滬科版九年級數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破：相似三角形中的“一線三等角”模型（解析版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破08相似三角形中的“一線三等角”模型

D【知識梳理】

一線三等角指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，

也可以是銳角或鈍角?；蚪小癒字模型”。

三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形

形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：

當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往

是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

一般類型：

同側(cè)“一線三等角”異側(cè)”一線三等角”

、一【考點(diǎn)剖析】

ADRFQ

例1.如圖，直角梯形A8CD中，AB//CD,NASC=90。，點(diǎn)E在邊BC上，且——=—=-,AD=10,

ECCD4

求AA￡E＞的面積.

【答案】24.

【解析】ZABC=90,AB//CD,

NDCB=ZABC=9O'.

又..空二匡=工，:.AABEsgCD.

ECCD4

ZAEB=AEDC....絲=絲=3.

EDEC4

ZEDC+ZDEC=90,

ZAEB+ZDEC=90.ZAED=90.

在RAAED中，VAD=10,:.AE=6,ED=8.=24.

【總結(jié)】本題考查一線三等角模型的相似問題，還有外角知識、平行的判定等.

例2.已知：如圖，是等邊三角形，點(diǎn)小￡分別在邊6C、47上，//配'=60°.

(1)求證：叢ABDs叢DCE；

(2)如果力6=3,EC=Z求2c的長.

3

A

BDC

【分析】(1)AA3c是等邊三角形，得到/6=/C=60°,AB=AC,推出/的。=/切￡,得到△/初s4

DCE-,

(2)由△/初s△比瓦得到理=絲，然后代入數(shù)值求得結(jié)果.

ABDC

【解答】(1)證明：:△/勿是等邊三角形，

：.ZB=ZC=60°,AB=AC,

VAB+ZBAD=ZADE+ZCDE,/B=NADE=60°,

J.ZBAD^ACDE

:.叢ABMXDCE；

(2)解：由(1)證得即s^OCE,

.BD=CE

ABDC"

設(shè)CD=x,則BD=3-x,

2_

??3?~x-_--3，

3x

x=1或x=2,

；.%=1或%=2.

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用.

例3.已知，在等腰AABC中，AB=AC=10,以8C的中點(diǎn)。為頂點(diǎn)作NEDF=N3,分別交AB、AC于點(diǎn)

E、F,AE=6,AF=4,求底邊BC的長.

【答案】4A/6.

［解析］ZEDC=ZB+ZBED,

而ZEDC=ZEDF+ZFDC,

ZB+ZBED=ZEDF+ZFDC.

又ZEDF=ZB,：.ABED=ZFDC.

AB=AC,:.NB=/C.

RFRD

：.NEDBS^DCF.「.——=—.

DCCF

10-6_BD

:.DGBD=24.

DC-10-4

5L-：CD^DB^-BC,:.BC=4s/6.

2

【總結(jié)】本題是對“一線三等角”模型的考查.

【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共3小題）

1.（2020?安徽?校聯(lián)考三模）如圖，。為AABC的邊AC上一點(diǎn)，AB=BC=CD=4,ZDBC=2ZA,則

3D的長為（）

A.-2+2百B.-2-2A/5C.2+2有D.75-1

【答案】A

【分析】根據(jù)已知證明回ADB回回ABC,禾!］用登=當(dāng)代值求解即可.

ACBC

【詳角軍】團(tuán)AB=BC=CD=4,

回團(tuán)A二團(tuán)C,團(tuán)DBC二團(tuán)BDC,

釀DBC=2回A,

團(tuán)團(tuán)BDC二回A+R1ABD=2回A,

團(tuán)團(tuán)ABD二團(tuán)A二團(tuán)C,

團(tuán)團(tuán)ADB團(tuán)團(tuán)ABC,AD=BD

ABBD

團(tuán)---=---,

ACBC

4x

設(shè)BD=AD=x,則一=:，即Y+4尤-16=0,

x4

解得：%=—2+2石，w=—2—26（不符題意，舍去），

EIBD=-2+2A/5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，熟練掌握相似

三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

2.（2017?利辛縣一模）如圖，D、E、產(chǎn)分別是等腰三角形ABC邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，如果A8=AC,

BD=2,CD=3,CE=4,/FDE=NB,那么AF的長為（）

2

【分析】注意到△雙加與△CEO相似，禾IJ用相似比求出所，然后得出AF的長度.

