2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點突破 函數(shù)零點問題的綜合應(yīng)用（十大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點突破07函數(shù)零點問題的綜合應(yīng)用

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................2

題型一：判斷或討論函數(shù)零點的個數(shù)................................................2

題型二：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍..................................................3

題型三：證明函數(shù)零點的個數(shù)......................................................4

題型四：證明函數(shù)零點的性質(zhì)......................................................5

題型五：最值函數(shù)的零點問題......................................................7

題型六：同構(gòu)法妙解零點問題......................................................8

題型七：零點差問題..............................................................9

題型八：分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩圖像交點解決零點問題...................................H

題型九：零點問題之取點技巧.....................................................13

題型十：零點與切線問題的綜合應(yīng)用...............................................14

03過關(guān)測試....................................................................15

方法特眄與Q餞

1、函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，

求參數(shù)的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與X軸(或直線y=左)在某區(qū)間上的

交點問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).

2、函數(shù)零點的求解與判斷方法：

(1)直接求零點：令人x)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間口，可上是連續(xù)不斷的曲線，且次。)於6)<(),還必須

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個

不同的值，就有幾個不同的零點.

3、求函數(shù)的零點個數(shù)時，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點存在定理判斷；二、將/(x)整理變形成

/(x)=g(x)-〃(x)的形式，通過g(x),人(力兩函數(shù)圖象的交點確定函數(shù)的零點個數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函

數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).

4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：

(1)確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知

識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；

(2)方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可

以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合

思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

題型歸疆總結(jié)

題型一：判斷或討論函數(shù)零點的個數(shù)

【典例1-1](2024?河南?三模)函數(shù)/(%)=6府-45出工+；1-2的圖象在尤=0處的切線為y=Oc—a—3,aeR.

(1)求力的值；

⑵求/(X)在(0,+oo)上零點的個數(shù).

【典例1-2](2024?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/■(x)="("0,aeR).

⑴求/(x)的極大值；

(2)若°=1,求g(x)=/(x)-co&x在區(qū)間-5,202471上的零點個數(shù).

【變式1-1](2024?湖南長沙?三模)已知函數(shù)/(x)=xeX-l,g(x)=lnx-?u,加eR.

⑴求/(x)的最小值；

(2)設(shè)函數(shù)/z(x)=/(x)-g(x),討論/z(x)零點的個數(shù).

【變式1-2】已知。，6是實數(shù)，1和-1是函數(shù)/卜)=三+*2+區(qū)的兩個極值點

(1)求a,b的值.

⑵設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=/(x)+2,求g(x)的極值點.

⑶設(shè)3)=/(/⑴)-c，其中ce[-2,2]，求函數(shù)y=6⑴的零點個數(shù).

題型二：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍

【典例2-1](2024?廣東茂名?一模)設(shè)函數(shù)/(x)=e*+asinx,xe[0,+oo).

(1)當(dāng)a=-l時，/(x)?6x+l在[0,+。)上恒成立，求實數(shù)6的取值范圍；

(2)若a>0,/(x)在[0,+功上存在零點,求實數(shù)。的取值范圍.

【典例2-2】(2024?湖北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=e:lnx—a,g(x)=3—ln(x+a),其中a為整數(shù)且

a21.記％為/(x)的極值點，若/⑺存在兩個不同的零點玉，X2(X1<x2),

⑴求。的最小值；

⑵求證：g(lnx1)=g(lnx2)=0；

【變式2-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/■(x)=ln(6+x)+a(x-l)ei,曲線/⑶在點。，/⑴)處的切線

平行于直線2x-y=0.

(1)當(dāng)。=1時，求6的值；

(2)當(dāng)6=0時，若〃x)在區(qū)間(0,l),(l,+oo)各內(nèi)有一個零點，求。的取值范圍.

【變式2-2](2024?江西吉安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/卜)=產(chǎn)-依-&aeR).

(1)當(dāng)。=2時，求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)有2個零點，求。的取值范圍.

題型三：證明函數(shù)零點的個數(shù)

【典例3-1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(尤-以/-辦，且曲線y=/(x)在點(0J(x))處的切線

方程為>=-2x+6.

⑴求實數(shù)。，6的值；

(2)證明：函數(shù)/(x)有兩個零點.

【典例3-2】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=cosx+ln(l+x).

(1)求證：/(X)在卜上有唯一的極大值點;

(2)若/(尤)《辦+1恒成立，求。的值;

⑶求證：函數(shù)g(x)=/(x)-x有兩個零點.

