2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：圓的有關(guān)計算與證明（29題）含答案及解析

專題24圓的有關(guān)計算與證明（29題）

一、單選題

1.（2024.安徽.中考真題）若扇形A05的半徑為6,ZAOB=120°,則加5的長為（）

A.27rB.3兀C.47rD.6萬

2.（2024?貴州?中考真題）如圖，在扇形紙扇中，若ZAOB=150。,04=24,則AB的長為（

A.30KB.25兀C.2071D.IOTI

3.（2024.云南?中考真題）某校九年級學(xué)生參加社會實踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品.若這種圓錐的母線長為

40厘米，底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.700兀平方厘米B.900兀平方厘米

C.120071平方厘米D.1600兀平方厘米

4.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。。，04=1,則AB的長為（)

C.1D.1

5.（2024.廣東廣州.中考真題）如圖,圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑/是5,

偵兀

C.2娓%D.

3

6.（2024.四川遂寧.中考真題）工人師傅在檢查排污管道時發(fā)現(xiàn)淤泥堆積.如圖所示，排污管道的橫截面是

直徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬48為1米，請計算出淤泥橫截面的

面積（）

11

C.一兀-A/3D.—Ti——

364

7.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在等腰三角形A8C中，AB=AC=10,NC=70。，以AB為直徑作半

圓，與AC,分別相交于點。，E,則0七的長度為（）

「10兀c25兀

C.-----D.——

99

8.（2024.山東威海.中考真題）如圖，在扇形A03中，NAO5=90。，點C是49的中點.過點C作CELAO

交于點石，過點石作也垂足為點。.在扇形內(nèi)隨機選取一點尸，則點尸落在陰影部分的概率是

)

二、填空題

9.（2024.四川成者除中考真題）如圖，在扇形493中，Q4=6,ZAOB=120°,則45的長為

10.（2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題）若圓錐的底面半徑是1cm,它的側(cè)面展開圖的圓心角是直角，則該

圓錐的高為cm.

11.（2024.吉林?中考真題）某新建學(xué)校因場地限制，要合理規(guī)劃體育場地，小明繪制的鉛球場地設(shè)計圖如

圖所示，該場地由和扇形03。組成，05,0。分別與OO交于點A,DQ4=lm,OB=10m,ZAOD=40°,

則陰影部分的面積為n?（結(jié)果保留兀）.

12.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）為了促進城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃修建公路.如

圖、AB與CD是公路彎道的外、內(nèi)邊線，它們有共同的圓心。，所對的圓心角都是72。，點A,C,。在同

一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬AC的長是—米?（兀取3.14,計算結(jié)果精

確到0.1）

13.（2024?江蘇鹽城.中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5,則圓錐的側(cè)面積是

14.（2024.江蘇揚州?中考真題）若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐底面圓的

半徑為—cm.

15.（2024?四川自貢?中考真題）龔扇是自貢“小三絕”之一.為弘揚民族傳統(tǒng)文化，某校手工興趣小組將一個

廢棄的大紙杯側(cè)面剪開直接當作扇面，制作了一個龔扇模型（如圖）.扇形外側(cè)兩竹條ABAC夾角為

120°.長30cm,扇面的8。邊長為18cm,則扇面面積為co?（結(jié)果保留1）.

16.（2024?甘肅?中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國家級非物質(zhì)文化

遺產(chǎn).如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計圖如圖2,其中扇形03C和扇形有相同的

圓心。，且圓心角N0=100。，若。4=120cm,OB=60cm,則陰影部分的面積是cm?.（結(jié)果用兀

表示）

17.（2024?黑龍江綏化?中考真題）用一個圓心角為126。，半徑為10cm的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐

的底面圓的半徑為cm.

18.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=^2AB,。為BC中點，OE=AS=4,則扇形

EOF的面積為.