【解答】解：??.AB=AC,

:.NB=NC,

；/FDE=NB,

：.ZBDF+ZBFD=ZBDF+ZEDC,

:./BFD=NCDE,

:.ABDFs叢CED,

?.?-B-F--B-D,

CDCE

?.?-B-F-21,

34

：.BF^1.5,

：.AF=AB-BF=AC-BF=AE+CE-BF=4.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.識別出圖形中的

“一線三等角”模型從而得出三角形相似是解本題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?瑤海區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，/54C=90°,AB=AC=4,點(diǎn)。是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不

與B,C重合），NAOE=45°,OE交AC于點(diǎn)E,下列結(jié)論：①△ADE與△ACD一定相似；②AABD

與△￡）可一定相似；③當(dāng)AO=3時(shí)，CE=L④0CCEW2.其中正確的結(jié)論有幾個(gè)？（）

4

A

BDC

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【分析】利用有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以判定①②正確；根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，

利用得出比例式求得AE的長，進(jìn)而得出③正確；利用判定③正確的結(jié)論，通過分析

的取值范圍即可得出④正確.

【解答】解：,.?/BACugO。，AB=AC=4,

.\ZB=ZC=45°

,5C=^AB2+AC2=4./^.

VZA￡)E=45°,

AZADE=ZC=45°.

'：ZDAE=ZCAD,

：.AADE^/\ACD.

.?.①正確；

VZAZ)￡=45°,

/.ZADB+Z￡DC=18O°-45°=135°.

"8=45°,

/.ZADB+ZBAD=1SO°45°=135°.

/BAD=ZEDC.

'：ZB=ZC,

：.AABD^^DCE.

.??②正確；

由①知：AADE^AACD,

.ADAC

AE"AD'

:.AD2=AE-AC.

：.AE=^~.

4

J.EC^AC-AE=4-且=

44

.?.③正確；

:點(diǎn)。是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合)，

：.0<AD<4.

垂線段最短,

.?.當(dāng)A。，8c時(shí)，4。取得最小值=2BC=2J5.

2.

.?.2A/2<AD<4.

\'AD2=AE*AC,

.A￡=ADi=Api.

AC4

-E<4.

'：EC^AC-AE=4-AD1,

4

：.0<CE^2.

...④正確.

綜上，正確的結(jié)論有：①②③④.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，利

用有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共2題）

4.（2022?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，矩形A8C。中，AB=8,AD=4,E為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE,

取BE的中點(diǎn)G,點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)尸，連接CR在點(diǎn)E從A到。的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)G的

運(yùn)動(dòng)路徑=,ACEF面積的最小值是.

【分析】連接20,取2。的中點(diǎn)M,A2的中點(diǎn)N,連接MN,因?yàn)镚N為0ABE的中位線，故G的運(yùn)動(dòng)路

徑為線段MN；過點(diǎn)尸作的垂線交AD的延長線于點(diǎn)”，貝幗EEH0SEBA,設(shè)AE=x,可得出回C￡R面積

與無的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值.

【詳解】解：連接B。，取的中點(diǎn)M,的中點(diǎn)N,連接MN,

aE為邊4。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從A到。的運(yùn)動(dòng)，G是8E的中點(diǎn)

回當(dāng)E在A點(diǎn)時(shí)，8E與A8重合，G與的中點(diǎn)N重合，

當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)，BE與BD重合,G與的中點(diǎn)M重合，

回￡在從A到。的運(yùn)動(dòng)過程中，為0ABE的中位線，

回例V=L〃=2.

