數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件：MATLAB符號(hào)運(yùn)算

MATLAB符號(hào)運(yùn)算數(shù)值運(yùn)算雖然在工程上廣泛應(yīng)用，但往往得到的是近似值而非精確值.在數(shù)學(xué)、物理學(xué)及力學(xué)等各種學(xué)科和工程應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到符號(hào)運(yùn)算問(wèn)題.MATLAB中的SymbolicToolbox是用于符號(hào)處理的工具箱，提供了150多個(gè)功能函數(shù)，使得MATLAB不但能進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，而且還可以進(jìn)行符號(hào)計(jì)算.符號(hào)變量及表達(dá)式3.1CONTENTS3.23.2符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算3.1.1符號(hào)變量的創(chuàng)建3.1.2符號(hào)表達(dá)式的創(chuàng)建3.1符號(hào)變量及表達(dá)式

MATLAB中定義的數(shù)據(jù)默認(rèn)為數(shù)值類(lèi)型，要進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算必須先將數(shù)值型的數(shù)字或變量轉(zhuǎn)為符號(hào)類(lèi)型．3.1.1符號(hào)變量的創(chuàng)建

符號(hào)對(duì)象的類(lèi)型在MATLAB中稱(chēng)為sym，而且定義符號(hào)對(duì)象的常見(jiàn)命令就是sym．sym函數(shù)常見(jiàn)的調(diào)用語(yǔ)法如下：①x=sym('x')創(chuàng)建符號(hào)變量x②symsvar1...varN創(chuàng)建符號(hào)變量var1...varN③

A=sym('a',[mn])創(chuàng)建一個(gè)符號(hào)矩陣A，矩陣的維度為m×n.若m=n，則可以簡(jiǎn)寫(xiě)為A=sym('a',n)，還可以利用%d設(shè)置元素下標(biāo)的格式.④sym(num)將數(shù)值常數(shù)或數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換成符號(hào)常數(shù)或符號(hào)矩陣⑤A=double(B)將符號(hào)常數(shù)或符號(hào)矩陣轉(zhuǎn)換成數(shù)值常數(shù)或數(shù)值矩陣注：sym函數(shù)一次只能定義一個(gè)符號(hào)變量，使用不方便.而syms函數(shù)一次可以定義一個(gè)符號(hào)變量，也可以一次定義多個(gè)符號(hào)變量.syms函數(shù)使用起來(lái)比sym函數(shù)更加簡(jiǎn)潔.例3.1使用syms函數(shù)創(chuàng)建符號(hào)變量.>>symsxyz>>whosNameSizeBytesClassAttributesx1x18symy1x18symz1x18sym例3.2創(chuàng)建符號(hào)矩陣．>>A=[1/3+5,pi/4;sqrt(5),pi+exp(2)]%A是數(shù)值矩陣A=5.33330.7854

2.236110.5306>>B=sym(A)B=[16/3,pi/4][5^(1/2),5928228224727581/562949953421312]%B是符號(hào)矩陣>>double(B)%將B轉(zhuǎn)換成數(shù)值矩陣，即為Aans=5.33330.78542.236110.5306>>c=sym('a',[2,3])c=[a1_1,a1_2,a1_3][a2_1,a2_2,a2_3]>>A=sym('a',[24])A=[a1_1,a1_2,a1_3,a1_4][a2_1,a2_2,a2_3,a2_4]>>A=sym('a%d%d',[24])A=[a11,a12,a13,a14][a21,a22,a23,a24]>>A=hilb(3)A=1.00000.50000.33330.50000.33330.25000.33330.25000.2000>>A=sym(A)A=[1,1/2,1/3][1/2,1/3,1/4][1/3,1/4,1/5]3.1.2符號(hào)表達(dá)式的創(chuàng)建創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式，首先創(chuàng)建符號(hào)變量，然后使用變量進(jìn)行操作.例定義符號(hào)表達(dá)式.>>symsabcx>>f=a*x^2+b*x+cf=a*x^2+b*x+c在表3-1中列出了符號(hào)表達(dá)式的常見(jiàn)格式與易錯(cuò)寫(xiě)法.正確格式錯(cuò)誤格式symsx;x+1sym('x+1')exp(sym(pi))sym('exp(pi)')symsf(var1,…,varN)f(var1,…,varN)=sym(‘f(var1,…,varN)’)表3-1符號(hào)表達(dá)式的常見(jiàn)格式與易錯(cuò)寫(xiě)法3.2符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算1．基本運(yùn)算

