幾何作圖題-2023年北京中考復(fù)習試題分類匯編（解析版）

專題20幾何作圖題

解答題（共34小題）

1.（2022?北京）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明.

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180。.

已知：如圖，NABC,求證：Z^+ZS+ZC=180°.

方法一方法二

證明：如圖，過點/作Z）E//8c.證明：如圖，過點C作CD///8.

A

:./B=/BAD,/C=/CAE,

???ABAD+ABAC+/CAE=180。，

ZB+ABAC+ZC=1SO°；

方法二：vCD//AB,

:.ZA=N4CD,/B+/BCD=180。，

...ZB+ZACB+ZA=180°.

2.（2021?北京）《淮南子？天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點N

處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點3,使2,4兩點間的距離為10步（步是古代的一種

長度單位），在點3處立一根桿；日落時，在地面上沿著點8處的桿的影子的方向取一點C,使C,8兩

點間的距離為10步，在點C處立一根桿.取C4的中點。，那么直線。2表示的方向為東西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點4,B,C的位置如圖所示.使用直尺和圓規(guī)，在圖

中作C4的中點。（保留作圖痕跡）；

（2）在如圖中，確定了直線D8表示的方向為東西方向.根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直

線C4表示的方向為南北方向，完成如下證明.

證明：在A43C中，BA=_BC_,。是C4的中點，

CA1DB（）（填推理的依據(jù)）.

?.■直線表示的方向為東西方向，

直線CA表示的方向為南北方向.

CALDB（三線合一），

?直線。3表示的方向為東西方向,

直線CA表示的方向為南北方向.

故答案為：BC,三線合一.

3.（2020?北京）已知：如圖，AABC為銳角三角形，AB=AC,CD//AB.

求作：線段8尸，使得點尸在直線CD上，且乙43尸=工/氏4c.

2

作法：①以點4為圓心，/C長為半徑畫圓，交直線CD于C,尸兩點；

②連接8尸.

線段8尸就是所求作的線段.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：?.?CD//4B,

:.ZABP=_ZBPC_.

AB=AC,

.,.點2在04上.

又：點C,尸都在O/上，

:./BPC=；NBAC（）（填推理的依據(jù)）.

:.ZABP=-ZBAC.

2

【詳解】解：（1）如圖，即為補全的圖形;

ZABP=NBPC.

?「AB=AC,

.,.點5在。力上.

又???點C,P都在。Z上，

ZBPC=-ZBAC（同弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半），

2

:.ZABP=-ZBAC.

2

故答案為：ZBPC,同弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半.

4.（2018?北京）下面是小東設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：直線/及直線/外一點尸.

求作：直線尸0,使得尸。///.

作法：如圖，

①在直線/上取一點作射線尸以點N為圓心，4P長為半徑畫弧，交尸/的延長線于點2；

②在直線/上取一點C（不與點/重合），作射線3C,以點C為圓心，C8長為半徑畫弧，交的延長線

于點。；

③作直線尸0.所以直線P。就是所求作的直線.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：???AB=_AP_,CB=,

:.PQ//l（）（填推理的依據(jù)）.

（2）證明：vAB=AP,CB=CQ,

PQHl（三角形中位線定理）.

故答案為：AP,CQ,三角形中位線定理；

5.（2022?海淀區(qū)一模）《元史?天文志》中記載了元朝名天文學(xué)家郭守敬主持的一次大規(guī)模觀測，稱為“四

海測驗”、這次觀測主要使用了“立桿測影”的方法，在二十七個觀測點測量出的各地的“北極出地”與現(xiàn)

在人們所說的“北線”完全吻合，利用類似的原理，我們也可以測量出所在地的緯度.如圖1所示.

①春分時，太陽光直射赤道，此時在M地直立一根桿子在太陽光照射下，桿子會在地面上形成

影子，通過測量桿子與它的影子的長度，可以計算出太陽光與桿子〃N所成的夾角a；

②由于同一時刻的太陽光線可以近似看成是平行的.所以根據(jù)太陽光與桿子所成的夾角a可以推算得

到M地的緯度，即ZMOB的大小.

