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文檔簡(jiǎn)介
3-1-4多次相遇和追及問題
1.學(xué)會(huì)畫圖解行程題
2.能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題
3.能夠利用比例解多人相遇和追及問題
板塊一、由簡(jiǎn)單行程問題拓展出的多次相遇問題
所有行程問題都是圍繞“路程=速度X時(shí)間”這一條基本關(guān)系式展開的,多人相遇與追及問題雖然較復(fù)
雜,但只要抓住這個(gè)公式,逐步表征題目中所涉及的數(shù)量,問題即可迎刃而解.
[例1]甲、乙兩名同學(xué)在周長為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步,甲每秒鐘跑3.5米,乙每秒
鐘跑4米洞:他們第十次相遇時(shí),甲壞需跑多少米才能問到出發(fā)點(diǎn)?
【鞏固】甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步,甲的速度是每秒3米,乙的速度是每秒2米,如果他們
同時(shí)分別從直路兩端出發(fā),10分鐘內(nèi)共相遇幾次?
【鞏固】甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā),8分鐘后兩人第五次相遇,已知每秒鐘甲
比乙多走0?1米,那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米?
【例2】甲、乙二人從相距60千米的兩地同時(shí)相向而行,6時(shí)后相遇.如果二人的速度各增加1千米/時(shí),
那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇地點(diǎn)1千米.問:甲、乙二人的速度各是多少?
板塊二、運(yùn)用倍比關(guān)系解多次相遇問題
【例3】上午8點(diǎn)8分,小明騎自行車從家里出發(fā),8分鐘后,爸爸騎摩托車去追他,在離家4千米的地方追
上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回頭去追小明,再追上小明的時(shí)候,離家恰好是8千米,這
時(shí)是幾點(diǎn)幾分?
[例4]甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā),不停的往返行駛于A,B兩地之間.已知甲車的速度比乙車快,并且兩
車出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中C地.問:甲車的速度是乙車的多少倍?
【例5】如圖,甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線
運(yùn)動(dòng),當(dāng)乙走了100米以后,他們第一次相遇,在甲走完一周前60米史又第二次相遇.求此圓形場(chǎng)地
的周長.
【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端,甲在A點(diǎn),乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,兩人在C點(diǎn)第一次相遇,在D點(diǎn)
第二次相遇.已知C離A有75米,D離B有55米,求這個(gè)圓的周長是多少米?
【鞏固】如右圖,A,B是圓的直徑的兩端.甲在A點(diǎn),乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,兩人在C點(diǎn)第一次相遇,
在D點(diǎn)第二次相遇.已知C離A有8。米,D離B有60米,求這個(gè)圓的周長.
【鞏固】在一圓形跑道上,甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,6分后兩人相遇,再過4分甲到達(dá)B點(diǎn),
又過8分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分?
板塊三、多次相遇與全程的關(guān)系
1.兩地相向出發(fā):第1次相遇,共走1個(gè)全程;
第2次相遇,共走3個(gè)全程;
第3次相遇,共走5個(gè)全程;
第N次相遇,共走2N-1個(gè)全程;
注意:除了第1次,剩下的次與次之間都是2個(gè)全程.即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N米.
2.同地同向出發(fā):第1次相遇,共走2個(gè)全程;
第2次相遇,共走4個(gè)全程;
第3次相遇,共走6個(gè)全程;
第N次相遇,共走2N個(gè)全程:
3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵
多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程
多人相遇追及的解題關(guān)健路程差
【例6】甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出,第一次在離A地95千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)
到達(dá)目的地后又立刻返回,第二次在離R地25千米處相遇.求A、B兩地間的距離是多少千米?
【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千
米,相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回,在距B地3千米處第二次相遇,求兩次相遇
地點(diǎn)之間的距離.
【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7千
米,相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回,在距B地5千米處第二次相遇,求兩次相遇
地點(diǎn)之間的距離.
【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,他們第一次相遇地點(diǎn)離A地6千
米,相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回,在距B地4二米處第二次相遇,求兩人第5
次相遇地點(diǎn)距B多遠(yuǎn).
【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7千
米,相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回,在距B地3千米處第二次相遇,求第三次相
遇時(shí)共走了多少千米.
【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,他們第一次相遇地點(diǎn)離A地3千
米,相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回,在距B地2千米處第二次相遇,求第2000次
相遇地點(diǎn)與第2001次相遇地點(diǎn)之間的距離.
t鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,他們第一次相遇地點(diǎn)離A地18
千米,相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回,在距B地13千米處第二次相遇,求AB兩
地之間的距離.
