蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：平行四邊形（5種模型與解題方法）解析版

專題01平行四邊形（5種模型與解題方法）

目錄

題型一：中點四邊形題型二：正方形中的十字架模型

題型三：四邊形中的對角互補模型題型四：與正方形有關(guān)三垂線

題型五：正方形與45°角的基本圖

典型例題

題型一：中點四邊形

"中點四邊形"，也叫瓦里尼翁平行四邊形，是順次連接四邊形各邊中點而組成的四邊形，是四邊形的

內(nèi)接四邊形的一種特殊情況，一般有以下三種形態(tài)：

（原四邊形ABCD依次是：凸四邊形，凹四邊形，折四邊形）

（-）中點四邊形一定是平行四邊形

四邊形EFGH為平行四邊形四邊形EFGH為菱形

2.當(dāng)原四邊形對角線垂直時，其中點四邊形為矩形

四邊形EFGH為平行四邊形四邊形EFGH為矩形

3.當(dāng)原四邊形對角線垂直且相等時，其中點四邊形為正方形

四邊形EFGH為平行四邊形四邊形EFGH為正方形

（二）中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和

（=）中點四邊形的面積等于原四邊形面積的二分之一

一.選擇題（共5小題）

1.（2023春?棲霞區(qū)校級期中）如圖，點E、F、G、4分別是任意四邊形ABCD中4）、BD、BC、CA

的中點，要使四邊形是菱形，那么至少應(yīng)滿足的條件是（）

A

E

D

A.AC±BDB.AC=BDC.AB=CDD.AD=BC

【分析】由點E、F、G、X分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、C4的中點，根據(jù)三角形中位

線的性質(zhì)，可得跖=6，=’4瓦￡"=尸6=!。9,又由當(dāng)所=尸6=函=￡/7時，四邊形EFGH是菱形,

22

即可求得答案.

【解答】解：?.?點E、F、G、〃分別是任意四邊形ABCD中4）、BD、BC、C4的中點,

:.EF=GH=-AB,EH=FG=-CD,

22

?.?當(dāng)EF=FG=GH=EH時,四邊形￡FGH是菱形,

.?.當(dāng)AB=CD時，四邊形EFGH是菱形.

故選：C.

【點評】此題考查了中點四邊形的性質(zhì)、菱形的判定以及三角形中位線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用.

2.（2023春?高港區(qū)期中）如圖，在四邊形A3CD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA.的

中點.請你添加一個條件，使四邊形EFGH為菱形，應(yīng)添加的條件是（）

B.AC±BDC.CD=BCD.AC=BD

【分析】應(yīng)添加的條件為AC=3￡>,理由為：根據(jù)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、D4的中點,

利用三角形中位線定理及=等量代換得到四條邊相等，確定出四邊形EFGH為菱形，得證.

【解答】解：應(yīng)添加的條件是AC=8。，理由為:

證明：?.?￡、F、G、H分別為AB、BC、CD、ZM的中點，S.AC=BD,

:.EH=-BD,FG=~BD,HG=-AC,EF=-AC,

2222

：.EH=HG=GF=EF,

則四邊形EFG以為菱形,

故選：D.

【點評】此題考查了中點四邊形，以及菱形的判定，熟練掌握三角形中位線定理是解本題的關(guān)鍵.

3.（2023春?海州區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、〃分別是AB、BD、CD、AC的中

點，要使四邊形￡FGH是矩形，則四邊形MCD只需要滿足一個條件是（）

C.AC=DBD.AD±BC

【分析】首先得出四邊形￡7七”是平行四邊形，由yWLBC,得出由/，即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.,點E、F.G、4分別是的、BD、CD、AC的中點，

;.GH是AADC的中位線，EF是的中位線，GF是ACBZ）的中位線，

:.GH//AD,GH=-AD,EF=-AD,EF//AD,

22

:.GH//EF,GH=EF,

四邊形EFGH是平行四邊形.

