偏微分方程理論學習

/偏微分方程理論學習偏微分方程發(fā)展簡介常微分方程十七世紀微積分創(chuàng)立之后,常微分方程理論立刻就發(fā)展起來,當時應(yīng)用常微分方程,解決幾何與理學中的新問題。結(jié)果是在天體理學中不僅能得到并解釋早先已經(jīng)知曉的那些事實,而且得到了性的發(fā)現(xiàn)〔例如,海王星的發(fā)現(xiàn)就是在對微分方程分析的基礎(chǔ)上作出的。偏微分方程偏微分方程的研究要晚得多,對物理學中出現(xiàn)的偏微分方程研究在十八世紀中葉導致了分析學的一個新的分支數(shù)學物理方程的建立。J.達朗貝爾〔D’Alembert〔1717-1783、L.歐拉〔Euler〔1707-1783、D.伯努利<Bernoulli>〔1700-1782、J.拉格朗日<Lagrange>〔1736-1813、P.拉普拉斯<Laplace>〔1749-1827、S.泊松<Poisson>〔1781-1840、J.傅里葉<Fourier>〔1768-1830等人的工作為這一學科分支奠定了基礎(chǔ)。它們在考察具體的數(shù)學物理問題中,所提出的思想與方法,竟適用于眾多類型的微分方程,成為十九世紀末偏微分方程一般理論發(fā)展的基礎(chǔ)。十九世紀,偏微分方程發(fā)展的序幕是由法國數(shù)學家傅里葉拉開的,他于1822年發(fā)表的《熱的解析理論》是數(shù)學史上的經(jīng)典文獻之一。傅里葉研究的主要是吸熱或放熱物體內(nèi)部任何點處的溫度隨空間和時間的變化規(guī)律。在對物體的物理性狀作出一定的限制〔如均勻、各向同性后,他根據(jù)物理原理推導出了三維空間的熱傳導方程,其中k是一個參數(shù),其值依賴于物體的質(zhì)料。傅里葉當時解決的是如下特殊的熱傳導問題：設(shè)所考慮的物體為兩端保持在溫度0度、表面絕熱且無熱流通過的柱軸。在此情形下求解上述熱傳導方程,因為柱軸只涉及一維空間,所以這個問題也就是求解偏微分方程其中后面兩項分別是邊界條件和初始條件。傅里葉為解這個方程用了分離變量法,他得到滿足方程和邊界條件的級數(shù)解為為了滿足初始條件,必須有這就促使傅里葉不得不考慮任給一個函數(shù),能否將它表示成三角級數(shù)的問題。傅里葉得出的結(jié)論是：每個函數(shù)都可以表示成這樣,每個可由上式乘以,再從0到積分而得到。他還指出這個程序可以應(yīng)用于表達式接著,他考慮了任何函數(shù)在區(qū)間的表達式,利用對稱區(qū)間上的任何函數(shù)可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和這一事實,傅里葉可以將區(qū)間上的任何函數(shù)表示為其系數(shù)由確定,這就是我們通常所稱的傅里葉級數(shù)。為了處理無窮區(qū)域上的熱傳導問題,傅里葉同時還導出了現(xiàn)在所謂的"傅里葉積分"：需要指出的是,傅里葉從沒有對"任意"函數(shù)可以展成傅里葉級數(shù)這一斷言給出過任何完全的證明,它也沒有說出一個函數(shù)可以展開為三角級數(shù)必須滿足的條件。然而傅里葉本人對此充滿信心,因為他的信念有幾何上的根據(jù)。傅里葉的工作不僅發(fā)展了偏微分方程的理論,而且使函數(shù)概念得以改進,同時也標志著人們從解析函數(shù)或可展成泰勒級數(shù)的函數(shù)中解放出來。傅里葉的前輩都曾堅持一個函數(shù)必須是可用單個式子表示的,而傅里葉級數(shù)卻可以表示那些在區(qū)間或的不同部分有不同解析式的函數(shù),不論這些表示式相互是否連續(xù)地接合著。特別是,一個傅里葉級數(shù)是在一整段區(qū)間上表示一個函數(shù)的,而一個泰勒級數(shù)僅在函數(shù)的解析點附近表示該函數(shù)。事實上,傅里葉的主要思想早在1807年他提交巴黎科學院的一篇關(guān)于熱傳導的論文中就出現(xiàn)了,但是這篇論文在拉格朗日等人評審后遭到拒絕。1811年,他又提交了經(jīng)過修改的論文,以爭取科學院為熱傳導問題所設(shè)立的高額獎金。