2023-2024學(xué)年山東省菏澤市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省菏澤市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間20分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名?班級等個人信息填寫在答題卡指定位置.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答超出答題區(qū)域書寫的答案無放，在試題卷?草稿紙上作答無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知分別是平面的法向量，若，則（）A. B. C.1 D.7【答案】D【解析】因為，所以，所以，解得.故選：D2.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，則該橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由長軸長為4，可得，又離心率為，即，解得，故，所以橢圓方程為，故選：A3.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意，雙曲線的焦點在軸上，且漸近線方程為，所以，即，所以該雙曲線的離心率為：.故選：B4.記為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A. B. C.10 D.12【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，即，所以，又，所以故選：B5.已知等比數(shù)列的前項和為且成等差數(shù)列，則為（）A.244 B.243 C.242 D.241【答案】A【解析】由題意可知，且，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，.故選：A6.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個數(shù).例如.則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】C【解析】因為，，，所以，故A錯誤；且，故B錯誤；因為所有偶數(shù)與不互素，所有奇數(shù)與互素，所以，，所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；，，所以，故D錯誤.故選：C7.一平面截正四棱錐，與棱的交點依次為，已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，在正四棱錐中，連接相交于點，連接，則平面，且，以為原點，分別以所在的直線為軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)，由，可得，則，，設(shè)為平面的一個法向量，則，令，則，，可得，所以，解得.故選：B.8.如圖，分別為雙曲線的左，右焦點，在左支上，在右支上，且，，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】連接，因為，由雙曲線的定義可得，則，，，在中，，在中，，因為，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為即.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程為：，另一組對邊.則下列命題正確的有（）A.B.與距離相等的點的軌跡方程為C.該菱形一定有內(nèi)切圓和外接圓D.若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則【答案】AB【解析】對于A，因為菱形四條邊都相等，所以每邊上的高也相等，且菱形對邊平行，直線和之間的距離為：，和之間的距離為：，于是有：，解得，正確；對于B，設(shè)與距離相等的點為，則，所以，即，所以所求點的軌跡方程為，正確；對于C，若該菱形有外接圓，則菱形兩條對角線的交點和外接圓的圓心重合，此時菱形的兩條對角線與圓的直徑重合，故兩對角線長相等，則對角線相等的菱形必然為正方形，則，而，所以，矛盾，故該菱形沒有外接圓，錯誤；對于D，直線經(jīng)過點，即的焦點為，所以，錯誤；故選：AB10.已知點是平行四邊形所在平面外一點，如果，，，下列結(jié)論正確的有（）A. B.∥C.平面 D.四邊形為矩形【答案】AC【解析】由題意可知都是非零向量，對于A，，即，故A正確；對于C，，即，且平面ABCD，，所以平面ABCD，故C正確；對于B，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，故B錯誤；對于D，因為，即不垂直，故D錯誤；故選：AC.11.已知等差數(shù)列的前項和為,是互不相同的正整數(shù)，且，若在平面直角坐標系中有點，則下列選項成立的有（）A.直線與直線的斜率相等 B.C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，是互不相同的正整數(shù)，且，則有，，直線的斜率，直線的斜率，A選項正確；，，已知條件中不能得到，B選項錯誤；，，，C選項正確；，D選項正確.故選：ACD12.為坐標原點，以為準線，為焦點的拋物線的方程為：.過的直線交于兩點，于于為線段的中點.下列選項正確的有（）A.面積的最小值為4B.C.直線與軸交于點，過點作的垂線與軸交于點，則D.，當且僅當軸時取等號【答案】BC【解析】根據(jù)題意，，準線，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去整理得，，，，，當且僅當時等號成立，，故A錯誤；又，，，，，，又，，故B正確；易知，則直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，因為直線與直線垂直，所以直線的方程為，令，求得，又，，，所以，故C正確；，，，即恒成立，故D錯誤.故選：BC.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線被圓C：截得的弦長為__________.【答案】【解析】圓，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長為.故答案為：14.已知四面體是棱的中點，設(shè)，則_____.（用向量表示）.【答案】【解析】由于是棱的中點，所以.故答案為：15.