解答中檔題型：圓的性質(zhì)與計算綜合題（解析版）

專題17解答中檔題型：圓的性質(zhì)與計算綜合題

1.(2023?安徽)已知四邊形4BCD內(nèi)接于。。，對角線是。。的直徑.

(1)如圖1,連接。4,CA,若OA工BD,求證：CA平分/BCD；

(2)如圖2,￡為。。內(nèi)一點，滿足CELAB.若BD=3杷,AE=3,求弦2C的長.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：，

AB=AD,

ZACB=ZACD,

即CA平分/BCD；

(2)延長4￡交5。于”,延長CE交48于N,

AE1BC,CE上AB,

ZAMB=ZCNB=90°,

???3。是。。的直徑，

ABAD=/BCD=90°,

:./BAD=/CNB,/BCD=/AMB,

AD/INC,CD//AM,

四邊形4￡CZ）是平行四邊形，

...AE=CD=3,

BC=yjBD2-CD2=7(373)2-32=372.

2.(2022?安徽)已知48為。。的直徑，C為。。上一點，。為胡的延長線上一點，連接C7).

(1)如圖1,若CO_L/8,ZD=30°,OA=1,求的長；

(2)如圖2,若。。與°。相切，E為。1上一點，且ZACD=N4CE.求證：CE1AB.

【答案】見解析

【詳解】(1)?.?CM=1=OC,CO1AB,ZD=30°,

：.OD=5OC=6,

AD=OD-OA=43-I；

(2)與OO相切，

OC1CD,

即ZACD+ZOCA=90°,

OA=OC,

AOCA=AOAC,

ZACD=ZACE,

ZOAC+ZACE=9Q°,

ZAEC=90°,

即CE1AB.

3.(2021?安徽)如圖，圓O中兩條互相垂直的弦N2,CD交于點E.

(1)M是CD的中點，OM=3,CD=12,求圓。的半徑長；

(2)點尸在C。上，且CE=E尸，求證：AFLBD.

【答案】見解析

【詳解】(1)連接OD,如圖:

■.?M是CO的中點，0=12,

:.DM=-CD=6,OMLCD,ZOMD=90°,

2

RtAOMD中，0D=^OM2+DM2,且OAf=3,

OD=V32+62=375,即圓。的半徑長為3行;

(2)連接NC,延長N尸交8。于G,如圖:

???AB1CD,CE=EF,

AB是CF的垂直平分線，

AF=AC,即A4C尸是等腰三角形,

CE=EF,

NFAE=NCAE,

■：BC=BC,

NCAE=ZCDB,

ZFAE=ZCDB,

RtABDE中，ZCDB+ZB=90°,

ZFAE+ZB=90°,

ZAGB=90°,

AG1.BD,即/尸_L8D.

4.(2020?安徽)如圖，N8是半圓。的直徑，C,。是半圓。上不同于/,8的兩點，AD=BC,/C與

AD相交于點尸.3E是半圓。所在圓的切線，與/C的延長線相交于點E.

(1)求證：ACBA^ADAB；

(2)若BE=BF,求證：AC平分NDAB.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：???/5是半圓。的直徑，

ZACB=/ADB=90°,

*一\BC=AD

在RtACBA與RtADAB中，4,

[BA=AB

RtACBA二RtADAB(HL)；

(2)解：?/BE=BF,由(1)知BC上EF,

/E=/BFE,

???BE是半圓。所在圓的切線，

/ABE=90°,

/.ZE+/BAE=90°,

由(1)知ZD=90。，

/.ZDAF+/AFD=90°,

???ZAFD=NBFE,

ZAFD=ZE,

vZDAF=900-ZAFD,ZBAF=90°-ZE,

/.ZDAF=ZBAF,

:.AC^^ZDAB.

5.(2023?瑤海區(qū)一模)如圖，A4BC是。O內(nèi)接三角形，/C是0。的直徑，點不是弦。5上一點，連接

CE,CD.

C)若/DCA=/ECB,求證：CE1DB；

(2)在(1)的條件下，若4B=6,DE=5,求sin/QgC.

c

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：連接4。，

???4C是。O的直徑，

:.ZADC=90°,

ZDAC+ZACD=90°,

???ZDCA=ZECB,ZCAD=ZCBD,

/.ZBCE+ZCBE=90°,

/BEC=90°,

/.CE.LBD；

(2)解：是OO的直徑，

/./ABC=90°,

???CEVBD,

ZCED=90°,

ZCED=/ABC,

???ND=/A,

\ABC^\DEC,

.DE_CE

…茄一茄’

AB=6,DE=5,

6.（2023?合肥一模）如圖1,N8為。。的直徑，BC為弦，過圓心。作OZ>_L8C于。，點￡■為N5延長線

上一點，CE是。。的切線.

