2024-2025學(xué)年北京市通州區(qū)高三上冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市通州區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知集合,則A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A. B. C. D.14.已知，，，則（）．A. B. C. D.5.在等腰梯形ABCD中，，M為BC的中點，則（）A. B. C. D.6.中，“”是“”的（）條件A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充分且必要 D.既不充分也不必要7.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.， B.，C.， D.，8.已知函數(shù)．甲同學(xué)將的圖象向上平移個單位長度，得到圖象；乙同學(xué)將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得到圖象．若與恰好重合，則下列給出的中符合題意的是（）A. B.C. D.9.已知函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，則m取值范圍為（）A. B. C. D.10.“開車不喝酒，喝酒不開車”.一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過（）小時，才能開車?（精確到1小時）（參考數(shù)據(jù)：，）A.5 B.6 C.7 D.8二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11.函數(shù)的定義域是_____________．12.記為等差數(shù)列an的前項和.已知，，則______.13.已知向量，．若存在實數(shù)，使得與方向相同，則的一個取值為__________．14.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點，_________，_________.15.已知數(shù)列滿足，，，.則集合中元素的個數(shù)為______.三、解答題，本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程成演算步驟.16.已知函數(shù)．（1）求值；（2）求的最小正周期；（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值．17.在中，角所對的邊分別為已知.（1）求角的大??；（2）求的值；（3）求的值.18.設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點處的切線.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間.（2）求證：不經(jīng)過點.19.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）若，，求的值；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，確定的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：的最大值為2；條件②：圖象關(guān)于點中心對稱；條件③：圖象經(jīng)過點.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.20.在中，．（1）求A；（2）若，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得存在且唯一確定，求三角形的面積.條件①：；條件②：a=2；條件③：．21.已知函數(shù),其中．（1）當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;（2）當(dāng)時,判斷的零點個數(shù),并加以證明;（3）當(dāng)時,證明:存在實數(shù)m,使恒成立．2024-2025學(xué)年北京市通州區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知集合,則A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先解不等式得集合A，再求并集的結(jié)果.【詳解】因為，所以，選D.本題考查一元二次不等式解集以及并集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可.【詳解】A選項，，是R上的增函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故A錯誤；B選項，，是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故B錯誤；C選項，，，，是奇函數(shù)，又，，，所以不是增函數(shù)，故C錯誤；D選項，，畫出其圖像，可得既是奇函數(shù)又是增函數(shù).故選：D.3.已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A. B. C. D.1【正確答案】C【分析】化簡復(fù)數(shù)，分子分母同時乘以，進而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，，，則（）．A. B. C. D.【正確答案】C【詳解】試題分析：因為所以選C．考點：比較大小5.在等腰梯形ABCD中，，M為BC的中點，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用平面向量的線性運算求解.【詳解】因為在等腰梯形ABCD中，，所以,因為M為BC的中點，所以,故選:B.6.中，“”是“”的（）條件A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充分且必要 D.既不充分也不必要【正確答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件及三角函數(shù)可得解.【詳解】因為時，，而時，或.所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A7.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】D【分析】由圖得到周期與單調(diào)遞減區(qū)間即可.【詳解】由圖可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由圖可知周期；故的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：D8.已知函數(shù)．甲同學(xué)將的圖象向上平移個單位長度，得到圖象；乙同學(xué)將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得到圖象．若與恰好重合，則下列給出的中符合題意的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)平移和伸縮變換原則，依次驗證選項中的函數(shù)變換后的解析式是否相同即可.【詳解】對于A，，，A錯誤；對于B，，，B正確；對于C，，，C錯誤；對于D，，，D錯誤.故選：B.9.已知函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，及分段函數(shù)的最值即可得求解．【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，開口向上，且對稱軸為，又當(dāng)時，取得最小值，所以，解得，所以m的取值范圍為．故選：B．10.“開車不喝酒，喝酒不開車”.一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過（）小時，才能開車?（精確到1小時）（參考數(shù)據(jù)：，）A.5 B.6 C.7 D.8【正確答案】A【分析】根據(jù)題意建立不等式求解即可.【詳解】由題得，在喝酒后，血液中酒精含量與時間的關(guān)系為，建立不等式，則，所以.故選：A二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11.函數(shù)的定義域是_____________．