這次他雖然獲了獎,但仍因受到缺乏嚴格性的批評而未能將論文發(fā)表在當時科學院的《報告》里。1824年,傅里葉成為科學院的秘書,這回他終于能夠把他1811年的論文原封不動地發(fā)表在《報告》里,而這已經(jīng)是在他的名著《熱的解析理論》出版兩年以后的事情了。十九世紀偏微分方程的另一個重要發(fā)展是圍繞著位勢方程來進行的,這方面的代表人物格林<G..Green>是一位磨坊工出身、自學成才的英國數(shù)學家。位勢方程也稱拉普拉斯方程：拉普拉斯曾采用球面調(diào)和函數(shù)法解這個方程,不過他得到一個錯誤的結(jié)論,認為這個方程當被吸引的點<x,y,z>位于物體內(nèi)部時也成立。這個錯誤由泊松加以更正。泊松指出,如果點<x,y,z>在吸引體內(nèi)部,則滿足方程,其中是吸引體密度,它也是x,y,z的一個函數(shù)。拉普拉斯和泊松的方法都只適用于特殊的幾何體,格林則認識到函數(shù)的重要性,并賦予它"位勢"<potential>的名稱,與前人不同的是,格林發(fā)展了函數(shù)的一般理論。他求解位勢方程的方法與用特殊函數(shù)的級數(shù)方法相反,稱為奇異點方法。他在1828年私人印刷出版的小冊子《關(guān)于數(shù)學分析應(yīng)用于電磁學理論的一篇論文》中,建立了許多推動位勢論的進一步發(fā)展極為關(guān)鍵的定理與概念,其中以格林公式〔n為物體表面指向外部的法向,dv是體積元,d是面積元和作為一種帶奇異性的特殊位勢的格林函數(shù)概念影響最為深遠。格林是劍橋數(shù)學物理學派的開山祖師,他的工作培育了湯姆遜<W.Thomson>、斯托克斯<G.Stokes>、麥克斯韋<J.C.Maxwell>等強有力的后繼者,他們是十九世紀典型的數(shù)學物理學家。他們的主要目標,是發(fā)展求解重要物理問題的一般數(shù)學方法,而他們手中的主要武器就是偏微分方程,以至于在十九世紀,偏微分方程幾乎變成了數(shù)學物理的同義詞。劍橋數(shù)學物理學派的貢獻使經(jīng)歷了一個多世紀沉寂后英國數(shù)學在十九世紀得以復(fù)興,麥克斯韋1864年導出的電磁場方程是十九世紀數(shù)學物理最壯觀的勝利,正是根據(jù)對這組方程的研究,麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在,不僅給科學和技術(shù)帶來巨大的沖擊,同時也是偏微分方程威名大振。愛因斯坦在一次紀念麥克斯韋的演講中說："偏微分方程進入理論物理學時是婢女,但逐漸變成了主婦,"他認為這是從十九世紀開始的,而劍橋數(shù)學物理學派尤其是麥克斯韋在這一轉(zhuǎn)變中起了重要的作用。除了麥克斯韋方程,十九世紀導出的著名偏微分方程組還有粘性流體運動的納維<C.L.M.H.Navier>-斯托克斯和彈性介質(zhì)的柯西方程等。所有這些方程都不存在普遍解法。不過,十九世紀的數(shù)學家們已經(jīng)逐漸認識到在偏微分方程的情形,無論是單個方程還是方程組,通解實際上不如初始條件和邊界條件已給出的特殊問題的解有用。因此他們在求解定結(jié)問題方面作了大量工作。對18、19世紀建立起來類型眾多的微分方程,數(shù)學家們求顯式解的努力往往歸于失敗,這種情況促使他們轉(zhuǎn)而證明解的存在性。最先考慮微分方程解的存在性問題的數(shù)學家是柯西。他指出：在求顯式解無效的場合常?？梢宰C明解的存在性。他在19世紀20年代對形如的常微分方程給出了第一個存在性定理,這方面的工作被德國數(shù)學家李普希茨<R.Lipschitz>、法國數(shù)學家劉維爾<J.Liouville>和皮卡<C.E.Picard>等追隨?？挛饕彩怯懻撈⒎址匠探獾拇嬖谛缘牡谝蝗?他在1848年的一系列論文中論述了如何將任意階數(shù)大于1的偏微分方程化為偏微分方程組,然后討論了偏微分方程組解的存在性并提出了證明存在性的強函數(shù)方法。柯西的工作后來被俄國女數(shù)學家柯瓦列夫斯卡婭<C.B.