(1)求證：NBCE=NBOD；

(2)如圖2,取弧/C的中點尸，連接。P,AP,若/B=13,BC=5,求弦尸/的長.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：連接。C,如圖1,

；CE是OO的切線，

OC1CE,

ZOCE=90°,

即ZOCB+ZBCE=90°,

???OC=OB,

NOCB=AOBC,

OD±BC,

ZBOD+ZOBD=90°,

ZBOD+ZOCB=90°,

/BCE=ZBOD；

(2)解：連接/C交。尸于尸，如圖2,

是直徑，

:.AACB=90°,

AC=siAB2-BC2=V132-52=12,

?.?P為/C弧的中點，

OFAC,

AF=CF=6,

:.OF=-BC=-

22

135

：.PF=OP—OF=--------=4,

22

在RtAAPF中，AP=y/AF2+FP2=府+4?=2后，

即弦正/的長為2屈.

7.(2023?廬陽區(qū)校級一模)如圖，已知0O是RtAABC的外接圓，點。是RtAABC的內(nèi)心，8。的延長線

與。。相交于點E,過E作直線///NC.

(1)求證：/是。。的切線；

(2)連接CE,若N8=3,AC=4,求CE的長.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：連接OE,

，.?點。是RtAABC的內(nèi)心，

NABE=NCBE,

OB=OE,

NEBC=NOEB,

NABE=ZOEB,

ABHOE,

ABAC=ZOGC=90°,

■：U/AC,

OELI,

為半徑，

l是。。的切線;

（2）解：在RtAABC中，由勾股定理得,

BC=A/32+42=5,

OC=-,

2

OG1AC,

113

CG=-AC=2,OG=—AB=—,

222

EG=---=1,

22

在RtACEG中，由勾股定理得，

CE=yjEG2+CG2=A/12+22=也.

8.（2023?合肥三模）如圖，N3是OO的直徑，點。為半圓的中點，四邊形為平行四邊形.

（1）請用無刻度直尺畫出圓心。的位置，并說明理由；

（2）點￡為8。中點，EH工AB于H,交。。于點尸，求NA4尸的度數(shù).

【答案】見解析

【詳解】（1）解：如圖，點O即為所求.

理由：；48為直徑,

ZADB=90°,

V為平行四邊形,

z./DBG=90°,

DG為直徑，

/.AB.QG交點為圓心O；

(2)設AD=2?.

???。為半圓的中點，

/.AD=BD,

/.AB=4,ADAB=ZDBA=45°.

?;E為BD中點,

BE=DE=V2,

???EHAB,

/.EH=BH=1,

AH=3.

連接8廠，貝ljNBE4=90。，

^BFHs\BAF,

.BHHF

1HF

-----------,

HF3

:.HF=y[i,

FH百

..tan/F4H=——,

AH3

...ZFAH=30°.

9.(2023?廬陽區(qū)一模)如圖，。。的直徑48垂直于弦CD,垂足為E,AE=2,CD=8.

(1)求。。的半徑長；

(2)連接8C,作8_L8C于點尸，求OF的長.

c

【答案】見解析

【詳解】(1)連接8,如圖，設。。的半徑長為廠，

---ABLCD,

ZOED=90°,DE=CE=-CD=-x8=4,

22

在RtAODE中，-：OE=r-1,OD=r,DE=4,

：.(r-2)2+42=r2,

解得r=5,

即。。的半徑長為5；

(2)在RtABCE中，???CE=4,BE=AB-AE=8,

BC="F?=475，

OF±BC,

：.BF=CF=-BC=245,ZOFB=90°,

2

在RtAOBF中，OF=y/OB2-BF1=舊-Q舟=亞,

即OF的長為右.

10.(2023?合肥模擬)如圖，在AA8C中，AB=AC,以為直徑作OO交8c于點。.過點。作

DE1AC,垂足為E,延長C4交。。于點尸.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若tanB='，。。的半徑為5,求線段CF的長.

2

【詳解】(1)證明：,??03=0。，

AABC=ZODB,

???AB=AC,

AABC=NACB,

ZODB=/ACB,

:.OD//AC,

vDEVAC,OQ是半徑，

DELOD,

.?.Q￡是。。的切線；

(2)解：連接4D,BF,

???為OO的直徑，

ABDA=90°,

?/45=10,

AC=AB=10,

/./B=/C,

AT)1

在RtAADC中，tanB=tanC=-----=—

DC2

/.4斤+(2皿2=102,

AD=275,

:.CD=4出,

在RtACED中，tanC=—

CE2

,DE2+(2DEy=(4V5)2,

DE=4,

/.CE=8,

AB=AC,AD1BCf

BD=DC,

???ZB為。。的直徑，

/BFA=90°,

???DELAC,

DE//BF,

EF=CE=8,

.\CF=16.

