高中數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：概率與統(tǒng)計 綜合應(yīng)用（原卷版）

2019年高考數(shù)學(xué)（理）高頻考點名師揭秘與仿真測試

92概率與統(tǒng)計綜合應(yīng)用

【考點講解】

一、具本目標(biāo)：

（1）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，認識分布列刻畫隨機現(xiàn)象的重要性，會求

某些取有限個值的離散型隨機變量的分布列.

（2）了解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進行簡單的應(yīng)用.

（3）了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布,

并能解決一些簡單的實際問題.

（4）理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，

并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單問題.

（5）借助直觀直方圖認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

（6）了解回歸的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.

（7）了解獨立性檢驗的思想、方法及其初步應(yīng)用.

二、知識概述：

1..古典概型：具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概型：

（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）為有限個，且每次試驗只能出現(xiàn)其中的一個結(jié)果（基本事

件）；（2）每個試驗結(jié)果（基本事件）出現(xiàn)的可能性相等.

【溫馨提示】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：（1）列舉法；（2）樹狀圖法：,適合于較為復(fù)雜的問題中

的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法；（3）列表法：適用于多

元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化；（4）排列組合法：適用于

限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.

2.幾何概型的基本特性：

（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個；（2）每個試驗結(jié)果（基本事件）出現(xiàn)的可能性相等.

3.離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，

還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和

方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應(yīng)先求其概率分布然后代入相應(yīng)公式計算,

注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應(yīng).

求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求

出X取各個值時的概率.對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，其中超幾

何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).

4,二項分布的判斷與應(yīng)用.

①二項分布，實際是對n次獨立重復(fù)試驗.關(guān)鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復(fù)，且每次試驗只有

兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.

②當(dāng)隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)

果，此時可以把它看作獨立重復(fù)試驗，利用二項分布求其分布列.

5.判斷兩個變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：（1）利用散點圖直觀判斷；（2）將相關(guān)數(shù)據(jù)代

入相關(guān)系數(shù)廠的公式求出乙然后根據(jù)廠的大小進行判斷.求線性回歸方程時，在嚴(yán)格按照公式求解時，一

定要注意計算的準(zhǔn)確性.

【真題分析】

1.[2018年高考全國口卷理數(shù)】我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德

巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和“，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨

機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—

12141518

2.【2018年高考全國n卷理數(shù)】我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德

巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和“，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機

選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

12141518

3.【2018年高考全國I卷理數(shù)】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番.為

更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得

到如下餅圖:

第三產(chǎn)業(yè)收入

種植收入

5%|其他收入

養(yǎng)殖收入

建設(shè)前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B,新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

4.【2018年高考全國III卷理數(shù)】某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為P,各成員的支付方式相互

獨立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX=2.4,P（X=4）＜P（X=6）,則

P=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

5.【2018年高考浙江卷]設(shè)隨機變量^的分布列是

012

l-pj_P_

p

222

則當(dāng)p在（0,1）內(nèi)增大時，

A.D（a減小B.D（。）增大

C.D（。）先減小后增大D.D（。）先增大后減小

6.[2018年高考全國I卷理數(shù)】下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)

成，三個半圓的直徑分別為直角三角形A8C的斜邊BC,直角邊AB,AC.AABC的三邊所圍成的區(qū)域記

為I,黑色部分記為n,其余部分記為m.在整個圖形中隨機取一點，此點取自I,II,III的概率分別記

為Pl,P2,P3,貝U（）

A.pi=p2B.P1=P3

C.P2=P3D.P1=P2+P3

7.【2017年高考浙江卷】已知隨機變量。.滿足尸(。=1)=p“P(5=0)=1-p"，=1,2.若0<pi<p2<；,

則

A.E?)<E6),。?)<。(乙)B.E記J<E記2),

C.E?)>E?),。&)<。6)D.E@>E6),

8.【2017年高考山東卷理數(shù)】為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高V(單位：厘米)的關(guān)系，

從該班隨機抽取io名學(xué)生，根據(jù)?測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方

1010

程為9=%+6.已知2%=225,=1600,￡=4.該班某學(xué)生的腳長為24,據(jù)此估計其身高為

/=1;=1

()

A.160B.163C.166D.170

9.【2018年高考江蘇卷)某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選

中2名女生的概率為.

10.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險種的基本保費為。(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,

續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)01234>5

保費0.85。a1.25〃1.5。1.75〃2a

設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

一年內(nèi)出險次數(shù)01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

(I)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；

(II)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率;

(III)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

11.12016山東理19】甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活

動中，如果兩人都猜對，貝廣星隊”得3分；如果只有一個人猜對，貝I“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，貝I“星

隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是二，乙每輪猜對的概率是一；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響.各

43

輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求:

(1)“星隊”至少猜對3個成語的概率；(2)“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

12.12016全國乙理191某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購

進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買,則每個500

元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更

換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三

年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，”表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)若要求尸(X京必)0.5,確定"的最小值；

(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其一，應(yīng)選用哪個？

13.【2018年高考北京卷理數(shù)】電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立.

(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；

(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“媒=1”表示第左類電影得

到人們喜歡，“蔡=0”表示第％類電影沒有得到人們喜歡(k=l,2,3,4,5,6).寫出方差”2,

D4,。短的大小關(guān)系.

14.【2018年高考天津卷理數(shù)】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分

層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查.

(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢

查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.

15.【2017年高考全國I卷理數(shù)】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨

機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)

的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(〃Q2).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(〃-3b,〃+3cr)之外的零件數(shù),

求尸(X21)及X的數(shù)學(xué)期望;

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(〃-3b,〃+3b)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一

天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查.

(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

11611161116

經(jīng)計算得了=而\%=9.97,5ibXa—元r其中X,為抽取的

V16M口6i=i

第，個零件的尺寸,i=L2,…,16.

用樣本平均數(shù)元作為〃的估計值。，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計值G,利用估計值判斷是否需對當(dāng)

天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(。―36,。+36)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計〃和b(精確至!J0.01).

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布則尸(〃—3b<Z<〃+3b)=0.9974,

0.997416x0.9592,J0.008?0.09.

【模擬考場】

1.【2018年高考江蘇卷】已知5位裁判給某運動員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的

分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為■.

2.【2018年高考江蘇卷】某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選

中2名女生的概率為.

4.［2017年高考江蘇卷】記函數(shù)/(九)=,6+%-以的定義域為在區(qū)間［-4,5］上隨機取一個數(shù)X,則

XGD的概率是.

5.【2017年高考江蘇卷】某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100

件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽*取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品

中抽取件.

6.【2017年高考全國H卷理數(shù)】一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽

取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則QX=.

7.某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的,

出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修.每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為1.

3

(1)問該廠至少有多少名工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不少于

90%?

(2)已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資.每臺機器不出現(xiàn)

故障或出現(xiàn)故障能及時維修，就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤.若該廠現(xiàn)有2名工人.求

該廠每月獲利的均值.

8.有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽，由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次.根據(jù)年一齡將大眾評

委分為5組，各組的人數(shù)如下：

組別ABCDE

人數(shù)5010015015050

(1)為了調(diào)查評委對7位歌手的支持情況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組抽取

9.在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報H類志向的考生全.部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的

考試，成績分為A,B,C,D,E五個等級.某考場考生的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)

學(xué)與邏輯”科目的成績等級為B的考生有10人.

頻率t科目：數(shù)學(xué)與邏輯頻率科目：閱讀與表達

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