當(dāng)四邊形是菱形時，ACYBC,

:.GHLGF,

此時四邊形EFGH是矩形;

【點評】本題考查了中點四邊形，三角形中位線定理、平行四邊形的判定、菱形的判定方法以及矩形的判定；

熟練掌握菱形和矩形的判定方法，由三角形中位線定理得出線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2023春?日于胎縣期中）如圖，E,F,G,H分別是BO,BC,AC,AD的中點，且AB=CD,下

列結(jié)論：①四邊形EFGH是菱形；②EG工FH；③若N&4￡）+NA￡）C=245。，則NEF"=27.5。；④

EG=~（BC-AD）；其中正確的個數(shù)是（）

A.I個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與筋=C0可得四邊形EFGH是菱形,

然后根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，并且平分每一組對角的性質(zhì)對各小題進行判斷.

【解答】解：:E、F、G、〃分別是BD、BC、AC、的中點，

EF=-CD,FG=-AB,GH=-CD,HE=-AB,AB//FG,CD//EF,

2222

■,AB=CD,

;.EF=FG=GH=HE,

.??四邊形耳是菱形，

，四邊形是菱形，故①正確；

:.EG±FH,故②正確；

ZBAD+ZADC=245°,

ZABC+ZDCB=115°,

■.■AB//FG,CD//EF,

:.ZCFG=ZABC,ZEFB=ZDCB,

ZCFG+ZEFB=115°,

ZEFG=180°-(ZCFG+ZEFB)=65°,

ZEFH=-ZEFG=32.5°,故③錯誤;

2

當(dāng)AD//BC,如圖所示：E,G分別為80,AC中點，

，連接CD,延長EG到CD上一點N,

22

EG=1（BC-AD）,只有AD/ABC時才可以成立，而本題4）與BC很顯然不平行，故④錯誤.

綜上所述，①②共2個正確.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形中位線定理與菱形的判定與菱形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中位線定理與AB=CD

判定四邊形EFGH是菱形是解答本題的關(guān)鍵.

5.（2023春?南京期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、〃分別是線段AD、BD、BC、AC的

中點，要使四邊形EFGH是菱形，需添加的條件是（）

BG

A.AC=BDB.AC±BDC.AB=CDD.ABLCD

【分析】由點E、F、G、〃分別是任意四邊形ABCD中AD、BD,BC、C4的中點，根據(jù)三角形中位

線的性質(zhì)，可得=GH=工AB,EH=打?=,又由當(dāng)￡F=FG=GH=EH時，四邊形EFGH是菱形，

22

即可求得答案.

【解答】解：;點E、F、G、”分別是任意四邊形ABCD中A。、BD、BC、C4的中點，

:.EF=GH=-AB,EH=FG=-CD,

22

:當(dāng)EF=FG=GH=EH時,四邊形EFGH是菱形，

.?.當(dāng)AB=CD時，四邊形EFGH是菱形.

故選：C.

【點評】此題考查了中點四邊形的性質(zhì)、菱形的判定以及三角形中位線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用.

二.填空題（共3小題）

6.（2023春?大豐區(qū)期中）如圖，已知矩形ABCD的對角線AC的長為10aw,順次連結(jié)各邊中點E、F、

G、H得四邊形EFGH,則四邊形EFGH的周長為20cm.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理易得四邊形的各邊長等于矩形對角線的一半，而矩形對角線是相等

的，都為10,那么就求得了各邊長，讓各邊長相加即可.

【解答】解：?.?〃、G是4）與CD的中點，

.〔HG是AACD的中位線，

:.HG=-AC=5cm,

2

同理EF=5a然，根據(jù)矩形的對角線相等，

連接班＞,

得至U：EH=FG=5cm,

.［四邊形EFGH的周長為20cm.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的應(yīng)用，能求出四邊形的各個邊的長是解此題的關(guān)鍵，注

意：矩形的對角線相等，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

7.（2023春?梁溪區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC_LBD,若AC=12,BD=9,則四邊

形ABCD各邊中點連線構(gòu)成的四邊形EFGH的面積是=27.

【分析】由三角形中位線定理推出FE7/HG,FE=GH,得到四邊形EFGH是平行四邊形，由FG//BZ）,

EF//AC,AC±BD,推出得EFGH是矩形，即可求出四邊形EFGH的面積.