2

故G的運(yùn)動(dòng)路徑=2,

過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)H,

00A=0H=9O°,0F￡B=9O",

SEFEH=90°-S\BEA=SEBA,

00FE/J30EBA,

HFHEEF

團(tuán)---------=----

AEABBE'

???G為班的中點(diǎn),

:.FE=GE=^BE,

HFHEEF1

團(tuán)----=---------=—

AEABBE2'

設(shè)AE=x,^\AB=8,AD=4,

^\HF=-x,EH=4,

DH=AE=x,

■■S^CEF=SDHFC+S&CED-^EHF

=—x(~^+8)+—x8(4-x)-—x4?—x

2

1

=—%9+4x-16-4x-x

4

——%2—X+16,

4

Y=_____=21

團(tuán)當(dāng)c1時(shí)，回CEP面積的最小值=—x4-2+16=15.

2x—4

4

故答案為：2,15.

【點(diǎn)睛】本題通過構(gòu)造K形圖，考查了三角形的中位線和相似三角形的判定與性質(zhì)，建立團(tuán)CEP面積與AE

長度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?安徽淮北?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形A8CD中，&4=回。=120。，AB=6、AO=4,點(diǎn)

E、廠分別在線段A。、DC1.（點(diǎn)E與點(diǎn)A、。不重合），若SBEF=120。，AE=x、DF=y,則y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式為

【答案】）=-！「+'1工

o3

【分析】根據(jù)題意證明△ABEs△DEF,列出比例式即可求得y關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式

【詳解】解：:媯二回。=120°,[?]BEF=120o,

*.ZAEB+/DEF=NDEF+NDFE=60°

.\ZAEB=ZDFE

「/\ABE^/\DEF

AEDF

,AB-DE

AB=6、AD=4,AE=x>DF=y,

.九=y

64-x

1、

y4-Z4x）

i9

即y二一x2+-x（0<x<4）

63

故答案為：尸f+裊

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)

鍵.

三.解答題（共5小題）

6.（2021秋?大觀區(qū)校級期中）己知矩形ABC。的一條邊4。=8,將矩形ABC。折疊，使得頂點(diǎn)B落在C。

邊上的尸點(diǎn)處.如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)。，連接AP、OP、OA.

OCOP

(1)求證:=

PDAP

(2)若OP與B4的比為1：2,求邊A8的長.

【分析】(1)利用“一線三直角”證明△0CPs/\PD4,繼而得出匹=2E

PDAP

(2)利用相似三角形的性質(zhì)求出PC的長，設(shè)則。C=無，AP=x,DP=x-4,利用勾股定理列

出方程，解方程即可求得A3的長度.

【解答】(1)證明：由折疊的性質(zhì)可知，ZAPO=ZB=90°,

：.ZAPD+ZOPC^90°,

?..四邊形ABCD為矩形，

：.ZD=ZC=9Q°,

/.ZPOC+ZOPC^90°,

：./APD=NPOC,

：./\OCP^/\PDA,

.0C=OP.

"'PDAP'

(2)解：,:△OCPS^PDA,

?.?-P-C=-O-P-,

ADPA

：OP與必的比為1：2,AD=8,

.PC1

??----=---，

82

：.PC=4,

設(shè)貝|￡)C=x,AP=x,DP=x-4,

在RtZkAP。中，AP2=AD1+PD2,

.*.X2=82+(x-4)2,

解得：x=10,

：.AB=10.

【點(diǎn)評】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊是一種軸對稱，

折疊前后的圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?揚(yáng)山縣模擬）如圖1,在四邊形ABCD中，AC是對角線，且A8=AC.尸是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連

接ARDF,。尸交AC于點(diǎn)E,其中ND4尸=90°,ZAFD=ZB.

(1)求證：AC-EC=BF?CF；

(2)若AB=AC=10,BC=16.