^/DC

11.（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，為OO的直徑，C為OO上一點，4D和過點C的切線互相垂直，垂足

為。，ND交。。于點￡,連接8C,CE.

（1）求證：BC=CE；

（2）若NC=2CE=4,求4E的長.

【答案】見解析

【詳解】（1）證明：連接。C,

;CZ）是0。的切線，

OCLCD.

■：AD1CD,

OC//AD,

Z1=Z3.

又OA=OC,

Z2=Z3,

，Z1=Z2,

CE=CB；

(2)解：???45是直徑,

ZACB=90°,

?.?ZC=4,CB=CE=2,

AB=y/AC2+CB2=A/42+22=2V5.

???/ADC=ZACB=90°,Z1=Z2,

\ADCs\ACB,

ADACCD

~AC~AB工即與二已~2~

DC=^

AD=

在直角ADCE中，DE=^EC1-DC2

12.(2023?蜀山區(qū)校級一模)己知等腰A48C,AB=AC,且2C=C￡>,連接/。交2c于點E,以。E為

直徑的。。上有一點尸，使得俞=萬？，連接C尸交。E于點G,若NA4D=90。.

Cl)判斷2C與。。的關(guān)系，并說明理由;

(2)若CE=1,求C尸.G尸的值.

【答案】見解析

【詳解】（1）4。與。O相切，理由:

連接OC,如圖，

???OE=OC,

ZOEC=ZOCE.

vAB=AC,

.\ZACB=ZB.

/BAE=90°,

ZB+/AEB=90°.

???/AEB=ZOEC,

ZACB+ZOCE=90°,

/.ZOCA=90°,

OC1AC,

???oc為oo的半徑，

「.4。與。O相切；

（2）連接3。，交OO于點H,連接EF,如圖,

???DE為OO的直徑，

/.ZECD=90°,

???/BAD=90°,

/BAD=ZECD=90°,

.?.點/,C,D,8四點共圓，

???AB=AC,

/./ADC=/ADB,

:.EC=EH,

EC=EH=1.

DE為OO的直徑,

...EHLBD.

?「BC=CD,/BCD=90°,

/CBD=45。,

二.\EBH為等腰直角三角形，

/.BE=42EH=V2,

:.BC=BE+EC=?+\,

：.CD=BC=?+\,

DE=dEC?+CD?=V4+2V2.

???EF=DF,

:.EF=DF,

?：DE為OO的直徑，

/.ZEFD=90°,

??.AEED為等腰直角三角形，

:.EF=*DE72m.

-EF=DF,

ZECF=ZDCF=-/BCD=45°,

2

/./FED=ZECF=45°,

???ZEFC=ZCFE,

/.\EFGs\CFE,

.EF_FG

'~CF~~EF'

CFGF=EF?=2+亞.

13.(2023?瑤海區(qū)二模)45是的直徑，4C是。。的切線，連接5C交于點。，連接4D.

(1)如圖1,AB=AC=2,求5。的長；

DF

(2)如圖2,作N/D8的角平分線。尸交。。于點尸，交于點￡,若/8=4,AC=3,求一的值.

EF

【答案】見解析

【詳解】(1)如圖1,

??,/C是。。的切線,

AC1AB,

ABAC=90°,

AB=AC=2,

BC=?AB=2V2,

；4B是OO的直徑，

ZADB=90°,

即AD±BC,

：.BD=CD=-BC=4I；

2

(2)過。點作于X點，連接。尸，如圖2,

在RtAABC中，BC=^AC1+AB2=732+42=5,

ADVBC,

-ADBC=-ABAC,

22

3x412

A.D=------——,

???LDHAB'ADBD,

22

1216

—x—.c

:.DH=^^-=—,

425

???。尸平分ZADB,

ZADF=-ZADB=45°,

2

ZAOF=2ZADF=90°,

:.DH//OF,

48

DE_25_24

EF-OF-2-25

14.(2023?包河區(qū)二模)已知如圖1,N8為OO的直徑，點C為。。外一點，AC=AB,連接2C交。。

于。.

(1)若/C為OO的切線，求證：ODLAB-,

(2)如圖2,若/A4C>90。時，請用尺規(guī)作圖在A48c內(nèi)部選一點尸，使44尸2=45。，以下是部分作圖

步驟:

第一步：過點。作48的垂線，交。。于點￡；

第二步：連接/￡、BE；

問題:

①請完成接下來的作圖，并保留作圖痕跡;

②在操作中得到/APB=45°的依據(jù)是

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：如圖1,連接ND,

A

C

圖1

???/c為。。切線，

ABAC=90°,

NB為直徑，

NADB=90°,

---AB=AC,

BD=CD,

OB=OA,

:.ODtIAC,

ODLAB■,

(2)解：①如圖2:

第一步：過點。作N8的垂線，交。。于點E;

第二步：連接/￡、BE；

第二步：以￡1為圓心，以4E1為半徑作OE,在OE上且在AA8C的內(nèi)部取一點尸連接/尸，BP,貝IJ44四

即為所求；

②在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半.

