線段和角的動態(tài)問題的八種考法（原卷版）

專題08線段和角的動態(tài)問題的八種考法

目錄

解題知識必備...................................................................................1

壓軸題型講練...................................................................................1

類型一、線段上動點(diǎn)求線段長問題................................................................1

類型二、線段上動點(diǎn)求定值問題..................................................................2

類型三、線段上動點(diǎn)求時間問題..................................................................3

類型四、線段上動點(diǎn)的新定義型問題..............................................................4

類型五、幾何圖形中動角求定值問題..............................................................5

類型六、幾何圖形中動角探究數(shù)量關(guān)系問題.......................................................6

類型七、幾何圖形中動角求運(yùn)動時間問題..........................................................7

類型八、幾何圖形中動角之新定義型問題..........................................................8

壓軸能力測評（6題）...........................................................................9

“解題知識必備??

1.線段的中點(diǎn)模型

把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn).如下圖，有：AM=MB=-AB

2

AMB

2.角平分線模型

從■個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.如圖所示，OC^ZAOB

的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,ZAOC=ZBOC=^ZAOB.

X壓軸題型講練”

類型一、線段上動點(diǎn)求線段長問題

例題：（23-24七年級上?重慶沙坪壩?期末）點(diǎn)C在線段A3上滿足AC=2BC,點(diǎn)。和點(diǎn)E是線段上的兩

動點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè)）滿足OE=21cm,AB=36cm.

DEBH

備刖圖

⑴當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時，求AQ的長度；

⑵當(dāng)AO=，CE時，求CD的長度.

【變式訓(xùn)練1］（23-24七年級上?浙江寧波?期末）如圖，已知線段AB=12,點(diǎn)C為線段A3上一動點(diǎn)，點(diǎn)。

在線段CB上且滿足CD:Dfi=1:2.

I????

AECDB

⑴當(dāng)點(diǎn)C為AB中點(diǎn)時，求CO的長.

⑵若E為AD中點(diǎn)，當(dāng)OE=2CE時，求AC的長.

【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級上?江西贛州,期末）已知：如圖，點(diǎn)M是線段AB上一定點(diǎn)，AS=12cm,C、D

兩點(diǎn)分別從點(diǎn)M、3出發(fā)以lcm/s、2cm/s的速度在直線A3上運(yùn)動，運(yùn)動方向如圖中箭頭所示（點(diǎn)C在線

段AM上，點(diǎn)。在線段上）

ACMDB

⑴若AM=4cm,當(dāng)點(diǎn)C、。運(yùn)動了2s,此時AC=_,DM=_；（直接填空）

⑵當(dāng)點(diǎn)C、。運(yùn)動了為時，求AC+MD的值.

⑶若點(diǎn)C、。運(yùn)動時，總有MD=2AC,則_（填空）

⑷在（3）的條件下，N是直線48上一點(diǎn)，S.AN-BN=MN,求色”的值.

類型二、線段上動點(diǎn)求定值問題

例題：（23-24七年級上?河南許昌?期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A,B表示的有理數(shù)分別為-6,3,點(diǎn)尸是射線A3

上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)4B重合），M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段3P靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

AB

_______1I______I__________I_______

-6013

AB

_______?111A

-6013

備用圖

⑴若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0,那么的長為；若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6,那么MN的長為

（2）點(diǎn)尸在射線上運(yùn)動（不與點(diǎn)A,8重合）的過程中，MN的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出求MN

的長的過程；若改變，請說明理由.

【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級上,湖南湘西?期末）如圖，M是線段A3上一動點(diǎn)，沿AfA以lcm/s的速

度往返運(yùn)動1次，N是線段8M的中點(diǎn)，A5=5cm,設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動時間為f秒（0W/V10）.

IIII

AMNB

⑴當(dāng)，=2時，①cm,②此時線段3N的長度=cm；

（2）用含有t的代數(shù)式表示運(yùn)動過程中AM的長；

⑶在運(yùn)動過程中，若AM中點(diǎn)為C,則CN的長度是否變化？若不變，求出CN的長；若變化，請說明理由.