19.（2024?吉林長春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板A3C按如圖所示的方式擺放，邊與直線/重

合，AB=12cm.現(xiàn)將該三角板繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C'落在直線/上，則點A經(jīng)過的路徑長

至少為cm.（結(jié)果保留萬）

20.（2024?江蘇蘇州?中考真題）鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意

圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點。，所在圓的圓心C恰好是

的內(nèi)心，若AB=2色,則花窗的周長（圖中實線部分的長度）=.（結(jié)果保留兀）

21.（2024.甘肅臨夏?中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABC。，為折痕，以點。為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD,BC于E,尸兩點，則廝的長度為（結(jié)果保留兀）.

AED

22.（2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題）若圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為36兀，則這個圓錐側(cè)面展開圖的

圓心角是

23.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，A8是半圓的直徑，AC是一條弦，。是AC的中點，DEJ.AB于氤

E,交AC于點/，交AC于點G,連結(jié)AD.給出下面四個結(jié)論:

?ZABD=ZDAC^

?AF=FG；

③當。G=2,GB=3時，F(xiàn)G=—；

2

④當BD=2AD，AB=6時，的面積是6.

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.

三、解答題

24.（2024?廣東?中考真題）綜合與實踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

h-7cm-H

圖1

【實踐操作】

步驟1:取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

圖2

【實踐探索】

（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明.

⑵當濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.（結(jié)果保留兀）

25.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度,

在平面直角坐標系中，AABC的三個頂點坐標分別為A（-U）,8（-2,3）,C（-5,2）.

（1）畫出AABC關(guān)于y軸對稱的,并寫出點用的坐標;

（2）畫出繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的J32c2，并寫出點區(qū)的坐標;

⑶在（2）的條件下，求點B旋轉(zhuǎn)到點魚的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留兀）

26.（2024.山東?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,4MB=60。，AB=BC=2AD=2.以

點A為圓心，以為半徑作OE交A3于點E,以點B為圓心，以防為半徑作用所交8c于點P,連接ED

交爐于另一點G,連接CG.

C

D

⑴求證：CG為防所在圓的切線；

（2）求圖中陰影部分面積.（結(jié)果保留萬）

27.（2024?福建?中考真題）如圖，在中，ZBAC=90°,AB=AC,以A3為直徑的。O交于點。,

AEYOC,垂足為瓦3E的延長線交AZ）于點尸.

⑶求證：AD與E尸互相平分.

28.（2024?陜西?中考真題）問題提出

（1）如圖1,在AABC中，AB=15,ZC=30°,作AABC的外接圓。O.則AC2的長為;（結(jié)果

保留兀）

問題解決

（2）如圖2所示，道路48的一側(cè)是濕地.某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測點D,E,C,線段AD,AC和3C

為觀測步道,其中點A和點8為觀測步道出入口，已知點E在AC上，且=/ZMB=60。，/ABC=120。,

AB=1200m,AD=BC=900m,現(xiàn)要在濕地上修建一個新觀測點P,使/OPC=60。.再在線段AB上選一

個新的步道出入口點尸，并修通三條新步道尸尸，PD,尸C,使新步道尸產(chǎn)經(jīng)過觀測點E,并將五邊形A3CPD

的面積平分.

請問：是否存在滿足要求的點P和點F?若存在，求此時PF的長；若不存在，請說明理由.(點A,B,C,

P,。在同一平面內(nèi)，道路A3與觀測步道的寬、觀測點及出入口的大小均忽略不計，結(jié)果保留根號)

29.(2024?江蘇連云港?中考真題)【問題情境】

(1)如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面

積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°(如圖2),這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的

由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略;

圖2

【操作實踐】

(2)如圖3,圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊。、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系.小昕按所示

步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請你結(jié)合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點P為端點

的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系;

d

①②③④

圖3

【探究應(yīng)用】

(3)如圖5,在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將△PDC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中NZMP存在最

大值.若PE=8,PF=5,當NDA尸最大時，求AO的長;

圖5

(4)如圖6,在RtZXABC中，ZC=90°,點。、E分別在邊AC和8C上，連接DE、AE、BD.若AC+CD=5,

BC+CE=8,求AE+BD的最小值.