Ковалевская>獨立地發(fā)展為包括擬線性方程和高階組在內(nèi)非常一般的形式。有關(guān)偏微分方程解的存在唯一性定理在現(xiàn)代文獻中就稱為"柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理"?？峦吡蟹蛩箍▼I是歷史上為數(shù)不多的杰出女數(shù)學家之一。她出生于莫斯科一個貴族家庭,17歲時就在彼得堡一位海軍學校教師指導下掌握了微積分。然而當時俄國的大學拒收女生,為了求學深造,他只好出走德國,先在海德堡大學學習一年,后來慕名到柏林求見威爾斯特拉斯。初次見面,威爾斯特拉斯出了一堆難題考她,估計她多半做不出來,但一周以后,當柯瓦列夫斯卡婭如期帶著完滿的答卷回來見他時,這位名重一時的數(shù)學家對她的數(shù)學才能不再懷疑。當時的柏林大學跟俄國的大學一樣不收女生,威爾斯特拉斯決定為柯瓦列夫斯卡婭單獨授課,每星期日下午一次,四年不曾中斷。在這四年時間里,柯瓦列夫斯卡婭不僅學完了大學的全部數(shù)學課程,而且還寫出了三篇重要論文,其中一篇就是前面提到的關(guān)于偏微分方程解存在性的研究。這些工作是那么出色,以至于哥廷根大學在沒有經(jīng)過考試和答辯的情況下破格授予她博士學位,使她成為歷史上第一位女數(shù)學博士。由于18世紀的大量開發(fā),常微分方程的求解在19世紀反而局限于用分離變量法解偏微分方程時所得到的那些方程,并且多半使用級數(shù)解,這引導出一串特殊函數(shù),如貝塞爾<Bessel>函數(shù)、高斯<Gauss>超幾何函數(shù)等等。在十九世紀后半葉,對常微分方程研究的理論方面變得突出,并且在常微分方程解析理論和定性理論兩個大的方向上開拓了常微分研究的新局面,其中重大發(fā)展都與龐加萊<H.Poincare>的名字聯(lián)系著。龐加萊從27歲起任巴黎大學教授,直到他去世。他是歐拉、柯西之后最多產(chǎn)的數(shù)學家,并且在研究領(lǐng)域的廣泛方面很少有人能與他相比。每年他在巴黎大學講授一門不同的科目,而在每一門科目中,他都留著他自己的創(chuàng)造印記。龐加萊、克萊因和希爾伯特,是在19和20世紀數(shù)學交界線上高聳著的三個巨大身影。他們放射著19世紀數(shù)學的光輝,同時照耀著通往20世紀數(shù)學的道路。在19世紀末,數(shù)學發(fā)展呈現(xiàn)出一派生機勃勃的景象,這與18世紀形成了鮮明的對比。無論從內(nèi)部需要還是外部應(yīng)用看,數(shù)學家們似乎都有做不完的問題。1900年8月5日,龐加萊宣布巴黎國際數(shù)學家大會開幕,正是在這次會議期間,希爾伯特充滿信心地走上講臺,以他著名的23個問題揭開了20世紀數(shù)學的序幕。當研究在解決物理問題的過程中出現(xiàn)的具體微分方程時,往往會產(chǎn)生一些極具普遍性、起初并沒有嚴格的數(shù)學根據(jù)而應(yīng)用于范圍廣泛物理問題的方法。例如,傅里葉方法、里茨〔Ritz方法、伽遼金〔Галёркин方法、攝動理論方法等就是這一類方法。這些方法應(yīng)用的有效性成為試圖對它們進行嚴格論證的原因之一。這就導致新的數(shù)學理論、新的研究方向的建立〔傅里葉積分理論、本證函數(shù)展開理論和廣義函數(shù)論等等。二、偏微分方程理論的兩個特點1.偏微分方程理論與應(yīng)用、與物理問題的直接聯(lián)系偏微分方程理論產(chǎn)生于那些歸結(jié)為考察某些具體偏微分方程的具體物理問題的研究,這些方程便得到數(shù)學物理方程的稱謂。數(shù)學在物理中應(yīng)用的歷史較長,18世紀是數(shù)學與經(jīng)典力學相結(jié)合的黃金時期,19世紀數(shù)學應(yīng)用的重點轉(zhuǎn)移到電學與電磁學,并且由于劍橋?qū)W派的努力而形成了數(shù)學物理分支。進入20世紀以后,隨著物理科學的發(fā)展,數(shù)學相繼在應(yīng)用于相對論、量子力學以及基本粒子理論等方面取得了一個又一個突破,極大地豐富了數(shù)學物理的內(nèi)容,同時也反過來刺激了數(shù)學自身的進步。