（1）圖2是①中在"地測算太陽光與桿子所成夾角a的示意圖.過點/作的垂線與直線CD交

于點。，則線段M0可以看成是桿子在地面上形成的影子.使用直尺和圓規(guī)，在圖2中作出影子M0

（保留作圖痕跡）；

（2）依據(jù)圖1完成如下證明.

證明：???N2//C。，

ZMOB=_AOND_=a（）（填推理的依據(jù)）

二."地的緯度為a.

【詳解】（1）解：如圖2中，線段MQ即為所求;

、、太陽光

祚、

、

a、、

/'

（I

圖2

（2）證明：VABHCD,

AMOB=ZOND=a（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

地的緯度為a.

故答案為：ZOND,兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

6.（2022?朝陽區(qū)一模）中國古代數(shù)學(xué)家李子金在《幾何易簡集》中記載了圓內(nèi)接正三角形的一種作法“以

半徑為度，任用圓界一點為心，作兩圓相交，又移一心，以交線為界，再作一交圓，其三線相交處為一角，

其兩線相交處為兩角，直線界之亦得所求”.

由記載可得作法如下：

①作?！?，在0M上取一點N,以點N為圓心，為半徑作ON,兩圓相交于/,8兩點，連接；

②以點3為圓心，43為半徑作OB,與OM相交于點C,與ON相交于點。；

③連接/C,AD,BC,BD.

AABC,AA8。都是圓內(nèi)接正三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接AN,MN,BM.

■：MA=MN=NA,

:.\AMN為等邊三角形.

ZAMN=60°.

同理可得，ZBMN=60°.

ZAMB=120°.

ZACB=60°（）（填推理的依據(jù)）.

???BA=BC,

AABC是等邊二角形.

同理可得，A48D是等邊三角形.

【詳解】⑴解：圖形如圖所示:

（2）證明：連接/M,AN,MN,BM.

■：MA=MN=NA,

:2MN為（等邊三角形）.

ZAMN=60°.

同理可得，ZBMN=60°.

ZAMB=120°.

/.NACB=60°（同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半），

???BA=BC,

AABC是等邊三角形.

同理可得，A48。是等邊三角形.

故答案為：等邊三角形，同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半.

7.（2022?順義區(qū)一模）已知：如圖，乙408和射線PN.

求作：射線尸使得NMPN=2N4OB.

作法：①在射線08上任取一點C,以點C為圓心，OC的長為半徑畫弧，交。4于點。；

②以點尸為圓心，OC的長為半徑畫圓，交射線PN的反向延長線于點E；

③以點E為圓心，OD的長為半徑畫弧，在射線尸N上方，交O尸于點〃；

④作射線.

所以射線尸M就是所求作的射線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接CD,EM.

PM=PE=CD=CO,EM=OD.

NMEP=AD0C（_SSS_）（填推理依據(jù)）.

AMEP=ADOC.

又?：4MPN=2ZMEP（）（填推理依據(jù)）.

.AMPN=1AAOB.

(2)證明：連接CD,EM.

PM=PE=CD=CO,EM=OD.

NMEP=ADOC(SSS),

ZMEP=ZDOC.

又?：NMPN=2NMEP(圓周角定理),

NMPN=2ZAOB.

故答案為：SSS,圓周角定理.

8.（2022?通州區(qū)一模）已知：如圖，AX8C為銳角三角形，AB=AC.

求作：點尸，使得=MZAPC=ABAC.

作法：①以點/為圓心，AB長為半徑畫圓；

②以點3為圓心，8C長為半徑畫弧，交OA于點、D（異于點C）；

③連接DA并延長交。力于點尸.

所以點尸就是所求作的點.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接尸C.

AB=AC,

.,.點C在O/上.

-：DC=DC,

ZDPC=|NDAC（同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）,

由作圖可知，BD=BC,

ADAB==-ZDAC.

2

ZAPC=ZBAC.

【詳解】（1）解：圖形如圖所示:

p

\/

(2)證明：連接PC.

AB=AC,

.?.點。在。4上.