【變式訓(xùn)練2］（23-24七年級上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，B是線段AD上一動點(diǎn)，沿AfOfA的路線

以2cm/s的速度往返運(yùn)動1次，C是線段3D的中點(diǎn)，AD=10cm,設(shè)點(diǎn)B的運(yùn)動時間為Zs（0W10）.

IIII

ABCD

（1）當(dāng)f=2時，則線段AB=cm,線段8=cm；

⑵當(dāng)f為何值時，AB=CD?

⑶點(diǎn)B從點(diǎn)A出發(fā)的同時，點(diǎn)E也從點(diǎn)A出發(fā)，以acm/s（0<o<2）的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，若當(dāng)運(yùn)動時間f滿

足04T5時，線段EC的長度始終是一個定值，求這個定值和。的值.

類型三、線段上動點(diǎn)求時間問題

例題：（23-24七年級?四川達(dá)州?階段練習(xí)）如圖，C是線段中點(diǎn)，且他=10cm,N、/兩點(diǎn)分別從C、

8同時出發(fā)以lcm/s,3cm/s的速度沿線段54向左運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為J

III

ACB

⑴當(dāng)點(diǎn)Af追上點(diǎn)N時，求t的值.

⑵若點(diǎn)M,N相距2cm,貝卜的值為多少？

【變式訓(xùn)練1】（22-23七年級上?吉林長春?期末）如圖，點(diǎn)8在線段AC上，且AB=9,BC=3.動點(diǎn)P從

點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒4個單位長度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動；同時動點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿C4以每秒2

個單位長度的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為，s）.

IIIII

APBQC

⑴線段A3、2c的中點(diǎn)之間的距離為.

（2）當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)C時，求PQ的長.

⑶求PQ的長（用含/的代數(shù)式表示）.

⑷設(shè)2PQ=AC時，直接寫出r的值.

【變式訓(xùn)練2］（23-24七年級上,浙江寧波?期末）定義：在同一直線上有三點(diǎn)，若點(diǎn)C到A,3兩點(diǎn)的

距離呈2倍關(guān)系，即AC=23C或3c=2AC,則稱點(diǎn)C是線段43的“倍距點(diǎn)”.

P——?MN——?

?.??］a11__________________________________?__________________________________I?

0ACB0ACB

圖1圖2

⑴線段AB的中點(diǎn).該線段的"倍距點(diǎn)"；（填"是"或者"不是"）

⑵已知AB=9,點(diǎn)C是線段AB的"倍距點(diǎn)"，直接寫出AC=_.

（3）如圖1,在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為2,點(diǎn)3表示的數(shù)為20,點(diǎn)C為線段A3中點(diǎn).

①現(xiàn)有一動點(diǎn)P從原點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為f秒”>。），求

當(dāng)/為何值時，點(diǎn)尸為AC的"倍距點(diǎn)"？

②現(xiàn)有一長度為2的線段MN（如圖2,點(diǎn)M起始位置在原點(diǎn)），從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位的速度

沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)N為MC的"倍距點(diǎn)”時，請直接寫出f的值.

類型四、線段上動點(diǎn)的新定義型問題

例題：（23-24七年級上?北京房山?期中）定義：若A,B,C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到

點(diǎn)B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是［A用的美好點(diǎn).

例如；如圖1,點(diǎn)A表示的數(shù)為-1,點(diǎn)8表示的數(shù)為2,表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2,到點(diǎn)B的距離是

1,那么點(diǎn)C是［A,司的美好點(diǎn)；又如，表示。的點(diǎn)。到點(diǎn)A的距離是1,到點(diǎn)8的距離是2,那么點(diǎn)。就

不是［AB］的美好點(diǎn)，但點(diǎn)。是田闈的美好點(diǎn).

圖1

如圖2,M,N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為-7,點(diǎn)N所表示的數(shù)為2.

MN

-8-7-6-5-4-3-2-10I23

圖2

⑴點(diǎn)E,F,G表示的數(shù)分別是-3,6.5,11,其中是美好點(diǎn)的是；寫出美好點(diǎn)X所

表示的數(shù)是.