【解答】解：?.?E,尸分別是AB,3c的中點，

1是AABC的中位線，

:.EF//AC,EF=-AC=6,

2

同理：GH//AC,GH=-AC,

2

:.FE//HG,FE=GH,

.［四邊形EFGH是平行四邊形，

■-F,G分別是3C,CD的中點，

.?.FG是ACBE）的中位線，

19

:.FG//BD,FG=-DB=~,

22

-,-EF//AC,AC±BD,

:.FE±FG,

四邊形EFGH是矩形，

四邊形EFGH的面積=￡F-FG=6x2=27.

【點評】本題考查中點四邊形，三角形中位線定理，矩形的判定，關(guān)鍵是由三角形中位線定理判定四邊形

EFGH是矩形.

8.（2023春?蘇州期中）如圖，四邊形是邊長為3的菱形，對角線AC+BD=8,點E,F,G,H

分別為邊AB,BC,CD,A￡＞中點，順次連接E,F,G,H.則四邊形EFGH的面積為3.5.

【分析】利用菱形性質(zhì)以及勾股定理得到修。2+（；町』』，即3+5=36,結(jié)合AC+如=8,

推出ACxBD=14,再根據(jù)中點四邊形的知識證明四邊形跳詼為矩形，根據(jù)矩形面積公式即可求解.

【解答】解：設(shè)菱形/WCD的對角線的交點為O,

BO=OD=-BD,ACYBD,

22

(|AC)2+(|BD)2=32=9,BPAC2+BD2=36,

■.■AC+BD=8,

AC2+BD2+2ACxBD=64,

ACxBD=14,

?.?點、E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,A￡>中點，

EH=-BD,EH//BD,EF=-AC,EF//AC,

22

四邊形EFGH為平行四邊形，

AC±BD,

:.EF.LEH,

.［四邊形EFGH為矩形，

四邊形EFGH的面積為EFxEH=；（ACxBD）=3.5,

故答案為：3.5.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，中點四邊形的知識，完全平方公式的變形，證明四邊形石尸而為矩形是解

題的關(guān)鍵.

三.解答題（共4小題）

9.（2023春?徐州期中）如圖，E、F、G、H為菱形ABCZ）各邊中點.

（1）求證：四邊形EFG8為矩形;

I邊形=6，貝IS菱形Me。二一12一

【分析】（1）連接AC、BD,根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理得到四邊形￡FGH為平行四

邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC，根據(jù)矩形的判定定理證明；

（2）根據(jù)菱形的面積公式計算，得到答案.

【解答】（1）證明：連接AC、BD,

,:H、G為4）、CD中點，

:.HG=-AC,HG//AC,

2

同理可得：EF=-AC,EF//AC,

2

:.EF//HG,EF=HG,

：.四邊形￡FG耳為平行四邊形，

?.?四邊形ABCD為菱形，

:.AC^BD,

E為AD、AB中點，

:.EH±HG,

.?.平行四邊形￡7竺”為矩形；

（2）斛：/S四邊形EFGH=6f

:.EHHG=6,

:.BDAC=24,

-^^ABCD=—BD-AC=12,

【點評】本題考查的是矩形的判定定理、三角形中位線定理、菱形的性質(zhì)，熟記有一個角是直角的平行四邊

形是矩形是解題的關(guān)鍵.

10.（2023春?靖江市期中）如圖1,A],與，C，分別是四邊形各邊的中點，且AC_L3￡>,AC=6,

BD=1O.

（1）試判斷四邊形A4GR的形狀，并證明你的結(jié)論；

（）如圖依次取耳，，的中點為，C,再依次取與，

22,A4GCQ|,B2,2D2,4B2C2,C2D2,

的中點&，……以此類推，取紇t，紇_。恒，C,TRT，的中點A“，

24B3,C3,D3A-a-A1TB?,cn,

2,根據(jù)信息填空：

①四邊形44GA的面積是；

②若四邊形A“BnC“D”的面積為竺，則n=—；

16

③試用n表示四邊形4紇GQ“的面積.

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理證明;

（2）①根據(jù)三角形中位線定理、矩形的面積公式計算；

②根據(jù)①的結(jié)論寫出前五個四邊形的面積，求出〃；

③根據(jù)②的規(guī)律解答.