圖6

專題24圓的有關(guān)計算與證明（29題）

一、單選題

1.（2024.安徽.中考真題）若扇形AQ3的半徑為6,ZAOB=120°f則加5的長為（）

A.27rB.3兀C.4萬D.6萬

【答案】C

【分析】此題考查了弧長公式，根據(jù)弧長公式計算即可.

【詳解】解：由題意可得，AB的長為與守=4萬，

180

故選：C.

2.（2024?貴州?中考真題）如圖，在扇形紙扇中，若403=150。，04=24,則相的長為（）

A.30兀B.25TIC.20TID.IOTT

【答案】C

【分析】本題考查了弧長，根據(jù)弧長公式：/=2三求解即可.

【詳解】解：403=150。，01=24,

,,,..1507ix24M

,?AB的長為77T=207t,

loll

故選：C.

3.（2024.云南?中考真題）某校九年級學(xué)生參加社會實踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品.若這種圓錐的母線長為

40厘米，底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.700兀平方厘米B.900兀平方厘米

C.120071平方厘米D.1600兀平方厘米

【答案】C

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積，先求出圓錐底面圓的周長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積計算公式計算即可求

解，掌握圓錐側(cè)面積計算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：圓錐的底面圓周長為271x30=6071厘米，

，圓錐的側(cè)面積為:X60TIX40=1200無平方厘米，

故選：C.

4.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，正六邊形A3CDE/內(nèi)接于。0,OA=1,則48的長為（）

A.2B.6C.1D.1

【答案】C

【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由正六邊形的性質(zhì)得到4403=60。，得

到AAOB為等邊三角形，進而得到。4=AS=1,判斷出JOB為等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：*/ABCDEF是正六邊形，

360°

ZAOB=——=60°,

6

?/OA=OB,

...AAOB為等邊三角形，

Q4=AB=1,

故選：C.

5.（2024.廣東廣州?中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑/是5,

【答案】D

【分析】本題考查了弧長公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧

長相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為廠，則圓錐的底面周長為2萬r,根據(jù)弧長公式得出側(cè)面展開圖的弧長,

進而得出廠=1,再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的半徑為廣，則圓錐的底面周長為2萬廠，

V圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，且扇形的半徑/是5,

???扇形的弧長為7胃,77"3X5=2萬，

180

???圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧長相等,

2JIY=2乃，

圓錐的高為一F=2屈，

；?圓錐的體積為工萬xfx2&=友萬,

33

故選：D.

6.（2024.四川遂寧?中考真題）工人師傅在檢查排污管道時發(fā)現(xiàn)淤泥堆積.如圖所示，排污管道的橫截面是

直徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬48為1米，請計算出淤泥橫截面的

面積（）

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理,勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積,過點。作8,AB

于。，由垂徑定理得AO=8O=[A3=1m,由勾股定理得0。=1m,又根據(jù)圓的直徑為2米可得

OA=OB^AB,得到AAC?為等邊三角形，即得NAO3=60。，再根據(jù)淤泥橫截面的面積=S扇形AOB-S^AOB即

可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點。作鉆于￡>,則4￡>=3￡>=工43=工111,ZADO=90°,

22

???圓的直徑為2米,

OA=OB=1m，

6

.?.在KAAOD中，OD^ylo^-AD2——m,

2

'：OA=OB=AB,

???AAQB為等邊三角形,

???ZAC?=60。，

二?淤泥橫截面的面積=s扇形=粵展:兀一乎m2,

Jot）z2（64）

故選：A.

7.（2024.四川廣安?中考真題）如圖，在等腰三角形A3C中，AB=AC=10,ZC=70°,以AB為直徑作半

圓，與AC,分別相交于點。，E,則OE的長度為（）

【答案】C

【分析】本題考查了求弧長.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得NA的度數(shù)，證明O石〃AC,

再由。4=QD,再由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得NDO￡的度數(shù)，利用弧長公式即可求解.

