蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常見幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：圓中的重要模型-圓中的翻折模型（原卷版）

專題04圓中的重要模型-圓中的翻折模型

知識(shí)儲(chǔ)備：

1、翻折變換的性質(zhì)：翻折前后，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分；

2、圓的性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；同弧或等弧所對(duì)的圓周角

相等；

3、等圓相交：如圖，圓。和圓G為兩個(gè)相等的圓，圓。和圓G相交，相交形成的弦為48,則弦為整

個(gè)圖形的對(duì)稱軸，圓心。和圓心G關(guān)于A8對(duì)稱，弧AC8和弧ADB為等弧，且關(guān)于對(duì)稱；

4、弧翻折（即等圓相交）：如圖，以弦2C為對(duì)稱軸，將弧翻折后交弦于點(diǎn)。，那么弧88所在的

圓圓G與圓。是相等的圓，且兩個(gè)圓關(guān)于8C對(duì)稱，故圓心。、G也關(guān)于8C對(duì)稱。

模型L圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）

如圖，以圓。的一條弦BC為對(duì)稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點(diǎn)D,則CD=CA

例L（2023春?浙江金華?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，A/RC是。。的內(nèi)接三角形，將劣弧AC沿AC折

若AC=6,ZC=60°,則。。的半徑長(zhǎng)為（）

C.海D.-V21

3

例2.（2022秋?江蘇?九年級(jí)?？紝ｎ}練習(xí)）如圖，以A8為直徑的半圓沿弦8c折疊后，A8與弧C8相交于

點(diǎn)?！艋』⊙?jiǎng)t取

例3.（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）如圖，已知A3是。O的直徑，且AB=4,C是。。上一點(diǎn)，將弧AC沿

直線AC翻折，使翻折后的圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心。，則（1）AC的長(zhǎng)是—.（2）劣弧BC的長(zhǎng)是

例4.（2023春,廣西?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，8是。。的直徑，A3是。。的弦，ABYCD,垂足為G,

OG:OC=3:5,AB=8,點(diǎn)E為圓上一點(diǎn)，NECD=15。，將CE沿弦CE翻折，交CD于點(diǎn)F,圖中陰影部

分的面積=

例5.（2023?山東濰坊?昌邑市校考二模）如圖，將扇形AOB翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開后折痕所在

直線/與弧A3交于點(diǎn)C,連接AC.若。4=3,則圖中陰影部分的面積是（）

.3/9g。5萬(wàn)9百「963%c3乃

A.-----------------D.-------------------C.-----------------D.—

2424222

例6.（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在回。中，點(diǎn)C在優(yōu)弧山j(luò)上，將BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB

的中點(diǎn)D,連接AC,CD.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

①AC=CD；②AD=BD；③AC+BD—C;④CD平分MCB

例7.（2022春?福建福州?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AB是回。的直徑，BC是回。的弦，先將8C沿2c翻

折交A2于點(diǎn)。，再將B￡）沿A2翻折交BC于點(diǎn)E.若BE=DE，貝崛2。的度數(shù)是（）

例8.（2023?湖北黃石??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在半圓。中，直徑AB=4,C是半圓上一點(diǎn)，將弧AC沿弦AC

折疊交AB于。，點(diǎn)E是弧AD的中點(diǎn).連接OE,則OE的最小值為（）

、、C

A.V2-1B.4-V2c.V2+1D.25/2-2

例9.(2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模)如圖回。中直徑A8=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

C8沿線段BC折疊交于點(diǎn)D.(1)如圖1,當(dāng)S48c=20。時(shí)，求此時(shí)AC的長(zhǎng).

(2)如圖2,連結(jié)AC,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，求此時(shí)AC的長(zhǎng).

(3)設(shè)AC=x,DO=y,請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及自變量x的取值范圍.

圖1

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?福建龍巖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB.AC為。。的兩條弦，A2=30，AC=4,將A3折疊后

剛好過(guò)弦AC的中點(diǎn)。，則。。的半徑為（）

A.2y/2B.V5C.5D.幣

2.（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖，已知AB的半徑為5,所對(duì)的弦長(zhǎng)為8,點(diǎn)尸是Ag的中點(diǎn)，將Ag

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到AB，三位同學(xué)提出了相關(guān)結(jié)論：

嘉嘉：點(diǎn)尸到A3的距離為2淇淇：AP的長(zhǎng)為2百嘉淇：線段AP掃過(guò)的面積為2信

A.嘉嘉對(duì)，淇淇錯(cuò)B.淇淇對(duì)，嘉淇錯(cuò)C.嘉嘉錯(cuò)，嘉淇錯(cuò)D.淇淇錯(cuò)，嘉淇對(duì)

3.（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖，。。的直徑AB=4,C是。。上一點(diǎn)，將AC沿直線AC翻折，若翻折