【解答】（1）解：四邊形a耳是矩形，

證明：???A，G，2分別是四邊形ABCD各邊的中點，

:.\BJIAC,QDt//AC,

A4//CQi，

同理可得，A2//4G，

.-.四邊形44GA是平行四邊形

//G2，42//Be，AC±BD,

=ZAPC]=ZAHD=90°,

四邊形a耳是矩形；

（2）①Bt,C1；2分別是四邊形ABCD各邊的中點,

=—AC=3>=—BD=5>

矩形44G2的面積=3x5=15,

故答案為：15；

②由①可知，A4GQ的面積=15,

則4B2cB的面積=15X；,

A353c33的面積=15xJ,

A434c4A的面積=15x\,

AAC5R的面積=15x』=1|，

Zlo

..n—5，

故答案為：5；

③四邊形AnBnCnDn的面積=15xJ=￡，

故答案為：與.

2"T

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、矩形、菱形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的判定定理、菱形的判定定

理、根據(jù)圖形的變化找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

11.（2023春?姜堰區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，點E、F、G、”分別是鉆、BC、CD、A」D的

中點，連接AC、BD.

（1）求證：四邊形￡FG〃是平行四邊形；

（2）當(dāng)對角線AC與滿足什么關(guān)系時，四邊形EFG8是菱形，并說明理由.

【分析】（1）利用三角形中位線定理可得新四邊形的對邊平行且等于原四邊形一條對角線的一半，那么根據(jù)

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定所得的四邊形一定是平行四邊形；

（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，只要證明砂=E”即可.

【解答】（1）證明：?.,點E、F、G、H分別是鉆、BC、CD、AD的中點，

:.EF//AC,EF=-AC,HG//AC,HG=-AC,

22

:.EF//HG,EF=HG,

二.四邊形￡FG耳為平行四邊形;

（2）當(dāng)AC=BZ）時，四邊形瓦七〃是菱形，理由如下:

由（1）知：四邊形EFGH是平行四邊形.

?;E、H分別是AB、AD的中點，

:.EH=-BD.

2

5L-.-EF=-AC,

2

.,.當(dāng)AC=3Z）時，EF=EH,

，平行四邊形￡FG”是菱形.

【點評】此題考查了三角形的中位線定理和特殊四邊形的判定定理.熟記結(jié)論：順次連接四邊形各邊中點所

得四邊形是平行四邊形；順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形；順次連接對角線垂直的

四邊形各邊中點所得四邊形是矩形；順次連接對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是正方

形.

12.（2023春?鹽城期中）閱讀理解，我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫中點四邊形，

如圖1,在四邊形ABCD中，E,F,G,"分別是邊BC,CD,ZM的中點，依次連接各邊中點得

到中點四邊形

（1）這個中點四邊形EFGH的形狀是；

（2）如圖2,在四邊形ABCD中，點〃在至上且AAMD和AMCB為等邊三角形，E、F、G、H分

別為AB、BC、CD、AD的中點，試判斷四邊形的形狀并證明.

【分析】（1）連接AC,由三角形中位線定理得出EF//AC,EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,得

22

出EF//GH,EF=GH,即可得出結(jié)論；

（2）連接AC、DB,由等邊三角形的性質(zhì)得出AM=DM,ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM,證出

ZAMC=ZDMB,由&IS證明AAMCMADMB,得出AC=D3,由三角形中位線定理得出EF//AC,

EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,HE=-DB,得出EF//GH,EF=GH,證出四邊形EFG/f是

222

平行四邊形；再得出EF=HE,即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）中點四邊形￡FGH是平行四邊形；

理由如下：連接AC,如圖1所示：

■.■E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,的中點,

.?.即是AABC的中位線，GH是AACD的中位線，

:.EF//AC,EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,

22

.\EF//GH,EF=GH,

四邊形EFGH是平行四邊形；

故答案為：平行四邊形；

(2)四邊形￡FGH為菱形.理由如下：

連接4。與3。，如圖2所示：

???MMD和AMCB為等邊三角形，

:.AM=DM,ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM,

:.ZAMC=ZDMB,

在AWC?和AQMB中，

AM=DM

<ZAMC=ZDMB,

CM=BM

AAMC=ADMB(SAS),

AC=DB,

■：E,F,G,4分別是邊AB,BC,CD,的中點，

二砂是AABC的中位線，G"是AACD的中位線，HE1是A/曲的中位線,

:.EF//AC,EF=-AC,GH!/AC,GH=-AC,HE=-DB,

222

:.EF//GH,EF=GH,

：.四邊形EFGH是平行四邊形；

:AC=DB,

:.EF=HE,

四邊形EFGH為菱形.