【變式3-1](2024■全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=/-ox+21nx.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/⑸的兩個極值點分別為%,馬,證明：/(—伍)>=；

-x2a2

(3)設(shè)〃(x)=sinx+lnx,求證:當(dāng)。E[1,2]時，/(x)-21nx=M(x)有且僅有2個不同的零點.

TTIT37r37r

(參考數(shù)據(jù)：——In—Q1.119,兀一In兀41.997,-----In一?3.162,2萬一1112兀?4.445)

2222

【變式3-2](2024?上海閔行?二模)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)了=/(x)的表達式為〃x)=sinx-xcosx,

其所有的零點按從小到大的順序組成數(shù)列{%}.

⑴求函數(shù)V=/(x)在區(qū)間(0㈤上的值域；

(2)求證：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(〃兀,(〃+1)兀)(M>l,weN)上有且僅有一個零點；

題型四：證明函數(shù)零點的性質(zhì)

【典例4-1】(2024?全國?一模)已知/(司=/一二產(chǎn)一。

(1)若/(力20,求實數(shù)。的取值范圍；

,、12

⑵設(shè)三,電是/(X)的兩個零點(西>工2),求證：①1<-----；②----<龍1+%.

【典例4-2】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=xe5_“(x>0)，且“⑼有兩個相異零點不，Z.

(1)求實數(shù)。的取值范圍.

(^2)證明：%+%2>---

e

【變式4-1](2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ln(加x)-x(%>0).

(1)若/(x)<0恒成立，求加的取值范圍；

(2)若/(x)有兩個不同的零點為,三，證明xt+x2>2.

【變式4-2](2024?山東臨沂?二模)已知函數(shù)/(x)=ln(ar)+(a-l)x-e”.

⑴當(dāng)”=1時，求證：/(x)存在唯一的極大值點％,且〃*<-2；

⑵若“X)存在兩個零點，記較小的零點為4，/是關(guān)于x的方程ln(l+x)+3=2%+cosx的根，證明:

ez+l>2eX1.

【變式4-3](2024?高三?河南鶴壁?期中)已知函數(shù)/(x)=e<ax2(aeR),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若函數(shù)/(x)在(0,+。)上有2個極值點，求a的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+ei-e"+a?+cosx,》?0,2兀))，證明：g(x)的所有零點之和大于2兀.

【變式4-4](2024,四川眉山?三模)已知函數(shù)/(x)=xlnx-ax2-2尤.

(1)若過點(1,0)可作曲線了=/(無)兩條切線，求a的取值范圍;

(2)若/(x)有兩個不同極值點%,馬.

①求。的取值范圍；

②當(dāng)%>4工2時，證明：>16e3.

題型五：最值函數(shù)的零點問題

【典例5-1】(2024?湖北黃岡?三模)已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+a/,g(x)=xln工.

71

⑴當(dāng)0=0時，求函數(shù)/(X)在［-兀,可上的極值；

⑵用max{私科表示加,〃中的最大值，記函數(shù)/z(x)=max{/(x),g(x)}(x>0),討論函數(shù)人⑺在(0,+(?)上

的零點個數(shù).

1x

【典例5-2】(2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/'(x)=xsinx+cosx+—ax?,g(x)=xln—.

2兀

(1)當(dāng)。=0時，求函數(shù)/(x)在［-兀，兀］上的極值；

(2)用max{肛冊表示加，”中的最大值，記函數(shù)/z(x)=max"(x),g(x)}(x>0),討論函數(shù)訪(x)在(0,+℃)上

的零點個數(shù).

【變式5-1］(2024?四川南充三模)已知函數(shù)/(x)=：+］-x,g(x)=hx其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)°=1時，求函數(shù)〃力的極值；

(2)用max{私"}表示加，”中的最大值，記函數(shù)/2k)=1^*{/卜)名。)}(》>0),當(dāng).20時，討論函數(shù)

〃(x)在(0,+e)上的零點個數(shù).

【變式5-2](2024?江西九江?二模)已知函數(shù)/(x)=e，-#(a鼻R),g(x)=x-l.

⑴若直線>=g(x)與曲線y=/(x)相切，求°的值；

⑵用min｛加,〃｝表示加，〃中的最小值，討論函數(shù)〃(x)=min｛/(x),g(x)｝的零點個數(shù).

題型六：同構(gòu)法妙解零點問題

【典例6-1】已知函數(shù)/(x)=W+x-Z〃(亦)一2(a>0),若函數(shù)“X)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在零點，求實

e

數(shù)。的取值范圍

【典例6-2】已知/(x)=x加:+三工2+1.