后的圓弧恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為（）

C容20

4.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形AO3中，點(diǎn)CD在弧AB上，將弧8沿弦以?折疊后恰好與

04,03相切于點(diǎn)瓦尸.已知ZAO5=120。，OA=6,則。的長(zhǎng)為（）

A.9B.3回C.4■底D.673

5.（2023秋?浙江寧波?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將。。沿弦A3折疊，點(diǎn)C,。分別是兩條弧的中點(diǎn)，AC與

的度數(shù)之比為3：4,則NADB的度數(shù)是（）

D.150°

6.（2022?河南商丘?校考一模）如圖1所示是一張圓形紙片，直徑A8=8,現(xiàn)將點(diǎn)A折疊至圓心。形成折痕

CD,再把C、。折疊至圓心。處，最后將圓形打開鋪平（如圖2所示），則4的長(zhǎng)是（）

圖2

A.—71B.-71C.—71D.-71

3333

7.（2022秋?浙江紹興?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把一張直徑為2的半圓形紙片按如圖所示方式折疊一次后展開,

圖中的虛線表示折痕，則BC的長(zhǎng)度是（）

BD

A.-71B.-71C.一兀D.—71

34612

8.（2022春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知半圓O的直徑AB=8,C是半圓上一點(diǎn)，沿AC折疊半圓得到弧ADC,

交直徑于點(diǎn)。，若ZM、03的長(zhǎng)均不小于2,則AC的長(zhǎng)可能是（）

A.7B.6C.5D.4

9.（2023?北京?統(tǒng)考二模）如圖，是回。的直徑，C是回。上一點(diǎn)，將弧AC沿直線AC翻折，若翻折后的

圖形恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，貝幅CAB=

10.（2023春?北京海淀?九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，將半徑為3cm的圓形紙片折疊后，劣弧中點(diǎn)C恰好與

圓心。距離1cm,則折痕AB的長(zhǎng)為cm.

11.（2023?河南周口,統(tǒng)考二模）如圖①，A3為半圓。的直徑，點(diǎn)C在A8上從點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，將BC沿

弦3C,翻折，翻折后BC的中點(diǎn)為設(shè)點(diǎn)A,C間的距離為x,點(diǎn)。，。間的距離為y,圖②是點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng)時(shí)y隨X變化的關(guān)系圖象，則A3的長(zhǎng)為.

①②

12.（2022秋?河南商丘?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E是。。上5個(gè)點(diǎn)，若AB=AO=2,

將弧。沿弦CO翻折，使其恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，此時(shí)，圖中陰影部分恰好形成一個(gè)"鉆戒型”的軸對(duì)稱圖形，"鉆

13.（2023,江蘇宿遷?九年級(jí)階段練習(xí)）如圖①是半徑為2的半圓，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將半圓如圖②

方式翻折，使得點(diǎn)C與圓心O重合，則圖中陰影部分的面積是—.

圖①圖②

14.（2022秋?山東濟(jì)寧?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，將半徑為rem的。。折疊，弧A2恰好經(jīng)過(guò)與A2垂直的半

徑OC的中點(diǎn)。，已知弦A3的長(zhǎng)為4厲5,貝什=cm.

C

14.（2023?廣東?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AA5c是回。的內(nèi)接三角形，回。的半徑為2,將劣弧AC（虛

線）沿弦AC折疊后交弦BC于點(diǎn)。，連接AD.若NACB=60。，則線段的長(zhǎng)為.

15.（2022春?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在。。中，為。。的直徑，弦CDLAfi,垂足H在半徑OB

上.若劣弧。沿著直線CZ）翻折，點(diǎn)B落在上的點(diǎn)E處（點(diǎn)E不與點(diǎn)AO重合），連結(jié)8,CE,C8.（1）

求證：ZACE=ZDCO.（2）延長(zhǎng)CE交。。于點(diǎn)"，連結(jié)AM,若AM=10,OE=3,求/ACE1的正弦值.

16.（2023?江西?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1,在AABC中，AB=AC,以BC為弦的。。與A3相切于點(diǎn)5.

（1）求證：AC是0。的切線；（2）將。。中BC以下部分沿直線8C向上翻折.

①如圖2,若翻折后的弧過(guò)A3中點(diǎn)D,并交AC于點(diǎn)E,請(qǐng)判斷DE與8C的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②如圖3,若AB=2g,且翻折后的弧恰好過(guò)點(diǎn)A,則O。的半徑為.

17.（2023,江蘇無(wú)錫,九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1,將長(zhǎng)為10的線段OA繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。得到08,點(diǎn)A的運(yùn)

動(dòng)軌跡為尸是半徑。B上一動(dòng)點(diǎn)，。是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接尸。.

（1）當(dāng)回尸。。=時(shí)，