⑵現(xiàn)有一只電子螞蟻尸從點(diǎn)N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運(yùn)動.當(dāng)f為何值時，點(diǎn)尸恰好為M

和N的美好點(diǎn)？

【變式訓(xùn)練1］（22-23七年級上?山東青島?期末）如圖1,點(diǎn)C在線段4B上，圖中有三條線段，分別為線段

A民AC和8C,若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段48的"巧點(diǎn)

III

ACB

圖1

Z圖28

⑴線段的中點(diǎn)這條線段的“巧點(diǎn)"，線段的三等分點(diǎn)這條線段的"巧點(diǎn)"（填"是"或"不是"）；

⑵若線段AS=18cm,點(diǎn)C為線段AB的"巧點(diǎn)"，則AC=；

（3）如圖2,已知.Afi=18cm,動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿4B向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)2出發(fā),

以lcm/s的速度沿54向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)P、。同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，運(yùn)動停止，設(shè)運(yùn)動的時間

為/秒，當(dāng)f為何值時，點(diǎn)尸為線段AQ的“巧點(diǎn)”？并說明理由.

【變式訓(xùn)練2】（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段A3上，圖中共

有三條線段AB、AC和BC,若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的

“巧點(diǎn)

（1）線段的中點(diǎn)這條線段的"巧點(diǎn)"（填"是"或"不是"）；

（2）若AB=12cm,點(diǎn)C是線段AB的巧點(diǎn)，則AC最長為cm.

【解決問題】

（3）如圖②，已知AB=12cm,動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿向點(diǎn)8勻速移動；點(diǎn)。從點(diǎn)B出

發(fā)，以Icm/s的速度沿54向點(diǎn)A勻速移動，點(diǎn)尸、。同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，運(yùn)動停止，設(shè)移

動的時間為［s）.當(dāng)t為何值時，P為A、。的巧點(diǎn)？說明理由.

AcB

圖①

?________?

AB

圖②

?_?

AB

圖②備用圖

1_I________________________________________I1

AB

圖②備用圖

類型五、幾何圖形中動角求定值問題

例題：（23-24七年級下?遼寧鞍山?開學(xué)考試）在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動中，小明和他的同伴們將一個直角三

角尺按如圖所示方式放置，發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘.

⑴如圖①，三角尺ABP的直角頂點(diǎn)尸在直線CD上，點(diǎn)A,8在直線CD的同側(cè).若NAPC=40。，求NBPD

度數(shù).

⑵繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)三角尺ABP,使點(diǎn)A,B在直線C。的同側(cè)，如圖②，若平分NAPC,PN平分NBPD,

他們發(fā)現(xiàn)N7WPN的度數(shù)為定值，請你求出這個定值.

⑶繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)三角尺ABP，使點(diǎn)A,B在直線CD的異側(cè)，PM平分NAPC,PN平分/BPD,設(shè)NBPD=,

如圖③，探究ZMPN的度數(shù).

【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級上?江蘇徐州?期末）已知NAO3=110。，ZCOD=40°.OE平分/AOC,OF

平分ZBOD.

圖①

⑴如圖①，當(dāng)OB,OC重合時，求NAOE-尸的值;

⑵當(dāng)NCOD從圖①所示位置繞點(diǎn)。以每秒3。的速度順時針旋轉(zhuǎn)r秒（0。＜10）；在旋轉(zhuǎn)過程中

NAOE-N8O產(chǎn)的值是否會因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.

【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級下?陜西榆林?開學(xué)考試）【問題情境】已知，ZAOB=120°,ZCOD=40°,OE

平分/AOC,OF平分/BOD.

【特例分析】（1）如圖1,當(dāng)OB、OC重合時，求ZAOE-N3QF的值；

【深入探究】（2）如圖2,當(dāng)02、0c不重合，0c在08的下方時，設(shè)4OC=x,ZAOE-ZBOF的值

是否會因?yàn)閤的變化而變化？若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由；

【問題解決】（3）在（2）的條件下，當(dāng)NCO尸=12。時，求ZBOE的度數(shù).