已知圓上恰有3個點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】圓即圓心為，半徑為，不妨取雙曲線一條漸近線為即，由題意圓上恰有3點到直線的距離為2，只需圓心到直線的距離，即，所以，所以該雙曲線的離心率為.故答案為：16.如果數(shù)列滿足以下兩個條件，稱該數(shù)列為“閉數(shù)列”.（1）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，且單調(diào)遞增；（2）數(shù)列的前項組成的集合記為，對于任意，如果、,則.已知數(shù)列為“閉數(shù)列”,且，則__________.【答案】【解析】因為數(shù)列為“閉數(shù)列”，且，由題意得，，，……，，等式兩邊疊加，即，所以，，同理可得，，，……，，等式兩邊疊加得，即，所以，.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得；由，令，可得，即；解方程可得：，所以.（2）因為，由（1）得，所以，又，故是首項為3，公比為9的等比數(shù)列，所以前項和.18.如圖，是底面邊長為1的正四棱柱.（1）已知點到平面的距離為，求正四棱柱的高；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）建立如圖所示空間直角坐標系，由是底面邊長為1的正四棱柱，設(shè)高為，則，則，設(shè)平面的法向量為則即,令，則，則已知點到平面的距離為，所以，即，解得，所以正四棱柱的高是2（2）設(shè)平面設(shè)平面的法向量為，由（1），則，即，令，則，即，由（1）知平面的法向量為設(shè)向量得夾角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為19.直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點,分別為雙曲線的左?右焦點.（1）求過點的圓的方程；（2）設(shè)（1）中的圓和雙曲線在第一象限交于點，求圓在點處的切線方程.解：（1）由雙曲線，得左焦點，又直線與雙曲線兩條漸近線交于兩點，將代入，得，所以兩點得坐標分別為，所以，則過點的圓的方程為.（2）由（1）得圓的方程為.解方程組得切點，所以，又過點的圓的切線的斜率，得，所以過點的圓的切線方程為，即.20.“天眼”探空?神舟飛天?高鐵奔馳?北斗組網(wǎng)等，我國創(chuàng)造了一個又一個科技工程奇跡.為了順應(yīng)我國科技發(fā)展戰(zhàn)略，某高科技公司決定啟動一項高科技項目，啟動資金為2000億元，為保持每年可獲利20%，每年年底需從利潤中取出200億元作為研發(fā)經(jīng)費.設(shè)經(jīng)過n年之后，該項目資金為億元.（1）寫出的值，并求出數(shù)列的通項公式.（2）求至少要經(jīng)過多少年，該項目的資金才可以達到或超過翻一番（即為原來的2倍）的目標.（?。┙猓海?）由題意知，而且.可知又因，所以可知，從而可知為等比數(shù)列.因此所以.（2）令，可得，因此，所以，因此.即至少要經(jīng)過5年，項目的資金才可以達到或超過翻兩番的目標.21.已知數(shù)列的首項為，前項和為，且.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）若數(shù)列公差為，當取最小值時，求的值.解：（1）對于，兩式相減，得，遞推可得：，兩式相減：得，所以所以，即為等差數(shù)列.（2）因為公差為，所以，故，整理得，解得或（舍去），即，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，當時，數(shù)列單調(diào)遞增，當時，；當時，，由于，故當時，取最小值.22.已知兩圓.一動圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切.設(shè)動圓的圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）為曲線上的兩動點，直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為，其中為的等比中項，以為直徑的圓的面積為，以為直徑的圓的面積為的面積為，求的最小值.解：（1）設(shè)動圓圓心為，半徑為圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為3，則，，則，根據(jù)橢圓的定義，知動圓圓心的軌跡為：以為焦點，長軸為4的橢圓，即；（2）設(shè)直線，，得①，，由得，得，所以：.即，得.代回①式，得，由，得.，，所以（當且僅當時取等）山東省菏澤市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間20分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名?班級等個人信息填寫在答題卡指定位置.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答超出答題區(qū)域書寫的答案無放，在試題卷?草稿紙上作答無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知分別是平面的法向量，若，則（）A. B. C.1 D.7【答案】D【解析】因為，所以，所以，解得.故選：D2.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，則該橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由長軸長為4，可得，又離心率為，即，解得，故，所以橢圓方程為，故選：A3.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意，雙曲線的焦點在軸上，且漸近線方程為，所以，即，所以該雙曲線的離心率為：.故選：B4.記為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A. B. C.10 D.12【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，即，所以，又，所以故選：B5.已知等比數(shù)列的前項和為且成等差數(shù)列，則為（）A.244 B.243 C.242 D.241【答案】A【解析】由題意可知，且，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，.故選：A6.