1.4角平分線的性質(zhì) 同步練習(xí)（含答案）-八年級下冊數(shù)學(xué)（湘教版2024）

.4角平分線的性質(zhì)一、單選題1．如圖，∠1=∠2，A．PD=OD B．PC=PD C．∠DPO=∠CPO D．OD=OC2．如圖，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，則下列結(jié)論中正確的是（）A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC3．如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若△ABC的周長為30，OM=4．則△ABC的面積為（）A．30 B．15 C．60 D．1204．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，如果CD=5，P為AB上一動點，那么PD的最小值為（）A．8 B．5 C．3 D．25．下列命題是假命題的是（）A．到線段兩端點距離相等的點在該線段的垂直平分線上B．一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形全等C．有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形D．三角形三條角平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等二、填空題6．如圖，∠ABC的平分線BD與外角∠ACG的平分線CD交于點D，過點D作BC的平行線交AB于點E，交AC于點F，BE=10，CF=8，則EF=7．如圖，以∠AOB的頂點O為圓心，以任意長為半徑作弧分別交OA，OB于M，N兩點：分別以點M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；作射線OP，若點Q在射線OP上且到OA邊的距離恰好為5cm，則點Q到OB邊的距離為8．如圖，在△ABC中，以點B為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧分別交BA、BC邊于點P、Q，再分別以點P、Q為圓心，以大于12PQ為半徑畫弧，兩弧交于點M，連接BM交AC于點E，過點E作ED∥BC交AB于點D，若AB=5，AE=3，則△ADE的周長為9．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，S△ABC=18，AB=8，BC=4，則DE=10．如圖，在長方形ABCD中，點E在CD上，并且∠EAD=13°，將△ADE沿AE翻折并壓平得到△AD'E，若AF平分∠BAD'，過點E作EF⊥AF11．如圖，在△ABC的內(nèi)部取一點O，過點O作OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N，若∠ABC=30°，且OM=ON，則∠ABO=°．三、計算題12．如圖1，將直角三角板BOC中一個60°角的頂點O放置在直線MN上．（1）若按照圖2擺放，使邊OC在∠AON內(nèi)部，且OC平分∠AON，∠MOA=100°，則∠AOB=______度；（2）若按照圖3擺放，射線OA平分∠BON，寫出∠BOM與∠AOC度數(shù)關(guān)系，并說明理由；（3）若三角板邊OC與射線ON重合時（如圖4），三角板在直線MN上繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)運動（OC邊始終在∠AON內(nèi)），∠AON=α60°<α<180°，在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究∠BON與∠AOC13．已知∠AOB=90°，∠COD(1)保持∠AOB不動，將∠COD繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD=；②∠BOC-(2)若∠COD按每分鐘5°的速度繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∠AOB按每分鐘2°的速度也繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)到射線ON上時都停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)t分鐘，計算∠MOC-(3)保持∠AOB不動，將∠COD繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°(n≤360)，若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD14．綜合與實踐問題情境在數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們以“線段與角的共性”為主題開展數(shù)學(xué)活動．發(fā)現(xiàn)線段的中點的概念與角的平分線的概念類似，甚至它們在計算的方法上也有類似之處，它們之間的題目可以轉(zhuǎn)換，解法可以互相借鑒．如圖1，點C是線段AB上的一點，M是AC的中點，N是BC的中點．圖1圖2圖3（1）問題探究①若AB=6，AC=2，求MN的長度；（寫出計算過程）②若AB=a，AC=b，則MN=___________；（直接寫出結(jié)果）（2）繼續(xù)探究“創(chuàng)新”小組的同學(xué)類比想到：如圖2，已知∠AOB=80°，在角的內(nèi)部作射線OC，再分別作∠AOC和∠BOC的角平分線OM，ON．③若∠AOC=30°，求∠MON的度數(shù)；（寫出計算過程）④若∠AOC=m°，則∠MON=_____________°；（直接寫出結(jié)果）（3）深入探究“慎密”小組在“創(chuàng)新”小組的基礎(chǔ)上提出：如圖3，若∠AOB=n°，在角的外部作射線OC，再分別作∠AOC和∠BOC的角平分線OM，ON，若∠AOC=m°，則∠MON=__________°．（直接寫出結(jié)果）四、解答題15．如圖，三角板COD的直角頂點O放置在直線AB上，三角板繞O點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)（三角板的各邊只處于直線AB的上方），OM，ON分別平分∠AOC和∠（1）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到∠AOC=40°的位置時，求∠MON（2）∠MON的度數(shù)是否隨著三角板的旋轉(zhuǎn)而變化？五、作圖題16．如圖，校園有兩條路OA、OB，在交叉口附近有兩塊宣傳牌C、D，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置P離兩塊宣傳牌一樣遠(yuǎn)，并且到兩條路的距離也一樣遠(yuǎn)，請你用尺規(guī)作出燈柱的位置點P．（請保留作圖痕跡）六、綜合題17．如圖，如圖，已知等腰ABC中，AC=AB，BD是∠ABC的角平分線.（1）尺規(guī)作圖：作出∠ACB的角平分線，交AB于點E，交BD于點F(不寫作法，保留作圖痕跡)（2）試判斷△BFC的形狀，并說明理由.18．如圖，已知：AB=AD，BC=CD，AE⊥BC，垂足為E，AF⊥CD，垂足為F．求證：（1）∠B=∠D；（2）AE=AF．19．如圖所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點E．（1）求∠E的度數(shù)．（2）請猜想∠A與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．七、實踐探究題20．如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD．CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