'：DC=DC,

ZDPC=-ZDAC(同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半)，

2

由作圖可知，BD=BC,

ZDAB=ABAC=-ZDAC.

2

ZAPC=ZBAC.

故答案為：圓周角定理，ABAC.

9.(2022?豐臺區(qū)一模)《周髀算經(jīng)》中記載了一種確定東南西北方向的方法.大意是：在平地上點/處立

一根桿，記錄日出時桿影子的長度并以點工為圓心，以N5為半徑畫圓，記錄同一天日落時桿影子的

痕跡與此圓的交點C,那么直線C8表示的方向就是東西方向，NA4c的角平分線所在的直線表示的方向

就是南北方向.

(1)上述方法中，點/,B,C的位置如圖所示，使用直尺和圓規(guī)，在圖中作NB4C的角平分線(保

留作圖痕跡)；

(2)在圖中，確定了直線C8表示的方向為東西方向，根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線

4D表示的方向為南北方向，完成如下證明.

證明：?.?點8,C在。。上，

AB=__AC__.

A43C是等腰三角形.

???40平分/A4c,

AD1BC（）（填推理的依據(jù)）.

?.?直線C8表示的方向為東西方向，

直線AD表示的方向為南北方向.

【詳解】（1）解：如圖，射線即為所求;

（2）證明：?.?點8,C在OO上，

/.AB=AC.

A43c是等腰三角形.

平分/A4C,

AD±BC（三線合一）.

?.■直線CB表示的方向為東西方向，

直線AD表示的方向為南北方向.

故答案為：AC,三線合一.

10.（2022?房山區(qū)一模）已知：如圖，點M為銳角N/尸8的邊尸N上一點.

求作：NAMD,使得點D在邊PB上,且ZAMD=2ZP.

作法：①以點M為圓心，兒。長為半徑畫圓，交尸/于另一點C,交PB于點、D；

②作射線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：?./、C、。都在OM上，

/P為C。所對的圓周角，NCW為CD所對的圓心角,

4P=；NCMD（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半）（填推理依

據(jù)）.

ZAMD=2ZP.

（2）證明：?.1、C、。都在OM上，

NP為無所對的圓周角，NCMD為①所對的圓心角，

Z.P=~Z.CMD（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半），

2

/AMD=2ZP.

故答案為：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半.

11.（2022?平谷區(qū)一模）有趣的倍圓問題：校園里有個圓形花壇，春季改造，負責該片花園維護的某班同

學(xué)經(jīng)過協(xié)商，想把該花壇的面積擴大一倍.他們在圖紙上設(shè)計了以下施工方案：

①在。。中作直徑N2,分別以/、2為圓心，大于工/3長為半徑畫弧，兩弧在直徑上方交于點C,

2

作射線0c交。。于點。；

②連接5D,以。為圓心5。長為半徑畫圓；

③大。。即為所求作.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成如下證明：

證明：連接。、CB

在AA8C中，???CA=CB,。是的中點，

:.C01AB（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據(jù)）

設(shè)小。半徑長為r

OB=OD,ZDOB=90°

BD=41r

S大°。=兀（也rY=----S小00.

在AA8C中，???CA=CB,。是N2的中點，

COYAB（等腰三角形的三線合一），

設(shè)小。半徑長為廠，

OB=OD,ADOB=90°,

BD=V2r,

$大。。=初血廳=2S小oo-

故答案為：等腰三角形的三線合一，2.

12.（2022?北京一模）已知：如圖，直線/,和直線外一點尸.

求作：過點尸作直線PC,使得PC///,

作法：①在直線/上取點O,以點。為圓心，。尸長為半徑畫圓，交直線/于N,B兩點;

②連接/尸，以點8為圓心，N尸長為半徑畫弧，交半圓于點C；

③作直線PC.

直線PC即為所求作.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：連接AP.

BC=AP,

BC=_PA_.

:.NABP=NBPC（）（填推理依據(jù)）.

【詳解】解：（1）如圖，直線尸C即為所求作.

BC=AP,

,:.BC=AP,

AABP=ABPC（同弧或等弧所對的圓周角相等），

直線尸C//直線/.