⑴若函數(shù)g(x)=/(x)+-X7/…在(。亨上有1個零點，求實數(shù)0的取值范圍.

(2)若關(guān)于x的方程-有兩個不同的實數(shù)解，求。的取值范圍.

【變式6-1]已知函數(shù)/(x)=aex-ln(x+1)+lna-1.

(1)若“=1,求函數(shù)“X)的極值；

(2)若函數(shù)/(X)有且僅有兩個零點，求。的取值范圍.

Xmx

【變式6-2](2024?上海嘉定?一模)已知〃x)=F，g(x)=——.

ex

(1)求函數(shù)y=/(x)、y=g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)請嚴(yán)格證明曲線了=/(x)、y=g(x)有唯一交點；

(3)對于常數(shù)若直線y=。和曲線y=/(x)、『。)共有三個不同交點(國,辦(孫辦(“)，其

中玉<X2<%3，求證：再、工2、七成等比數(shù)列?

【變式6-3](2024?四川?三模)已知函數(shù)〃x)=g和函數(shù)8(尤)=?，且/(x)有最大值為《.

⑴求實數(shù)。的值；

(2)直線>=機與兩曲線y=/(x)和y=g(x)恰好有三個不同的交點，其橫坐標(biāo)分別為不，占，不，且

xl<x2<x3,證明：再當(dāng)=考.

【變式6-4](2024?河北邯鄲?二模)已知函數(shù)/(x)=e*-znx,g(x)=x-〃"nx.

⑴是否存在實數(shù)加，使得/(x)和g(x)在(0,+s)上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出加的取值范圍；若不

存在，請說明理由.

(2)已知冷x?是/(X)的零點,電,*3是g(“)的零點■

①證明：加〉e,

3

②證明：1<xlx2xi<e.

題型七：零點差問題

【典例7-1】(2024?重慶?模擬預(yù)測)牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓

法.具體做法如下：如圖，設(shè)r是/。）=0的根，首先選取》作為:?的初始近似值，若Ax）在點（x°,/（x。））

處的切線與x軸相交于點（西8），稱為是廠的一次近似值；用為替代％重復(fù)上面的過程，得到巧，稱巧是

r的二次近似值；一直重復(fù)，可得到一列數(shù)：%,占,馬,…，無”，….在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)

近似值相等時，該值即作為函數(shù)/（x）的一個零點廠.

⑴若/（無）=?+3尤2+廠3,當(dāng)/=0時，求方程〃x）=0的二次近似值（保留到小數(shù)點后兩位）；

⑵牛頓法中蘊含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)g（x）=e'-3在點

3

（2,g（2））處的切線，并證明：ln3<l+4；

e

（3）若〃0）=洶1-111X），若關(guān)于X的方程力（無）=。的兩個根分別為玉,々（占<龍2），證明:尤2-Xi>e-ea.

【典例7-2】（2024?河南?模擬預(yù)測）已知6>0,函數(shù)=（x+a）ln（x+6）的圖象在點（1J⑴）處的切線

方程為xln2-y-ln2=0.

⑴求a,6的值；

（2）若方程「（X”!（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個實數(shù)根不用，且不<々，證明：x2-Xl<i+-+^-

eeeln2

【變式7-1］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=e*-l-G（acR）.

【變式7-2］（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/Xx）=a（ln無+1）+二（a>0）.

（1）求證：1+xlnx>0；

⑵若和三是/（X）的兩個相異零點，求證：|x2-x,|<l-^.

【變式7-3](2024?河南信陽三模)已知函數(shù)/(x)=ox-ln(l-x)(aeR).

⑴若/⑺20恒成立，求。的值；

(2)若/(x)有兩個不同的零點且人-西|>€-1,求。的取值范圍.

【變式7-4](2024?全國,模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=x2-(2+a)x+alnx,aeR.

(1)討論〃x)的單調(diào)性;

x

(2)設(shè)g(x)=-e----f(x)+x2-(a+l)x-2a+(a-l)lnx，若g(x)存在兩個不同的零點不，x,且玉〈馬.

x2

(i)證明：2a>e+1；

4/—2Q—1

(ii)證明:x-x<

212a-l

題型八：分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩圖像交點解決零點問題

【典例8-1】(2024?天津?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=ln(x+2)

⑴求曲線y=/(x)在h-1處的切線方程；

(2)求證：er>x+1;

⑶函數(shù)Mx)=/(x)-a(x+2)有且只有兩個零點，求°的取值范圍.