【詳解】解：連接O。，0E,

u：AB=AC,

：.ZABC=ZC=70°,

?：OE=OB,

：.ZOEB=ZB=70°,

：.ZOEB=ZC=70°

：.OE//AC,

在AA6C中，ZA+Zz4BC+ZC=180°,

???ZA=180°-ZABC-ZC=180°-70°-70°=40°,

XOA=OD=-AB=5

29

,：OE\\AC

???ZA=ZADO=40°=ZDOE,

.40兀x510K

??OE的長度為飛鼠二6，

故選：C.

8.(2024?山東威海?中考真題)如圖，在扇形A03中，NAO6=90。，點C是AO的中點.過點C作CELAO

交A8于點E,過點E作EDLOB,垂足為點￡).在扇形內(nèi)隨機選取一點尸，則點尸落在陰影部分的概率是

()

2

D.

3

【答案】B

【分析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據(jù)陰影部分面積等于扇形。班的面積，即可求

解.

【詳解】解：VZAOB=90°,CE1AO,EDVOB

??四邊形OCD￡是矩形，

?

?q2AoeE―~q2QDE

,?S陰影部分=S&ODE+SBDE=S扇形OBE

.?點。是49的中點

*.OC=-OE=DE

2

\sinZEOD=—=-

OE2

??/EOD=3U0

2222

'V_c_i_c一,、_30KxAO_TixAO_90KxAO_TixAO

,”陰影部分°AODE十OBDE」‘扇形OBE36012扇形4OB3604

7CXAO2

點P落在陰影部分的概率是萍生==2

S扇形.OB兀3

4

故選：B.

二、填空題

9.（2024.四川成都?中考真題）如圖，在扇形AOB中，OA=6,ZAOB=120°,則A8的長為

【分析】此題考查了弧長公式，把己知數(shù)據(jù)代入弧長公式計算即可.

【詳解】解：由題意得A8的長為

故答案為：4兀

10.（2024?黑龍江齊齊哈爾.中考真題）若圓錐的底面半徑是1cm,它的側(cè)面展開圖的圓心角是直角，則該

圓錐的高為cm.

【答案】V15

【分析】本題考查了圓錐的計算.設(shè)圓錐的母線長為R根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長

等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2萬?：!=告等，然后解方程即可得母線

長，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為上

根據(jù)題意得2萬J=2黑，

lot）

解得：R=4.

即圓錐的母線長為4cm,

?,＜圓錐的高="不-I2=

故答案是：屈.

11.（2024?吉林?中考真題）某新建學(xué)校因場地限制，要合理規(guī)劃體育場地，小明繪制的鉛球場地設(shè)計圖如

圖所示，該場地由。。和扇形組成，。8,。。分別與。。交于點4。.OA=lm,O3=10m,ZAOD=40°,

則陰影部分的面積為n?（結(jié)果保留兀）.

【答案】11萬

【分析】本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

利用陰影部分面積等于大扇形減去小扇形面積，結(jié)合扇形面積公式即可求解.

【詳解】解：由題意得：S"40%（l°T）=lbr'

陰影360

故答案為：11%.

12.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）為了促進城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃修建公路.如

圖、A8與CD是公路彎道的外、內(nèi)邊線，它們有共同的圓心O,所對的圓心角都是72。，點A,C,。在同

一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬AC的長是一米.（無取3.14,計算結(jié)果精

確到0.1）

【答案】28.7

【分析】本題考查了弧長公式，解一元一次方程等知識，利用弧長公式并結(jié)合題意可得出

=36,進而得出-72：。jC=36,然后解方程并按要求取近似數(shù)即可.

180loOlot）

▼、斗必、的4?口豐口口石土/日772^?OA.727r?℃*

【詳斛】解：根據(jù)題思，得lAB=180，/CD=RO，

???公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，

.72rok72noe?

??—36,

180180

,尸叱也即生”=36

180180

解得AC='90.P9208.7,

it3.14

故答案為：28.7.