【正確答案】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由題意可知：，所以該函數(shù)的定義域為，故12.記為等差數(shù)列an的前項和.已知，，則______.【正確答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】由題知：，解得.所以故13.已知向量，．若存在實數(shù)，使得與的方向相同，則的一個取值為__________．【正確答案】（答案不唯一，小于的實數(shù)均可）【分析】由兩向量同向可知，由此可構(gòu)造方程組求得，由可求得滿足題意的的范圍，進而得到結(jié)果.【詳解】與方向相同，，，，由得：，存在實數(shù)，，使得與方向相同.故（答案不唯一，小于的實數(shù)均可）.14.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點，_________，_________.【正確答案】①.②.【分析】由三角函數(shù)定義求出，利用正弦和余弦二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系求出答案.【詳解】由三角函數(shù)定義得，，則，又，則.故，15.已知數(shù)列滿足，，，.則集合中元素的個數(shù)為______.【正確答案】24【分析】利用累加法得到，，即可得到，然后對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論.【詳解】由題意得，，所以，又，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時，令，解得，當(dāng)為奇數(shù)時，令，因為函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，綜上可得集合中元素的個數(shù)為.故24三、解答題，本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程成演算步驟.16.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【正確答案】（1）-1；（2）；（3）最大值為，最小值為．【分析】（1）自變量直接代入求值；（2）應(yīng)用倍角正余弦公式、輔助角公式化簡函數(shù)式，由正弦型函數(shù)性質(zhì)求最小正周期；（3）利用正弦型函數(shù)性質(zhì)求區(qū)間最值即可.【小問1詳解】．【小問2詳解】由題設(shè)．所以的最小正周期為．【小問3詳解】因為，所以，當(dāng)，即時，取得最大值，所以在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，即時，取得最小值，所以在區(qū)間上的最小值為．17.在中，角所對的邊分別為已知.（1）求角的大??；（2）求的值；（3）求的值.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由余弦定理求出，即可得出角C的大?。唬?）由正弦定理即可求出答案；（3）求出，由二倍角公式求出，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（1）在中，由余弦定理及，有，又因為，所以.（2）在中，由正弦定理及.可得.（3）由及，可得，，，所以.【點晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，關(guān)鍵點是熟練掌握有關(guān)公式的運用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.18.設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點處的切線.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間.（2）求證：不經(jīng)過點.【正確答案】（1）單調(diào)遞増區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見解析.【分析】（1）先將參數(shù)代入函數(shù)方程，然后判斷函數(shù)定義域，求導(dǎo)計算單調(diào)區(qū)間即可；（2）先求切線斜率，然后假設(shè)經(jīng)過原點，所以切線斜率等于切點與原點連線斜率，得到該方程無解，故假設(shè)不成立，得到結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時，，顯然的定義域為，，顯然，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞増；所以，單調(diào)遞増區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】由題可知，，所以直線的斜率為，假設(shè)直線過原點，則有，因為，所以有，令，得，因為，所以，所以單調(diào)遞增，所以，故無解，故假設(shè)直線過原點錯誤，所以直線不過原點.19.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）若，，求的值；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，確定的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：的最大值為2；條件②：圖象關(guān)于點中心對稱；條件③：的圖象經(jīng)過點.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.【正確答案】（1）（2）；【分析】（1）根據(jù)條件，代入，即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，選擇條件，代入后，即可求解函數(shù)的解析式，然后代入函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【小問1詳解】因為，，則，且，則；【小問2詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，則，若選①②，則，且，又，則，則，所以，所以，若選擇①③，則，且，則，又，則，則，則，所以若選擇②③，由②可知，，由③可知，，則，所以，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是20.在中，．（1）求A；（2）若，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得存在且唯一確定，求三角形的面積.條件①：；條件②：a=2；條件③：．【正確答案】（1）或（2）答案見解析【分析】（1）運用正弦定理邊角互化可解；（2）若選擇①：運用正弦定理，結(jié)合面積公式可解；若選擇②：運用正弦定理，結(jié)合面積公式可解；若選擇③：運用正弦余弦定理，結(jié)合面積公式可解.【小問1詳解】因為，則由正弦定理可得，，又因為，所以，又因為A為的內(nèi)角，所以或；【小問2詳解】若選擇①：因為，且,所以，所以，又因為，所以，所以；若選擇②：因為，所以，則，則.所以，則為等腰直角三角形，所以；若選擇③：因為，所以，由余弦定理可得，，當(dāng)時，，即，解得;當(dāng)時，，即，解得；此時不唯一，不合題意．21.已知函數(shù),其中．（1）當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;（2）當(dāng)時,判斷的零點個數(shù),并加以證明;（3）當(dāng)時,證明:存在實數(shù)m,使恒成立．【正確答案】（1）（2）1個（3）證明見解析【分析】(1)根據(jù)代入解析式,求出,根據(jù)點斜式寫出切線方程即可;(2)對函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)性,觀察到,根據(jù)單調(diào)性分析零點個數(shù)即可;(3)先對函數(shù)求導(dǎo),再通分,令再對新函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性即值域情況,分析的正負(fù),即的正負(fù),進而求出的單調(diào)性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在實數(shù)m,使恒成立.【小問1詳解】解:由題知,,,,故在點處的切線方程為,即;【小問2詳解】由題,,,,,故在上單調(diào)遞增,,故有1個零點;【小問3詳解】由題,,,令