【典例8-2】(2024?廣東廣州?二模)已知函數(shù)/(x)=a(尤+1)b+/.

討論“X)的零點個數(shù)；

【變式8-1](2024?浙江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=a(e、+sinx)-x-l.

⑴當(dāng)時，求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=1時，判斷/(x)的零點個數(shù).

【變式8-2]已知函數(shù)/'(x)=(x-2)e工-2ar2+4ax(a>0).

⑴若a=l,求曲線>=/(x)在點(OJ(O))處的切線方程；

(2)若/(尤)恰有三個零點，求a的取值范圍.

【變式8-3](2024?湖北?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=aeX-x-l(aeR).

(1)當(dāng)。=1時，證明：/(x)>0；

(2)討論函數(shù)AM的零點個數(shù).

【變式8-4](2024?廣西河池?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=alnx+x2-6，定義域為(0,+s).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)求當(dāng)函數(shù)/(“有且只有一個零點時，a的取值范圍.

題型九：零點問題之取點技巧

【典例9-1](2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(a—l)x+lnx,g(x)=(?eR).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>2時，證明：函數(shù)W(x)=g(x)-/(x)有兩個不同的零點.

【典例9-2】(2024?浙江杭州?二模)已知函數(shù)/'(x)=aln(x+2)-g/(aeR).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(力有兩個極值點，

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

(ii)證明：函數(shù)/(x)有且只有一個零點.

【變式9-1](2024?陜西銅川三模)已知函數(shù)〃"=m+：+辦-

(1)當(dāng)"1時，求曲線了=/卜)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式9-2](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)=x(e=Ax),左eR.

⑴當(dāng)左=0時，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若函數(shù)/卜)在(0,+e)上僅有兩個零點，求實數(shù)上的取值范圍.

題型十：零點與切線問題的綜合應(yīng)用

【典例10-11(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=d+3x+3,g(x)=2U-x-2.

(1)判斷g(x)的零點個數(shù)；

⑵求曲線了=/(x)與曲線了=g(x)公切線的條數(shù).

【典例10-2】(2024?江西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=21nx+；ax2-(a+2)x(aeR),

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若0<再<%,證明：對任意ae(-oo,0),存在唯一實數(shù)％e(再,々)，使得/''(%)="“)成立.

X2-X]

【變式10-1](2024?四川遂寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=e"g(x)=ln(x+n),直線/：y=x+機為曲線

V=f(x)與V=g(x)的一條公切線.

⑴求加,〃.

⑵若直線r：y=s(O<s<l)與曲線y=f(x),直線/,曲線尸g(x)分別交于4>1，%),8(工2，%)，°(>3，%)三點，

其中玉<%2<尤3，且占戶2,尤3成等差數(shù)列，證明：滿足條件的S有且只有一個.

【變式10-2](2024?四川瀘州三模)設(shè)函數(shù)/(x)=ei,g(x)=lnx+6.

⑴求函數(shù)尸(x)=(x-l)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若總存在兩條直線和曲線了=/(力與y=g(x)都相切，求6的取值范圍.

【變式10-3】(2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=xlnx.

⑴若函數(shù)g(x)=/(x)-a有兩個零點，求實數(shù)0的取值范圍；

⑵已知/(再,必)，B(x2,y2),C(x3,y3)(其中國<%且花，x^,七成等比數(shù)列)是曲線y=/(x)上三

個不同的點，判斷直線/C與曲線y=/(x)在點3處的切線能否平行？請說明理由.

0

1.(2024?福建寧德三模)已知函數(shù)〃x)=acosx-e'+i(aeR)的圖象在》=0處的切線過點(-1,2).

⑴求/(x)在［0,可上的最小值;

⑵判斷“X)在［-7,0內(nèi)零點的個數(shù)，并說明理由.

1Q

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=］xsinx-：.

(1)證明：當(dāng)xe［0,可時，

⑵求/⑺在區(qū)間［0,兀］上的零點個數(shù).

zl2-

3.(2024,浙江杭州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(工)=屐X+――--m,g(X)+ex.

⑴當(dāng)加=0時，證明：/(x)<e-x；

(2)當(dāng)x<0時，g{x}>t,求/的最大值；

(3)若/⑺在區(qū)間(0,+。)存在零點，求加的取值范圍.

4.(2024?安徽?三模)已知函數(shù)/(耳=/_武。＞0，-1).

(1)若。=6,求/(力在x=0處的切線方程；

⑵若函數(shù)/(力有2個零點，試比較Ina與5的大小關(guān)系.