圖1

【點評】本題考查了中點四邊形、菱形的判定方法、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟

練掌握中點四邊形，證明三角形全等得出4c=但是解決問題（2）的關(guān)鍵.

題型二：正方形中的十字架模型

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VI7\I

CC因:CBHC

3BFI—BHM(8

正方形ABCD中.矩形中，若

正方形ABCD中?若將如上ABCD將如上

AM±BN,則AM,BN若EF=HK.則過AM.BN

△ADM/△BAN.圖進行平移，易得點E?K分別作圖進行平移?易得

HK=BN=AM=ENLCD.KM_LGOADAM.故意一HK八?1M=

???AM=BN.即金

;匚?WK_.BC，易證AENF171rHllHKAB

r,r.??后卜一~1?從而ABEF?則釬一油,

=1.EF±HK.AD'

在

方

的

形

兩

正

對

分

各

別

取

邊

點

相

所若矩形的四條邊上存在互相疊的十字

不

并

著正方形的四條邊上存在互相垂直的十得*

條

段

果

線

如架則十字架長度之比等于矩形鄰邊之

字架，則十字架長度相等.h?

那

相

么

察th.

選擇題（共2小題）

1.（2022春?海門市校級期中）如圖，E、歹分別是正方形的邊CD、AE＞上的點，S.CE=DF,AE.

取相交于點O,下列結(jié)論：（1）AE=BF；（2）AE±BF；（3）AO=OE；（4）5AA=S四邊形中正確

的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD=DC,ZBAD=ND=90。，貝I由CE=D尸易得AF=QE,根據(jù)"SAS”

可判斷AA班'三AD4E,所以根據(jù)全等的性質(zhì)得N4BR=NE4D,

利用ZEAD+ZEAB=90。得至UZAB尸+ZE4B=90。，貝I]AE_1_3尸；連接BE,BE>BC,BA手BE,而

BO±AE,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到Q4wOE；最后根據(jù)-三AZME得5AA=以如，則

【解答】解：?.?四邊形ABCD為正方形,

:.AB=AD=DC,ZBAD=ZD=90°,

而CE=DF,

:.AF=DE,

在AAB/和AZME中

AB=DA

</BAD=/ADE,

AF=DE

/.AABF=ADAE（SAS）,

:.AE=BF9所以（1）正確；

:.ZABF=ZEAD,

ZEAD-^ZEAB=90°,

:.ZABF+ZEAB=90°,

,\ZAOB=90°,

.\AE±BF,所以（2）正確；

連接班，

?：BE>BC,

:.BAwBE,

而

:.OA^OE,所以（3）錯誤；

,/AABF=ADAE,

一.q-_JqAZM￡'

..^&ABF-^&AOF=^M>AE~^&AOF，

-S.OB=S四邊形DEOF，所以（4）正確.

故選：B.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“A&4”、“A4S”；

全等三角形的對應(yīng)邊相等.也考查了正方形的性質(zhì).

2.（2022春?江蘇無錫?八年級校考期末）如圖，將邊長為3的正方形ABCD紙片沿EF折疊，點C落在AB

邊上的點G處，點。與點H重合，CG與EF交于點P,取G”的中點Q,連接PQ,則AGPQ的周長最小值

是（）

9

C.—I-2-\/3D.

22

【答案】B

【分析】連接BP,取CD的中點M,連接P/W,根據(jù)折疊的性質(zhì)，PM=PQ,GH=DC,PC=PG,要求AGP。

的周長的最小值，只需求PM+PB的最小值，當(dāng)M、P、B三點共線時，PM+BP=BM最小,在RtABCM

中，勾股定理求出B/W,即可求解.

【詳解】解：連接8P,取CD的中點M,連接PM,

由折疊可知，PM=PQ,GH=DC,PC=PG,

在RtABCG中，P是CG的中點，

E1BP=PG=；GC,

E1Q是G”的中點，

OQG=；GH,

EBGPQ的周長=PQ+QG+PG=PM+GH+PB=PM+PB+；CD,

0CD=3,

3

00GPQ的周長=P/W+PB+—,

2

當(dāng)/W、P、B三點共線時，PM+BP=BM最小,

3/s

在RtABCM中，BM=—,

2

00GPQ的周長的最小值為3+3，.

