山東省威海市文登區(qū)2024-2025學年高三年級上冊第一次模擬考試數(shù)學試題

--皿、2

高二數(shù)1r學f

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合4=卜1y==y=2，+“,貝()

A.0B.[-l,1]C.[l,+co)D.(l,+co)

z

2.設(shè)復數(shù)z滿足——二i,則z?5=()

1+z

A.變B.受C.-D.2

422

3.已知命題Q：,〉l,命題4問^^11,以2+2以+11,0,則P成立是F成立的()

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知tan|e+t)=；,貝iJsin[2，一看)=()

5.已知尸為橢圓C:1L+土=1的上焦點，P為C上一點，。為圓“：必+丁2-8x+15=0上一點，則

95

|P0+|P同的最大值為()

A.1+2A/5B.3+2V5C.5+245D.7+275

7171

6.已知必，e,且asina-/3sin/3<0,則()

292

A.a<BB.a2<01

C.a>/3D.a2>/?2

7.已知定義在R上的偶函數(shù)〃x）滿足〃x）=/（2—x）,當工?—1,0］時，〃x）=x+l.函數(shù)

g（x）=e*2（—i<x<5）,則與g（x）的圖象所有交點的橫坐標之和為（）

A.6B.8C.10D.14

_荏

8.在3c中，/54。=90。,|通=是所在平面內(nèi)一點，“聲=麗

麗的最大值為（）

A.5+2A/3B.10+2^/3C.5-2小D」0—2石

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/（無）=sinr+,則（）

A.兀是的一個周期：6/=］是/（"的一條對稱軸

JT3冗

CJ（X）的值域為［-1,2］D./（X）在-,y上單調(diào)遞減

10.如圖，在四邊形A3C。中，月（〃CN*）為邊6c上的一列點，連接AE,交3D于點G“（〃eN*）,且

與滿足為%+］*=41G瓦—2%+IGC，其中數(shù)列｛a,｝是首項為1的正項數(shù)列，則（）

0A--------------------y/C

A.數(shù)列〈一+1為等比數(shù)列

B.數(shù)歹U〈’的前幾項和為2"1—“_2

C.數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列

11.已知正方體ABC。—A4G，的棱長為2,點P滿足Q=X函則（）

A.點P到平面BC.D的距離為其I

3

B.二面角尸―BQ—。的正弦值為亞

3

C.當X=g時，過點p的平面截該正方體外接球所得截面面積的取值范圍為［2兀,3可

Q

D.若。是對角線AG上一點，則PQ+QC的最小值為

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知底面半徑為3的圓錐SO,其軸截面是正三角形，它的一個內(nèi)接圓柱的底面半徑為1,則此圓柱的

側(cè)面積為.

13.已知函數(shù)〃%）=gsinx-cos%,若將函數(shù)y=/（x）的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來

的2倍，再將得到的圖象向右平移。（0＜。＜兀）個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于＞軸對稱，則。=

14.已知耳，心是雙曲線C：工一斗=1（?！?］〉0）的左、右焦點，過耳的直線與C的左、右兩支分別交于

ab

A5兩點.若以。的中心為圓心，耳耳的長為直徑的圓與。的右支的一個交點恰為若

|的,忸耳|,仙片I成等差數(shù)列，則。的漸近線方程為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，其前九項和記為邑,弓=l,（a“+l）（4+i+l）=X（S!+〃），其中九為常數(shù)

且Xw0.

（1）若數(shù)列｛%,｝為等差數(shù)列，求知;

（2）若％=3,求S2n.

16.（15分）

一cos/1

在△ABC中，角A,氏C所對的邊分別為且——=------.

ca+2b

ADEB

（1）求角C的大小;

（2）若AC=5C=2,如圖，是A5上的動點，且NOCE始終等于30°，記NCED=c.當a為

何值時，ACDE的面積取到最小值，并求出最小值.

17.（15分）

如圖，在四棱錐P—A5CD中，平面八4DL平面ABCDqPA。為等邊三角形，PD±AB,AD//BC,

AD=25C,AB=2,M為F4的中點.

