2025年中考數(shù)學(xué)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的特殊三角形問題（二階）（學(xué)生版+教師版）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)

二次函數(shù)的特殊三角形問題(二階)學(xué)生版

考法探究突破

考法一等腰三角形問題

1.問題：已知線段A5和直線/,在/上求點(diǎn)P,使△尸45為等腰三角

形.

(1)找點(diǎn)：兩圓一線

①若A5=AP,以點(diǎn)4為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓.

②若尸，以點(diǎn)5為圓心，A5長(zhǎng)為半徑畫圓.

③若4P=5尸，作A5的垂直平分線.

(2)求點(diǎn)

方法一：代數(shù)法

分①A5=AP,②AB=BP,③AP=BP三種情況討論.分別表示出點(diǎn)4,

B,尸的坐標(biāo)，再表示出線段45BP,AP的長(zhǎng)度，分別列方程求解

即可.

方法二：幾何法

作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.

考法二直角三角形問題

2.問題：已知線段A5和直線/,在/上求點(diǎn)尸，使△尸為直角三角

形.

(1)找點(diǎn)：兩線一圓

①若NA4P=90°,過點(diǎn)4作A5的垂線.

②若NA5尸=90°,過點(diǎn)5作A5的垂線.

③若N4P5=90°,以A5為直徑作圓.

(2)求點(diǎn)

方法一：代數(shù)法

^@AB^+AP2=BP-.(1)AB2+BP2=AP2.③Ap2+5p2=A52三種情況

討論.分別表示出點(diǎn)A,B,尸的坐標(biāo)，再表示出線段AbAP,5尸的

長(zhǎng)度，分別列方程求解即可.

方法二：幾何法

作垂線，構(gòu)造一線三垂直模型，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.

題型分類過關(guān)

類型一等腰三角形存在性問題

1.(2024萊蕪一模節(jié)選)拋物線與％軸交于A,5兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)。，頂點(diǎn)為D已知點(diǎn)5(-4,0),C(0,4).拋物線的對(duì)稱軸

是直線％=—|,尸為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為冽(m〉一|),

過點(diǎn)尸作％軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)M.

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)當(dāng)△。四尸是等邊三角形時(shí)，求根的值及此時(shí)三角形的邊長(zhǎng).

類型二直角三角形存在性問題

2.(2024商河清華園模擬節(jié)選)如圖，拋物線＞=依2+法+5與％軸

交于4,5兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,AB=4.拋物線的對(duì)稱軸％=3與

經(jīng)過點(diǎn)4的直線丁=丘一1交于點(diǎn)。，與X軸交于點(diǎn)E

(1)求直線A。及拋物線的表達(dá)式.

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)使得△AQM是以A。為直角邊的直

角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)V的坐標(biāo).若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.(2024章丘一模節(jié)選)如圖，在平面直角坐標(biāo)系％2y中，拋物線y

=—%2+5%+c與次軸交于4(1,0)和5(3,0),與y軸交于點(diǎn)

C.點(diǎn)D

為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E,連接

BE.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)當(dāng)△50E為直角三角形時(shí)，求線段。石的長(zhǎng)度.

類型三等腰直角三角形存在性問題

4.如圖，拋物線y=a%2+2%+c與％軸交于點(diǎn)A(—2,0),B,與y

軸交

于點(diǎn)。(0,6),連接5。交拋物線的對(duì)稱軸/于點(diǎn)是線段BE

上的一點(diǎn)，N是對(duì)稱軸/右側(cè)拋物線上的一點(diǎn).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若kEMN是以EM為腰的等腰直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

達(dá)標(biāo)演練檢測(cè)

1.如圖，拋物線y=%2+Z?%+c與％軸交于4、5兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,04=00=3,頂點(diǎn)為點(diǎn)D

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)判斷AACD形狀，并說明理由.