13.（2024?江蘇鹽城?中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5,則圓錐的側(cè)面積是

【答案】20萬

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)圓錐側(cè)面積和底面圓半徑、母線的關(guān)系式計算，即可得到答案.

【詳解】解：???圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5

圓錐的側(cè)面積S=/rx4x5=20萬

故答案為：20萬.

【點睛】本題考查了圓錐的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的性質(zhì)，從而完成求解.

14.（2024?江蘇揚州?中考真題）若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐底面圓的

半徑為—cm.

【答案】5

【分析】本題考查了圓錐的計算.用到的知識點為：圓錐的側(cè)面展開圖弧長等于底面周長.

根據(jù)題意得圓錐的母線長為10cm,以及圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，也就是圓錐的底面周長，除以2萬即為

圓錐的底面半徑.

【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2萬x10+2=10萬（cm）,

，圓錐的底面半徑為10萬+2萬=5（cm）,

故答案為：5.

15.（2024.四川自貢?中考真題）龔扇是自貢“小三絕”之一.為弘揚民族傳統(tǒng)文化，某校手工興趣小組將一個

廢棄的大紙杯側(cè)面剪開直接當作扇面，制作了一個龔扇模型（如圖）.扇形外側(cè)兩竹條AB,AC夾角為

120°.A3長30cm,扇面的邊長為18cm,則扇面面積為cm?（結(jié)果保留］）.

A

【答案】252萬

【分析】根據(jù)扇形公式進行計算即可.本題考查了扇面面積計算，掌握扇面面積等于兩個扇形面積相減是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：扇面面積=扇形R4c的面積一扇形D4E的面積

_120x^-x302120x^-x（30-18）2

—360360

=300?-487r

=252?（加2）,

故答案為：252Tl.

16.（2024?甘肅?中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國家級非物質(zhì)文化

遺產(chǎn).如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計圖如圖2,其中扇形03c和扇形OAD有相同的

圓心O,且圓心角N0=100。，若Q4=120cm,OB=60cm,則陰影部分的面積是cm?.（結(jié)果用兀

表示）

【答案】3000萬

【分析】根據(jù)扇形面積公式計算即可.本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】?.,圓心角NO=100。，CM=120cm,OB=60cm,

=3000萬cm2

故答案為：3000萬.

17.（2024?黑龍江綏化?中考真題）用一個圓心角為126。，半徑為10cm的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐

的底面圓的半徑為cm.

【答案】|

【分析】本題考查了弧長公式，根據(jù)圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面的弧長，代入數(shù)據(jù)計算，即可求解.

【詳解】解：設(shè)這個圓錐的底面圓的半徑為Rem,由題意得，^xlOx7t=27rT?

180

7

解得：R=~

7

故答案為：—.

2

18.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=^2AB,。為8c中點，OE=AB=4,則扇形

EOF的面積為.

BOC

【答案】4萬

【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得N3OE=45。，NCOF=45。,

得到/EO尸=90。，再利用扇形的面積公式即可求解.

【詳解】解：：BC=^AB,AB=4,

8c=40,

：。為2C中點,

：.OB=OC=-BC=2y[2,

2

OE=A,

在RWE中，cosNBOE=^=乎岑,

：.N3OE=45°,

同理/CO/=45°,

NEOF=180°-45°-45°=90°,

???扇形EOF的面積為90"=4萬,

360

故答案為：4萬.

19.（2024.吉林長春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板A3C按如圖所示的方式擺放，邊AB與直線/重

合，AB=12cm.現(xiàn)將該三角板繞點3順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C'落在直線/上，則點A經(jīng)過的路徑長

至少為.cm.（結(jié)果保留萬）

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/鉆。=/4'8。=60。,即//陰=120°,再根據(jù)點A經(jīng)過的路徑長至少為以B為圓心,

以為半徑的圓弧的長即可解答.

