1=0則a3－=＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽)已知一元二次方程的兩個(gè)根的平方和等于5，兩根積是2，則這個(gè)方程可寫成為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.（1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽）化簡(jiǎn)：①；②.已知：α，β是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根.求證：α2（bβ+c）+β2(bα+c)=－.返回目錄參考答案練習(xí)501.a2+2b,a3+3ab2.2.5,4.753.±4.2或－2，14，525.a2－2,a4－4a2+26.109,367.628.–49.x2±3x＋2＝010.①1，②2運(yùn)用韋達(dá)定理，把左邊式子化為基本對(duì)稱式表示

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（51）HYPERLINK待定系數(shù)法一、內(nèi)容提要多項(xiàng)式恒等的定義：設(shè)f(x)和g(x)是含相同變量x的兩個(gè)多項(xiàng)式，f(x)≡g(x)表示這兩個(gè)多項(xiàng)式恒等.就是說x在取值范圍內(nèi)，不論用什么實(shí)數(shù)值代入左右的兩邊，等式總是成立的.符號(hào)“≡”讀作“恒等于”，也可以用等號(hào)表示恒等式.例如：（x+3）2=x2+6x+9,5x2－6x+1=(5x－1)(x－1),x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7).都是恒等式.根據(jù)恒等式定義，可求恒等式中的待定系數(shù)的值.例如：已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2).求：①a+b+c；②a－b+c.解：①以x=1，代入等式的左右兩邊，得a+b+c＝－4.②以x=－1，代入等式的左右兩邊，得a－b+c＝0.恒等式的性質(zhì)：如果兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，則左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等.即如果a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an=b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn那么a0=b0，a1=b1，……，an－1=bn－1，an=bn.上例中又解：∵ax2+bx+c=2x2－2x－4.∴a=2,b=－2,c=－4.∴a+b+c＝－4，a－b+c＝0.待定系數(shù)法：就是先假設(shè)結(jié)論為一個(gè)含有待定系數(shù)的代數(shù)式，然后根據(jù)恒等式定義和性質(zhì)，確定待定系數(shù)的值.二、例題已知：求：A，B，C的值.解：去分母，得x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).根據(jù)恒等式定義（選擇x的適當(dāng)值，可直接求出A，B，C的值），當(dāng)x=0時(shí)，2＝－6A.∴A＝－.當(dāng)x=3時(shí)，8＝15B.∴B＝.當(dāng)x=－2時(shí)，8＝10C.∴C＝.本題也可以把等號(hào)右邊的代數(shù)式，整理成為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，然后用恒等式性質(zhì)：“左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等”，列出方程組來解.（見下例）.把多項(xiàng)式x3－x2+2x+2表示為關(guān)于x－1的降冪排列形式.解：用待定系數(shù)法：設(shè)x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d把右邊展開，合并同類項(xiàng)（把同類項(xiàng)對(duì)齊），得x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a+bx2－2bx+b+cx－c+d用恒等式的性質(zhì)，比較同類項(xiàng)系數(shù)，得解這個(gè)方程組，得∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.本題也可用換元法：設(shè)x－1=y,那么x=y+1.把左邊關(guān)于x的多項(xiàng)式化為關(guān)于y的多項(xiàng)式，最后再把y換成x－1.已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求：a和b的值.解：設(shè)4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2（設(shè)待定的系數(shù)，要盡可能少.）右邊展開，合并同類項(xiàng)，得4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.比較左右兩邊同類項(xiàng)系數(shù)，得方程組；或.解得.推導(dǎo)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系.解：設(shè)方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三個(gè)根分別為x1,x2,x3.原方程化為x3+.∵x1,x2,x3是方程的三個(gè)根.∴x3+(x－x1)(x－x2)(x－x3).