類型六、幾何圖形中動角探究數(shù)量關(guān)系問題

例題：（23-24七年級上?吉林?期末）已知ZAO8=NCOD=90。，0E平分/BOC.

⑴如圖，若NAOC=30。，則NDOE的度數(shù)是。；（直接寫出答案）

（2）將（1）中的條件"NAOC=30。"改為"NAOC是銳角"，猜想NOOE與/AOC的關(guān)系，并說明理由.

【變式訓(xùn)練1］（23-24六年級下?山東煙臺?期中）如圖，NEOC=90。，請你根據(jù)圖形，求解下列問題:

⑴在NEQ4,NAOC,NEO8,NEO￡＞中，哪些角是銳角？哪些角是直角？哪些角是鈍角？哪些角是平角？并用

把它們連接起來；

⑵/B8是哪兩個角的和？

（3）寫出ZEOD,ZEOC,ZDOC,ZEOA中某些角之間的兩個等量關(guān)系；

（4）如果ZEOD=ZCOB,則ZBOD的度數(shù)為°.

【變式訓(xùn)練2】（2024七年級上?河北?專題練習(xí)）已知。為直線AB上一點(diǎn)，射線OZXOC、OE位于直線A3

上方，OO在OE的左側(cè)，ZAOC^120°,ZDOE=80°.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當(dāng)。□平分/4OC時，求NEO3的度數(shù);

⑵點(diǎn)尸在射線08上，若射線0尸繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)〃。（0<〃<180且〃*60）,ZFOA=3ZAOD.當(dāng)NDOE

在ZAOC內(nèi)部（圖2）和ZDOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)（圖3）時，ZFOE和ZEOC的數(shù)量關(guān)系是否改變,

若改變，說明理由，若不變，求出其關(guān)系.

類型七、幾何圖形中動角求運(yùn)動時間問題

例題：（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?期末）在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，學(xué)生進(jìn)行操作探究，用一副三角板（其中

ZABC=ZACB=45°,/BAC=NEDF=90。,ZDFE=30°,"EF=60。）按如圖1所示擺放，邊BC與EP

在同一條直線MN上（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合）.如圖2,將三角板A3C從圖1的位置開始繞點(diǎn)C以每秒5。的速

度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與邊族重合時停止運(yùn)動，設(shè)三角板ABC的運(yùn)動時間為r秒.

⑴當(dāng)，為何值時，6平分/DCF?

⑵當(dāng)f為何值時，ZACF=3ZBCD?

【變式訓(xùn)練1］（23-24七年級上?安徽合肥?期末）如圖，。為線段上一點(diǎn)，ZCOD=90°,0E為NCOD的

角平分線，定義0C與Q4重合時為初始位置，將NCOD繞著點(diǎn)。從初始位置開始，以10。/秒的速度順時針

旋轉(zhuǎn)，至OO與。4重合時終止.

AOB

（備用圖1）

AOB

（備用圖2）

AOB

（備用圖3）

⑴當(dāng)ZCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)6秒，求此時/EOB的度數(shù)；

⑵當(dāng)ZCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)至ZEOB=120°時，求此時t的值；

⑶當(dāng)NCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)至/國95=加。時，/=秒（用含有機(jī)的代數(shù)式直接表示）.

【變式訓(xùn)練2］（23-24七年級上?福建廈門?期末）【實(shí)踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)

⑴如圖1,將兩塊三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，ZACD=NECB=9。。.

①若NECO=38。，則NACB=_；若ZACB=150。，則/ECD=_；

②猜想ZACB與NECD的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖2,若是將兩個同樣的含60。銳角的直角三角尺疊放在一起，其中60。銳角的頂點(diǎn)A重合在一起,

ZACD=ZAFG=90°.

①探究/G4c與NDLF的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若一開始就將△ADC與AFG完全重合（AF與AC重合），保持人!。。不動，將AFG繞點(diǎn)A以每秒10。

的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為人在旋轉(zhuǎn)的過程中，f為何值時AG,AC.