（1）證明：平面Q4B；

（2）求直線與平面MCD所成角的正弦值的最大值.

18.（17分）

已知函數(shù)/（x）=ln（ax）-x2+ar（aw0）.

（1）討論〃x）的單調(diào)性;

（2）令g（x）="x）+x2—ax+5，/2（x）=ae*（a>0）.若曲線y=g（x）與y=〃（x）存在公切線，求實

數(shù)。的取值范圍.

19.（17分）

定義二元函數(shù)/（私"乂人"wN*）,同時滿足：①/（機+1,〃）=/（牡〃）+2〃；②

/（zn,ra+l）=/（m,?）+2m；③/（1,1）=1三個條件.

（1）求〃2,2）,/（3,3）的值；

（2）求/（不"）的解析式;

、csinaxsinaxsing%sinax/八八\

（3）若％==------+-----?-+-----+???+----廠,%￡（0,2兀）.比較S〃與0的大小關(guān)系,

dyd?^^3

并說明理由.

附：參考公式

sinacos尸=；[sin(a+。)+sin(a—月)];cosasin夕=g3in(a+￡)—sin(a—￡)];

(

cosacos/3=—cos(o+m+cos(a—')];sinasin,=-^cos(cif+^)-cos6f-y^)].

高三數(shù)學答案

一、選擇題：每小題5分，共40分.

題號91011

答案BCABDACD

三、填空題：每小題5分，共15分.

題號121314

2兀

答案4A/3TIy=±2A/3X

T

四、解答題：

15.（13分）

解：（1）當〃=1時，（4+1）（%+1）=+1）,解得生=丸—1,

當〃=2時，（％+1）（/+1）=X（S2+2）,解得〃3=4+1,

因為數(shù)列｛〃/為等差數(shù)列，所以2g=q+〃3，

即2（X—1）=1+X+1,解得丸=4,

所以。2=3,q=5,公差為2,所以%=2〃-1.

（2）當4=3時，（?！?1）（4+[+1）=30+〃）①

所以（%+1）（%+2+1）=3（S“+I+九+1）②

所以②-①得，（%+1+1）（?！?2—%）=3（。用+1），

因為?！?1+1>0,所以4+2=3,

當〃=1時，（q+1）（出+1）=3（S]+1）,解得。2=2,

所以數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項成等差數(shù)列，首項為4=1,公差為2；偶數(shù)項成等差數(shù)列，首項為%=2,公差

為2,

?,n（n-l）n（n-l）,

所以S2“=〃+'2，X3+2/+'2，X3=3"2.

16.（15分）

解：（1）在5c中，由正弦定理可得交￡=—"cosA,

sinCsinA+2sinB

所以sinAcosC+2sinBcosC=—cosAsinC,

所以sin（A+C）=—2sinBcosC,即得sinB=—2sinBcosC,

因為5c（0。,180。），所以sinB>0,所以cosC=—g,

因為Ce（0°,180。），所以C=120°.

（2）因為AC=3C=2,由（1）知C=120°，所以A=B=30°，

AJ-'[

在AACE中，由正弦定理可得——=------,所以CE=——

sintzsin30°sin?

BCCD“1

在△比力中,由正弦定理可得sin(150。-a)=M,所以,E=sin(150。-4

1________

sCDF=--ACBC-sin300=------------7-----------?

所以△24sinasin（150°-。）2sinf-yj+A/3

因為二張h—,所以怎?a—色兀,

633

IIT)TTTT17T

當sin12tz—§J=l時，S-CDE取得最小值2-逐，此時2a—§=5，即。=衛(wèi)，

所以當a=石■時，ACDE的面積取到最小值，最小值為2-Q.