故答案為：PA,同弧或等弧所對的圓周角相等.

13.（2022?門頭溝區(qū)一模）下面是小明設(shè)計“作圓的一個內(nèi)接矩形，并使其對角線夾角為60。”尺規(guī)作圖

的過程.

已知：如圖，。。.

求作：矩形/BCD,使矩形4BCD內(nèi)接于。。，對角線/C與的夾角為60。.

作法：①作。。的直徑/C;

②以點/為圓心，長為半徑作弧.交直線/C上方的圓于點8；

③連接BO并延長交。。于點D■.

④順次連接/8、BC、C￡）和D4.

四邊形ABCD就是所求作的矩形.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：?.?點/,C都在。。上，

.-.OA=OC,OB=OD.

.?.四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（填推理依據(jù)）.

又???NC是。。的直徑，

AABC=90°（）（填推理依據(jù)），

四邊形/2CA是矩形.

又AB=AO=.

.-.NABO是等邊三角形，

ZAOB=60°,

四邊形/BCD是所求作的矩形.

【詳解】（1）解：如圖，四邊形N8CD即為所求.

-------D

（2）證明：?.?點C都在。。上,

OA=OC,OB=OD,

二.四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），

又；4c是QO的直徑，

:"ABC=90°（直徑所對的圓周角是直角）（填推理依據(jù)），

四邊形/BCD是矩形.

又；AB=AO=OB,

KABO是等邊三角形，

ZAOB=60°,

四邊形ABCD是所求作的矩形.

故答案為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，直徑所對的圓周角是直角，08.

14.（2022?海淀區(qū)二模）已知：如圖1,在A45C中，AB=AC,。為邊/C上一點.

求作：點尸，使得點尸在射線3。上，且N/PB=N4CB.

作法：如圖2,

①以點/為圓心，48長為半徑畫弧，交2。的延長線于點E,連接

②;

點尸就是所求作的點.

⑴補全作法，步驟②可為_6_（填“a”或“6”）；

a：作NR4E的平分線，交射線2。于點尸

b：作NC4E的平分線，交射線AD于點尸

（2）根據(jù)（1）中的選擇，在圖2中使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（3）由①可知點8,C,E在以點N為圓心，N8長為半徑的圓上，所以NCBE=LNC4E.其依據(jù)

2

是—.

由②可得/尸=-Z,所以NP4D=ZCBE.

2

又因為NADP=ZBDC,可證ZAPB=NACB.

圖1圖2

【詳解】解：⑴作NC4E的平分線，交射線于點尸,

故選：b；

（3）由①可知點3,C,￡在以點/為圓心，N8長為半徑的圓上，所以=其依據(jù)是在

2

同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半.

由②可得NPAD=-NCAE,所以ZPAD=ZCBE.

2

又因為NADP=ZBDC,可證NAPB=NACB.

故答案為：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半；CAE.

15.（2022?西城區(qū)二模）已知：如圖，KABC.

求作：點。（點。與點8在直線/C的異側(cè)），使得D4=DC,且44"3+/48。=180。.

作法：①分別作線段/C的垂直平分線4和線段3c的垂直平分線/2,直線4與4交于點O；

②以點。為圓心，的長為半徑畫圓，。。與4在直線5c上方的交點為D；

③連接。/,DC.

所以點。就是所求作的點.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接CM,OB,OC.

?.?直線垂直平分/C,點。，。都在直線4上，

.-.OA=OC,DA=DC.

?.?直線右垂直平分8C，點o在直線4上，

OB=.

OA=OB=OC.

.?.點/,B,C都在。。上.

?.,點。在。。上,

AADC+AABC=.()(填推理的依據(jù))

（2）完成下面的證明.

證明：連接CM,OB,OC.

?.,直線/］垂直平分4C,點。，。都在直線4上，

OA=OC,DA=DC.

?.,直線4垂直平分8C,點o在直線4上，

OB=OC.

OA=OB=OC.

.?.點4,B,C都在OO上.

?.,點。在。。上，

ZADC+ZABC=180°（圓內(nèi)接四邊形的對角互補）.

