廣東省八校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（二）【含答案解析】

廣東省八校聯(lián)盟2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期高二教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡的相應(yīng)位置.3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無(wú)效.4．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).5．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】確定斜率，由斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，又，所以．故選：A．2.已知直線和互相垂直，則實(shí)數(shù)（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的判定列方程求參數(shù).【詳解】因?yàn)橹本€和互相垂直，所以，解得．故選：B3.圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先兩圓相減求公共弦所在直線方程，再代入弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】圓與圓，相減得，圓心到直線的距離，，則公共弦長(zhǎng)為．故選：C．4.在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】連接，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得．故選：B．5.已知離心率為2的雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則（）A.21 B.19 C.13 D.11【答案】B【解析】【分析】根據(jù)離心率公式，以及橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)公式，即可求解.【詳解】由條件可知，，則，解得，所以．故選：B．6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與相交于，兩點(diǎn)，若的面積是面積的3倍，則（）A.或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到直線的距離比值問(wèn)題，再驗(yàn)證直線與雙曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即可求解.【詳解】依題意，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，則，，因?yàn)榈拿娣e是面積的3倍，所以，即，解得或，聯(lián)立方程組，整理得，則，解得，所以．故選：D．7.設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，，則的面積為（）A. B. C. D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理，求，再代入三角形面積公式，即可求解.【詳解】為橢圓上的一點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，，，，可得，即，，設(shè)，，則有，，，，．的面積．故選：C．8.是雙曲線的右支上一點(diǎn)，、分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線定義、圓的性質(zhì)確定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離差的最大值.【詳解】雙曲線中，如圖所示：，，，設(shè)左、右焦點(diǎn)為，，，，，，三點(diǎn)共線且在之間時(shí)取等號(hào)，，則，共線且在之間時(shí)取等號(hào)，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線C的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在實(shí)數(shù)，使得曲線為圓B.若曲線C為橢圓，則C.若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則D.當(dāng)曲線C是橢圓時(shí)，曲線C的焦距為定值【答案】AC【解析】【分析】按圓和圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A正確：曲線C為圓即；B錯(cuò)誤：C為橢圓C正確：C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，D錯(cuò)誤：C是橢圓，此時(shí)焦距，不是定值.故選：AC10.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.若非零向量，，滿足，，則B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C.若空間向量，，則在上的投影向量為D.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則或【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)，的方向不確定判斷A；根據(jù)空間向量共面定理判斷B；根據(jù)投影向量定義判斷C；利用，可得從而判斷D．【詳解】對(duì)于A，非零向量，，滿足，，，的方向不確定，則，不一定平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，故，，，四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橹本€的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以，則或，故D正確．故選：BCD．11.在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)，使得平面平面C.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值為D.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】利用錐體體積公式可判斷A選項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷BC選項(xiàng)；【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又，的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0、、、、、，、、，對(duì)于B項(xiàng)，，，，，，設(shè)，其中，則．設(shè)平面的法向量為，由，令，可得．設(shè)平面的法向量為，由，令，可得．若平面平面，則，則，解得，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，．設(shè)直線與所成的角為，則，即直線與所成角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，如圖2，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，、，，．設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)_____.【答案】1【解析】【分析】由題意存在，使得，代入坐標(biāo)，列方程組計(jì)算，即得解.【詳解】由題意，三向量共面，故存在，使得，即，故，解得.故答案為：113.若圓與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】求出兩圓的圓心和半徑，若兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，得到不等式組，求出，進(jìn)而求出兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)的的取值范圍.【詳解】圓，圓心，半徑為1，圓，圓心，半徑為1，若兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，則，解得，若兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為或．故答案為：14.過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于，，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】利用橢圓點(diǎn)差法，結(jié)合橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)Ax1,y1，B是線段中點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)M1,1作斜率為直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，①②兩式相減可得，又所以，，，．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.已知圓的圓心在直線和直線的交點(diǎn)上，且圓過(guò)點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若圓的方程為，判斷圓與圓的位置關(guān)系.【答案】（1）（2）圓與圓相交.【解析】【分析】（1）先求出兩直線的交點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可求解；（2）由題意知的圓心為，半徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系即可下結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由，得，即圓心坐標(biāo)為.，圓方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，圓的圓心為，半徑.圓的方程可化為，則圓的圓心為，半徑.，，圓與圓相交.16.已知圓．（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與圓相切,求直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn),點(diǎn)在圓上,為線段的中點(diǎn),求的軌跡的長(zhǎng)度．【答案】（1）x=-1或（2）【解析】【分析】（1）易判斷點(diǎn)A在圓,因此切線方程有兩條,分直線的斜率不存在和直線斜率存在討論即可；（2）利用相關(guān)點(diǎn)法求出的軌跡方程，進(jìn)而可求的軌跡的長(zhǎng)度.【小問(wèn)1詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,點(diǎn)在圓外,故過(guò)點(diǎn)A且與圓C相切的直線有2條，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),圓心到直線的距離直線與圓C相切.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線,即圓心C到直線的距離,由題意,解得,此時(shí),即,終上所述,直線的方程為x=-1或.【小問(wèn)2詳解】設(shè)因?yàn)闉镈E的中點(diǎn),所以,點(diǎn)E在圓C上,即，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,32為半徑的圓,的軌跡的長(zhǎng)度為.17.由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點(diǎn)，平面.（1）求證：平面；（2）若二面角的正切值為，求平面與平面夾角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）法一：將幾何體補(bǔ)成四棱柱，得到四邊形為平行四邊形，故，得到線面平行；法二：得到兩兩垂直，建立空間直角直角坐標(biāo)系，得到平面的法向量，從而得到，得到結(jié)論；（2）設(shè)，作出輔助線，找到二面角的平面角為，根據(jù)正切值得到方程，求出，求出平面的法向量，得到平面與平面夾角的余弦值，求出答案；【小問(wèn)1詳解】法一：將幾何體補(bǔ)成四棱柱，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，故，，故四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，平?法二：∵四邊形是菱形，∴⊥，又平面，平面，∴，，故兩兩垂直，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，其中，則，設(shè)，由得，由得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，又平面，平面【小問(wèn)2詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，則，又四邊形是菱形，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，故面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，又，故四邊形為平行四邊形，故，，?所以為二面角的平面角.則，其中，故，故，設(shè)平面的法向量為，則取，得，，平面與平面夾角的余弦值為，平面與平面夾角為.18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程及雙曲線所過(guò)的點(diǎn)列方程求參數(shù)，即可得方程；（2）設(shè)Ax1,y【小問(wèn)1詳解】由題意，知，解得，故雙曲線的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)Ax則，兩式相減，得，整理得．因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即．經(jīng)檢驗(yàn)，直線與雙曲線相交，所以直線的方程為.19.已知橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)不在上，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，記的面積為，的面積為，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓上點(diǎn)列方程求橢圓參數(shù)，即可得方程；