2025年廣東省高中學(xué)業(yè)水平考試春季數(shù)學(xué)模擬試題（含答案解析）

2025廣東學(xué)業(yè)水平考試（春季高考）數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合屈={0,1,2},^={-1,0,1},則()

A.{051}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2)D.{-1,0,1)

2.命題"mx<0,x?+2x-m>0”的否定是()

A.Vx<0,x2+2x-m>0B.3x^0,x2+2x-m>0

C.Vx<0,x2+2x-m0D.Bx<0,x2+2x-m^0

3.已知復(fù)數(shù)z=」一，則z的虛部為（

)

1+i

-1

A.B.1C.~2D.5

4.已知角c的終邊經(jīng)過點(diǎn)（T,2）,貝!）sina+cosa=（)

B.西2V5

D.

5"I-

5.某公司現(xiàn)有普通職員160人，中級管理人員30人，高級管理人員10人，要從其中抽取m個人進(jìn)行身

體健康檢查，如果采用分層抽樣的方法，其中高級管理人員僅抽到1人，那么m的值為（）

A.1B.3C.16D.20

6.已知4=log35,b=log32,c=log23,貝?。ǎ?/p>

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

7.已知加〃是兩條不同直線，a,尸〃是三個不同平面，下列命題為真命題的是（）

A.aLy(3/(3

9B.m.La9〃_La=>加//〃

1

C.mllayn!!a^>m/InD.mlla,m11B=a11B

8.設(shè)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=log3(1+x),貝！1/(—2)=()

A.-3B.-1D.3

9.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()

A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與都是紅球

C.恰有一個黑球與恰有兩個黑球D.至少有一個黑球與至少有一個紅球

10.下列函數(shù)與y=x有相同圖象的一個函數(shù)是()

A.y=Vx2B.

X

losiaXx

C.y=a(a>0,且aWl)D.y=lo^aa(a>0且a#1)

/、1gx,x>0(iA“、

11.已知函數(shù)/(')=:,若〃J，則/(。)的值是()

11

A—2B.—1C.—D.—

.102

12.從長度為2,4,6,8,9的5條線段中任取3條，則這3條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為()

二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.

13.函數(shù)/(%)=cos2x的最小正周期是.

14.已知向量萬=(掰，3)萬=(1,加+1).若］則加=.

15.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)Xi，x2,...,Xn的平均數(shù)是3,則數(shù)據(jù)2xi+l,2X2+1,...,2xn+l

的平均數(shù)為.

2

16.口袋內(nèi)裝有100個大小相同的紅球、白球和黑球，其中有45個紅球；從中摸出1個球，若摸出白球

的概率為0.23,則摸出黑球的概率為.

17.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm,母線長最短50cm,

最長80cm,則斜截圓柱的側(cè)面面積5=cm2.

18.若a,“為銳角，sin貝！Ja+/=.

三、解答題：本大題共4小題，第19~21題各10分，第22題12分，共42分.解答需寫出文字說明，證

明過程和演算步驟.

19.在式中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,a=2日c=2,3=30°

(1)求6

(2)求siih4的值

3

20.甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取9

次，記錄如下：

甲：828179789588938485

乙：929580758380908585

（1）求甲成績的80%分位數(shù)；

（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度（在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中選兩個）考慮，你

認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請說明理由？

21.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建

造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位:

40

萬元）與隔熱層厚度X（單位：cm）滿足關(guān)系：C（X）=M\（1WXW10）,設(shè)J為隔熱層建造費(fèi)用與20

年的能源消耗費(fèi)用之和.

⑴求y的表達(dá)式；

（2）隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用y達(dá)到最小，并求最小值.

4

22.如圖，在三棱錐P-N3c中，平面平面4BC,△E4J?是等邊三角形，ACLBC,S.AC=BC=2,

O,。分別是48,尸5的中點(diǎn).

⑴求證：〃平面COO；

(2)求三棱錐P-ABC的體積.

5

一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合"={0,1,2},N={—1,0/},則()

A.{051}B.{-1,0,1,2)

C.{0,1,2}D.{-1,0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】利用并集的定義可求得集合MuN.

【詳解】因為集合M={0,1,2},2V={-1,0,1},因此,MuN={-l,0,L2}.故選:B

2.命題“mxVO,x2+2x_m>0v的否定是（）

A.Vx<0,x2+2x-m>0B.3x^0,x2+2x-m>0

C.Vx<0,x2+2x-m^0D.3x<0,x2+2x-m^0

【答案】C

【解析】解：命題u3x<0,x2+2x-m>0,,是特稱命題，

特稱命題“mxVO,x2+2x-m>0的否定是“VxVO,x2+2x-m0,,.故答案為：C.