2.已知拋物線y=—f+bx+c與％軸交于A(—?1,0),對(duì)稱軸為直

線％=1,頂點(diǎn)為"，點(diǎn)尸為對(duì)稱軸右側(cè)第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),

連接4P,與y軸交于點(diǎn)D

(1)求6,c的值.

(2)當(dāng)△A。河為以4"為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2-\-bx+c與％軸交于

B(4,0),C(-2,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A(0,—2).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使得2MAB是以AB

為一條直角邊的直角三角形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).若不存

在，請(qǐng)說明理由.

2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)

二次函數(shù)的特殊三角形問題(二階)教師版

考法探究突破

考法一等腰三角形問題

1.問題：已知線段A3和直線/,在/上求點(diǎn)P,使△瓦5為等腰三角

形.

(1)找點(diǎn)：兩圓一線

①若A5=AP,以點(diǎn)A為圓心，A5長(zhǎng)為半徑畫圓.

②若尸，以點(diǎn)5為圓心，45長(zhǎng)為半徑畫圓.

③若AP=5尸，作A3的垂直平分線.

(2)求點(diǎn)

方法一：代數(shù)法

分①A5=AP,②AB=BP,③AP=BP三種情況討論.分別表示出點(diǎn)A,

B,尸的坐標(biāo)，再表示出線段ABBP,AP的長(zhǎng)度，分別列方程求解

即可.

方法二：幾何法

作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.

考法二直角三角形問題

2.問題：已知線段45和直線/,在/上求點(diǎn)尸，使APAB為直角三角

形.

(1)找點(diǎn)：兩線一圓

①若NBA尸=90°,過點(diǎn)4作A5的垂線.

②若NA5尸=90°,過點(diǎn)5作AB的垂線.

③若NAP5=90°,以A5為直徑作圓.

(2)求點(diǎn)

方法一：代數(shù)法

分①44+4尸2=5尸2.②44+3尸2=4尸2.③Ap2+Jg尸2=A52三種情況

討論.分別表示出點(diǎn)A,B,尸的坐標(biāo)，再表示出線段ABAP,5尸的

長(zhǎng)度，分別列方程求解即可.

方法二：幾何法

作垂線，構(gòu)造一線三垂直模型，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.

題型分類過關(guān)

類型一等腰三角形存在性問題

1.(2024萊蕪一模節(jié)選)拋物線與％軸交于A,5兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D已知點(diǎn)5(-4,0),C(0,4).拋物線的對(duì)稱軸

是直線％=—泉P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為根(加〉一(),

過點(diǎn)尸作工軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)M.

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo).

解：?.?拋物線對(duì)稱軸為直線％=—|,且過點(diǎn)5(-4,0),

/.A(1,0),??.設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-1)(%+4),將。

(0,4)代入得a=-1,.".拋物線的表達(dá)式為y=—(x—1)(%+4),

即y=—%2—3x+4.把％=一|代入y=—x2~3x+4,得y=—^+|+4

*"一，空).

(2)當(dāng)△?！笆堑冗吶切螘r(shí)，求根的值及此時(shí)三角形的邊長(zhǎng).

解：由(1)可設(shè)，過點(diǎn)。作。垂足為E.

尸是等邊三角形，

AZDPM=60°,XD=XE=-^.

設(shè)A/(m,—m2—3m+4)，

貝!]—ys=-^—(—m2—3m+4)=m2+3m+^=^m+,PE

=xp-XE=m+-.

2

在RtAPED中，

m+

tan60°=—PE=^m+1j=m+-2=V3,

.*.m=V3-|,PM=2PE=2y[3,邊長(zhǎng)為2倔

類型二直角三角形存在性問題

2.(2024商河清華園模擬節(jié)選)如圖，拋物線尸加+法+5與％軸

交于4,5兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,AB=4.拋物線的對(duì)稱軸％=3與

經(jīng)過點(diǎn)4的直線丁=丘一1交于點(diǎn)。，與X軸交于點(diǎn)E

(1)求直線A。及拋物線的表達(dá)式.