【詳解】解：???將該三角板繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C'落在直線/上,

ZABC=ZABC=60°,即ZA'BA=120°,

120°?萬J020萬

???點A經(jīng)過的路徑長至少為

180°3

故答案為：平

20.（2024.江蘇蘇州?中考真題）鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意

圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點。，A8所在圓的圓心C恰好是

△ASO的內(nèi)心，若AB=26,則花窗的周長（圖中實線部分的長度）=.（結(jié)果保留無）

【答案】87t

【分析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形,求弧長，過點C作CEJLAB，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得出“103

為等邊三角形，再由內(nèi)心的性質(zhì)確定，C4O=NC4E=/CBE=30。，得出/ACB=120。，利用余弦得出

AC=T;=2,再求弧長即可求解，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵?

cos30

【詳解】解：如圖所示：過點C作CELA5,

O

:六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形,

ZAOB=60°,OA=OB,

”03為等邊三角形，

圓心C恰好是AABO的內(nèi)心，

ZCAO=NCAE=/CBE=30°,

：.ZACB=nQ0,

AB=2^/3,

：.AE=BE=5

.’4

，花窗的周長為：—7ix6=8;t,

故答案為：87r.

21.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片A5CD,O”為折痕，以點。為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD,BC于E,尸兩點，則斯的長度為（結(jié)果保留兀）.

【答案】胃2萬中2

【分析】本題主要考查了弧長的計算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問題），解直角三角形，熟知正方形

的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵.

由對折可知，/EOM=NFOM,過點E1作的垂線，進而可求出/EQW的度數(shù)，則可得出/EO尸的度

數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可解決問題.

【詳解】解：：折疊，且四邊形ABC。是正方形

四邊形AOMD是矩形，ZEOM=ZFOM,

則OM=AD=2,DM=-CD=l.

2

過點E作于P,

則EP=DM=!O)=1,

2

?.?OE=OAf=AD=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在Rt^EOP中，sin/EOP=----=—,

OE2

:.ZEOP=30°,

貝！JNEOFMBOOXZMGO。，

60-71-22TI

.?.EF的長度為：———=—

loU3

故答案為：

22.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）若圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為36兀，則這個圓錐側(cè)面展開圖的

圓心角是°.

【答案】90

【分析】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式以及與展開圖扇形面積關(guān)系，求出圓錐的母線長是解決問題的

關(guān)鍵.根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式S=7r〃求出圓錐的母線長，再結(jié)合扇形面積公式即可求出圓心角的度數(shù).

【詳解】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：S-nrl,可得兀x3x/=367t

解得：I=12,

解得n—90,

二側(cè)面展開圖的圓心角是90。.

故答案為：90.

23.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，是半圓的直徑，AC是一條弦，。是AC的中點，DE，AB于息

E,交AC于點F，DB交AC于點G,連結(jié)AD.給出下面四個結(jié)論：

①ZABD=〃AC；

@AF=FG；

③當。G=2,GB=3時，F(xiàn)G=—；

2

④當BD=2AD，AB=6時，的面積是由.

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.

【分析】如圖：連接DC,由圓周角定理可判定①；先說明/BDE=NAGD、ZADE=NDAC可得DF=FG、

AF=FD,即AF=FG可判定②；先證明AADGSAB"可得絲=絲，即=絲，代入數(shù)據(jù)可得

AD=y/10,然后運用勾股定理可得AG=JiX，再結(jié)合人尸=而即可判定③；如圖：假設(shè)半圓的圓心為O,

連接OD,CO,CD,易得NA8=NDOC=60。，從而證明AA8,AODC是等邊三角形，即ADCO是菱形，

然后得到NZMC=/（MC=30。，再解直角三角形可得Z）G=2g,根據(jù)三角形面積公式可得，曲=66,

最后根據(jù)三角形的中線將三角形平分即可判定④.