3.已知復(fù)數(shù)z=工，貝”的虛部為（）

1+1

A.—1B.1C.——D.

【答案】C

【分析】先化簡求出z,即可得出答案.

11-i11.1

【詳解】因為z=77T=八、八.、所以z的虛部為-彳.故選：C.

1+1+222

4.已知角"的終邊經(jīng)過點(diǎn)卜1,2）,貝ijsina+C0S6Z=（）

6

V5

ATB.當(dāng)Vr/?----D.一與

55

【答案】A

【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)，用正弦、余弦的定義求解.

【詳解】點(diǎn)㈠,2）到原點(diǎn)的距離為，（-1）2+的=6,

所以sina=,=35，cosa=』-昱,sine+cos”好,故選：A.

V554555

5.某公司現(xiàn)有普通職員160人，中級管理人員30人，高級管理人員10人，要從其中抽取m個人進(jìn)行身

體健康檢查，如果采用分層抽樣的方法，其中高級管理人員僅抽到1人，那么m的值為（）

A.1B.3C.16D.20

【答案】D

【解析】由題意可得a160+2+10,所以m=20,選D。

【分析】利用要抽取的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，得到每個個體被抽到的概率，這個概率也等于抽到高級管理人

員數(shù)除以高級管理人員總數(shù)。

6.已矢口a=logs1,b=log32,c=log23,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】A

【解析】a=log3<log31=0；0<log3i<b=log32<log33=l；c=log23>log22=1,

所以a<b<c.

故答案為：A

7.已知加，〃是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題為真命題的是（）

A.aLy,(3Lya//(3B.m.La,nnmIIn

C.mllan!mlInD.mllamlIpnalIp

【答案】B

7

【解析】

【分析】根據(jù)線面關(guān)系和面面關(guān)系的性質(zhì)可判斷.

【詳解】若則a,乃可能平行或相交，故A錯誤；

若加_L(z,則山〃“，故B正確；

若加//a,〃//a,則加,〃可能平行、異面或相交，故C錯誤；

若加//%加///，則小乃可能平行或相交，故D錯誤.故選：B.

8.設(shè)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=log3(1+x),則/(—2)=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【詳解】因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以/(-2)=-〃2)=-log,3=-1.選B.

9.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()

A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與都是紅球

C.恰有一個黑球與恰有兩個黑球D.至少有一個黑球與至少有一個紅球

【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，記2個紅球分別為A、B,2個黑球分別為a,b,則從這4個球

中任取2個球的總基本事件為AB,Aa,Ba,Ab,Bb,ab：

A、都是黑球的基本事件為ab,至少有一個黑球的基本事件為Aa,Ba,Ab,Bb,ab,兩

個事件有交事件ab,所以不為互斥事件，故A錯誤；

B、至少有一個黑球的基本事件為Aa,Ba,Ab,Bb,ab,都是紅球的基本事件為AB,兩

個事件不僅是互斥事件，也是對立事件，故B錯誤；

C、恰有兩個黑球的基本事件為ab,恰有一個黑球的基本事件為Aa,Ba,Ab,Bb,兩

個事件是互斥事件，但不是對立事件，故C正確；

8

D、至少有一個黑球的基本事件為Aa,Ba,Ab,Bb,ab,至少有一個紅球的基本事件為

AB,Aa,Ba,Ab,Bb,兩個事件不是互斥事件，故D錯誤.故答案為：C.

10.下列函數(shù)與y=x有相同圖象的一個函數(shù)是()

A.y=Vx^B.y-

X

C.y=al09aX(a>0,且aWl)D.yWogaaYa>。且aWl)

【答案】D

【解析】由題意可知A：y=|x|；B：y=x(xWO)；C：y=x(x>0)；D：y=xo因為B,C與y=x的定義

域不同，A與函數(shù)尸x的對應(yīng)關(guān)系不同；只有D與函數(shù)產(chǎn)x的三要素相同.

/、lgx,x>0(1A、

ii.已知函數(shù)=,若則/(。)的值是()

11

A-2B.-1C.—D.-

.102

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義求值.

［詳解］?=/(^)=lg^=-l,/(?)=/(-1)=2^=1.故選：D.