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)使得△AQM是以A。為直角邊的直

角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)V的坐標(biāo).若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：(1)???拋物線的

對(duì)稱軸％=3,A8=4,

AA(1,0),B(5,0).

將A(1,0)代入直線丁=H一1,得%—1=0,解得％=1,

/.直線AD的表達(dá)式為y=%—1.

將A(1,0),B(5,0)代入y=Q%2+b%+5,得

CL~\~b+5=0,左力/口a=1,

解得

、25a+5b+5=0,{,b=—6,

；?拋物線的表達(dá)式為y=%2—6%+5.

(2)存在點(diǎn)M,

,/直線AD的表達(dá)式為y=x-l,拋物線對(duì)稱軸％=3與％軸交于點(diǎn)

E.

，當(dāng)％=3時(shí)，丁=%—1=2,：.D(3,2).

①當(dāng)NZ)AM=9(r時(shí)，

設(shè)直線A/0的表達(dá)式為y=—x+c,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得一l+c=0,

解得c=l,

直線AM的表達(dá)式為y=—%+1,

解方程組［—］+L解得卜=或［=%

iy=x2—6x+5,(y=°(y=—3,

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,-3).

②當(dāng)NAZ)M=90°時(shí)，

設(shè)直線的表達(dá)式為y=—%+d,將。(3,2)代入，得-3+d=

2,解得d=5,

，直線DM的表達(dá)式為y=—%+5,

解方程組'解得卜=卜或『二，

y=x2—6x+5,U7=5ly=0,

???點(diǎn)河的坐標(biāo)為（0,5）或（5,0）.

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,-3）或（0,5）或（5,0）.

3.（2024章丘一模節(jié)選）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。y中，拋物線y

=—%2+5%+c與％軸交于A（1,0）和5（3,0）,與y軸交于點(diǎn)

。.點(diǎn)D

為線段5C上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E,連接

BE.

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（2）當(dāng)△臺(tái)0石為直角三角形時(shí)，求線段。石的長(zhǎng)度.

解：（1）二,拋物線yu—^+bx+c與X軸交于A（1,0）和5（3,

—1+b~\-c=0,fb=4,

0)解得，

、-9+3b+c-0,、c=-3,

J拋物線的表達(dá)式為y=-x2+4x-3.

(2)令X=0,則丁=一3,：.C(0,-3).

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y—kx-\-n,

3k+n=0解,得.)k=1,

ji=-3,ji=-3,

，直線BC的表達(dá)式為y=x—3.

丁點(diǎn)。為線段5C上一點(diǎn)，

...設(shè)。(m,m~3),則點(diǎn)ECm,—m2+4m—3),

:.DE=(-/w2+4m-3)—(m-3)=-m2+3m.

?:B(3,0),C(0,-3),：.OB=OC=3,

：.ZOBC=ZOCB=45°.

軸，ZEDB=ZOCB=45°,

???點(diǎn)。不可能是直角的頂點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)5為直角的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)。E交工軸于點(diǎn)E

'：ZBDE=45°,ZEBD=90°,ZDEB=45°,

MBED為等腰直角三角形.尸=。尸=?)E

2

DF=3—m,.*.3—m=-2(—m+3m),

解得加=2或3(機(jī)=3不合題意，舍去).

：.m=2,.*.DE=-22+3X2=-4+6=2.

②當(dāng)點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)邊防在％軸上，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，.?.加

=1..*.DE=-l2+3Xl=-l+3=2.

綜上，當(dāng)AaDE為直角三角形時(shí)，線段。石的長(zhǎng)度為2.

類型三等腰直角三角形存在性問題

4.如圖，拋物線y=a%2+2%+c與％軸交于點(diǎn)A(—2,0),5,與y

軸交

于點(diǎn)。(0,6),連接5。交拋物線的對(duì)稱軸/于點(diǎn)是線段BE

上的一點(diǎn)，N是對(duì)稱軸/右側(cè)拋物線上的一點(diǎn).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若工EMN是以為腰的等腰直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

解：(1)將點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)。(0,6)的坐標(biāo)代入,=依2+2%

1

4a―4+c=。，解得

+c中，得7故該拋物線的表達(dá)式為y

c=6,

2

=1-2x+2%+6.