【詳解】解：如圖：連接。C,

是AC的中點,

***AD=DC^

：.ZABD=ZDAC,即①正確;

*.*是直徑，

???ZADB=90°,

：.ZDAC+ZAGD=90°,

?:DEJ.AB

：.?BDE2ABD90?,

ZABD=ZDACf

：.ZBDE=ZAGDf

：.DF=FG,

9：?BDE?ABD90?,ZBDE+ZADE=90°,

???ZADE=ZABD,

???ZABD=ZDACf

：.ZADE=ZDAC,

：?AF=FD,

??.”=/G,即②正確；

在△ADG和△BD4,

[ZADG=ZBDA=90°

[ZDAG=ZDBA

：.AADGSRDA,

,ADGDADGD

??---=---,艮RJn------------=-----

BDADDG+BGAD

.AD_2

=-'一,即AD=VTo,

1*2+3AD

AG=4AET+DG1=s/14，

?：AF=FG,

：.FG=-AG=~,即③正確；

22

如圖：假設(shè)半圓的圓心為O,連接ORCO,。，

AB=6,。是AC的中點，

AD=DC=-AB,

3

/.ZAOD=Z.DOC=60°,

OA=OD=OC,

AAOLUODC是等邊三角形，

Q4=AD=CD=OC=OD=6,即ADCO是菱形，

ADAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

,?ZADB=90°,

：.tanZJDAC=tan30°=—,即且=四，解得：DG=243,

AD36

AXXA

：.SiADG=1￡>-￡)G=162/3=6^,

AF^FG

：4即=!皿=36,即④錯誤?

故答案為：①②③.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定

與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

三、解答題

24.（2024?廣東?中考真題）綜合與實踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

h-7cm-H

圖1

【實踐操作】

步驟1:取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

圖2

【實踐探索】

(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明.

⑵當濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.(結(jié)果保留兀)

【答案】⑴能,見解析

【分析】本題考查了圓錐，解題的關(guān)鍵是：

(1)利用圓錐的底面周長=側(cè)面展開扇形的弧長求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；

(2)利用圓錐的底面周長=側(cè)面展開扇形的弧長，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求出

圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可.

【詳解】⑴解:能，

理由：設(shè)圓錐展開圖的扇形圓心角為“。，

riTT?7

根據(jù)題意，得%~=7兀，

lo(J

解得〃=180?,

.??將圓形濾紙對折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁；

(2)解：設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為rem,高為/2cm,

3工口口=+,口―180^x5

根據(jù)題思，得271T=——-一,

180

解得g,

2

,,"=卜-圓=2

.?.圓錐的體積為工7tr2h=x-V3=—>/3cm3.

33⑵224

25.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度,

在平面直角坐標系中，"RC的三個頂點坐標分別為網(wǎng)-2,3）,C（-5,2）.

（1）畫出“LBC關(guān)于y軸對稱的△AB|G，并寫出點耳的坐標；

⑵畫出AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的AA與G，并寫出點層的坐標；

⑶在（2）的條件下，求點8旋轉(zhuǎn)到點層的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留兀）

【答案】（1）作圖見解析，4（2,3）

⑵作圖見解析，B2（-3,0）

⑶事

2

【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應(yīng)

點的位置是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對稱點的坐標橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變；

（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點8、C以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。后的對應(yīng)點，然后順次連接即可；

（3）先求出AB=有,再由旋轉(zhuǎn)角等于90。，利用弧長公式即可求出.

【詳解】（1）解：如圖，△A與G為所求；點用的坐標為（2,3）,

(2)如圖，AAB2c2為所求；B2(-3,0),

(3)AB=Vl2+22=小，

點B旋轉(zhuǎn)到點B2的過程中所經(jīng)過的路徑長90X6"=旦兀.

1802

26.(2024.山東?中考真題)如圖，在四邊形A3C。中，AD//BC,ZDAB=60°,AB=3C=2AD=2.以

點A為圓心，以AO為半徑作OE交A3于點E,以點B為圓心，以防為半徑作廝所交8c于點P,連接廠￡(

交用于另一點G,連接CG.