5.(2024?陜西商洛三模)已知函數(shù)/'(x)=2/lnx-gx2-依(aeR).

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

2%

⑵當(dāng)a＞0時，若函數(shù)g(無)=[■+西和〃(x)=2/x的圖象在(0,1)上有交點,求實數(shù)a的取值范圍.

6.(2024?湖北黃石三模)已知函數(shù)/(x)=x-lnx+?w有兩個零點為，x%

(1)求實數(shù)加的取值范圍；

(2)如果不＜%W2再，求此時m的取值范圍.

2

7.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=—+Inx-加.

⑴討論/⑴的零點個數(shù)；

(2)若/(“有兩個零點，證明：兩個零點之和大于4.

8.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=e“，g(x)=xa.

(1)當(dāng)。=1時，求/(x)-g(x)的最小值；

⑵討論函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象在(0,舟)上的交點個數(shù).

9.(2024?全國模擬預(yù)測)當(dāng)xe(T+?)時，總有不等式依21n(x+l)成立.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

⑵設(shè)方程辦-ln(x+l)=sinx,試確定該方程實根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

10.(2024?青海海南一模)已知函數(shù)/(%)=6@-1-龍一°(4>0).

⑴若函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

+a

(2)若函數(shù)/(X)的兩個零點分別是再/2且再<工2，證明：x2-xI>^-

11.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)—4

⑴求曲線了=/(x)在(0,7(0))處的切線方程；

⑵若xe(-i,兀)，討論曲線了=/(尤)與曲線y=-2cosx的交點個數(shù).

12.已知函數(shù)[(x)=x21nx—a(a￡R).

⑴若/(“恰有兩個零點，求。的取值范圍；

/、2aae

(2)若/(x)的兩個零點分別為西,%2(再<工2)，求證：-T+-T<_T.

X]"2,

17.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=、+lnx的圖象在>4處的切線方程為了=/(x).

(1)求/(x)的解析式;

(2)若過點可作〃x)圖象的三條切線，證明：/(。)<6</卜).

18.已知函數(shù)/(x)=X+lnx最小值為l-ln2

⑴求k；

(2)若。,6eR,且“>1,過點(見6)可以作曲線y=/(x)的三條切線.證明：0<一(嘰，

(7-12

19.已知函數(shù)/(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)當(dāng)。=2時，不用計算器，用切線“以直代曲"，求人上)的近似值(精確到四位小數(shù)).

2024

(2)討論函數(shù)/(x)的零點個數(shù).

20.(2024?湖北?模擬預(yù)測)函數(shù)/(無)=(尤-2)e*,g(x)--x+4asinx+(尤+l)ln(x+l),a>0.

⑴求函數(shù)/(x)在xe(-l,2)的值域；

⑵記/'(x),g'(x)分別是〃x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)，記max{私可表示實數(shù)私"的最大值，記函數(shù)

尸(x)=max{-(x),g〈尤)},討論函數(shù)尸(X)的零點個數(shù).

21.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=d-w+ez,g(x)=2-lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

U)若函數(shù)/(力的極值點恰有2個，求實數(shù)。的取值范圍；

777>77

(2)記max{%〃}={，ITl一若函數(shù)//("=!11映{/(%)在(%)}(%>0),試討論函數(shù)/z(x)的零點個數(shù).

22.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/卜)=-_?+3/+a(x>0),g(x)=%lnx+ar2-2x.

(

⑴若〃X)，g(x)的導(dǎo)數(shù)分別為/(x)，g'(x)，>{x|r(x)<o}e{x|g(x)<o},求°的取值范圍；

⑵用min{a,6}表示°,6中的最小值，設(shè)〃(x)=min{〃x),g(x)},若同>1,判斷力(x)的零點個數(shù).

重難點突破07函數(shù)零點問題的綜合應(yīng)用

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................2

題型一：判斷或討論函數(shù)零點的個數(shù)................................................2

題型二：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍..................................................3

題型三：證明函數(shù)零點的個數(shù)......................................................4

題型四：證明函數(shù)零點的性質(zhì)......................................................5

題型五：最值函數(shù)的零點問題......................................................7

題型六：同構(gòu)法妙解零點問題......................................................8

題型七：零點差問題..............................................................9

題型八：分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩圖像交點解決零點問題...................................11

題型九：零點問題之取點技巧.....................................................13

題型十：零點與切線問題的綜合應(yīng)用...............................................14

03過關(guān)測試....................................................................15

方法特眄與Q餞

1、函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，

求參數(shù)的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與X軸(或直線y=左)在某區(qū)間上的

交點問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).