（1）符號(hào)矩陣的四則運(yùn)算：+，-，*，\，/.和數(shù)值矩陣的四則運(yùn)算完全相同．

（2）符號(hào)矩陣的其他一些基本運(yùn)算：和數(shù)值矩陣的運(yùn)算格式相同，包括轉(zhuǎn)置（'）、行列式（det）、逆(inv)、秩(rank)、冪（^）和指數(shù)(exp)等運(yùn)算．2．符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn)與替換

（1）符號(hào)表達(dá)式的因式分解factor(S)因式分解符號(hào)矩陣S的各個(gè)元素，如果S包含的所有元素為整數(shù)，則最佳因式分解式將被計(jì)算．例3.4因式分解．>>symsx>>factor(x^9-1)ans=[x-1,x^2+x+1,x^6+x^3+1]>>f=factor(200)f=22255>>prod(f)ans=200（2）符號(hào)表達(dá)式的展開(kāi)expand(S)對(duì)符號(hào)矩陣的各個(gè)元素的符號(hào)表達(dá)式進(jìn)行展開(kāi)例3.5將(x+1)3和sin(x+y)展開(kāi)．

>>symsxy

>>expand((x+1)^3)

ans=

x^3+3*x^2+3*x+1

>>expand(sin(x+y))ans=

sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)可知(x+1)3=x3+3x2+3x+1，

sin(x+y)=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)（3）合并符號(hào)表達(dá)式的同類(lèi)項(xiàng)collect(S,v)將符號(hào)矩陣S中的各個(gè)元素v的同冪項(xiàng)系數(shù)合并.

例3.6將x2y+yx-x2-2x合并同類(lèi)項(xiàng).

>>collect(x^2*y+y*x-x^2-2*x)

ans=

(y-1)*x^2+(y-2)*x

可知x2y+yx-x2

-2x=(y-1)x2+(y-2)x.（4）符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn)simplify(S)簡(jiǎn)化符號(hào)表達(dá)式S例3.7simplify函數(shù)的使用.

>>symsx

>>simplify(cos(x)^2+sin(x)^2)

ans=

1

>>simplify((1-x^2)/(1-x))

ans=

x+1（5）符號(hào)表達(dá)式的替換subs(s,old,new)將符號(hào)表達(dá)式s中的old變量替換為new變量.例3.8subs函數(shù)的使用.

>>symsab

>>subs(a+b,a,5)

ans=

b+5例3.9驗(yàn)證三角函數(shù)等式>>symsab>>y=simplify(cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b))y=

cos(a+b)3.精度計(jì)算

符號(hào)表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式分別使用函數(shù)digits和函數(shù)vpa進(jìn)行精度設(shè)置．

digits(n)

設(shè)置n個(gè)有效數(shù)字的近似解精度，.vpa(s,d)

求符號(hào)表達(dá)式s的數(shù)值解，該數(shù)值解的有效數(shù)字位數(shù)由d指定.如果不指定d，則求digits函數(shù)設(shè)置的精度的數(shù)值解.例3.10將

顯示4位有效數(shù)字，

顯示8位有效數(shù)字．>>digits(4);>>a=vpa(1/3)a=

0.3333>>vpa(sqrt(7),8)ans=

2.64575134.符號(hào)方程求解

MATLAB中利用solve函數(shù)求解線(xiàn)性方程組的符號(hào)解析解．

S=solve(eqn,var)對(duì)變量var求解方程eqn，若var缺省，默認(rèn)求解一元方程

Y

=solve(eqns,vars)對(duì)變量vars求解方程組eqns例3.11求解方程>>symsabcx>>eqn=a*x^2+b*x+c==0%注意方程的表示方式eqn=

a*x^2+b*x+c==0>>S=solve(eqn)S=

-(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)

-(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)方程的解為例3.12求解如下線(xiàn)性方程組>>symsxyz>>eqn1=x-2*y-z==4;>>eqn2=2*x-10*y+z==5;>>eqn3