在20世紀初狹義相對論和廣義相對論的創(chuàng)立過程中,數(shù)學都建有奇功。1907年,德國數(shù)學家閔可夫斯基<Minkowski>提出了"閔可夫斯基空間",即將時間與空間融合在一起的四維時空。閔可夫斯基幾何為愛因斯坦狹義相對論提供了適合的數(shù)學模型。有了閔可夫斯基時空模型后,愛因斯坦又進一步研究引力場理論以建立廣義相對論。1912年夏他已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理,但為了實現(xiàn)廣義相對論的目標,還必須尋求理論的數(shù)學結(jié)構(gòu),愛因斯坦為此花費了3年的時間,最后在數(shù)學家格羅斯曼<Grossmann>介紹下掌握了發(fā)展相對論引力學說所必需的數(shù)學工具以黎曼幾何為基礎(chǔ)的絕對微分學,亦即愛因斯坦后來所稱的張量分析。在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中,愛因斯坦終于導出了廣義協(xié)變的引力場方程就是黎曼度量張量。愛因斯坦指出："由于這組方程,廣義相對論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成！"根據(jù)愛因斯坦的理論,時空整體是不均勻的,只是在微小的區(qū)域內(nèi)可以近似地看作均勻。在數(shù)學上,廣義相對論的時空可以理解為一種黎曼空間,非均勻時空連續(xù)區(qū)可借助于現(xiàn)成的黎曼度量來描述。這樣,廣義相對的數(shù)學表述第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實意義,成為歷史上數(shù)學應(yīng)用最偉大的例子之一。20世紀數(shù)學物理的另一項經(jīng)典成果是量子力學數(shù)學基礎(chǔ)的確立。20世紀初,普朗克<M.Planck>、愛因斯坦、玻爾<N.Bohr>等創(chuàng)立了量子力學,但是到1925年為止,還沒有一種量子理論能以統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)來概括這一領(lǐng)域已經(jīng)積累的知識,當時的量子力學可以說是本質(zhì)上相互獨立的、有時甚至相互矛盾部分的混合體。1925年有了重要進展,由海森堡<W.Heisenberg>建立的矩陣力學和由薛定諤發(fā)展的波動力學形成了兩大量子理論,而進一步將這兩XX論融合為統(tǒng)一的體系,便成為當時科學界的當務(wù)之急。恰恰在這時,數(shù)學又起了意想不到的但卻是決定性的作用。1927年,希爾伯特和馮·諾依曼、諾德海姆<L.Nordheim>合作發(fā)表了論文《論量子力學基礎(chǔ)》,開始了用積分方程等分析工具使量子力學統(tǒng)一化的努力。在隨后兩年中,馮·諾依曼又進一步利用他從希爾伯特關(guān)于積分方程的工作中提煉出來的抽象希爾伯特空間理論,去解決量子力學的特征值問題,并最終將希爾伯特的譜理論推廣到量子力學中經(jīng)常出現(xiàn)的無界算子情形,從而奠定了量子力學的嚴格數(shù)學基礎(chǔ)。1932年,馮·諾依曼發(fā)表了總結(jié)性著作《量子力學的數(shù)學基礎(chǔ)》,完成了量子力學的公理化。抽象的數(shù)學成果最終成為其他科學新理論的仿佛是量身定做的工具,在20世紀下半葉又演出了精彩的一幕,這就是大范圍微分幾何在統(tǒng)一場論中的應(yīng)用。廣義相對論的發(fā)展,逐漸促使科學家們?nèi)で箅姶艌雠c引力場的統(tǒng)一表述,這方面第一個大膽的嘗試是數(shù)學家外爾<H.Weyl>在1918年提出的規(guī)范場理論,外爾自己稱之為"規(guī)范不變幾何"。統(tǒng)一場論的探索后來又擴展到基本粒子間的強相互作用和弱相互作用。