①如圖2,DF//AB,求空的值;

AB

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出ZFCE,再根據(jù)NAFC=ZAFE+ZEFC=ZABF+ZFAB

得出證△ABf's△廠"，根據(jù)線段比例關(guān)系即可得出結(jié)論；

（2）①證得BF=^=^=竽，再根據(jù)CF=BC-BF4，最后利用平行線分線段成

比例得出里0得出結(jié)論即可；

ABBC

②過點(diǎn)A,。分別作AMLBC,DNA.FC,垂足分別為M,N,過點(diǎn)A作AGLON于點(diǎn)G,根據(jù)三角函數(shù)

得出tan/AFDM=tanB=與，證△人以口根據(jù)線段比例關(guān)系分別求出CT和ON的值即可求

AF4

出△OCF的面積.

【解答】（1）證明：：AB=AC,

，ZABF=ZFCE,

'：ZAFD=ZB,ZAFC=ZAFE+ZEFC=ZB+ZFAB,

:./EFC=/FAB,

.?.△FABsAEFC,

?.?-A-B--B-F-,

FCCE

即AB-EC=BF?CF；

(2)解：@"：DF//AB,

：.ZBAF=NAFE,

：.ZBAF=ZACB,

又：/ABF=/CBA,

：./\FAB^>/\ACB,

?.?-A-B--B-F-,

BCAB

?kAB210025

BC164

90

???CF=BC-BF*，

4

\'DF//AB,

39

?EF=CF=39.

''AB"BC=16=64,

②如圖，過點(diǎn)A,。分別作AMLBC,DNLFC,垂足分別為M,N,過點(diǎn)A作于點(diǎn)G,

在△ABC中，AB^AC,AM±BC,

...BM=CM=8,則AM=7AB2-BM2=6,

.DAM3

BM4

?：/AFD=/B,ZDAF=90°,

.AD3

tan/AFD=T^T=tanB二丁

AF4

VZAMN=ZGNM=ZAGN=90°,

???四邊形MNGA是矩形，

:?GN=AM=6,ZMAG=90°,

又???/剛。=90°,則NE4M+NMG=ND4G+NE4G=90°,

：.ZFAM=ZDAG.

又???NAME=NAGO=90°,

MFAMsADAG,

?.?-A-G--A-D---3-,

AMAF4

則AG”那

42

g

???MN=AG=］，

q7

貝必二選雁8號至，

?：DF=CD,

：.CF=2CN=7,

：.FM=CM-CF=T,

由△NWS/\D4G,

寸方一市一了

；.DG=^,

4

：.DN=DG+GN=2+6="

44

；?SADCF=IcF。DN=工x7義紅=^^.

2248

【點(diǎn)評】本題主要考查相似形綜合題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例等知識

是解題的關(guān)鍵.

8.(2017秋?固鎮(zhèn)縣月考)已知：如圖.△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。、￡分別在邊BC、AC±,ZADE=60°

(1)求證：AABDSADCE；

(2)如果，AB=3,EC=2,求。C的長.

3

【分析】(1)ZXABC是等邊三角形，得到NB=/C=60°,AB=AC,推出N8A￡>=NCDE,得到△ABO

s&DCE；

(2)由得到里=S且，然后代入數(shù)值求得結(jié)果.

ABDC

【解答】解：（1）「△ABC是等邊三角形，

：.ZB=ZC=60°,AB=AC,

"：ZB+ZBAD=ZADE+ZCDE,ZB=ZADE=60°,

：.ZBAD=ZCDE

：.AABD^/\DCE；

（2）由（1）證得

.BD=CE

"ABDC，

設(shè)CD=x,則BD=3-x,

2

?3-x3

3x

；.x=l或尤=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l或x=2是原分式方程的解，

或。C=2.

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用.

9.（2022秋?安徽滁州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在AABC中，CD,至于。，8ELAC于E,試說明：

--------------

（1）AABE?AACD

（2）AD-BC^DE-AC

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）直接根據(jù)相似三角形的判定證明即可；

AJ7AR

（2）首先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出—=進(jìn)而證明△AD￡I30ACB,最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

ADAC

可證明.

【詳解】解：（1）EICZM4B于D,8EHAC于E,

a3AEB=EIAOC=90°,

在AABE和△AC￡）中

ZADC=ZAEB=90°

ZA=ZA

配L43￡fflACD；

（2）回石