答案解析部分1．【答案】A【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形全等及其性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)2．【答案】C【知識點】角平分線的判定3．【答案】C【知識點】角平分線的性質(zhì)4．【答案】B【知識點】垂線段最短及其應(yīng)用；角平分線的性質(zhì)5．【答案】B【知識點】三角形全等的判定；角平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定；真命題與假命題6．【答案】2【知識點】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；內(nèi)錯角的概念7．【答案】5【知識點】角平分線的性質(zhì)；尺規(guī)作圖-作角的平分線8．【答案】8【知識點】等腰三角形的判定；尺規(guī)作圖-作角的平分線9．【答案】3【知識點】角平分線的性質(zhì)10．【答案】32°【知識點】角平分線的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；直角三角形的性質(zhì)11．【答案】15°【知識點】角平分線的判定12．【答案】（1）20（2）∠BOM=60°+2∠AOC（3）∠BON+∠AOC=60°+α【知識點】角的運算；角平分線的性質(zhì)13．【答案】(1)①150°；②30°；(2)8t－60或2t+60；(3)∠EOF的大小為15°或165°.【知識點】角的運算；角平分線的性質(zhì)14．【答案】（1）①3；②12a；（2）③40°；④【知識點】角平分線的性質(zhì)；線段的和、差、倍、分的簡單計算15．【答案】（1）135°（2）不變【知識點】角的運算；角平分線的性質(zhì)16．【答案】如圖，點P為所作．【知識點】尺規(guī)作圖-作角的平分線；尺規(guī)作圖-垂直平分線17．【答案】（1）證明：（1）作圖∴如圖所示，CE為所求．（2）解：△BFC是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACB．∵BD平分∠ABD，CE平分∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB，∴∠FBC=∠FCB，【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；尺規(guī)作圖-作角的平分線18．【答案】（1）證明：在△ABC與△ADC中，

AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D（2）證明：∵△ABC≌△ADC，

∴∠ACB=∠ACD，∵AE⊥BC，垂足為E，AF⊥CD，垂足為F，∴AE=AF【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)19．【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E，∵∠A=40°，∴∠E=20°（2）解：∠A=2∠E，理由如下：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E【知識點】三角形的外角性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)20．【答案】（1）解：如圖①，在OP上任意取一點A.然后以點O為圓心，任意長為半半作弧.分別交OM，ON于點B，C，連接AB，AC，則△OAB≌△OAC.FE與FD之間的數(shù)是關(guān)系為FE=FD．（2）解：（1）中的結(jié)論FE=FD仍然成立．證明如下：如圖（3），在AC上截取AG=AE．連接FG．∵AD平分∠BAC，∴∠EAF=∠GAF．又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，AE=AG，∴∠AFE=∠AFG．FE=FG．由∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，可得∠DAC+∠ECA=60°．∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．∴∠CFG=∠CFD=60°．由∠ECA=∠ECB及FC為公共邊，易得△CFG≌△CFD，∴FG=FD，∴FE=FD．∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=4