故答案為：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半.

15.(2023?廬陽區(qū)二模)如圖，在OO中，48是直徑，點C在圓上，AD、3。分另I」平分N8NC和N/3C,

的延長線交。。于點￡,連接BE.

(1)求證：BE=DE；

(2)若NB=10,BC=6,求2E的長.

【答案】見解析

【詳解】（1）證明：??,4。、分別平分N5/C和N/BC,

NCAE=/BAD,ZCBD=/DBA,

???ZCBE=/CAE,

ZEBD=ZCBE+ZDBC=ZCAE+ZCBD=ZBAD+/DBA,

???/EDB=/BAD+/DBA,

/.ZEBD=ZEDB,

/.BE=DE；

(2)解：4￡與5。相交于點/，如圖,

???為直徑，

:.ZACB=90°,

在RtAABC中，AC=ylAB2-BC2=A/102-62=8,

???AF平分ABAC,

.?.點F到AC和AB的距離相等，

S“CF-S^BF="C：AB,

?SMCF-S^BF—CF:BF9

,CFAC8_4

:.CF^-BC=~,BF=-BC=—,

9393

在RtAACF中，AFNCF?+AC?=

ZCAF=ZEBF,ZC=ZE,

?.\ACF^\BEF,

o[

:.AC:BE=AF.BF,即=

33

解得BE=?,

即BE的長為府.

16.(2023?廬陽區(qū)校級二模)如圖，A4C。內(nèi)接于。(9,CD為直徑,射線。EL/C于點E,交。。于點

F,過點工作OO的切線交射線于點2.

(1)當/2=25。時，求/。的度數(shù)；

(2)當/。=2,——=上時，求8方的長.

【答案】見解析

【詳解】(1)連接04,如圖,

?.?CZ)為直徑，

:.ZDAC=90°.

ZD+ZC=90°,

???AB為OO的切線，

OALAB,

/.NAOB+/B=90°,

???ZB=25°,

:.ZAOB=65°.

-：OELAC,

ZOAC+ZAOB=90°,

ZOAC=25°.

???OA=OC,

:.ZC=ZOAC=250.

N￡>=90。一NC=65。；

(2)?.匹1

EF2

.?.設OE=a,貝UEF=2a,

OF=OE+EF=3a.

???OELAC,

...AE=EC.

OD=OC,

為AC。/的中位線,

/.AD=2OE=2a,

?/AD=2,

..CL—\?

OE=1,OA=OF=3.

OALAB,AELOB,

AOAEsAOBA,

.OAOB

…~OE~~OA'

3OB

—=----,

13

17.(2023?廬江縣模擬)如圖，N2是。。的直徑，C是彷的中點，CE工4B于點E,BD交CE于點

F.

(1)求證：CF=BF；

(2)若BE=OE=2,求弧4D的長度.

c

一

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：???。是弧5。的中點,

ZDBC=ABAC,

在A/15C中，ZACB=90°,CE上AB,

/BCE+ZECA=ABAC+ZECA=90°,

/BCE=ABAC,

又。是弧的中點，

/.ZDBC=ZCDB,

/./BCE=ZDBC,

/.CF=BF.

(2)解：連接OD,OC,

???BE=OE=2,

:.OB=BE+OE=2+2=4,

???OB=OC,

OF1

二.cos/COE=——=—,

OC2

/.ZCOE=60°,

?.?C是IB的中點,

.../DOC=/COE=60°,

/.N/OD=180—/DOC-/COE=60°,

.../D弧長="山=色.

18.(2023?合肥二模)如圖，以"5為直徑的。。經(jīng)過A42c的頂點C,AE,2E分別平分/A4c和

NABC,/￡的延長線交。。于點。，連接AD.

(1)判斷A8DE的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)若48=10,BE=25,求8c的長.

【答案】見解析

【詳解】(1)ASDE為等腰直角三角形，理由如下:

?.?NE平分N8/C,BE平分ZABC,

ZBAE=ZCAD=ZCBD,ZABE=NEBC.

ABED=NBAE+NABE,ZDBE=NDBC+NCBE,

ABED=NDBE,

BD=ED,

???/8為直徑,

ZADB=90°.

.?.A50E為等腰直角三角形;

(2)如圖：連接。C,CD,OD,OD交BC于點、F.