⑵?.?拋物線產(chǎn)一#+2%+6與％軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)

C,令y=0,即一#+2%+6=0,解得％=—2或%=6,令％=0,解

得y=6,AA(-2,0),B(6,0),C(0,6),，直線5C的表

達(dá)式為y=—%+6,，05=0C,NO8C=NOC5=45°.?對(duì)稱軸為

直線％=2,J當(dāng)％=2時(shí)，y=—%+6=4,：.E(2,4).設(shè)M(加，

-m+6),2WMW6,①當(dāng)NMEN=90°,時(shí)，如圖1,過

點(diǎn)E作EH上MN于點(diǎn)、H.：.MN=2EH,ZEMN=/ENM=45°,

,：ZOBC=ZOCB=45°,AZNME=ZOCB,軸，

~~i^2+2m+6),MN——|m2+2m+6+m—6=—|m2+

3ni,EH=m—2,--m2+3m=2(m—2),解得根=4或機(jī)=—2

2

(不符合題意，舍去)，???〃(4,2).

②當(dāng)NEMN=9U°,時(shí)，如圖2,過點(diǎn)“作M2,石N于點(diǎn)

1

Q.：.EQ=NQ=MQ^EN,：./MEN=/ENM=45°,'：ZOBC=

ZOCB=45°,:./MEN=/OBC,，EN〃x軸，.二點(diǎn)N的縱坐標(biāo)

為4.當(dāng)尸4時(shí)，一#+2%+6=4,解得％=2+2&或％=2—2/(不

符合題意，舍去)，：.N(2+2V2,4),.*.￡^=2+272-2=272,

EQ=MQ=^EN=42,.*.m=2+V2,：.M(2+V2,4—應(yīng)).綜上

所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,2)或(2+夜，4-V2).

達(dá)標(biāo)演練檢測(cè)

1.如圖，拋物線y=/+b%+c與X軸交于4、5兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,04=00=3,頂點(diǎn)為點(diǎn)D

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)判斷△ACD形狀，并說明理由.

解：(1)'：OA=OC=3,

.??點(diǎn)A坐標(biāo)為(一3,0),點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,-3).

\,拋物線yuf+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,C,

"9—3"=。，解得『=2,

、c=-3,(c=—3,

拋物線表達(dá)式為y=x2+2x~3.

(2)如圖，連接AZ),CD,AC,作。E，入軸于點(diǎn)E,。尸，y軸于點(diǎn)

F.

由拋物線的性質(zhì)得拋物線y=x2+2x-3=(x+1)2—4的頂點(diǎn)D坐標(biāo)

為(一1,—4),

在R3A0C中，AC2=AO2+CO2=32+32=18.

在R3DC/中，DC2=D7^+C/^=(4-3)2+l2=2.

在R3ADE中，AD2=AE2+DE2=(3-1)2+42=20.

.,.AG+OCnAZA.?.△A。。是直角三角形.

2.已知拋物線y=與％軸交于A(—1,0),對(duì)稱軸為直

線％=1,頂點(diǎn)為“，點(diǎn)尸為對(duì)稱軸右側(cè)第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),

連接AP,與y軸交于點(diǎn)D

(1)求6,C的值.

(2)當(dāng)AAD河為以AM為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

解：(1)?.?對(duì)稱軸為直線

x=l,A(―1,0)在拋物線y=—f+bx+c上，

f一1一b+c=0,A,_Q

.Rb解得產(chǎn);2，

(2x(-1)-，c—3.

解：(2)拋物線y=—f+2x+3=—(X-1)2+4,頂點(diǎn)M(b

4).設(shè)0。=%,根據(jù)題意，得?.?N4Z)M>90°,△ADM為等腰三角

形，：.AD=DM