把右邊展開，合并同類項(xiàng)，得x3+=x3－(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3.比較左右同類項(xiàng)的系數(shù)，得一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系是：x1+x2+x3=－，x1x2+x1x3+x2x3＝，x1x2x3＝－.已知：x3+px+q能被（x－a）2整除.求證：4p3+27q2=0.證明：設(shè)x3+px+q＝（x－a）2（x+b）.x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b.由①得b=2a，代入②和③得∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2=4×（－27a6）+27×（4a6）=0.（證畢）.已知：f(x)=x2+bx+c是g(x)=x4+6x2＋25的因式，也是q(x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求：f(1)的值.解：∵g(x),q(x)都能被f(x)整除,它們的和、差、倍也能被f(x)整除.為了消去四次項(xiàng)，設(shè)g(x)－q(x)＝kf(x),(k為正整數(shù)).即14x2－28x+70＝k(x2+bx+c)14（x2－2x+5）＝k(x2+bx+c)∴k=14,b=－2,c=5.即f(x)=x2－2x+5.∴f(1)=4.用待定系數(shù)法，求（x+y）5的展開式解：∵展開式是五次齊次對(duì)稱式，∴可設(shè)（x+y）5＝a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3)(a,b,c是待定系數(shù).)當(dāng)x=1,y=0時(shí)，得a=1；當(dāng)x=1,y=1時(shí)，得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16當(dāng)x=－1,y=2時(shí)，得31a－14b+4c=1.得方程組解方程組，得∴（x+y）5＝x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.三、練習(xí)511.已知.求a,b的值.2.已知：.求：A，B，C的值.已知：x4—6x3+13x2－12x+4是完全平方式.求：這個(gè)代數(shù)式的算術(shù)平方根.已知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除.求證：ad=bc.已知：x3－9x2+25x+13=a(x+1)(x－2)(x－3)=b(x－1)(x－2)(x－3)=c(x－1)(x+1)(x－3)=d(x－1)(x+1)(x－2).求：a+b+c+d的值.試用待定系數(shù)法，證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（即韋達(dá)定理）.用x－2的各次冪表示3x3－10x2+13.k取什么值時(shí)，kx2－2xy－y2+3x－5y+2能分解為兩個(gè)一次因式..分解因式：①x2+3xy+2y24x+5y+3；②x4+1987x2+1986x+1987.求下列展開式：①(x+y)6；②(a+b+c)3.多項(xiàng)式x2y－y2z+z2x－x2z+y2x+z2y－2xyz因式分解的結(jié)果是()(A)(x+y)(y－z)(x－z).(B)(x+y)(y+z)(x－z).(C)(x－y)(y－z)(x+z).(D)(x－y)(y+z)(x+z).已知(a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1,若S=(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4x－3.則S等于()(A)(x－2)4.(B)(x－1)4.(C)x4.(D)(x+1)4.(1988年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)13．已知：的值是恒為常數(shù)求：a,b,c的值.返回目錄參考答案練習(xí)511.a=－,b=－2.A=1,B=2,C=33.±(x2－3x+2)4.由(x2+p)(ax+)…5.17.3(x－2)3+8(x－2)2－4(x－2)－38.先整理為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，并把常數(shù)項(xiàng)分解因式，再用待定系數(shù)法。9.①(x+y+1)(x+2y+3)②(x2+x+1)(x2－x+1987)10.①x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.②x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.11.(A)12.(C)13.a=1,b=1.5,c=－2.返回目錄

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（52）HYPERLINK換元法一、內(nèi)容提要1.換元就是引入輔助未知數(shù).把題中某一個(gè)（些）字母的表達(dá)式用另一個(gè)（些）字母的表達(dá)式來代換，這種解題方法，叫做換元法，又稱變量代換法.2.換元的目的是化繁為簡(jiǎn)，化難為易，溝通已知和未知的聯(lián)系.例如通過換元來降次，或化分式、根式為整式等.換元的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)氖阶舆M(jìn)行代換.3.換元要注意新舊變?cè)娜≈捣秶淖兓?要避免代換的新變量的取值范圍被縮??；若新變量的取值范圍擴(kuò)大了，則在求解之后要加以檢驗(yàn).4.解二元對(duì)稱方程組，常用二元基本對(duì)稱式代換.