2、函數(shù)零點的求解與判斷方法：

(1)直接求零點：令人x)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間口，可上是連續(xù)不斷的曲線，且次。)於6)<(),還必須

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個

不同的值，就有幾個不同的零點.

3、求函數(shù)的零點個數(shù)時，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點存在定理判斷；二、將/(x)整理變形成

/(x)=g(x)-〃(x)的形式，通過g(x),人(力兩函數(shù)圖象的交點確定函數(shù)的零點個數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函

數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).

4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：

(1)確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知

識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；

(2)方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可

以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合

思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

題型歸疆總結(jié)

題型一：判斷或討論函數(shù)零點的個數(shù)

【典例1-1】(2024?河南?三模)函數(shù)/&)=6*一45畝1+2-2的圖象在尤=0處的切線為丁=依—?！?,。611.

(1)求2的值；

(2)求/(x)在(0,+oo)上零點的個數(shù).

【解析】(1)因為/'(X)=e'*-4sinx+zl-Z,/'。)=Xe'*-4cosx,

所以/'(0)=4-4,所以切線斜率為4-4,即a=X-4,

所切線方程為y=(2-4h一4+1

又/(0)=2-1,所以切點坐標(biāo)為(0"-1),代入得

則2—1=—2+1,解得2=1.

(2)由(1)/(x)=ex-4sinx-l,/,(x)=ex-4cosx,

令g(x)=/'(x)=e*-4cosx,貝!Jg'(x)=e"+4sinx,

當(dāng)北兀時，/'Q)=e-4cosx>0恒成立，所以/(X)在%+<?)上遞增，

所以/(%)>/(7t)=e"-4sinx-l>eK-5>0,

因此/(x)在［兀,+oo)無零點；

當(dāng)0<x<兀時,g'(x)=e*+4sinx>0恒成立，所以/'(x)單調(diào)遞增，

又/(0)=-3<0,/，(7t)=e,t+4>0,

所以/'(x)在(0㈤上存在唯一的零點與，

當(dāng)xe(0,/)J'(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(xo,7t),r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

又/(0)=0J(x°)</(0)=0,/m)=e/l>0,

因此/(X)在(0,0上僅有1個零點；

綜上，/(X)在(0,+00)上僅有1個零點.

【典例1-2】(2024?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=4(a/0,aeR).

⑴求〃x)的極大值；

(2)若。=1,求g(x)=/(x)-cosx在區(qū)間-02024兀上的零點個數(shù).

【解析】(1)由題易得，函數(shù)〃月=號的定義域為R,

2axe“-ax2ex2ax-ax2

又/'("=

所以，當(dāng)a>0時，/'(x),/(x)隨x的變化情況如下表:

X(-8,0)0(0,2)2(2,+℃)

/'(X)—0+0—

小)極小值/極大值

由上表可知，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),(2,+8).

所以〃力的極大值為〃2)斐(0>0).

當(dāng)a<0時，/'(x),/(x)隨X的變化情況如下表：

(fO)0(0,2)2(2,+8)

/'(X)+0—0+

/(X)/極大值極小值/

由上表可知，〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(f,0),(2,+司，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).

所以“X)的極大值為了(0)=0(。<0).

綜上所述，當(dāng)。>0時，〃x)的極大值為耳；當(dāng)°<0時，的極大值為0.

e

22

(2)方法一：當(dāng)0=1時，/(X)=—,所以函數(shù)目(%)=/(%)-005%=土-35%.

exex

2

由g(x)=°，得0=以)8%.

e

所以要求g(x)在區(qū)間-52024兀上的零點的個數(shù)，

只需求V=/(x)的圖象與妝x)=cosx的圖象在區(qū)間-去2024兀上的交點個數(shù)即可.

由(1)知，當(dāng)"1時，y=/(x)在(f,0),(2,+⑹上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增,

所以y=/(x)在區(qū)間-，。上單調(diào)遞減.

又/z(x)=cosx在區(qū)間-],0上單調(diào)遞增，

且/(—l)=e〉l>cos(—=1),/(0)=0<1=COS0=〃(0),

2I-

所以/■(力亍與“上的的圖象在區(qū)間層,o]上只有一個交點，

所以g(x)在區(qū)間-，0上有且只有1個零點.

因為當(dāng)a=l,x>0時，/（x）=?>0,

/（x）在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（2,+巧上單調(diào)遞減，

丫2/\4

所以八尤然土在區(qū)間包+⑹上有極大值/⑵=/4,

即當(dāng)a=l,x>0時，恒有0</（x）<l.