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個數(shù).例如.則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】C【解析】因為，，，所以，故A錯誤；且，故B錯誤；因為所有偶數(shù)與不互素，所有奇數(shù)與互素，所以，，所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；，，所以，故D錯誤.故選：C7.一平面截正四棱錐，與棱的交點依次為，已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，在正四棱錐中，連接相交于點，連接，則平面，且，以為原點，分別以所在的直線為軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)，由，可得，則，，設(shè)為平面的一個法向量，則，令，則，，可得，所以，解得.故選：B.8.如圖，分別為雙曲線的左，右焦點，在左支上，在右支上，且，，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】連接，因為，由雙曲線的定義可得，則，，，在中，，在中，，因為，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為即.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程為：，另一組對邊.則下列命題正確的有（）A.B.與距離相等的點的軌跡方程為C.該菱形一定有內(nèi)切圓和外接圓D.若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則【答案】AB【解析】對于A，因為菱形四條邊都相等，所以每邊上的高也相等，且菱形對邊平行，直線和之間的距離為：，和之間的距離為：，于是有：，解得，正確；對于B，設(shè)與距離相等的點為，則，所以，即，所以所求點的軌跡方程為，正確；對于C，若該菱形有外接圓，則菱形兩條對角線的交點和外接圓的圓心重合，此時菱形的兩條對角線與圓的直徑重合，故兩對角線長相等，則對角線相等的菱形必然為正方形，則，而，所以，矛盾，故該菱形沒有外接圓，錯誤；對于D，直線經(jīng)過點，即的焦點為，所以，錯誤；故選：AB10.已知點是平行四邊形所在平面外一點，如果，，，下列結(jié)論正確的有（）A. B.∥C.平面 D.四邊形為矩形【答案】AC【解析】由題意可知都是非零向量，對于A，，即，故A正確；對于C，，即，且平面ABCD，，所以平面ABCD，故C正確；對于B，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，故B錯誤；對于D，因為，即不垂直，故D錯誤；故選：AC.11.已知等差數(shù)列的前項和為,是互不相同的正整數(shù)，且，若在平面直角坐標系中有點，則下列選項成立的有（）A.直線與直線的斜率相等 B.C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，是互不相同的正整數(shù)，且，則有，，直線的斜率，直線的斜率，A選項正確；，，已知條件中不能得到，B選項錯誤；，，，C選項正確；，D選項正確.故選：ACD12.為坐標原點，以為準線，為焦點的拋物線的方程為：.過的直線交于兩點，于于為線段的中點.下列選項正確的有（）A.面積的最小值為4B.C.直線與軸交于點，過點作的垂線與軸交于點，則D.，當且僅當軸時取等號【答案】BC【解析】根據(jù)題意，，準線，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去整理得，，，，，當且僅當時等號成立，，故A錯誤；又，，，，，，又，，故B正確；易知，則直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，因為直線與直線垂直，所以直線的方程為，令，求得，又，，，所以，故C正確；，，，即恒成立，故D錯誤.故選：BC.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線被圓C：截得的弦長為__________.【答案】【解析】圓，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長為.故答案為：14.已知四面體是棱的中點，設(shè)，則_____.（用向量表示）.【答案】【解析】由于是棱的中點，所以.故答案為：15.已知圓上恰有3個點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】圓即圓心為，半徑為，不妨取雙曲線一條漸近線為即，由題意圓上恰有3點到直線的距離為2，只需圓心到直線的距離，即，所以，所以該雙曲線的離心率為.故答案為：16.如果數(shù)列滿足以下兩個條件，稱該數(shù)列為“閉數(shù)列”.（1）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，且單調(diào)遞增；（2）數(shù)列的前項組成的集合記為，對于任意，如果、,則.已知數(shù)列為“閉數(shù)列”,且，則__________.【答案】【解析】因為數(shù)列為“閉數(shù)列”，且，由題意得，，，……，，等式兩邊疊加，即，所以，，同理可得，，，……，，等式兩邊疊加得，即，所以，.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得；由，令，可得，即；解方程可得：，所以.（2）因為，由（1）得，所以，又，故是首項為3，公比為9的等比數(shù)列，所以前項和.18.如圖，是底面邊長為1的正四棱柱.（1）已知點到平面的距離為，求正四棱柱的高；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）建立如圖所示空間直角坐標系，由是底面邊長為1的正四棱柱，設(shè)高為，則，則，設(shè)平面的法向量為則即,令，則，則已知點到平面的距離為，所以，即，解得，所以正四棱柱的高是2（2）設(shè)平面設(shè)平面的法向量為，由（1），則，即，令，則，即，由（1）知平面的法向量為設(shè)向量得夾角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為19.直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點,分別為雙曲線的左?右焦點.（1）求過點的圓的方程；（2）設(shè)（1）中的圓和雙曲線在第一象限交于點，求圓在點處的切線方程.解：（1）由雙曲線，得左焦點，又直線與雙曲