16.（2022?昌平區(qū)二模）己知：如圖1,AMON.

求作：ABAD,使/BAD=/MON.

下面是小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.

作法，如圖2:

①在（W上取一點以工為圓心，為半徑畫弧，交射線于點2;

②在射線ON上任取一點C,連接8C,分別以2,C為圓心，大于‘8C為半徑畫弧，兩弧交于點E,

2

F,作直線斯，與BC交于點。；

③作射線NR4。即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下列證明.

證明：廠垂直平分BC,

:._BD_=DC.

■：AO=AB,

：.AD//OC（）（填推理依據(jù)）.

圖1圖2

（2）證明：垂直平分2C,

.-.BD=DC,

???AO=AB,

：.ADIIOC（三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）,

/BAD=AMON.

故答案為：BD,三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

17.（2022?朝陽區(qū)二模）已知：線段N8.

求作：AABC,使得乙4=90。，ZC=30°.

作法：①分別以點/,8為圓心，N8長為半徑畫弧，在直線48的一側(cè)相交于點D；

②連接AD并延長，在2。的延長線上取一點C,使得CD=AD；

③連接/C.

KABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接4D.

?/AB=BD=AD,

是等邊三角形（三邊相等的三角形是等邊三角形）（填推理的依據(jù)）.

..../B=AADB=60°.

???CD=BD,

CD=AD.

.ZDAC=ZACB.

:.NADB=NDAC+NACB（）（填推理的依據(jù)）

=2ZACB.

:.ZACB=30°.

...ABAC=90°.

A

【詳解】（1）解：如圖，A45C即為所求;

D

B

（2）證明：連接40.

AB=BD=AD,

.?.ZU2D是等邊三角形（三邊相等的三角形是等邊三角形），

ZB=ZADB=60°.

CD=BD,

CD=AD.

ADAC=NACB.

ZADB=ZDAC+ZACB（三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

=2NACB.

ZACB=30°.

:.ZBAC=90°.

故答案為：三邊相等的三角形是等邊三角形，三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

18.（2022?豐臺區(qū)二模）已知：如圖，射線

求作：\ABC,使得N/J5c=90。，ABAC=30°.

作法：與在射線上任取一點。（不與點N重合）；

②以點。為圓心，CM長為半徑畫弧，交射線于4,C兩點；

③以點C為圓心，C。長為半徑畫弧，交就于點8；

④連接BC.

AABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：連接。8.

在O。中，OB=OC.

在OC中，OC=BC.

OB=OC=BC.

\OCB是等邊三角形.

AACB=60°.

■：AC^QO的直徑，

ZABC=90°()(填推理的依據(jù)).

:.ZACB+ZBAC=90°.

，NA4c=30°.

（2）完成下面的證明：

證明：連接08,

在0。中，OB=OC,

在OC中，OC=BC,

OB=OC=BC,

AOC3是等邊三角形，

NACB=60°,

??,ZC是。。的直徑，

ZABC=90°（直徑所對的圓周角為直角）,

:.ZACB+/B4c=90°,

:.ZBAC=30°.

故答案為：90,直徑所對的圓周角為直角.

19.（2022?東城區(qū)一模）已知:線段48.

求作：RtAABC,使得ABAC=90°,ZC=30°.

作法：

①分別以點N和點3為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點。；

②連接8。，在的延長線上截取。C=；

③連接/C.

則NABC為所求作的三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接NO.

,/AB=AD—BD,

.?.ZUM為等邊三角形（三邊相等的三角形是等邊三角形）.（填推理的依據(jù)）

NB=AADB=60°.

???CD=BD,

AD=CD

:.ZDAC=（）.（填推理的依據(jù)）

AADB=NC+ADAC=60°.

/.ZC=30°.

在A45C中，

ABAC=180。—（N5+ZC）=90°.

AB

【詳解】⑴解：圖形如圖所示：

（2）證明：連接AD.

,/AB=AD—BD,

為等邊三角形（三邊相等的三角形是等邊三角形）.（填推理的依據(jù)）》

NB=ZADB=60°.