---ZDBC=ZCAD=ABAD=Z.BCD,

BD=DC.

■：OB=OC,

垂直平分8c.

?.?ABDE是等腰直角三角形，BE=2屈,

BD=2遙.

?/45=10,

/.OB=OD=5.

設。尸=f,貝UZ)尸=5-7.

在RtABOF和RtABDF中，52-t1=(275)2-(5-疔，

解得1=3,

BF=4,

BC=8.

19.(2023?廬陽區(qū)校級一模)如圖，N8是的直徑，C,。都是。。上的點，4D平分NC4B,過點、D

作的垂線交/C的延長線于點E,交48的延長線于點尸.

(1)求證：跖是。。的切線；

(2)若/8=10,AC=6,求CE的值.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：如圖1,連接

AD平分ZCAB,

ZOAD=ZEAD,

,/OD=OA,

ZODA=ZOAD,

ZODA=ZEAD,

...OD//AE,

???ZODF=ZAEF=90。且。在OO上,

尸是。。的切線；

(2)連接5C,交OD于H,

4B是OO的直徑，

:.ZACB=90°,

AB=10?AC=6,

BC=>JAB2-AC2=7102-62=8,

???ZE=ZACB=90°,

BC!!EF,

/OHB=ZODF=90°,

ODLBC,

:.CH=-BC=4,

2

CH=BH,OA=OB,

:.OH=-AC=3,

2

:.DH=5—3=2,

???/E=ZHCE=ZEDH=90°,

.?.四邊形/CM)是矩形，

:.ED=CH=4,CE=DH=2.

20.(2023?廬陽區(qū)校級一模)如圖，在。。中，直徑為MN,正方形/BCD的四個頂點分別在半徑(W、OP

以及OO上，并且NP(W=45。.

(1)若45=2,求夕。的長度；

(2)若半徑是5,求正方形ZaCQ的邊長.

【答案】見解析

【詳解】(1)???四邊形45CQ為正方形,

DC=BC=AB=2,ZDCO=/ABC=90°,

???/POM=45°,

CO=DC=2,

OD=血CO=2V2,

連接40,則A45O為直角三角形，

AO=y]AB2+BO2=A/22+42=275,

/.即。。的半徑為2瓶，

PD=OP—OD=2至-2后;

(2)?.?四邊形43CQ是正方形，

/./ABC=/BCD=90°,AB=BC=CD,

ZDCO=90°,

???/POM=45°,

ZCDO=45°,

CD=CO,

BO=BC+CO=BC+CD,

BO=2AB,

?:MO=NO=5,

AO=5,

在RtAABO中，AB2+BO2=AO2,

即AB2+(2/3)2=52,

解得：AB=4S,

則正方形ABCD的邊長為V5.

21.(2023?合肥一模)如圖，在。。中，為直徑，點3、C在。。上，BC交4D于點E(4E>DE)連接

CA,BD.

(1)求證：\AEC^NBED；

⑵若BE=CE=2a,AD=10,求DE的長.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：???//=N2,NC=ND,

NAECSABED；

(2)解：\AEC^NBED,

DE:CE=BE:AE,

:.DEAE=CEBE,

BE=CE=276,AD=\0,

DE-(10-DE)=246x2y/6,

整理得DE2-10￡>￡+24=0,

解得?！?4或。E=6,

,/AE>DE,

DE=4.

22.(2023?廬陽區(qū)校級一模)RtAABC中，ZC=90°,。為4B上一點,以。為。心,CM為半徑的O與

5C相切于點。.

(1)求證：4。平分NA4C；

(2)連接。若AB=2BD,求cosNCDE的值.

E

DB

【答案】見解析

【詳解】(1)連接OD,

?/5C切。。于。，

/.ODLBC,

NODB=NACB=90。,

:.OD//AC,

ZODA=/CAD,

OA=OD,

ZOAD=ZODA,

ACAD=/BAD,

二.AD平分/BAC；

(2)設45交OO于方，

連接。月，

???力/為的直徑，

/.ZADF=90°,

由(1)得NODB=90。,

ZODA=ABDF=ZOAD,

/B=/B,

\BDFs\BAD,

.ADBAc

--=-----=2,

DFBD

tanZ.AFD=2,

???四邊形/瓦汨內(nèi)接于。O,

ZCED+/AED=ZAED+ZAFD=180。，

ZCED=ZAFD,

tanZ.CED=tanZAFD=2,

???N/CZ)=90。，

，=2,

CE

設CE=Q,貝IJCZ)=2Q,

DE=>JCE2+CD2=45a,

CDla_2A/5

...cosZCDE=—

DEyj5a5

23.（2023?合肥模擬）如圖，是。。的直徑，C,。是。。上兩點，過點C的切線垂直于ND的延長線,

垂足為點E,AC,AD相交于點廠.