1954年,物理學家楊振寧和米爾斯<R.L.Mills>提出的"楊-米爾斯理論",揭示了規(guī)范不變性可能是所有四種〔電磁、引力、強、弱相互作用的共性,開辟了用規(guī)范場論來統(tǒng)一自然界這4中相互作用的新途徑。數(shù)學家們很快就注意到楊-米爾斯理論所需要的數(shù)學工具早已存在,物理規(guī)范勢實際上就是微分幾何中纖維叢上的聯(lián)絡(luò),20世紀30、40年代以來已經(jīng)得到深入的研究。不僅如此,人們還發(fā)現(xiàn)規(guī)范場的楊-米爾斯方程是一組在數(shù)學上有重要意義的非線性偏微分方程。1975年以來,對楊-米爾斯方程的研究取得了許多重要成果,展示了統(tǒng)一場論的誘人前景,同時也推動了數(shù)學自身的發(fā)展。數(shù)學不僅在物理、化學等傳統(tǒng)學科中有著廣泛而重要的應(yīng)用,數(shù)學在生物學中應(yīng)用自20世紀初以來得到了很大發(fā)展。1926年,意大利數(shù)學家伏爾泰拉<V.Volterra>提出著名的伏爾泰拉方程。從此微分方程又成為建立各種生物模型的重要工具。用微分方程建立生物模型在20世紀50年代曾獲得轟動性成果,這就是描述神經(jīng)脈沖傳導過程的數(shù)學模型霍奇金<Hodgkin>-哈斯利<Huxley>方程<1972>和描述視覺系統(tǒng)側(cè)抑制作用的哈特萊茵<Hartline>-拉特利夫<Ratliff>方程<1958>,它們都是復(fù)雜的非線性方程組,引起了數(shù)學家和生物學家的濃厚興趣。這兩項工作分別獲得1963年和1967年度諾貝爾醫(yī)學生理學獎。與物理、化學和生物、甚至于經(jīng)濟領(lǐng)域現(xiàn)象有關(guān)的數(shù)學問題提出,導致現(xiàn)象的數(shù)學理想化,或者換句話說,導致建立描述所研究的各類現(xiàn)象基本規(guī)律的數(shù)學模型。對于一系列現(xiàn)象的數(shù)學模型的建立在于歸結(jié)為以基本物理、經(jīng)濟規(guī)律為基礎(chǔ)的方程,這些模型僅僅考慮到現(xiàn)象的本質(zhì)特點而忽略一系列次要的特點。例如,動量守恒、能量守恒、質(zhì)量守恒等就是這樣的規(guī)律。用這種方法可以得到在電動力學、聲學、彈性力學、流體動力學以及其他連續(xù)介質(zhì)力學的分支所研究的物理現(xiàn)象的方程。用數(shù)學方法研究數(shù)學模型不僅可以得到物理現(xiàn)象的定量特征,以給定的精度計算實際過程,還可能洞察物理現(xiàn)象的本質(zhì),有時還可以預(yù)言新的效果。偏微分方程理論與其他數(shù)學分支如泛函分析、函數(shù)論、拓撲學、代數(shù)、復(fù)分析的緊密聯(lián)系。偏微分方程理論廣泛應(yīng)用數(shù)學這些領(lǐng)域中的基本概念、基礎(chǔ)思想和基本方法,并且它本身也給這些學科分支的研究問題的范圍與方向以影響。弦振動的研究就是這種相互影響的經(jīng)典范例。弦振動是達朗貝爾于1747年建立的,它還得到了表達這個方程通解的公式。歐拉得出弦振動方程柯西〔Cauchy問題解的公式：這個公式今天稱為達朗貝爾公式。D.伯努利斷言：弦振動方程的任何解均可表示為三角級數(shù)。歐拉同達朗貝爾、D.伯努利關(guān)于弦振動方程解的性質(zhì)的爭論,對數(shù)學物理、分析學,特別是三角級數(shù)理論的發(fā)展具有重要意義。J．傅里葉在1822年進一步研究了用三角級數(shù)表示函數(shù)的問題,這是與熱傳到問題有關(guān)的。隨后在L.狄利克雷〔Dirichlet〔1805-1859的工作中最先指出了把函數(shù)展開成三角級數(shù)的充分條件。最先出現(xiàn)在數(shù)學物理問題中的把函數(shù)表示成三角級數(shù)的問題在很大程度上促成了現(xiàn)代的集論與函數(shù)論的建立。偏微分方程在幾何上的應(yīng)用產(chǎn)生了微分幾何,古典微分幾何多是局部性即小范圍的。