???CD=BD,

AD=CD

:.ZDAC=ZDCA（等邊對等角）.（填推理的依據(jù)）

NADB=ZC+ZDAC=60°.

:.ZC=30°.

在NABC中,ABAC=180°-（ZS+ZC）=90°.

故答案為：三邊相等的三角形是等邊三角形，NDCA,等邊對等角.

20.（2022?東城區(qū)二模）如圖，在A4BC中，AB=AC.

求作：直線4D,使得4D//8C.

小明的作法如下：

①以點/為圓心、適當長為半徑畫弧，交氏4的延長線于點交線段/C于點尸；

②分別以點E,尸為圓心、大于工跖的長為半徑畫弧，兩弧在NE4C的內(nèi)部相交于點。;

2

③畫直線4D.

直線4。即為所求，

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：由作法可知：4。平分NE4C.

NEAD=NDAC（角平分線的定義）.（填推理的依據(jù)）

AB=AC,

ZB=ZC

???ZEAC=NB+NC,

/EAC=2/B.

???NEAC=2ZEAD,

ZEAD=

AD//BC（）.（填推理的依據(jù)）

A

B------------------------、C

證明：由作法可知：/Q平分NE4C,

/.ZEAD=ZDAC（角平分線的定義）,

???AB=AC,

/B=/C,

???/EAC=/B+/C,

ZEAC=2ZB.

???/EAC=2ZEAD,

ZEAD=/B,

：.ADIIBC（同位角相等，兩直線平行）.

故答案為：角平分線的定義；Z5,同位角相等，兩直線平行.

21.（2022?順義區(qū)二模）已知：如圖1,直線/和/外一點尸.

求作：直線P。，使得尸。///.

作法：①在直線/上任取一點工,連接尸/,以點/為圓心，P4的長為半徑畫弧，交直線/于點2；

②分別以點尸，2為圓心，尸/的長為半徑畫弧，兩弧交于點。（不與點/重合）；

③作直線尸。.

所以直線尸0就是所求作的直線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接2Q.

?:AB=BQ=PQ=P4,

.?.四邊形尸是菱形,（一）（填推理依據(jù)）.

:.PQ//AB（）（填推理依據(jù)）.

即PQ!H.

圖2

（2）完成下面的證明.

證明：連接20.

AB=BQ=PQ=PA,

.?.四邊形尸是菱形（四邊都相等的四邊形為菱形）.

:.PQHAB（菱形的兩組對邊分別平行），

即PQUI.

22.（2022?門頭溝區(qū)二模）下面是小宇設(shè)計的“作圓的內(nèi)接正方形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：oo.

求作：。。的內(nèi)接正方形.

作法：如圖.

①作直徑AB；

②分別以點8為圓心，以大于的同樣長為半作弧，兩弧交于M,N兩點;

2

③作直線交。。于點C,D；

④連接/C,BC,AD,BD.

所以四邊形4C2。就是所求作的正方形.

根據(jù)小宇設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：在。中，

,/MA=MB,NA=NB,

MNVAB.

ZAOC=ZCOB=/BOD=NDOA=90°.

AC=BC=BD=AD（相等的圓周角所對的弦相等）（填推理的依據(jù)）.

四邊形/C8。是菱形（—）（填推理的依據(jù)）.

AB>OO的直徑，

.?.乙4。8=90。（）（填推理的依據(jù)）.

四邊形NCAD是正方形.

【詳解】解：（1）如圖，正方形/BCD即為所求.

（2）在。中，-：MA=MB,NA=NB,

MNLAB.

NAOC=ZCOB=ZBOD=Z.DOA=90°.

AC=BC=BD=AD（相等的圓心角所對的弦相等），

，四邊形/CAD是菱形（四邊相等的四邊形是菱形），

是OO的直徑，

:.AACB=90°（直徑所對的圓周角是90。），

四邊形/CAD是正方形.

故答案為：相等的圓心角所對的弦相等，四邊相等的四邊形是菱形，有一個角是直角的菱形是正方形.

23.（2022?石景山區(qū)二模）已知：如圖，在A45C中，AB=AC.