2

故選B.

【點評】本題考查圖形的翻折變換，熟練掌握正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，正確添加輔助線是解題

的關(guān)鍵.

二.填空題(共2小題)

3.(2023春?宿豫區(qū)期中)如圖所示，將正方形ABOC放在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點，點3的坐標(biāo)

為(-2,3),則點A的坐標(biāo)為_(1,5)_.

［分析］過點5作3D，x軸于點D,過點A作DB的垂線交DB的延長線于點E,交y軸于點F,先證ABDO

和全等，從而得8=3E=2,BD=AE=3,進而得ED=5,AF=1,據(jù)此可求出點A的坐標(biāo).

【解答】解：過點3作BDLx軸于點。，過點4作的垂線交DB的延長線于點E,交y軸于點尸，

ZBOD+ZDBO=90°,

?.,四邊形ABOC為正方形,

:.OB=BA,ZABO=90°,

ZDBO+ZABE=90°,

:.ZBOD=ZABE,

在ABDO和AA￡B中，

ZBDO=NE=90°

<ZBOD=/ABE,

OB=BA

ABDO=AAEB(AAS),

:.OD=BE,BD=AE,

?.?點B的坐標(biāo)為(-2,3),

;.OD=2,BD=3,

...BE=2,AE=3,

:.ED=BD+BE=3+2=5,AF=AE-OD=3-2=1,

.,.點A的坐標(biāo)為（1,5）.

故答案為：（1,5）.

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌

握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定方法，難點是正確地作出作輔助線構(gòu)造出全等三角形.

4.（2023春?建鄴區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCZ）,四邊形AEC尸分別是菱形與正方形.若446=22。，

則/￡>=46°.

【分析】連接AC,則AC為正方形AEC廠與菱形ABCD的對角線，根據(jù)正方形及菱形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：連接AC,則AC為正方形AECF與菱形ABCD的對角線，

ZEAC=ZFAC=45°,ZBAC=ZDAC,

:.ZBAE=ZDAF=22°,

■.■AD=AC,

ZDAC=ADCA=45°+22°=67°,

ZD=180°—67°x2=46°,

故答案為：46.

【點評】本題主要考查了正方形及菱形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解決本題的關(guān)鍵.

三.解答題（共2小題）

5.（2022春?吳中區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD中，點尸，。分別為CD,AD邊上的點，且

連接BQ,AP.求證：BQLAP.

【分析】根據(jù)題意證明AABQvAZMP即可.

【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD,ZBAD=ZADC=90°,

DQ=CP,

:.AD-DQ=CD-CP,

:.AQ=DP,

:.M￡Q=M)AP(SAS),

:.ZDAP=ZABQ,

ZDAP+ZBAP=90°,

ZABQ+BAP90°,

:.BQ±AP.

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形中的“十字架”模型是解題關(guān)鍵.

6.(2023春?淮安期末)問題情境：蘇科版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第94頁第19題第(1)題是這樣一個問題：

如圖1,在正方形ABCD中，點、E、尸分別在邊3C、CD上，且尸，垂足為A/.那么AE與斯相

等嗎？

⑴直接判斷：AE_=_M(填"=”或"中")；

在“問題情境”的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探索：

問題探究：

(2)如圖2,在正方形ABCD中，點E、F、G分別在邊3C、CD和D4上，且GE_LB尸，垂足為那

么GE與加7相等嗎？證明你的結(jié)論；

問題拓展：

(3)如圖3,點E在邊CD上，且3W_LAE,垂足為H,當(dāng)H在正方形ABCD的對角線BD上時，連接4V,

將A/MW沿著4V翻折，點"落在點”處.

①四邊形A/iMr是正方形嗎？請說明理由；

?劉的最小值為一.