12.從長度為2,4,6,8,9的5條線段中任取3條，則這3條線段能構(gòu)成一個三角形的概率

為()

2137

A.-B.-C.-D.—

52510

B解析：從5條線段中任取3條，共有髭=10種不同的取法，

其中能構(gòu)成一個三角形的有：(2,8,9),(4,6,8),(4,6,9),(4,8,9),(6,8,9),共

有5種，所以這3條線段能構(gòu)成一個三角形的概率P=得=；.

二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.

9

13.函數(shù)/(x)=cos2x的最小正周期是.

【答案】n

2兀

【詳解】解：/(x)=cos2x,:.T=—=71,即函數(shù)/(x)=cos2x的最小正周期是〃.

故答案為：兀.

14.已知向量值=(加,3),5=(1,小+1).若ZiB,則冽=.

【答案】-43

4

【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

_33

【詳解】由題意知：屐5=機(jī)+3(機(jī)+1)=0,解得用=-彳.故答案為：

15.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)Xi，x2,...,X”的平均數(shù)是3,則數(shù)據(jù)2xi+l,2X2+1,...,2xn+l

的平均數(shù)為.

15.【答案】7

【解析】???樣本數(shù)據(jù)xl,x2,,xn的平均數(shù)是三=3,

二數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,...,2xn+l的平均數(shù)B=2x+1=7

16.口袋內(nèi)裝有100個大小相同的紅球、白球和黑球，其中有45個紅球；從中摸出1個球，若摸出白球

的概率為0.23,則摸出黑球的概率為.

【答案】0.32

【解析】易得口袋中有23個白球，則有32個的黑球，所以摸出黑球的概率為嗇=0.32

17.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm,母線長最短50cm，最長80cm,

則斜截圓柱的側(cè)面面積S=cm2.

10

【答案】2600兀解析：將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖

為矩形.由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S=gX(50+80)XmX40)=26007i(cm2).

18.若a,￡為銳角，sin?=y?cosP='^,則a+￡=.

TT

【答案】-

4

解析：因為a,￡為銳角，sin?=y,cosS=、^

所以cosa=W，sin￡=W

在、，zInxn..n2V53V10VsV10V2

所以cos(a+p)=cosacosp—sinasmp=—x----—x—=——

77

又0<a+P(兀，所以a+A=w

三、解答題：本大題共4小題，第19?21題各10分，第22題12分，共42分.解答需寫出

文字說明，證明過程和演算步驟.

19.在中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,a=2V3-c=2,3=30。

⑴求6

(2)求sirk4的值

11

2C

解：(1)由余弦定理ZJ2=/+C2—2accos8=(2間|+22-2x273x2x^-=12+4-12=4，…3分

所以6=2................5分

761/-

(2)由正弦定理得：ab.AasinB*，V3................10分

-----------二------------=>sinA-----------------二------------------二—

sinAsin5b22

20.甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)I,現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取9次,

記錄如下：

甲：828179789588938485

乙：929580758380908585

(1)求甲成績的80%分位數(shù)；

(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度(在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中選兩個)考慮，你

認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請說明理由？

【答案】(1)93(2)派甲參加比較合適，理由見解析

【解析】

【分析】(1)將甲的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，再按照百分位數(shù)的定義求解即可.

(2)利用平均數(shù)和方差的公式求解出甲乙的平均數(shù)及方差，再根據(jù)方差的定義分析結(jié)果.

解：(1)將甲的成績從低到高排列如下：78,79,81,82,84,85,88,93,95,...............1分

因為9x80%=7.2不是整數(shù)，............2分

所以選擇第8個數(shù)作為80%分位數(shù)，即93.........................4分

一1

(2)甲成績的平均數(shù)為％=§(78+79+81+82+84+85+88+93+95)=85,........................5分

甲成績的方差為:

12

S；=|[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+---+(93-85)2+(95-85)2°31.6.......6分

——1

乙成績的平均數(shù)為々=§(92+95+80+75+83+80+90+85+85)=85,..........7分

乙成績的方差為：

52=-[(92-85)2+(95-85)2+(80-85)2+---+(85-85)2+(85-85)1工36.4,..........8分

9L-

因為西=》2，S；<，...........9分

甲的成績比較穩(wěn)定，所以派甲參加比較合適.............10分

21.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建

造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位:

40

萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=3^（l<x<10）,設(shè)y為隔熱層建造費(fèi)用與20

年的能源消耗費(fèi)用之和.

（1）求了的表達(dá)式；

（2）隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用y達(dá)到最小，并求最小值.

【分析】（1）將建造費(fèi)用和能源消耗費(fèi)用相加得出y的解析式；

（2）利用基本不等式得出y