倒數(shù)方程的特點(diǎn)是：按未知數(shù)降冪排列后，與首、末等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等.例如：一元四次的倒數(shù)方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0.兩邊都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0.設(shè)x+=y,那么x2+=y2－2,原方程可化為ay2+by+c－2=0.對(duì)于一元五次倒數(shù)方程ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0，必有一個(gè)根是－1.原方程可化為(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0，這是四次倒數(shù)方程.形如ax4－bx3+cx2＋bx+a=0的方程，其特點(diǎn)是：與首、末等距離的偶數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)相等，奇數(shù)次冪的系數(shù)是互為相反數(shù).兩邊都除以x2,可化為a(x2+)－b(x－)+c=0.設(shè)x－=y,則x2+=y2+2,原方程可化為ay2－by+c+2=0.二、例題例1.解方程=x.解：設(shè)=y,那么y2=2x+2.原方程化為：y－y2=0.解得y=0；或y=2.當(dāng)y=0時(shí)，=0(無解)當(dāng)y=2時(shí)，=2，解得，x=.檢驗(yàn)（略）.例2.解方程：x4+(x－4)4=626.解：（用平均值代換，可化為雙二次方程.）設(shè)y=x－2，則x=y+2.原方程化為(y+2)4+(y－2)4=626.［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0整理，得y4+24y2－297=0.(這是關(guān)于y的雙二次方程).(y2+33)(y2－9)=0.當(dāng)y2+33=0時(shí)，無實(shí)根；當(dāng)y2－9=0時(shí)，y=±3.即x－2=±3，∴x=5；或x=－1.例3.解方程：2x4+3x3－16x2+3x+2=0.解：∵這是個(gè)倒數(shù)方程，且知x≠0，兩邊除以x2,并整理得2(x2+)+3(x+)－16=0.設(shè)x+=y,則x2+=y2－2.原方程化為2y2+3y－20=0.解得y=－4；或y=.由y=－4得x=－2+；或x=－2－.由y=2.5得x=2；或x=.例4解方程組解：（這個(gè)方程組的兩個(gè)方程都是二元對(duì)稱方程，可用基本對(duì)稱式代換.）設(shè)x+y=u,xy=v.原方程組化為：.解得；或.即；或.解得：；或；或；或.三、練習(xí)52解下列方程和方程組：（1到15題）：1.35－2x.2.(16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)2.3.(2x+7)4+(2x+3)4=32.4.(2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.5.(2)4+(2)4=16.6.=.7.2x4－3x3－x2－3x+2=0.8.9..10..11.(6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12..13..14..15.16.分解因式：①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2；②a4+b4+(a+b)4.17.已知：a+2=b－2=c×2=d÷2,且a+b+c+d=1989.則a=___,b=____,c=_____,d=____(1989年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)18.［a］表示不大于a的最大整數(shù)，如［］=1，［－］=－2，那么方程［3x+1］=2x－的所有根的和是_____.(1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)返回目錄參考答案練習(xí)521.2.±±3.－4.2,－,5.6.17.,28.9.10.7,－111.－,－12.13.14.15.x=16.①設(shè)x+y=a,xy=b②設(shè)a2+b2=x,ab=y17.設(shè)原式=k,k=44218.–2可設(shè)2x－=t,x=t+代入[3x+1]

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（53）HYPERLINK條件等式的證明一、內(nèi)容提要1.恒等式：如果等式中所含的字母在允許值范圍內(nèi)，用任何實(shí)數(shù)值代替它，等式都能成立,那么這個(gè)等式叫做恒等式.例如：①a+b=b+a，②(a+b)2=a2+2ab+b2，③x－=(x≠0)，④()2=a(在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)a≥0)，⑤=a(在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)n為正奇數(shù)).都是恒等式.只含常數(shù)的等式是恒等式的特例.如：3－2=1，.2.條件等式：滿足一定條件下的等式，稱為條件等式.方程是條件等式，解方程就是求出能滿足等式的條件(未知數(shù)的值).3.證明條件等式就是在題設(shè)的條件下，判斷恒等式.4.證明條件等式的方法，除和證明恒等式的一般方法(見第20講)以外，要特別注意如何把已知的條件用上.一般有以下幾種：用已知的條件直接代入(即等量代換).變形后代入(包括把已知變形，或把結(jié)論變形).引入?yún)?shù)后代入(包括換元).