②若AB=6,點P在上，BD=3BP,直接寫出W+：

M

!'□

圖1圖20。3備用圖

【分析】(1)證明AABE三ABCF即可得出結(jié)論；

(2)過點A作⑷V〃GE,證明AABNMABCFG4AS),由日:匕可得⑷V=GE=B尸；

(3)①如圖3,連接C8,證明=,所以NBAH=ZBCH,AH=CH；由折疊可知，

AH=AH',NH=NH',由四邊形內(nèi)角和和平角的定義可得4VC=NNCH,所以NH=CH,則

NH=CH=AH=AH'=NH',所以四邊形AfCVW是菱形，再由“有一個角是直角的菱形是正方形”可得結(jié)

論；

②作交CB的延長線于點Q,作于點可證明△“QN二A2VFQ(A4S),由此可得

HfQ=NF；易證A6HF是等腰直角三角形，所以HF=BF=NF+BN,則NF=Q5=Q/T,可得

ZH,BQ=ZABH,=45°,貝!JNH'BD=90。；作P關(guān)于97的對稱點P,貝1JPH=PH'，可得

Ptr+ANuPH+WPH+AHW,求出AP的值即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)VAE±BF,

ZEMB=90°,

ZFBC+ZBEM=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

:.AB=BC,ZABC=ZC=90°,

:.AFBC+ZBFC=9^,

ZBEM=ZBFC,

在AABE和ABCF中，

ZABC=ZC

<ZBEM=ZBFC,

AB=BC

:.AABE=ABCF(AAS),

：.AE=BF.

故答案為：=;

(2)GE=BF,理由如下：

如圖2,過點A作AN//GE,交BF于點H,交員;于點N,

圖2

NEMB=ZNHB=90°,

ZFBC+ZBNH=90°,

???四邊形?WCD是正方形,

:.AD//BC,AB=BC,ZBAD=ZABC=ZC=90°,

-AD!IBC,AN!/GE,

四邊形4VEG是平行四邊形,

「.AN;EG,

???NC=90。，

:.AFBC+ZBFC=9^,

:,ZBNH=/BFC,

:.AABN=ABCF(AAS),

:.AN=BF,

\-AN=EG,

:.GE=BF.

???四邊形ABCD是正方形，是正方形的對角線,

,\ZABD=ZCBD=45°,AB=BC,

:.AABH=ACBH(SAS),

/.ZBAH=ZBCH,AH=CH,

由折疊可知，AH=AH，,NH=NHf,

???ZABN+ZAHN=180。，

ZBAH+ZBNH=180。，

,:ZBNH+ZHNC=\83,

ZBAH=ZHNC,

:.ZHNC=ZNCHf

:.NH=CH,

:.NH=CH=AH=AH'=NH',

二.四邊形AHNHf是菱形，

ZAHN=90°,

菱形AHNH，是正方形;

②如圖4,作交CB的延長線于點Q,作彼，5c于點

ZHrQN=ZHFB=90°,

由上知四邊形AHNH，是正方形,

Ji

:.HrN=HN,ZHrNH=90°,AHr=-AN,

2

AH'NQ+ZHNF=ZHNF+ZNHF=90°,

r

:.ZHNQ=ZNHFf

△HrQN=ANFHr(AAS),

：.HQ=NF,QN=HF；

?ZHBF=45。,ZHFB=90°,

」.ABHF是等腰直角三角形，

：.HF=BF=NF+BN,

\-QN=QB+BN,

,\NF=QB=QHr,

/.ZHrBQ=NAB"=45°,

:.ZHfBD=90°；

如圖4,作。關(guān)于5”的對稱點P,則WP",過點P作尸K,AB交AB延長線于點K,

則APBK是等腰直角三角形，

PHr+—AN=PHr+AHr=PrHr+AH,..AP,,即當(dāng)A,H',P三點共線時，PH+JAN最小,最小值

22

為W的長.

???AB=6,

BD=672,

?;BD=3BP,

BP=BP'=272,

:.PK=BK=2,

:.AK=8,

AP=V22+82=2后，即PH，+且AN的最小值為2，萬.

2

故答案為：2J萬.

【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等

腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形

的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵

題型三：四邊形中的對角互補模型

模型1:全等形一-90。對角互補模型

模型2:全等形-120°對角互補模型

模型3:全等形一一任意角對角互補模型

模型4:相似形一-90。對角互補模型（后面會學(xué)到）

一.選擇題（共1小題）

1.（2023春?金湖縣期中）如圖，AC是山WCD的對角線，點E在AC上，AD=AE=BE,ZD=105°,則

44（7是（）

DC

A.25°B.30°C.45°D.50°

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得至UN，鉆。=ND=105。，AD=BC,進而得到=ZBCE=ZBEC,

設(shè)NE4B的度數(shù)為x,列式計算即可.

