滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破：相似三角形中的“A”字模型（4種題型）（原卷版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破07相似三角形中的“A”字模型（4種題型）

一【知識(shí)梳理】

（1）ZADE=/B,⑵NADE=NC,

'/ADAE

.AD_AED/AC~AB

/ABAC

/__.工/

BAE=—

AE=4圖1rC4

【考點(diǎn)剖析】

題型一：直接利用“A”字模型解題

例1.如圖，E是EIA8C。的邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE與AD相交于點(diǎn)F,4E=LAB=2,BC=3,那么AF=.

/AZD

BC

例2.（2022秋?靜安區(qū)期末）在△/8C中，AB=6,M=5,點(diǎn)小￡分別在邊/反ACh,當(dāng)49=4,ZADE=

/C時(shí)，DE=

BC

題型二：添加輔助線構(gòu)造“A”字模型解題

例3.如圖，在△ABC中，ZC=90°,BC=2,AB=2遮，點(diǎn)。在邊AC上，CD：AD=1：3,聯(lián)結(jié)BD,點(diǎn)E

在線段B。上，如果N8CE=/4那么CE=_

AB

例4.如圖，己知AABC中，AD、段'相交于G,BD:DC=3:1,AG:GD=1:2.求BG:GE的值.

A

例5.如圖，在AABC中，點(diǎn)，在線段8c上，ZBAD=75°,ZG4D=30°,AD=2,

BD=2DC,求4C的長(zhǎng).

題型三："AX"字型解題

例6.如圖，AABC中，DE//BC,AE=3,DE=4,DF=2,CF=5,求EC的長(zhǎng).

例7.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,對(duì)角線AC、80交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AB上，且EO〃BC,已知

AD=3,BC=6.求EO的長(zhǎng).

題型四：雙A字模型

例8.如圖，AB1BD,CDLBD,垂足分別為2、D,AC和3。相交于點(diǎn)E,EFVBD,垂足為F.求證:

111

--------1----------------

ABCDEF

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一.選擇題（共7小題）

1.（2020秋?大觀區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知。、E分別是△ABC的AB,AC邊上的點(diǎn)，DE//BC,且

S四邊形DBCE=1：8,那么AE：AC等于（）

A.1：9B.1：3C.1：8D.1：2

2.（2021秋?岳西縣期末）如圖，在△ABC中，C￡＞平分/AC8,交A8于點(diǎn)。，過(guò)。作BC的平行線交AC

于若BC=3,AC=2,則（）

3.（2021秋?蕭縣期末）如圖，Rt^ABC中，ZC=90°，點(diǎn)。在AC上，ZDBC=ZA.若AC=4,sinA=

旦，則2。的長(zhǎng)度為（）

5

445

4.（2021秋?亳州期末）如圖，在△A8C中，點(diǎn)。、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，連接。E,下列條件不能使

得△ABC與△AOE相似的是（）

A.ZADE=ZACBB.DE//BCC.嶇=嶇D.幽=幽

DEBCACAB

5.（2021秋?全椒縣期末）如圖，樹(shù)在路燈。的照射下形成影子AC,已知路燈高尸。=5加，樹(shù)影AC=

3m,樹(shù)AB與路燈。的水平距離AP=4.5〃z,點(diǎn)C、4、尸在同一水平線上，則樹(shù)的高度AB長(zhǎng)是（）

9in

A.3mB.2mC.—mD.—―m

33

6.（2019秋?桐城市期末）如圖，已知A3、CD、跖都與3。垂直，垂足分別是8、D、F,且AB=2,CD

452

7.（2022?蕭縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P,滿足NPBC=/PC4=a,

①NA4c=90°,則必有NAPC=90°；

②若A2=AC.則必有尸如2=出.產(chǎn)。，

對(duì)于這兩個(gè)結(jié)論，下列說(shuō)法正確的是（）

A.①對(duì)，②錯(cuò)B.①錯(cuò)，②對(duì)C.①，②均對(duì)D.①，②均錯(cuò)

二.填空題（共3小題）

8.（2022秋?蒙城縣月考）如圖，小穎同學(xué)用自制的直角三角形紙板。跖測(cè)量樹(shù)的高度A8,她調(diào)整自己的

位置，設(shè)法使斜邊。尸保持水平，并且邊OE與點(diǎn)3在同一直線上，已知紙板的兩條邊QE=8cmDF=

10cm,測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5/M,CD—Sm,則樹(shù)高AB=m.

9.（2023?亳州模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,8c=4,點(diǎn)尸是邊A8上的一點(diǎn)，MN

是線段CP的垂直平分線且分別交AC、BC于點(diǎn)M、N.

（1）若MN〃AB,則MN=；

（2）若MN經(jīng)過(guò)的某一頂點(diǎn)，則MN=.

10.（2021春?安慶期中）有一張矩形紙片ABC。，AO=9,48=12,將紙片折疊使A、C兩點(diǎn)重合，那么折

痕長(zhǎng)是.

三.解答題（共5小題）

11.（2022秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，D、E分別是△ABC的邊43、AC上的點(diǎn)，DE//BC,AD=2,BD=

3,DE=4,求的長(zhǎng).

A

A

B

12.(2022秋?瑤海區(qū)校級(jí)期中)如圖，在△ABC中，DE//BC,EF//AB,AE=2CE,AB=12,BC=15.求

AD長(zhǎng)及四邊形BDEF的周長(zhǎng).

13.（2019秋?淮北期中）如圖，正方形48cD,ZEAF=45°.交BC、CD"、F,交BD于H、G.

(1)求證：AD2=BG-DH；

(2)求證：CE=?DG；

(3)求證：EF=42HG.

備用圖

14.(2022?安慶一模)如圖，在△A8C中，點(diǎn)。、E、尸分別在邊8C、AB.CA上，且OE〃CA,DF//AB.

(1)若點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，且求證：DE=DF；

(2)若AD_LBC于。，且3。=。，求證：四邊形AEZ小是菱形;

(3)