高一數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）14充分條件與必要條件（五大題型）

1．4充分條件與必要條件目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：充分條件與必要條件的判斷 4題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍 6題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍 8題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍 10題型五：充要條件的證明 11

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一：充分條件與必要條件充要條件的概念符號與的含義“若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：．充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件．②如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件．知識點詮釋：對的理解：指當(dāng)成立時，一定成立，即由通過推理可以得到．①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達(dá)．知識點二：充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關(guān)系看命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件．從集合與集合間的關(guān)系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件．知識點詮釋：充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件．判斷方法通常按以下步驟進行：①確定哪是條件，哪是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論，③再嘗試用結(jié)論推條件，④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件．知識點三：充要條件的證明要證明命題的條件是結(jié)論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）知識點詮釋：對于命題“若，則”①如果是的充分條件，則原命題“若，則”與其逆否命題“若，則”為真命題；②如果是的必要條件，則其逆命題“若，則”與其否命題“若，則”為真命題；③如果是的充要條件，則四種命題均為真命題．【典型例題】題型一：充分條件與必要條件的判斷【典例11】（2024·高一·河南鄭州·階段練習(xí)）“或”的一個必要不充分條件是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【解析】因為或是或的真子集，所以“或”是“或”的必要不充分條件，其他選項均不合要求．故選：A【典例12】（2024·高三·北京·開學(xué)考試）已知x，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】，而同樣，而，所以充分性、必要性都不成立.故選：D【方法技巧與總結(jié)】1、判斷充分條件、必要條件的注意點（1）明確條件與結(jié)論．（2）判斷若p，則q是否成立時注意利用等價命題．（3）可以用反例說明由p推不出q，但不能用特例說明由p可以推出q．2、充分條件、必要條件的兩種判斷方法（1）定義法：①確定誰是條件，誰是結(jié)論；②嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件；③嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件．（2）命題判斷法：①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件．【變式11】（2024·高二·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”這句名言最早出自于《論語?衛(wèi)靈公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活兒，一定先要把工具整治得銳利精良.從邏輯角度理解，如果工匠做好活了，說明肯定是有銳利精良的工具，即必要性成立；反過來如果有銳利精良的工具，不能得出一定能做好活兒，即充分性不成立；所以“利其器”是“善其事”的必要不充分條件.故選：B.【變式12】（多選題）（2024·高一·廣東深圳·階段練習(xí)）若甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要不充分條件，則下列說法正確的是（