【解答】解：?.?口至8,"=105。，

..ZABC=ZD=105°,AD=BC,

AD=AE—BE,

:.ZEAB=ZEBA,CB=BE,

:.ZBCE=ZBEC,

設(shè)ZE4S的度數(shù)為x,則：ZEBA=x,ZCEB=ZEAB+ZEBA=2x,ZACB=l80°-ZABC-ZCAB=75°-x,

:.2x=75°—x

「.％=25°,

:.ZBAC=25°；

故選A.

【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵.

解答題（共3小題）

2.（2020春?通山縣期末）定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形.

理解：

（1）在你所學(xué)過四邊形中，滿足等補四邊形定義的四邊形是正方形；

畫圖：

（2）如圖1,在正方形網(wǎng)格中，線段鉆的端點在格點上（小正方形的頂點），請你畫出1個以格點為頂點，

至為邊的等補四邊形ABCD;

探究：

（3）如圖2,在等補四邊形ABCD中，AB=AD,連接AC,AC是否平分N3CD?請說明理由.

圖2

【分析】（1）根據(jù)等補四邊形的定義，在梯形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形中分別分析每個圖形的性

質(zhì)，篩選符合定義的圖形即可；

（2）在格點上找滿足定義的點作為四邊形頂點即可；

（3）過點A分別作AE_LBC于點E,AF_LCD交CD的延長線于點尸，證明AABEMAADF,由全等三角

形的性質(zhì)得到,根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；

【解答】解：（1）滿足有一組鄰邊相等的四邊形有菱形、正方形，滿足對角互補的四邊形有矩形、正方形，

同時滿足兩個條件的只有正方形.

故答案為：正方形.

（3）AZ）平分N3CD,理由如下：

如圖2,過點A分別作AE_LBC于點E,AF_LCD交CD的延長線于點歹，

圖2

貝l]NA￡B=NAFD=90。，

四邊形ABCD等補四邊形，

.-.ZB+ZADC=180°，

又ZADC+ZADF=180°,

:.ZB=ZADF,

■.AB=AD,

:.AABE=AADF（AAS）,

:.AE=AF,

又AE_LBC,AFLCD,

.〔AC是ZSCF的平分線，即AC平分NBCD.

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了角平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，新定義等補四邊

形的理解與運用，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?分宜縣期末）我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做“完美四邊形”.

D

圖1圖2

（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是④（請?zhí)钚蛱枺?

（2）在“完美"四邊形ABCD中，AB^AD,ZB+ZD=180°,連接4c.

①如圖1,求證：AC平分N3CD;

小明通過觀察、實驗，提出以下兩種想法，證明AC平分ZBC。：

想法一：通過々+"=180。，可延長CB到E,使BE=CD,通過證明=AACD,從而可證AC平分

ZBCD;

想法二：通過=可將AACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使4）與鉆重合，得到AA￡B,可證C,B,E

三點在一條直線上，從而可證AC平分NBCD.

請你參考上面的想法，幫助小明證明AC平分N3CD;

②如圖2,當(dāng)NBAZ）=90。，用等式表示線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）由“完美四邊形”定義可求解；

（2）①想法一：由“81S”可證AADC=AABE,可得NACD=NAEB,AC=AE,由等腰三角形的性質(zhì)可

得結(jié)論；

想法二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NADC=NABE,ZACD=ZAEB,AC=AE,可證點C,B,E在一條直線上，

由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

②延長CB使3E=CD,連接從；，由①可得AACE為等腰三角形，由/?4￡>=90。，可證AACE1為等腰直角

三角形，即可得解.

【解答】解：（1）由“完美四邊形”的定義可得正方形是“完美四邊形”.

故答案為：④

（2）①想法一：延長CB使BE=CD,連接AE

D

?/ZADC+ZABC=180°,ZABE+ZABC=1SO°,

,\ZADC=ZABE

\-AD=AB,

:.^ADC=AABE(SAS)

,\ZACD=ZAEB,AC=AE

:.ZACB