類型八、幾何圖形中動角之新定義型問題

例題：（23-24七年級上?陜西漢中?期末）【問題背景】如圖1,己知射線OC在/AO3的內(nèi)部，若NAOB,/AOC

和NBOC三個角中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是ZAOB的"量尺金線”.

【問題感知】

（1）一個角的平分線這個角的"量尺金線"；（填"是"或"不是"）

【問題初探】

（2）如圖2,ZMPN=60°.若射線PQ是的"量尺金線"，則NQPN的度數(shù)為；

【問題推廣】

（3）在（2）中，若NMPN=x。,0°<x<60°,射線尸尸從PN位置開始，以每秒旋轉(zhuǎn)3。的速度繞點(diǎn)P按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NEPN首次等于180。時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為f（s）.當(dāng)f為何值時，射線尸河是NEPN

的“量尺金線"？（用含x的式子表示出f即可）

【變式訓(xùn)練1］（23-24七年級上?遼寧葫蘆島?期末）【問題初探】

在一個角的內(nèi)部，從頂點(diǎn)畫一條射線，得到三個角，若其中有一個角是另一個角的2倍，則稱這條射線是已

知角的“奇妙線".

例如：圖1中NAOC=2N8OC,則射線OC是NAOB的"奇妙線".

（1）一個角的角平分線這個角的"奇妙線"；（填"是"或"不是"）

【類比分析】

（2）如圖2,若/MPN=60°,在ZA/PN內(nèi)部畫一條射線P。，使尸。是NMPN的“奇妙線"，求NMPQ的

度數(shù)；

【變式拓展】

（3）如圖3,若/MPN=60。，且射線尸。繞點(diǎn)P從PN位置開始以每秒10。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線

以每秒6。的速度也繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線PQ與射線重合時全部停止運(yùn)動.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為/秒，請

直接寫出/為何值時，射線PQ是的“奇妙線”.

X壓軸能力測評??

1.（23-24七年級上?河北承德?期末）應(yīng)用題：如圖，已知線段AB=12。施，點(diǎn)C為線段A3上的一個動點(diǎn),

點(diǎn)。、E分別是AC和BC的中點(diǎn).

ADCEB

⑴若AC=4,求。E的長；

（2）若C為AB的中點(diǎn)，則AO與A3的數(shù)量關(guān)系是；

⑶試著說明，不論點(diǎn)C在線段A3上如何運(yùn)動，只要不與點(diǎn)A和B重合，那么。E的長不變.

2.（23-24七年級上?福建福州?期末）如圖1,將一副三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起.

⑴觀察分析團(tuán)若NDCE=30。,則/ACB=,若NACB=145。,則NDCE=

⑵猜想探究團(tuán)如圖2,若將兩個同樣的三角尺，60。銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，請你猜想—DAB與/C4E有

何關(guān)系，請說明理由；

(3)拓展應(yīng)用團(tuán)如圖3,如果把任意兩個銳角/AOA/COD的頂點(diǎn)。重合在一起，已知=NCOD=^

(a、夕都是銳角)，請你直接寫出NAOD與N3OC的關(guān)系.

3.(23-24七年級上?全國?單元測試)A,B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn)A對應(yīng)的有理數(shù)為-4,

且AB=10.動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為/秒(00).

AOB

⑴當(dāng)r=l時，AP的長為_，點(diǎn)尸表示的有理數(shù)為」

(2)當(dāng)必=2時，求f的值；

⑶M為線段AP的中點(diǎn)，N為線段PB的中點(diǎn).在點(diǎn)尸運(yùn)動的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若

變化，請說明理由；若不變，求出線段的長.

4.(23-24七年級上?廣東汕頭?期末)如圖，ZAOB=90°,NDOE=40。角的頂點(diǎn)。互相重合，將，A0B繞

點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).

⑴當(dāng)射線08,重合時，ZAOE=°,

(2)在403繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線03,OD與0E中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線,

則NBOD的度數(shù)為；

⑶在NAQ3繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線OB始終在NDOE的內(nèi)部.

①普于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，NAOE-NBOD的值為定值，請你求出這個定值；

②作N30D和NA