）A．乙是甲的必要不充分條件 B．甲是丙的充分不必要條件C．丁是甲的既不充分也不必要條件 D．乙是丁的充要條件【答案】AB【解析】依題，四個命題的關(guān)系圖可化為：.則，所以乙是甲的必要不充分條件，A正確；，甲是丙的充分不必要條件，B正確；若甲：，丁：，乙和丙均為，滿足題設(shè)，但此時丁是甲的充分必要條件，C錯誤；，所以乙是丁的必要不充分條件，D錯誤.故選：AB【變式13】（2024·高一·廣東東莞·期中）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，故x<1是的必要不充分條件，故選：B題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍【典例21】（2024·高一·天津·期中）已知集合，或.(1)當(dāng)時，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，集合，又或，則，或；.（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，?，則解得，故的取值范圍是.【典例22】（2024·高一·湖南株洲·階段練習(xí)）已知集合，或x>2，．(1)求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為，又，所以.（2）或，所以，因為“”是“”的充分不必要條件，則，又，所以.【方法技巧與總結(jié)】（1）化簡p、q兩命題，（2）根據(jù)p與q的關(guān)系（充分、必要、充要條件）轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，（3）利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，（4）求解參數(shù)范圍．【變式21】（2024·高一·江蘇淮安·期末）已知集合，(1)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為是的充分條件，所以，所以，解得；（2）因為，所以，當(dāng)時，符合題意，則，解得，當(dāng)時，則，解得，綜上所述，.【變式22】（2024·高一·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知集合，集合為非空集合，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【解析】因為為非空集合，所以，解得．若是的充分不必要條件，則?，故，得．，故的取值范圍為．【變式23】（2024·高一·遼寧葫蘆島·期末）已知集合，集合，集合，且．(1)求實數(shù)a的值組成的集合；(2)若，是的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因為，由，知，則或或，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，所以的取值集合為．（2）由題意得，，故，又是的充分不必要條件，所以是的真子集，于是，解得：，經(jīng)檢驗符合條件，綜上，實數(shù)m的取值范圍是．題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍【典例31】（2024·高一·河北保定·期中）已知集合，．(1)若，求；(2)若是的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）由，則或，若，則，所以．（2）若是的必要條件，則．當(dāng)時，即時，，符合題意；當(dāng)時，即時，，要滿足，可得，解得；綜上，實數(shù)m的取值范圍為或．【典例32】（2024·高二·江蘇南通·期中）已知命題：“關(guān)于的方程有兩個大于1的實根”為真命題．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)命題：，是否存在實數(shù)使得是的必要不充分條件，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．【解析】（1）因為命題為真命題，而，所以且，解得（2）令，，因為是的必要不充分條件，所以是A的真子集，若，此時；若，則，解得，綜上所述，存在使得是的必要不充分條件【方法技巧與總結(jié)】（1）化簡p、q兩命題，（2）根據(jù)p與q的關(guān)系（充分、必要、充要條件）轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，（3）利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，（4）求解參數(shù)范圍．【變式31】（2024·高一·河北石家莊·階段練習(xí)）已知或，，若p是的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】由是的必要不充分條件，所以BA，當(dāng)，即時，，滿足題意；當(dāng)，即時，則有或，即或，所以.綜上，的取值范圍是.【變式32】（2024·高三·江西南昌·階段練習(xí)）已知集合，．(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，所以或x>2，又，所以或.（2）因為“”是“”的必要條件，則，當(dāng)時，則，即；當(dāng)時，，解得，綜上所述，m的取值范圍為.題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍【典例41】（2024·高一·廣西欽州·期末）若“”是“”的充要條件，則實數(shù)m的取值是．【答案】0【解析】，則{x|}＝{x|}，即.故答案為：0.【典例42】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，若p是q的充要條件，則，.【答案】【解析】由p是q的充要條件，可得，建立方程組即可求解.若p是q的充要條件，則，，解得.故答案為：；.【方法技巧與總結(jié)】（1）化簡p、q兩命題，（2）根據(jù)p與q的關(guān)系（充分、必要、充要條件）轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，（3）利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，（4）求解參數(shù)范圍．【變式41】（2024·高二·廣西貴港·期中）關(guān)于的方程無實數(shù)根的充要條件是．【答案】【解析】充分性：由關(guān)于的方程無實數(shù)根當(dāng)時，原方程變形為：，顯然無實數(shù)根，故滿足題意；當(dāng)時，由無實數(shù)根的，可得，可得：，解得：，綜合可得：，必要性：當(dāng)，關(guān)于的方程無實數(shù)根，故答案為：.【變式42】（2024·高一·山東濟寧·階段練習(xí)）集合中至多有一個元素的充要條件是

.【答案】或【解析】由已知得方程至多一個根，或，解得故答案為或題型五：充要條件的證明【典例51】（2024·高一·上海·課堂例題）證明：“四邊形ABCD是平行四邊形”是“四邊形ABCD的對角線互相平分”的充要條件.【解析】①先證明充分性：已知：四邊形ABCD是平行四邊形，求證：四邊形ABCD的對角線互相平分；證明：設(shè)AC與BD交于點，如圖示：四邊形ABCD是平行四邊形，，且，，，，四邊形ABCD的對角線互相平分，即充分性得證；②再證必要性：已知：四邊形ABCD的對角線互相平分，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；證明：由已知可得，且，，，，且，，四邊形ABCD是平行四邊形，即必要性得證；綜上所述，"四邊形ABCD是平行四邊形"是"四邊形ABCD的對角線互相平分"的充要條件.【典例52】（2024·高一·全國·課堂例題）證明：是一元二次方程有兩個異號實根的充要條件．【解析】證明：充分性：若，則，方程有兩個實根，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得．所以方程有兩個異號實根．必要性：若一元二次方程有兩個異號實根，，則，即．所以是一元二次方程有兩個異號實根的充要條件．【方法技巧與總結(jié)】（1）證明充分性；（2）證明必要性．【變