分式，根式在恒等變形時(shí)，要注意字母保持允許值的范圍不變.二、例題例1.已知：,,且x+y+z≠0.求證：.分析：①設(shè)法化為同分母，②輪換式可先代入一式，其余的可用同型式③用已知直接代入.證明：∵.根據(jù)輪換式的性質(zhì)，得∴=.例2.已知：.求證：(n是整數(shù)).分析：先把已知變形，找出a,b,c之間的關(guān)系.證明：由已知，去分母，得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0.(a+b)(b+c)(c+a)=0.∴a=－b，或b=－c，或c=－a.∵n是整數(shù)，∴2n+1是奇數(shù).當(dāng)a=－b時(shí)，左邊=；右邊==.即a=－b時(shí)，等式成立.同理可證：當(dāng)b=－c和c=－a時(shí)，等式也成立.∴(n為整數(shù)).例3.已知：ax3=by3=cz3,.求證：.證明：設(shè)ax3=by3=cz3=k.(引入?yún)?shù))那么ax2=,by2=,cz2=.代入左邊，得：左邊=；而且a=,b=,c=.代入右邊，得：右邊=()=.∴.例4.已知：abc≠0，方程(ac－bc)x2+(bc－ab)x+(ab－ac)=0有兩個(gè)相等實(shí)根.求證：分析：要等式成立，必須且只須ac－bc=ab－ac.證明：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=0.即(bc－ab)2－4(ac－bc)(ab－ac)=0.(bc－ab+ac－ac)2+4(bc－ac)(ab－ac)=0，(添項(xiàng)ac－ac)［(bc－ac)－(ab－ac)］2+4(bc－ac)(ab－ac)=0.∴［(bc－ac)+(ab－ac)］2=0.∴bc－ac+ab－ac=0.∴ac－bc=ab－ac.∵abc≠0，兩邊都除以abc,得，.例5.已知：a+，a≠b≠c.求證：a2b2c2證明：由已知a－b==,∵a≠b，即a－b≠0，∴bc=.根據(jù)輪換式性質(zhì)，得同型式：ca=,ab=.∴ab×bc×ca=××.∴a2b2c2三、練習(xí)531.已知：abc=1.求證：2.已知：x=,y=,z=.求證：(1+x)(1+y)(1+z)=(1－x)(1－y)(1－z).3.已知：(ay－bx)2+(bz－cy)2+(cx－az)2=0.求證：.4.已知：.求證：(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).已知：.求證：a+b+c=0.已知：，a+b+c≠0.求證：.7.已知：1949x2=1988y2且，x>0,y>0.求證：.8.已知：x=，且a<0,b<0.求證：.9.已知：x=(a>0,0<b<1).求證：.求證：+=411.已知：，，.求證：.已知：a+b+c=0,a2+b2+c2=0,a3+b3+c3=0.求證：a4+b4+c4=0.返回目錄參考答案練習(xí)53化為同分母ab+a+1,并設(shè)為k,則bc+b+1=,ca+c+1=ck.6.由已知得，，則k=28.由已知得，1+x2=,注意a+b<0,ab>09.把左邊分母有理化10.左邊被開方數(shù)配方(a+可得a=2,b=1用反比，合比.12.0.返回目錄

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（54）HYPERLINK整數(shù)解一、內(nèi)容提要1.求方程或不等式的整數(shù)解，就是求適合等式或不等式的未知數(shù)的整數(shù)值，包括判斷無整數(shù)解.求整數(shù)解常用的性質(zhì)、法則：①.數(shù)的運(yùn).算性質(zhì)：整數(shù)＋整數(shù)＝整數(shù)，整數(shù)－整數(shù)＝整數(shù)，整數(shù)×整數(shù)＝整數(shù)，整數(shù)的自然數(shù)次冪＝整數(shù),整數(shù)÷（這個(gè)整數(shù)的約數(shù)）＝整數(shù).②.整系數(shù)的方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有當(dāng)b2－4ac是完全平方數(shù)時(shí)，才有整數(shù)根.有時(shí)用韋達(dá)定理x1+x2與x1x1都是整數(shù)，來確定整數(shù)解，但必須檢驗(yàn)（因?yàn)樗鼈冎皇钦麛?shù)解必要條件）.③.運(yùn)用二元一次方程求整數(shù)解（見第10講）.④.用列舉法.3.判定方程或不等式?jīng)]有整數(shù)解，常用反證法.即設(shè)有整數(shù)解之后，把整數(shù)按某一模m分類，逐一推出矛盾.二、例題例1.求下列方程的正整數(shù)解：①xy+x+y=5；②x2+y2＝1991.解：①先寫成關(guān)于x的方程，（y+1）x=5－y.x=.當(dāng)y+1取6的約數(shù)±1,±2,±3,±6時(shí)，x的值是整數(shù).∵－1＋＞0，且x>0,y>0,∴1<y+1<6.∴y=1或y=2.∴原方程有正整數(shù)解；或.又解：把左邊寫成積的形式：x(y+1)+y+1=5+1,(y+1)(x+1)=6.∵6＝1×6＝2×3，而正整數(shù)y+1>1,x+1>1.∴或解得；或.②要等式成立，x,y必須是一奇一偶，設(shè)x=2a,y=2b－1(a,b都是正整數(shù)).左邊x2+y2＝（2a）2+(2b－1)2=4(a2+a+b2－b)+1.∴a,b不論取什么整數(shù)值，左邊的數(shù)都是除以4余1，而右邊1991是除以4余3.∴等式永遠(yuǎn)不能成立.∴原方程沒有正整數(shù)解.例2.一個(gè)正整數(shù)加上38或129都是完全平方數(shù)，求這個(gè)正整數(shù).若把正整數(shù)改為整數(shù)呢？解：設(shè)這個(gè)正整數(shù)為x，根據(jù)題意，得(a,b都是正整數(shù)).(2)－(1)：b2－a2=91.