求作：A42c的角平分線N7.

作法：①分別以點8,C為圓心，長為半徑作弧，兩弧在8C下方相交于點。；

②連接交BC于點、T.所以就是所求作的線段.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接8。，CD.

AB=BD=DC=CA,

二.四邊形/5DC是菱形（—）（填推理的依據(jù)）.

NBAD=Z

:.AT為AABC的角平分線.

A

（2）完成下面的證明.

證明：連接20,CD,

■：AB=BD=DC=CA,

二.四邊形/8DC是菱形（四條邊都相等的四邊形為菱形）.

ABAD=ACAD,

:.AT為AABC的角平分線.

24.（2022?平谷區(qū)二模）如圖，/市氣象臺預(yù)報：一沙塵暴中心在/市正西方的2處，正迅速向北偏東的

3c方向移動，距沙塵暴中心一定的范圍內(nèi)都將受沙塵暴影響，我們稱這個范圍為“波及范圍”.若想預(yù)測

/市是否會受這次沙塵暴的影響，只需測量/市到射線5c的距離，若這個距離大于波及范圍則/市不會

受到影響，若這個距離小于波及范圍則/市會受到沙塵暴的影響.結(jié)合題意，在地圖中作出所要測量的線

段：

①作線段的垂直平分線/；

②直線/與線段AB交于點0；

③以。為圓心，長為半徑畫圓，交射線8c于點〃；

④連接/〃，即為所求作.

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形(保留作圖痕跡);

(2)依據(jù)作圖過程完成如下證明.

證明：是。。直徑，

:.NAHB=_90°_()(填推理的依據(jù)).

AH即為所求作.

(2)證明：：/臺是。。直徑，

:.ZAHB=90°(直徑所對的圓周角為直角)，

AH即為所求作.

故答案為：90。，直徑所對的圓周角為直角.

25.(2022?房山區(qū)二模)已知：如圖，四邊形/BCD是平行四邊形.

求作：菱形AECF,使點E,F分別在BC,AD1..

作法：①連接/c；

②作/C的垂直平分線即分別交8C,/D于點E,F；AC,即交于點O；

③連接NE,CF.所以，四邊形NEC尸就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：?.,四邊形4BCD是平行四邊形，

AF//EC.

ZFAO=NECO.

又???ZAOF=ZCOE,AO=CO,

\AOF=\COE.

FO=EO.

：.四邊形/ECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）.

又；EFL4C,

.??平行四邊形NEC尸是菱形（—）（填推理的依據(jù)）.

(2)證明：?.?四邊形N2CD是平行四邊形,

AF11EC,

ZFAO=NECO,

又ZAOF=ZCOE,AO=CO,

NAOF=\COE(ASA),

FO=EO,

四邊形NECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），

又?；即_LAC,

平行四邊形/EC尸是菱形（對角線垂直的平行四邊形是菱形）.

故答案為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線垂直的平行四邊形是菱形.

26.（2022?北京二模）已知:ZAOB.

求作：N/02的平分線；

作法：①以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交04于點C,交。8于點。；

②分別以點C,。為圓心，OC長為半徑畫弧，兩弧在N/O3的內(nèi)部相交于點尸；

③畫射線。尸.

射線。P即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接PC,PD.

由作法可知OC=OD=PC=PD.

.一.四邊形。CPD是菱形，

:.OP平分ZA0B（____）（填推理的依據(jù)）.

【詳解】解：（1）如圖，射線OP即為所求.

(2)連接PC,PD.

由作法可知OC=OD=PC=PD.

.?.四邊形。CPD是菱形，

:.OP平分ZAOB（菱形的對角線平分一組對角）.

故答案為：菱形，菱形的對角線平分一組對角.

27.（2022?石景山區(qū)一模）己知：如圖，RtAABC中，ZACB=90°,CB<CA.

求作：線段N2上的一點〃，使得=

作法：

①以點C為圓心，C5長為半徑作弧，交于點D；

②分別以點8,。為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧在的右側(cè)相交于點E；

2

③作直線CE,交N2于點

NMC5即為所求.