黎曼幾何在空間每一點附近建立局部的二次微分型式19世紀末,意大利數(shù)學家里奇<C.G.Ricci>發(fā)展了黎曼關(guān)于微分型式不變量的研究,開創(chuàng)了所謂"絕對微分學",即現(xiàn)在的張量分析,系統(tǒng)地研究里面度量在坐標變換之下的不變性。1917年,里奇的學生列維<T.Levi>-奇維塔<Civita>引進"列維-奇維塔平移",將歐氏空間的平行概念推廣到彎曲空間,是黎曼幾何具有了明顯的幾何意義。后來外爾發(fā)現(xiàn)平行性與空間的度量性質(zhì)無關(guān),從而建立所謂仿射聯(lián)絡(luò)<1918>,擺脫度量定義平移與曲率,從而建立更廣泛的幾何理論。1920年以后嘉當<E.Cartan>發(fā)展了一般的聯(lián)絡(luò)理論與活動標架法。嘉當聯(lián)絡(luò)是纖維叢概念的先聲,但在20世紀30年代以前,黎曼幾何的研究,包括嘉當?shù)墓ぷ?主要是小范圍的。1925年,霍普夫<Hopf>注意到黎曼空間的微分幾何結(jié)構(gòu)與拓撲結(jié)構(gòu)的關(guān)系,微分幾何開始經(jīng)歷從局部到整體的轉(zhuǎn)移。整體微分幾何以研究微分幾何〔小范圍性質(zhì)與大范圍性質(zhì)之間的聯(lián)系為目標。由于纖維叢的概念反映了流形的固有的圖片性質(zhì),它提供了從局部研究想整體研究過渡的合適機制。因此整體微分幾何的研究與微分拓撲學便有不解之緣,纖維叢與示性類的引入,使整體微分幾何的研究出現(xiàn)了突破,陳省身在這方面有奠基性的貢獻。微分幾何本來就是分析在幾何中的應(yīng)用,整體微分幾何則表現(xiàn)出與現(xiàn)代分析更深刻的聯(lián)系,特別是非線性偏微分方程理論的運用,引出了整體微分幾何的重大成果。典型的例子是丘成桐1976年解決了微分幾何領(lǐng)域里著名的"卡拉比猜想"。這是給定里奇曲率求黎曼度量的問題,其中需要求解高難度的非線性偏微分方程。丘成桐還解決了一系列與非線性偏微分方程有關(guān)的其他幾何問題,并證明了廣義相對論中的正質(zhì)量猜想等等。由于這些工作,1982年丘成桐榮獲菲爾茲獎。三、偏微分方程理論的內(nèi)容偏微分方程是數(shù)學的中心,不論是純粹數(shù)學還是應(yīng)用數(shù)學。它們通常發(fā)生于因變量作為以空間和時間為自變量的連續(xù)變化函數(shù)的數(shù)學模型中。它們最引人注目的特性是其普適性,這一特性使我們能夠從流體和固體力學、電磁學、概率、金融到眾多應(yīng)用領(lǐng)域中找到偏微分方程理論中每個數(shù)學概念的來源。而且這種可應(yīng)用性隨著現(xiàn)代軟件適用于這種方程的離散逼近格式的靈活性和威力的增加而日益增長。同樣戲劇性的是所有這些應(yīng)用領(lǐng)域中方程的產(chǎn)生方式能容易地成為非常重要和深刻的基本數(shù)學問題的研究動機,并且反過來從這些研究的成果中獲益。不管它是否作為一種物理現(xiàn)象的模型,偏微分方程的分析有許多目的。其中的一個主要目的是適定性。粗略地說,一個偏微分方程是適定的,若它有解〔存在性、解唯一〔唯一性、且對輸入數(shù)據(jù)的微小改變的響應(yīng)也是很小的改變〔連續(xù)依賴性。前兩個準則是一個有意義的物理模型所要求的,第三個準則是實驗觀察的基礎(chǔ)?？紤]適定性時,還應(yīng)記得對有實際意義的問題通暢不可能求得顯示解,從而逼近格式,特別是數(shù)值解在應(yīng)用中就具有特別的重要性。因此,適定性問題與偏微分方程科學計算的如下中心問題有密切__對一個問題給定一定精度的數(shù)據(jù),數(shù)值解計算輸出有多少精度？正因為這個問題對現(xiàn)代定量科學的重要性,適定性成偏微分方程理論的核心內(nèi)容。本課程作為偏微分方程的入門課程,主要研究橢圓、拋物和雙曲這三類線性偏微分方程的適定性問題,它們分別以拉普拉斯方程、熱傳導方程和波動方程為代表。具體地,對于某些規(guī)則的求解區(qū)域試圖求出滿足特定線性偏微分方程和定解條件的具體解,這