山東省百校大聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期12月月考學(xué)情診斷補(bǔ)充性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省百校大聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期12月月考學(xué)情診斷補(bǔ)充性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置．2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題1.已知集合，若，則所有符合條件的實(shí)數(shù)組成的集合是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋驶颍椿颍苑蠗l件的實(shí)數(shù)組成的集合是．故選：D2.設(shè)、是兩個(gè)不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列條件中可以推出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】對(duì)于，如圖所示，當(dāng)為平面和平面的交線時(shí)，推不出，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，如圖所示，，，，但推不出，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以可得，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋?，所以可得，又因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D.3.定義在上的函數(shù)滿足，（若，則，c為常數(shù)），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.在取得極小值，極小值為C.只有一個(gè)零點(diǎn)D.若在上恒成立，則【答案】B【解析】∵且0,+∞，可得，則有，故（c為常數(shù)），又f1=0，則，得，故，x∈0,+∞，當(dāng)，即，解得：，f'x>0，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)，即，解得，，當(dāng)，即解得：，f'x<0，此時(shí)單調(diào)遞減，對(duì)于A，由于，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，∵，可得，∵，，∵.故，故A正確：∴，取得極大值，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，，，，，，畫(huà)出草圖，如圖：根據(jù)圖象可知：只有一個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)D，要在0,+∞上恒成立即：在0,+∞上恒成立，∵，可在上恒成立，只需，令，，當(dāng)，；單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；單調(diào)遞減，，；則，即，故D正確；故選：B.4.已知函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意恒成立，關(guān)于下列兩個(gè)命題的判斷，說(shuō)法正確的是（）命題①：方程至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；命題②：若是以2為周期的周期函數(shù)，則對(duì)任意，都有．A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題【答案】C【解析】因?yàn)?，即，?duì)于命題①：令，故，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故命題①真命題；對(duì)于命題②：因?yàn)楹瘮?shù)是周期為2，取一個(gè)周期，由題意可知在內(nèi)連續(xù)不斷，則在內(nèi)必有最大值和最小值，設(shè)在內(nèi)的最大值為，最小值為，設(shè)，，且，對(duì)任意，顯然時(shí)，恒成立，下面考慮的情況，由導(dǎo)數(shù)定義可知，即，若，則成立；若，設(shè)，即，則，且，可得，所以成立；綜上所述：對(duì)任意實(shí)數(shù)，都成立，故命題②為真命題；故選：C.5.設(shè)定義在上的函數(shù)，，且對(duì)任意，滿足，，則A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴（1）∵（2）∴（1）+（2）得=，即（3）∴（1）+（3）得=，即，∵，∴∴===+++++3?22+3?20=2008+++++3?22+3?20==.二、多選題6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f'x，與f'x的定義域都是R，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱 B.f'x為周期函數(shù)C. D.是偶函數(shù)【答案】ABD【解析】對(duì)于AB，，f'x為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；，，故，關(guān)于2,1中心對(duì)稱，且又關(guān)于y軸對(duì)稱，故，,所以，故，的周期為，故f'x的周期為，A，B正確.對(duì)于D，對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，，即，f'x對(duì)稱軸為直線，故為偶函數(shù)，故D正確.對(duì)于C，關(guān)于2,1中心對(duì)稱，所以，，C錯(cuò)誤.故選：ABD.7.已知四棱錐，底面是正方形，平面，，與底面所成角的正切值為，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)（異于點(diǎn)），且，則（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.存在點(diǎn)，使得直線與所成角為C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大值為D.當(dāng)時(shí)，以為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】A：假設(shè)存在點(diǎn)使得平面，由平面平面，得平面平面，又平面平面平面，則，又，平面，所以重合，即點(diǎn)落在上，由，知點(diǎn)落在以為圓心，以為半徑的圓面內(nèi)（不含圓），這與點(diǎn)落上矛盾，故A錯(cuò)誤；B：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面，則即為PC與底面所成的角，故，而，所以，則，所以，結(jié)合A的分析，取，所以，又，所以直線PB與AM所成角為，即存在點(diǎn)M使得直線PB與AM所成角為，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，當(dāng)M位于BA的延長(zhǎng)線時(shí)，的高最大為，此時(shí)面積取得最大值，所以三棱錐的體積最大值為，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，，以P為球心，為半徑球面與四棱錐各面的交線是以P為圓心，為半徑圓與側(cè)面展開(kāi)圖的交線，如下圖，由，有，則，所以，則，所以，根據(jù)對(duì)稱性有，所以，故的長(zhǎng)為，又球與底面的交線是以P為圓心，為半徑的四分之一圓，其長(zhǎng)度為，故P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長(zhǎng)，故D正確.故選：BCD三、填空題8.已知圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周都在半徑為3的球面上，當(dāng)該圓錐的側(cè)面積最大時(shí)，它的體積為_(kāi)_____．【答案】【解析】如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為C，底面圓周與頂點(diǎn)均在球心為O的球面上，，記則圓錐側(cè)面積為，若相同時(shí)，較大才能取得最大值，由截面圓的對(duì)稱性知，圓錐側(cè)面積最大時(shí)兩點(diǎn)位于球心兩側(cè)，此時(shí)，，而,又，故令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，最大，圓錐側(cè)面積最大，此時(shí)，此時(shí)圓錐體積，故答案為：.四、解答題9.在中，角所對(duì)的邊分別是，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，又，所以，又，所以；?）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，則，則，故，即的取值范圍為．10.如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線．（1）求證：直線平面；（2）若直線上存在一點(diǎn)（與都在的同側(cè)），且直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．解：（1）證明：∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又，平面平面，平面平面，平面，∴平面，則平面．（2