又當(dāng)x>0時，Mx）=cosx的值域為［-1,1］,且其最小正周期為？=2兀，

現(xiàn)考查在其一個周期（0,2可上的情況，

=不在區(qū)間（0,2］上單調(diào)遞增，萬⑺=cosx在區(qū)間（0,2］上單調(diào)遞減，

ex

K/（0）=0</z（0）=l,/（2）>0>/z（2）=cos2,

2

所以/z（x）=cosx與/（無）=土的圖象在區(qū)間（0,2］上只有一個交點，

ex

即g（x）在區(qū)間（0,2］上有且只有1個零點.

因為在區(qū)間（2,占上，/（x）>0,/z（x）=co&x<0,

所以/'3="與，G）=。。族的圖象在區(qū)間12,占上無交點，

即g（x）在區(qū)間12,技上無零點.

在區(qū)間（手,2兀上，/（x）=—單調(diào)遞減，/z（x）=cosx單調(diào)遞增，

且〉0></（27i）<l=cos27i=/z（27i）,

所以/z（x）=co&x與/（x）=F的圖象在區(qū)間（弓,2兀］上只有一個交點，

即g（x）在區(qū)間（技,2兀上有且只有1個零點.

所以g（x）在一個周期（0,2可上有且只有2個零點.

2

同理可知，在區(qū)間（2億2版+2可（BN*）上，且/⑴=］單調(diào)遞減，

/z（x）=cosx在區(qū)間（2譏2防1+兀］上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2析+兀,2防1+2兀］上單調(diào)遞增,

且0</（2項<l=cos（2砌=〃（2砌,

/（2E+71）>0>—l=cos（2fei+兀）=%（2阮+兀）

0</(2hi+7i)<l=cos(2E+7t)=〃(2E+7i),

2

所以a(x)=cosx與/(無)=J的圖象在區(qū)間(2所,2析+可和(2版+兀,2析+2兀]上各有一個交點,

即g(x)在(2兀,2024可上的每一個區(qū)間(2版,2航+2磯左eN,)上都有且只有2個零點.

所以g⑺在(0,2024K]上共有羋如x2=2024個零點.

271

綜上可知，g(x)在區(qū)間-^,2024兀上共有2024+1=2025個零點.

22

方法二：當(dāng)4=1時，/(x)=—,所以函數(shù)g(x)=/(x)-cosx=--cosx.

當(dāng)xe-p0時，g，(x)=&?『+sinxV0,所以g(x)在區(qū)間-10上單調(diào)遞減.

_z」eL?_

Xg^>o,g(o)<o,所以存在唯一零點-|,0,使得g(x0)=o.

所以g(x)在區(qū)間0上有且僅有一個零點.

當(dāng)xe12阮+],2加+萬(左eN時，>0,cosx<0,所以g(x)>0.

所以g(x)在卜祈+g,2航上無零點.

當(dāng)時，g，(x)=*C+siru>0,所以g(x)在區(qū)間(o,j上單調(diào)遞增.

又gejo送m，所以存在唯一零點.

X

當(dāng)xe12A71,2析+]],左eN時，g'(%)=x+sinx,

設(shè)/(x)=2xj+sinx,貝=——?+2+cosx>0

所以g'(x)在(2析,2析+]，左eN*上單調(diào)遞增.

又g'(2阮)(0,g'(2玩+?)0,

所以存在再e卜砒2所+g],左eN*,使得g'(xJ=0.

即當(dāng)xe(2E丙)時,g'(xJ<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe,,2版+1時，g'(xJ>0,g(x)單調(diào)遞增.

又g(2砌(0,g[2E+3)0,所以g(x)在區(qū)間12阮,2析+]，笈eN*上有且僅有一個零點

所以g(x)在區(qū)間J析,2E+]，左eN上有且僅有一個零點.

(3兀1

當(dāng)了￡[2而+3,2析+2兀，左EN時，

,/\2X-X2.

g（町=——--+smx,

c

設(shè)((x)=2[x+sinx,貝Ue'(x)=^——當(dāng)+)+cosx>0

所以g'(x)在卜析+1,2E+2兀，左eN上單調(diào)遞增.

又g(2E+^J<0,g〈2far+27i)<0,所以g(x)在區(qū)間12包+1,2祈+2兀，左eN上單調(diào)遞減:

又g12而+芳)>0,g(2阮+2兀)<0,

所以存在唯一￡中析+芳,2析+2兀J,使得8(%)=0.

所以g(x)在區(qū)間。包+1,2祈+2兀，左eN上有且僅有一個零點.