（1）求證：點C是病的中點；

⑵若BD=4,DC=&求4D的長.

【詳解】（1）證明：連接OC交于G,

???CE切圓于C,

半徑OCYCE,

???AE1CE,

OC//AE,

ZOCA=ZEAC,

???OA=OC,

ZOCA=AOAC,

AEAC=NOAC,

:.CD=BC,

「.C是的中點;

(2)解：設圓的半徑是r,

OCLBD,

:.DG=-BD=2,

2

DC=6

:.CG=y]CD2-DG2=1,

OG=r-l,

OB2=OG2+BG2,

r2=(r-1)2+22,

/.r=2.5，

OG=OC-CG=2.5-1=1.5,

AO=OB,

OG是的中位線，

二.AD=20G=3.

24.(2023?包河區(qū)一模)如圖，45是。。的直徑，CD是。。的一條弦，45_LCQ于點連接QD.

(1)若NOD5=54。，求NA4C的度數(shù)；

(2)AC,的延長線相交于點尸，C￡是的切線，交BF于點E,若CE上DF,求證:

【答案】見解析

【詳解】(1)解：???00=05,

ZODB=ZOBD=54°,

/./DOB=180。—ZOBD-ZODB=72°,

???48是。。的直徑，ABLCD,

:.BC=BD,

/BAC=L/BOD=36。,

2

故/84C的度數(shù)為36。；

(2)證明：連接OC,BC,

???CE是。。的切線，

OC1CE,

CE工DF,

OC//DF,

/.NACO=ZF,

???OA=OC,

/.N4=/ACO,

/./A=NF,

AB=BF,

???AB是OO的直徑，

BCLAF,

:.AC=CF,

???/A=ZCDB,

/.ZCDB=ZF,

CD=CF,

:.AC=CD.

25.（2023?合肥模擬）如圖，四邊形48co內(nèi)接于OO,AB=BC,對角線/C為。。的直徑，￡■為。。外

一點，4B平分/DAE,AD=AE,連接3E.

（1）求乙4￡8的度數(shù)；

(2)連接CE,求證：2BE2+AE2=CE2.

【答案】見解析

【詳解】（1）解：連接

;AB平分NDAE,

/EAB=/BAD,

,/AE=AD,AB=AB,

\ABE二AABD(SAS),

/.NAEB=ZADB,

???AADB=ZACB,

/./AEB=ZACB,

???/c為。。的直徑，

/ABC=90°,

???AB=BC,

ZACB=45%

ZAEB=ZACB=45°；

(2)證明：延長E4交QO于方，連接CF,

丁4C是圓的直徑，

ZAFC=90°,

/.EF2+CF2=CE2,

由(1)知/在5=45。，

???/BFE=ZACB=45°,

，AB尸E是等腰直角三角形,

EF2=2BE2,

BD=BE,

BD=BF,

:.BD=BF,

AF=CD,

:.AD=CF,

CF=AD=AE,

2BE2+AE2=CE2.

26.（2023?廬陽區(qū)校級三模）如圖，42是。。的直徑，點C是2。的中點，過點C的切線與4D的延長線

交于E,連接CD,AC.

（1）求證：CELAE■,

⑵若CD//AB,DE=\,求。。的面積.

【答案】見解析

【詳解】（1）證明：如圖，連接。C,

是。。的切線，

OCLCE,

?.?點C是8。的中點,

BC=CD,

NCAB=ACAD,

???OA=OC,

ZOAC=ZOCA,

ZOCA=/CAD,

/.OC//AE,

CE-LAE；

(2)解：如圖，連接OQ,

?:CD11AB,OC//AE,

.,?四邊形/OCE是平行四邊形,

又?.?cu=oc,

.??四邊形4OCD是菱形，

/.AD=CD=OA,

OA=AD=OD,

\AOD是等邊三角形，

/.ZOAD=60°,

??CD//AB,

ZCDE=ZOAD=60°,

/.ZDCE=30°,

CD=IDE=2,

/.OA=CD=2f

QO的面積=27rx22=87r.

即Q)O的面積為8%.

-----B

27.（2023?廬陽區(qū)模擬）如圖，點5為圓。外一點，過點5作圓。的切線，切點為4,點尸為08上一點,

連接力尸并延長交圓。于點C,連接OC,若以與OC垂直.