根據(jù)小偉設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接CD,ED,EB.

■：CD=CB,ED=EB,

:.CE是DB的垂直平分線（線段垂直平分線的性質(zhì)）（填推理的依據(jù)）.

CMLAB.

AMCB+Z5=90°.

???ZACB=90°.

ZA+ZB=90°.

【詳解】（1）解：如圖所示，NMC5即為所求;

（2）證明：連接CD,ED,EB.

CD=CB,ED=EB,

:.CE是DB的垂直平分線（線段垂直平分線的性質(zhì)）,

CM1AB.

ZMCB+ZB=90°.

???ZACB=90°.

NA+NB=90°.

ZMCB=ZA（余角的性質(zhì)），

故答案為：線段垂直平分線的性質(zhì)，余角的性質(zhì).

28.（2022?密云區(qū)二模）閱讀材料并解決問題：

已知：在AA8C中，AB>BC.

求作：48邊上的高線C尸.

作法：

①以點C為圓心，8c的長為半徑作弧，交N8邊于點。，連接CZ）；

②分別以點8和點。為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在8。下方相交于點E；

2

③作射線CE交3。于點尸.

所以線段C廠即為A48C的48邊的高線.

（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接和DE.

在NCDE和ACBE中，

(??)=CB

<DE=BE,

CE=CE

/.NCDE=\CBE,

ZDCE=/BCE,

:.CE平分/DCB,

即C廠為A45C的45邊的高線.（填寫推理的依據(jù)）

C

A

【詳解】（1）解：如圖，線段C廠即為所求.

A

（2）證明：連接BE和。e.

A

在bCDE和\CBE中,

CD=CB

<DE=BE,

CE=CE

ACDE=ACBE（SSS）,

ZDCE=/BCE,

:.CE平分ZDCB,

CF±BD,

即C尸為A42C的N5邊的高線（三線合一）.

故答案為：CD；CF；BD；二線臺'一?.

29.（2022?大興區(qū)一模）下面是小云設(shè)計的“利用等腰三角形和它底邊的中點作菱形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖，在A48c中，BA=BC,。是NC的中點.

求作：四邊形N5CE,使得四邊形/2CE為菱形.

作法：①作射線3。；

②以點。為圓心，AD長為半徑作弧，交射線AD于點

③連接NE,CE,則四邊形N3CE為菱形.

根據(jù)小云設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：?.,點。為/C的中點，

AD=CD.

又一：DE=BD,

：.四邊形N3CE為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）.

???BA=BC,

.上/8CE為菱形（—）（填推理的依據(jù)）.

（2）證明：?.?點。為NC的中點，

.-.AD=CD.

又?：DE=BD,

四邊形N3CE為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

???BA=BC,

:.aABCE為菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

故答案為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

30.（2022?大興區(qū)二模）下面是小東設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

己知：直線/及直線/外一點尸.

求作：直線P。，使得尸。///.

作法：如圖.

①在直線/上取兩點N,B；

②以點尸為圓心，為半徑畫弧，以點3為圓心，/尸為半徑畫弧，兩弧在直線/上方相交于點0；

③作直線尸0.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：PA^_BQ_,AB=,

.?.四邊形尸是平行四邊形

:.PQHl{）.（填寫推理的依據(jù)）

----------------------------——1

AB

【詳解】解：（1）直線尸0如圖所示.

（2）證明：PA=BQ,AB=PQ,

.?.四邊形尸Z20是平行四邊形

PQ//1（平行四邊形的對邊平行）.

故答案為：BQ,PQ,平行四邊形的對邊平行.

31.（2022?房山區(qū)模擬）下面是小文設(shè)計的“過圓外一點作圓的切線”的作圖過程.

己知：。。和圓外一點尸.

求作：過點尸的。。的切線.

作法：①連接OP；

②以。P為直徑作（W,交。。于點/,B；

③作直線尸N,PB；

所以直線尸N,尸2為。。的切線.

根據(jù)小文設(shè)計的作圖過程，完成下面的證明.

證明：連接。1,OB.

:OP為OM的直徑，

:.NOAP=N_OBP_=°（