⑴求證：CG為廝所在圓的切線；

(2)求圖中陰影部分面積.(結(jié)果保留萬)

【答案】(1)見解析

c、373兀

⑵丁一§

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，圓的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識點，證明四

邊形ABFD是平行四邊形是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)圓的性質(zhì)，證明3/=8E=AD=AE=CF,即可證明四邊形ABED是平行四邊形，再證明AB/P

是等邊三角形，再根據(jù)圓的切線判定定理即可證得結(jié)果.

(2)先求出平行四邊形的高。f,根據(jù)扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可.

【詳解】(1)解：連接BG如圖，

c

AEB

根據(jù)題意可知：AD=AE,BE=BF

又：AB=BC,

：.CF=AE=AD,

,：BC^2AD,

：.BF=BE=AD=AE=CF,

'：AD//BC,

A四邊形ABED是平行四邊形，

/BFD=/DAB=60。,

,：BG=BF,

：.△班‘G是等邊三角形，

/.GF=BF,

：.GF=BF=FC,

，G在以BC為直徑的圓上，

ZBGC=90°,

CG為防所在圓的切線.

(2)過。作。于點打，

由圖可得：$陰影=S口ABFD-S扇AED-S扇―^BFG，

在中，AD=1,/ZMB=60。,

，DH=AD-sinZDAB=lx是=也,

22

/.SUA.DRrFLnf=AB-DH=2x—2=vy/3,

由題可知：扇形和扇形3GE全等,

njvr1_60TT(AD)_60x^-xl2_n

-

扇電一扇BGE-360_360_3606

等邊三角形B尸G的面積為：LGFDH=LX\X?=也，

2224

?c_c_c_c_c_￡n兀_3'J^n

???陰影—一?扇血>一》扇BEG_J&BFG_"一%一%'一彳―一y

27.(2024?福建?中考真題)如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點。,

AE±OC,垂足為區(qū)BE的延長線交A。于點P.

⑴求大的值；

AE

⑵求證：AAEB^ABEC；

(3)求證：與E尸互相平分.

【答案】⑴g

(2)證明見解析

(3)證明見解析

ACAF

【分析】(1)先證得AC=2AO,再在RSAOC中，tanZAOC=——=2.在RtZkAQE中，tanZAOC=——,

AOOE

AE

可得仁=2,再證得結(jié)果；

OE

(2)過點8作R欣〃AE,交E0延長線于點/,先證明AAO￡絲ABOW,O\^AE=BM,OE=OM,再證

得ZBAE=NCBE,再由相似三角形的判定可得結(jié)論；

AF7AOAO

(3)如圖，連接。E,DF,由(2)AAEBs^BEC,可得一=—=—^=—,ZE4O=ZEBD,從而得

BEBC2BDBD

出AAOESABDE,得出N3EE>=NAEO=90。，得出ZAFB=ZDEF,再由平行線判定得出AF〃/)E,

AE//FD,從而得出四邊形AEDF是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】(1)?,?AB=AC,且A3是O。的直徑，

..AC=240.

vZfi4C=90°,

?.在RjAOC中，tanZAOC=—=2.

AO

?/AE±OC,

AF

??.在RtZXAOE中，tanZAOC=——

OE

A

OE1

AE2

(2)過點5作交E。延長線于點M.

/.ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°.

-AO=BO,

.△AOEgABOM,

.AE=BM,OE=OM.

OE_1

1~AE~2f

.BM=2OE=EM,

.ZMEB=ZMBE=45。,

.ZAEB=ZAEO+ZMEB=135。,ZBEC=180°-ZMEB=135°,

,ZAEB=ZBEC.

-AB=AC,ZBAC=90°,

.NABC=45。，

.ZABM=NCBE,

.ZBAE=NCBE,

.△AEBs^BEC.

(3)如圖，連接尸.

c

?「AB是。。的直徑,

:.ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

AB=AC,ABAC=90°,

:.BC=2BD,NDAB=45°.

由（2）知，AAEB^ABEC