(b+a)(b－a)=91，∵91=1×91=7×13且b+a>b－a.∴或解得，；或.由方程(1)知a>,由方程(2)知b>.∴只有適合.∴x=a2－38=1987.答(略).如果改為整數(shù)，則兩組的解都適合.另一個(gè)解是：x=a2－38=9－38=－29.例3.一個(gè)自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù)，與3的差是6的倍數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)的最小值是多少？(1989年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)解法一：用列舉法與3的和是5的倍數(shù)的自然數(shù)有：2，7，12，17，22，27，…與3的差是6的倍數(shù)的自然數(shù)有：3，9，15，22，27，…∴符合條件的最小自然數(shù)是27.解法二：設(shè)所求自然數(shù)為x,那么(a,b都是自然數(shù)).∴x=5a－3=6b+3,∴a=,∵a,b都是自然數(shù)，∴b+1是5的倍數(shù)，其最小值是b=4.∴x=6b+3=27.例4.m取什么整數(shù)值時(shí)，方程mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整數(shù)解？解：設(shè)方程兩個(gè)整數(shù)根為x1,x2.那么它們的和、積都是整數(shù).根據(jù)韋達(dá)定理：∵x1和x2都是整數(shù)，∴m是2的約數(shù)，即m=±1，±2.∵這只是整數(shù)解的必要條件，而不是充分條件，故要代入檢驗(yàn).當(dāng)m=1時(shí)，原方程為x2－x－3=0,沒有整數(shù)解；當(dāng)m=－1時(shí)，原方程為－x2－x－1=0,沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)m=2或m=－2時(shí)，方程有整數(shù)解.答：當(dāng)m=2或m=－2時(shí)，方程mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整數(shù)解.例5.已知：n是正整數(shù)，且9n2+5n+26的值是兩個(gè)相鄰正整數(shù)的積.求：n的值.（1985年上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）解：設(shè)9n2+5n+26＝m(m+1)，m為正整數(shù).m2+m－(9n2+5n)=26.（把左邊化為積的形式，先配方再分解因式）（m+）2－(3n+)2=26+,(m++3n+)(m+－3n－)=25，去分母并整理得：（3m+9n+4）(3m－9n－1)=230.∵230＝1×230＝2×115＝5×46＝10×23，且3m+9n＞3m－9n..∴；或；或；或.解方程組，正整數(shù)的值只有n=2或n=6.例6.已知：方程x2－2(m+1)x+m2=0有兩個(gè)整數(shù)根，且12＜m<60.求：m的整數(shù)值.解：要使一元二次方程有整數(shù)解，必須△為完全平方數(shù).△＝［－2（m+1）］2－4m2=8m+4=4(2m即當(dāng)2m+1是完全平方數(shù)時(shí)，方程有整數(shù)解.∵12<m<60,∴25<2m+1<121，完全平方數(shù).2m+1=36,49,64,81,100.則2m=35,48,63,80,99.∴m的整數(shù)值，只有24，40.檢驗(yàn)：當(dāng)m=24時(shí)，有整數(shù)解32，18；當(dāng)m=40時(shí)，有整數(shù)解50，32.答：當(dāng)m=24或m=40時(shí)，方程x2－2(m+1)x+m2=0有兩個(gè)整數(shù)根.三、練習(xí)541.已知x2－y2=1991,則x,y的正整數(shù)解是＿＿＿＿＿＿＿.2.方程x2+(y+1)2=5的整數(shù)解有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.已知x1,x2,x3,……,x2000都是正整數(shù)，寫出下列方程的一組整數(shù)解：①x1+x2=x1x2的一組解為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.②x1+x2+x3=x1x2x3的一組解為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.③x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的一組解為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④x1+x2+x3+……+x2000=x1x2x3……x2000的一組解為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4.已知100≤x(x+1)≤150，則整數(shù)x=_____.5.已知x200<2300,則正整數(shù)x=____.6.如果x,y都是正整數(shù)，且0<x<10，0≤y≤9，那么它們的和、差的范圍是：0<x+y<___,___<x－y<___.7.已知且A+B+C+D=100，則x=＿＿＿.(1988年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)8.已知被除數(shù)是100以內(nèi)的自然數(shù)，在○和()填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使如下帶余除法的運(yùn)算成立：○÷(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)9.已知a+2=b－2=c×2=d÷2