所以g(x)在區(qū)間(2M2E+2可,"eN上有兩個零點.

所以g(x)在(0,2024可上共有型"x2=2024個零點.

2兀

綜上所述，g(x)在區(qū)間-^2024無上共有2024+1=2025個零點.

【變式1-1](2024?湖南長沙?三模)已知函數(shù)/(x)=xe*-l,g(x)=liu-R7x,ZMeR.

⑴求/(x)的最小值；

(2)設(shè)函數(shù)/z(x)=/(x)-g(x),討論//(x)零點的個數(shù).

【解析】(1)/(x)的定義域為R,的(x)=(x+l)",

則當(dāng)時，/'(x)<0；當(dāng)時，/'(力>0,

所以/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-1,+e)上單調(diào)遞增，

因此〃力的最小值為〃-1)=-1-1；

(2)h^=xex-lnx+mx-1,且x?0,+oo),

令7z(x)=0,得e"------Fm=0,

令發(fā)(x)=e=嚀1■+機，則Mx)與左⑺有相同的零點,

且%)=8匕吧叫=色乎，

XX

令r(x)uYe*+lnx,貝lj/(尤)=(/+2x)e*+，，

因為當(dāng)x>0時，則/(x)>0,所以r(x)在區(qū)間(0,+⑹上單調(diào)遞增,

XrQ^=ee2-l(0,r(l)=e^0,所以切：：/,使r(x(,)=0,

且當(dāng)工€(0,天)時，r(x)<0,即左'(x)<0；當(dāng)xe(x(),+oo)時,r(x)>0,即左'(x)>0,

所以上⑺在區(qū)間(0,X。)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(%,+。)上單調(diào)遞增,

因此左(力的最小值為Mx0)=e'。-皿巴+加，

X。

1In—

xx

由升(毛)=。，得%衿。+欣0=0,BPxoe°=In—e°,

%

令夕(x)=/(x)+l,則磯X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為所以ln，>0,則3(4)=/In，

e/vxoJ

所以看=—lnXo，從而Inxo=-%,即$=’，

%

所以左(x)的最小值)=1。-lrLY°+1+m=m+l,

xo

所以當(dāng)機>-1時，左⑺沒有零點；

當(dāng)"2=-1時，％(X)有一個零點；

當(dāng)用<一1時，因為

當(dāng)X趨近于0時，%(x)趨近于4<0；當(dāng)X趨近于+CO時，趨近于

所以％(x)有兩個零點.

綜上，當(dāng)〃2>-1時，力⑴的零點個數(shù)為0;

當(dāng)以=-1時，力⑺的零點個數(shù)為1；

當(dāng)用<-1時，/z(x)的零點個數(shù)為2.

【變式1-2】已知。，6是實數(shù)，1和-1是函數(shù)/卜)=/+"2+岳:的兩個極值點

(1)求a,b的值.

⑵設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=/(x)+2,求g(x)的極值點.

⑶設(shè)“(X)=/(/(x))-c，其中ce[-2,2]，求函數(shù)》=〃(x)的零點個數(shù).

【解析】(1)由/(x)=/+依2+6x,得(x)=3/+2辦+6,

因為1和-1是函數(shù)/(x)=x3+a/+6x的兩個極值點,

'/,(-l)=3-2a+Z7=0

所以《解得：a=0,6=—3,

/'⑴=3+24+6=0

當(dāng)a=0,b=—3時，/'(x)=3f—3=3(尤+l)(x—1),

所以/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,-1),(1,+功，單調(diào)減區(qū)間為(T1),

所以經(jīng)檢驗當(dāng)a=0,6=—3時，1和-1是函數(shù)/(x)=Y+G?+6x的兩個極值點.

(2)由(1)得-3x,則g'(x)=x3-3x+2=(X-1?(無+2),

令g'(x)=0,解得-2或1,

當(dāng)x<-2時，g'(x)<0,

當(dāng)-2<尤<1時，g'(x)>0,

當(dāng)x>1時，g'(x)>0,

所以x=-2,是g(x)極值點，x=l不是g(x)極值點,

所以g(x)極值點為-2

(3)令/(x)=f,則〃(x)=/(f)ic,

先討論關(guān)于x的方程〃x)=d根的情況：de[-2,2],

當(dāng)同=2時，由⑵可知/(無)=-2的兩個不同根為1和_2,注意到"X)為奇函數(shù)，。

所以/(%)=2的兩個不同根為-1和2,

當(dāng)冏<2時，因為/(T)_