2020-超常數(shù)學(xué)競賽-7年級(jí)-復(fù)賽-答案

PAGEPAGE/2020年超常（數(shù)學(xué)）思維與創(chuàng)新能力測(cè)（初分標(biāo)準(zhǔn)考試時(shí)間 滿分：12012道填空題、5一、填空題（5分，共60分已知??，??，??，??滿足??<?1<??<0<??<1<??，且|??+1|=|??+1|，|1???||1???|，那么??+??+??+??的值 解由已知，得??+1<0，??+1>0，1???>0，1??<0?(??+1)=??+1，1???=?(1???+??=?2，??+??=故??+??+??+??=?2+2=圖中每個(gè)小方格的面積都是1，則七邊形??????????????的面積 答案 解△??????，△??????，△??????，△??????，△??????，△??????為直角三角形(如解圖)????????????????=??△??????+??△??????+??△??????+??△??????+??????????+??△?????????△??????+??△??????+1 (3×4+2×6+2×2+2×3+3×4?2×9+2×6)+2×5+2×4+2=2注：也可用Pick定理 50203050元.了20間客房，則消費(fèi)最低為 解設(shè)三人間、二人間、單人間分別有??，??，??間.??+??+??={3??+2??+??={??=10+??=10?50??=60??+60??+50??=60(??+??+??)?10??=1200?所以當(dāng)??=51150元，此時(shí)??=15，??=上午8時(shí)8分，李老先生騎自行車從家里出發(fā)去郊游 8分鐘后，他兒子發(fā)現(xiàn)老父 這時(shí) 分答案：8；32.（第一個(gè)空兩分，第3分，共5分解8分鐘后又走了??①由①知：李先生與兒子相同時(shí)間所行路程的比是4②

8?= 8+

，12??=16，??=3另設(shè)李先生出發(fā)到兒子第二次追上他時(shí)共行了??3438

12?，

8 ，??=這時(shí)是：88分+24=832分 答案：午夜/零點(diǎn)/24點(diǎn).解30360度，而秒針轉(zhuǎn)動(dòng)60×360=21600??小時(shí)三針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)為30??度、360??度和21600??度360??=30??+因而有??=12小時(shí)，類似地可求出秒針和時(shí)針連續(xù)兩次相重的間隔??，我們解21600??=30??+和得??=360=12?必同時(shí)為和

倍，因而對(duì)某兩個(gè)正整數(shù)??和??

??=?

??.也即719??=11??11整除719??11的倍數(shù).最小解是??=11，因而?=12，那么三針下次相重于午夜ABCD中，AB長為4????，????=????=1????EFGH是長方形，????= 解如解圖，????=3????，因?yàn)????=2????，所以????=????=??????△??????=??△??????，??△??????= =

1

+

=1×1÷2+√2×3√2÷2+1×1÷2=

沒有一個(gè)數(shù)是其他任何數(shù)的2倍，則最多能剩余 解1～303015取3+22+211=20個(gè)數(shù)3l，2，3，…，??1124

3

解104

343值若每個(gè)抽屜中的若干個(gè)數(shù)也是連續(xù)自然數(shù)，設(shè)為??+1，??+2，??+??

≥ 和

可以找到??和??的關(guān)系3

由 ≤3，得??≤3，即??≤3，又因??應(yīng)取盡量大的整數(shù)，所以??應(yīng)等于最接近3的[數(shù)([3

10 2626+[3[3]+35)1011個(gè)數(shù)滿足題目條件.因此??的最大值是35[3]=給定4410016（每格一數(shù)），使得每一行所填數(shù)的乘積和每一列所填數(shù)的乘積都等于同一個(gè)數(shù).這個(gè)數(shù)最小是 解1A，K，Q，J16張放置在44方格表的各個(gè)格子中(每格一張牌)，使得每一行的四張牌的花色和字母各不相同，每一列也如此.約定用1，2，3，4分別表示字母A，K，Q，J，用1，5，6，7分別表示黑桃、紅桃、方塊、梅花這四種花色2所示，將每個(gè)格子所放牌代之以表示該牌字母的數(shù)與表示該牌花色的數(shù)之乘積.這樣，每行每列所放數(shù)的乘積都等于1×2×3×4×1×5×6×7=5040.圖 圖1，4，7，10，?，??1??，4，9，14，19，?，??2??，7，14，21，28，?，??3??，?????1，????2，????3，????4，?，??????，其中每一行、每一列都是等差數(shù)列，??????表示位于第??行、第??列的數(shù)，則2017這個(gè)數(shù)在該數(shù)表中的位置(??，??)= 答案解易知數(shù)表中第??行和第??????=2??+??????=????1+(???1)????=????1+(???1)(2??+又令??????=2017

????1=1+(???1)×3=3?????????=3???2+(???1)(2??+1)=2????+??+???2????+??+???3=2017?2????+??+??=?(??

)(??2

)=1010 ?(2??+1)(2??+1)=4041=9×2??+1=3，9，449，3×{2??+1=3×??={??=20174(??，??)=180萬元.161

3

5天完成了這項(xiàng)工程.4 答案：33；91；56.（前兩空各2分，第三空1分，共5分）解??????65=11(天)，乙實(shí)際做了6+2+5=13(天)，丙實(shí)際做了2+5=7(天).依題意，列方程組，得 6×(??+??)= 2×

+)

×(1?

5×(1+

+)=1

×(1?3 1+1+1= ?

???