(1)求證：BP=AB；

(2)若08=10,圓。的半徑為8,求4尸的長.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：?.?OB_LOC,

ZPOC=90°,

ZC+ZCPO=90°,

???OC=OA,

Z.C=AOAC,

/.NOAC+NCPO=9。。,

???ZBPA=ZCPO,

/.NOAC+/BPA=9U。,

0.?BA與圓切于A,

半徑OA1AB,

ZOAC+ZBAP=90°,

ZBAP=ZBPA,

/.AB=PB；

(2)解：作尸于”，

???AB=PB,

AP=2PH,

-OB=10,圓O的半徑為8,

/.AB=ylOB2-OA1=V102-82=6,

/.BP=AB=6,

:.OP=OB-PB=10-6=4,

/.PC=y/OP2+CO2=A/42+82=4A/5,

?:/BHP=/COP,/BPH=/CPO,

\BPH^\CPO,

...PH\PO=BP\CP,

:.PH:4=6:475,

:.PH$

5

AP=2PH=,

5

N尸的長是坦

28.Q023?合肥二模）如圖，？。為zMBC的外接圓，直線MV與。。相切于點C,弦2O//MV,AC與BD

相交于點￡.

(1)求證：ZCAB=ZCBD；

(2)若BC=5,BD=8,求OO的半徑.

【答案】見解析

【詳解】證明：（1）連接OC,交BD于H,連接30,

直線與。。相切于點C,

OC.LMN,

???BD//MN,

/.OCLBD,

:.BC=CD,

ABAC=ZCBD；

(2)?/OCLBD,

:.BH=HD=-BD=4,

2

:.CH=^BC2-BH2=>/25-16=3,

■：OB1=OH2+BH2,

.?.OB?=3-3)2+16,

：.。。的半徑為生.

6

29.(2023?瑤海區(qū)三模)如圖，在RtAABC中，ABAC=90°,。是邊上的一點，以。4為半徑的。。

與邊3C相切于點E.

(1)若48=8,。。的半徑為3,求NC的長.

(2)過點￡■作弦￡F_L4B于G,連接/尸，若NAFE=2NABC.求證：四邊形NCEF是菱形.

【答案】見解析

【詳解】(1)解：連接

;4B=8,。。的半徑為3,

OB=8—3=5,

O。與邊8C相切于點￡,

OELBC,

BE=y]OB2-OE2=A/52-32=4,

???ZBAC=90°,

.?.C4是OO的切線，

/.CA=CE,

在RtAABC中，AC2+AB2=BC2,BP^C2+82=(4+^C)2,

解得：AC=6；

(2)證明：由圓周角定理得：/AOE=2/AFE,

???ZAFE=2ZABC,

/.ZAOE=4/ABC,

ZAOE=90°+ZABC,

/ABC=30°,

/.ZAFE=60°,

EFLAB,

/FEB=60°,

/.ZAFE=/FEB,

AF//BC,

vABAC=90°,EF上AB,

:.AC//EF,

四邊形4CE尸為平行四邊形，

CA=CE,

???平行四邊形力CE尸為菱形.

30.(2023?廬江縣二模)如圖，點C是。。直徑45延長線上一點，BC=OB,點尸是上一個動點(不

與點4,3重合)，點￡為半徑08的中點.

(1)如圖1,若PE=6求尸。的長；

(2)如圖2,當尸時，求證：C尸是。。的切線.

p

p

CB^^0，C

圖1圖2

【答案】見解析

【詳解】（1）解：如圖1,連接OP.

???OP=OB=BC=2OE,

.OE_OP_1

,~OP~~OC~21

又、:/COP=/POE,

z.bOEPs'OPC,

.PEOEOP

,1PC~~OP~~OC~21

?；PE=6

???點E為半徑08的中點,

:.OE=OB=-OP.

2

???PELOB,

ZPEO=90°.

OE1

cosZEOP=——=一,

OP2

/./EOP=60°.

又、：OP=OB,

/.\OPB是等邊二角形，

AOBP=ABPO=60°,OB=PB,

???BC=OB,

BC=PB,

.-.zc=ZBPC=-ZOBP=30°,

2

NOPC=NBPO+NBPC=90°,

?；OP是oo的半徑，

；.CP是oo的切線.

31.(2023?蜀山區(qū)校級一模)如圖，為。。的直徑，點C是。。上一點，過點C的直線交的延長線

于點作4D_LMC,垂足為點。，己知/C平分

(1)求證：MC是。。的切線；

⑵若AB=BM,MC=4,求OO的半徑.

【詳解】（1）證明：?.?4D_LMC,

ZD=90°,

OA=OC,

ZOCA=AOAC,

???/C平分，

ADAC=AOAC,

NOCA=ADAC,

OC//DA,

/.ZD=ZOCM=90°,

??,OC是。O的半徑，

「.MC是。。的切線；

(2)解：^OA=OB=OC=r.