17.(15分)

(1)證明：取AD的中點。，連接PO,

因為△Q4O為等邊三角形，所以POLA。，

因為平面上4D_L平面ABC。，

平面B4Dc平面ABCD=AD,POu平面PAD，

所以平面ABC。，所以尸OLAB,

因為PD工AB,PDcPO=P,

所以AB_L平面R4D，

因為￡>Mu平面R4D，所以AB,。暇，

因為△Q4O為等邊三角形，舷為Q4的中點，

所以

因為ABcPA=人,人8,24＜=平面上鉆，

所以。/，平面MB.

(2)解：連接CO,

因為AZ)〃BC,AD=2BC,所以AO〃5C且40=5。，

所以四邊形ABCO為平行四邊形，所以A5〃OC，

所以O(shè)CL平面。AD，

以。為坐標原點，反，兩，萬的方向分別為x軸，＞軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標

系，

設(shè)5C=a,AD=2a（。＞0）

rh、

則C（2,0,0）,D（0,a,0）,P（0,0，C，B（2,—a,0）,M0,-^,—

I22J

所以麗=（2,—a,_耳），詢=_2,_/半｝①=（—2,a,0）,

設(shè)平面MCD的一個法向量為為=（尤,y,z）,

可得J22

-2x+ay-Q

令x=a,則為=(〃,2,24)，

設(shè)直線PB與平面MCD所成角為0,

當且僅當。2=當即。=2時取得最大值

a5

3

所以直線P5與平面MCD所成角的正弦值的最大值為

18.（17分）

解：⑴f^=^—2x+a=~2x2+aX+l，

axx

①當a>0時，〃x）的定義域為（0,+“），

令/即得一2爐+1%+1>0,所以2爐—a%—1<0,

因為八=。2+8>0，解得：0<x<a++色；

4

令/'（x）<0,2f—融—1>0,解得：x〉a+'/+8,

②當a<0時，/(x)的定義域為(—8,0),

令/'（%）>0,即得一2%2+ax+l<0,所以2/一a》—1>0,

因為A=/+8>0,解得：x<"'/+8,

4

令/'(%)<0,2%2_依_1<0,解得：a-+8<》<0,

(r-^---A

綜上：當a>0時，/("的單調(diào)遞增區(qū)間為0戶“：”,單調(diào)遞減區(qū)間為

ci+Ja~+8/\a-Ja~+8?

—)——,+"；當a<0時，/(力的單調(diào)遞減區(qū)間為-1——,0,單調(diào)遞增區(qū)間為

\7\7

(2)由題意知：設(shè)/z(x)=ae*(a>0)的切點橫坐標x=%,//(%)=ae*,則人⑺在x=西處的切線方程

為

y-aex'=aex'（x—玉）.③

5

設(shè)g(x)=f(x)+x2-ax=ln(ax)+-的切點橫坐標x=X2，g'(x)=—,則g(九)在％=%,處的切線方程

2x

為y-ln(ax2)T='(x-X2).④

1

聯(lián)立③④，得

3

ae畫(1一$)=In(a9)+a

當罰=1時，/=,，代入方程組，不成立,

ae

_3

所以消去/得a=《.上2(x產(chǎn)1).

e1X11

設(shè)函數(shù)夕⑴一二心0且

令0(x)=。，得尤=2或;.

令解得g<x<2且xwl；令。<0,解得x<g或%>2,

所以0(x)在［o,g］和(2,+8)上單調(diào)遞減，在［g1,"和(1,2)上單調(diào)遞增,

2

2/、1

因為。員血2)=云,?！?,

_3

,+8時，方程］玉一］有解,

結(jié)合圖象可知，當〃a

7e』玉一］

、

從而當aw10,-^-y

,+8時,曲線y=g(x)與y=〃(%)存在公切線.

7

19.(17分)

解：(1)因為1)=1,由①得/(2/)=/。,1)+2=3,

由②得/(2,2)=/(2,1)+4=3+4=7,

由①得/（2,3）=/（2,2）+4=7+4=11,

由②得/（3,3）=/（2,3）+6=11+6=17.

（2）由①得：/（2,1）-/（1,1）=2,

/（3,1）-/（2,1）=2,

將上述等式相加,