8

78

×11×13×7

；. 甲應(yīng)得的酬金是：180×33=33(萬元乙應(yīng)得的酬金是：180×91=91(萬元丙應(yīng)得的酬金是：180×56=56(萬元 5解A，B，C，D，E是給定的五點(diǎn)，那么直線的總數(shù)為??210，它們既不相互平行也不相互垂直.A6A的直線，則我們稱這些垂線組成一個(gè)光線錐，記為????光線錐????中的直線與光線錐????33個(gè)點(diǎn).36個(gè)3A，BCDE的邊的垂線是平行的（如解圖）.51010對(duì)由垂線組成的光線錐，它們產(chǎn)生了3310=330個(gè)交點(diǎn)10個(gè)點(diǎn)被重復(fù)計(jì)算了三次5事實(shí)上，如以給定的點(diǎn)作三角形的頂點(diǎn)，可產(chǎn)生??3=105過一次.這樣，交點(diǎn)數(shù)就不超過33020=310個(gè)二、解答題（1260分10個(gè)整數(shù).10??下面寫下第一行中數(shù)??的右邊比??大的數(shù)的總個(gè)數(shù).第三行按照上面的規(guī)則從第二行進(jìn)行操作解(1)首先，由題設(shè)可知，不管第一行寫的什么數(shù)，從第二行開始，所有數(shù)全部是非負(fù)面均為零的話，那么下一行（即第??1行）第??，??1，??20.0小于任何自然數(shù).也即后面至少多出一個(gè)零.

………6………10………12一個(gè)三角形，如下圖：依次取三角形數(shù)的末尾數(shù)字，排列起來可以構(gòu)造一個(gè)無限小數(shù)??=.58N解易知，第??個(gè)三角形點(diǎn)數(shù)是1+2??=??(??+1)，記作??2N??=0.13605186556815063100136051 ………2似乎有????+20的個(gè)位數(shù)字與????N????+20?????

(??+20)(??+20+?2

??(??+210的倍數(shù)N是有理數(shù)

=10×(2??+

………10………1218數(shù)和均相等，即??+??+??=??+??+??=??+??+??=??+??+??，試求所有的配號(hào)法.解可設(shè)原題所說的四角星形為如題圖所示的正四角星形+??=??+??若??????=??，??????=??，??????=??，??????=A，4的倍數(shù)，又因????????至少為1234=10，至多為8765=26，進(jìn)而可知????+??+??=12，16，20，24，而對(duì)應(yīng)的S=12，13，14，+??=??+??(??????????=36及(????????????????=36，可得??36?2??，進(jìn)而可知??+??=??+??=12，10，8，6.

………4指外圍的三角形.現(xiàn)將上述四種可能的情形，分為以下四種情形，討論如下：1：??=12，??+??=??+??=12.12的數(shù)對(duì)僅有兩個(gè)，即［4，8］及［5，7］，AC，BD124的三角形可選配的三數(shù)組必為5的三角形可選配的三數(shù)組必為（1，5，6）.據(jù)此，可得解圖（a）.2：??=13，??+??=??+??=10.

………6為（2，5，6），3的三角形可選配的三數(shù)組必為（3，4，6）.據(jù)此，可得解圖為（2，3，8），4的三角形可選配的三數(shù)組必為（1，4，8）.據(jù)此，可得解圖（c）. ③若AC，BD配以數(shù)對(duì)［2，8］及［4，6］，則經(jīng)過2的三角形無三數(shù)組可選配，34T9為被減（得者是三角形頂點(diǎn)號(hào)數(shù)和均為7???T的解的集合與三角形頂點(diǎn)號(hào)數(shù)和均為7???的解的集合之間的一一對(duì)應(yīng).34的結(jié)果.3：??=14，??+??=??+??=8.

………92中的解圖（b）與解圖（c），可得解圖（d）與解圖………104：??=15，??+??=??+??=1中的解圖（a），可得解圖

………11648種配號(hào)法

………12孩子.我的孩子最多，王家的孩子最少，我表弟的孩子比王家的孩子多，而李家的孩子又比我很喜歡數(shù)學(xué)嗎？您算一下每家孩子各是多少個(gè)？”“真有意思，讓我想一想.”客人想了一會(huì)又說：“我還需要多知道一點(diǎn)，王家只有一個(gè)孩子嗎？”主人回答了他的問題.這時(shí)客人說出了每一家孩子的準(zhǔn)確數(shù).那么每家各有幾個(gè)孩子呢？解N，各家孩子的人數(shù)分別是??<??<??<??.??+??+??+??<18，????????=若??≥3，則??≥4，??≥5，??≥6，而??+??+??+??≥若??≥5，則??≥6，??≥7，而??+??+??≥1≤??≤2；2≤??≤

………4N在??=1及??=2時(shí)都可以表成??，??，??，??的乘積設(shè)??=1，那么??+??≤16???.4????=(??+??)2?(?????)2≤(16???)2?因此當(dāng)??=2，3，4時(shí)，分別有????≤48，????≤42，????≤故??=??????≤設(shè)??=2，那么??≥2×34×5=120≤??≤ ………8我們說N一定能被40整除，因而??=120.事實(shí)上，設(shè)N不能被5整除，則??≥2346=144>140.N8整除，則??>2356=180>140.情形都與??≤140的條件不符，這樣，N40整除，因而??=在??=1時(shí)，120120=1×4×5×6=1×3×5×在??=2時(shí)，120120=2×3×4×

………10若??=1，則主人的回答仍不能使客人得出確切的答案，因此必須??=2，??=3，??=4，??= ………12.；即每次連續(xù)丟掉兩張，只放一張下去.問：最后丟出