'：BM=AB=2r,

OM=3r,

???ZMCO=90°,

:.CM2+OC2=OM2,

「.16+/=9尸2,

:.r=42(負根已經(jīng)舍去)，

QO的半徑為行.

32.(2023?蕪湖模擬)如圖1,已知為。。的直徑，C為。。上一點，CE工AB于E,。為弧2c的中

點，連接分別交CE、C8于點尸和點G.

(1)求證：CF=CG；

(2)如圖2,若AF=DG,連接OG,求證：OG±AB.

【答案】見解析

【詳解】證明：(1)連接NC,

圖1

???AB為OO的直徑，

:.AACB=90°,

:.ZCAG+ZAGC=90°,

???CE工AB,

/CEA=90°,

/.ZFAE+NAFE=90°,

???D為弧5C的中點,

/.DC=DB,

ZCAG=ZFAE,

ZAGC=ZAFE,

???ZAFE=4CFG,

/.ZAGC=ZCFG,

CF=CG；

.?.180?！?CFG=180°-ZCGF,

ZAFC=ZCGD,

???CF=CG,AF=CD,

\AFC=\DGC(,SASy

:.AC=CD,

AC=CD,

CD=DB,

:.AC=DB,

ZABC=/DAB,

GA=GB,

???OA=OB,

GOLAB.

33.(2023?包河區(qū)校級一模)如圖，四邊形/BCD為OO的內(nèi)接四邊形，且/C為。。的直徑，AD=CD,

延長5C到石，使得BE=4B,連接。￡.

(1)求證：AD=DE；

(2)若。E為QO的切線，且DE=2?,求數(shù)的長度.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：連接8。,

???AD=CD,

NABD=ZDBE,

?/AB=BE,BD=BD,

\ABD=\EBD(SAS),

AD=DE；

(2)解：連接OD,

D

uB-----1E

-：AD=CD,

AD=CD,

???AD=DE,

CD=DE9

??,4C為OO的直徑，

，ZB=ZADC=90°,

vAD=CD,O為/C的中點,

/.ZODC=-/ADC=45°,

2

?：DE為OO的切線，

/ODE=90°,

ZCDE=45°,

.?./ZOE=90。+45。=135。，

???CD=DE,

ZDCE=/DEC=67.5°,

/./BAD=67.5°,

vAD=CD,ZADC=90°,

ZDAC=45°,

ZBAC=22.5°,

AD=CD=2V2,

:.AC=4f

OC=2,

數(shù)的長度是45萬*2=工.

1802

34.（2023?瑤海區(qū)模擬）如圖，是。。的直徑，點C是叁的中點，過點C的切線與的延長線交于

E，連接CD，AC.

(1)求證：CE1AE；

(2)若CQ//ZB,DE=\,求OO的半徑.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

???CE是。。的切線，

OCLCE,

???點C是防的中點，

:.BC=CD,

NCAB=ACAD,

???OA=OC,

/.ZOAC=ZOCA,

ZOCA=ACAD,

/.OC//AE,

/.CELAE；

(2)解：如圖，連接8,

-CD//AB,OC//AE,

四邊形AOCE是平行四邊形，

又?.?CM=OC,

二.四邊形/OCQ是菱形，

AD=CD=OA,

OA=AD=OD,

\AOD是等邊三角形，

ZOAD=60°,

-CD//AB,

...ZCDE=ZOAD=60°,

NDCE=30°，

CD=IDE=2，

OA=CD=2,

35.(2023?廬陽區(qū)校級一模)如圖1,已知A45C是。。的內(nèi)接三角形，43是。。的直徑，CD是。。的

弦，連接20,交4C于點E.

(1)求證：ZCEB=ZABD+ZCDB；

(2)如圖2,連接OE、AD,若OE//4D,且/8=10,BD=8,求2C的長.

【答案】見解析

ABAC=NCDB,

???ZCEB=NABD+ABAC,

/CEB=NABD+ZCDB；

(2)解：方法一：

■：OEHAD,點。為48的中點,

:.OE為AADB的中位線，

DE=BE=-BD=4,

2

???48為直徑，

NADB=90°,NACB=90°,

AD=dAB2-BD。=V102-82=6,

AE=y]AD2+DE2=A/62+42=2而,

設8C=x,EC=y,

在RtAABC和RtABCE中，

^\AB2=AC2+BC2

[BE2=BC2+CE2'

J102=(2VB+J/)+X2

整理得：一48二。，

尤二16

16+4V13y-48=0,

解得：y=-^=

岳

.J64

解得：》=坦叵或》=_呸叵（舍去）,

：.BC的長為應叵；

13

方法二：-OE//AD,點。為N8的中點,

.?.0￡為兒4。5的中位線，

DE=BE==BD=4,

???4B為直徑,

/.AADB=90°,NACB=9