【鞏固】甲、乙兩車同時(shí)從A,B兩地相向而行,在距B地54千米處相遇.他們各自到達(dá)對(duì)方車站后立即返
回原地,途中又在距A地42千米處相遇.求兩次相遇地點(diǎn)的距離.
【鞏固】湖中有A,B兩島,甲、乙二人都要在兩島間游一個(gè)來回.兩人分別從A,B兩島同時(shí)出發(fā),他們第一
次相遇時(shí)距A島700米,第二次相遇時(shí)距B島400米.問:兩島相距多遠(yuǎn)?
【例7】A.B兩地相距2400米,甲從4地、乙從E地同時(shí)出發(fā),在4、B間往返長跑.甲每分鐘跑300米,
乙每分鐘跑240米,在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng).甲、乙兩人在第幾次相遇時(shí)4地最近?最近距離是多
少米?
【鞏固】A、5兩地相距950米.甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí).甲步行,每分鐘走40米;乙
跑步,每分鐘行150米.則甲、乙二人第次迎面相遇時(shí)距B地最近.
【例8】如圖8,甲、乙兩艘快船不斷往返于4、〃兩港之間.若甲、乙同時(shí)從4港出發(fā),它們能否同時(shí)到達(dá)
下列地點(diǎn)?若能,請(qǐng)推出它們何時(shí)到達(dá)該地點(diǎn);若不能,請(qǐng)說明理由:
(1)A港口;
(2)3港口;
(3)在兩港口之間且距離3港30千米的大橋.
甲:群水航速兩港睡
;勺5/0kmm180lai)
水洗速度
jOkinh
乙:搟水鐮速
50kinh
圖8
[例9]甲、乙二人進(jìn)行游泳追逐賽,規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時(shí)開始游,直到一方追上
另一方為止,追上者為勝.己知甲、乙的速度分別為1?0米/秒和0.8米/秒.問:(1)比賽開始后
多長時(shí)間甲追上乙?(2)甲追上乙時(shí)兩人共迎面相遇了幾次?
【例10】甲、乙兩車分別從A,B兩地出發(fā),并在A,B兩地間不斷往返行駛.已知甲車的速度是15千米/時(shí),
乙車的速度是25千米/時(shí).甲、乙兩車第三次相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)相差10()千米.求A,B
兩地的距離.
【例11】歡歡和樂樂在操場(chǎng)上的A、B兩點(diǎn)之間練習(xí)往返跑,歡歡的速度是每秒8米,樂樂的速度是每秒5
米.兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),到達(dá)B點(diǎn)后返回,已知他們第二次迎面相遇的地點(diǎn)距離的中點(diǎn)5
米,之間的距離是.
【例12】甲、乙兩車同時(shí)從A、8兩地相對(duì)亦開出,兩車第一次距A地32千米處相遇,相遇后兩車?yán)^續(xù)行
駛,各自達(dá)到3、A兩地后,立即沿原路返回,第二次在距A地64千米處相遇,則A、B兩地間的距
離是千米.
【例13]小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步,做體能訓(xùn)練,小明的速度為6米/秒,小紅的速
度為4米/秒.他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā),連續(xù)跑了12分鐘.在這段時(shí)間內(nèi),他們迎面相遇了多少
次?
【例14】A、8兩地間有條公路,甲從A地出發(fā),步行到8地,乙騎摩托車從8地出發(fā),不停地往返于A、B
兩地之間,他們同時(shí)出發(fā),80分鐘后兩人第一次相遇,100分鐘后乙第一次追上甲,問:當(dāng)甲到達(dá)8
地時(shí),乙追上甲幾次?
【例15】甲、乙兩人分別從A、3兩地同時(shí)出發(fā)相向而行,乙的速度是甲的2,二人相遇后繼續(xù)行進(jìn),甲到8
3
地、乙到A地后立即返回.已知兩人第二次相遇的地點(diǎn)距第三次相遇的地點(diǎn)是100千米,那么,A、
“兩地相距千米.
【鞏固】小王、小李二人往返于甲、乙兩地,小王從甲地、小李從乙地同時(shí)出發(fā),相向而行,兩人第一次在距
甲地3千米處相遇,第二次在距甲地6千米處相遇(追上也算作相遇),則甲、乙兩地的距離為
千米.
【鞏固】A,B兩地相距540千米.甲、乙兩車往返行駛于A,B兩地之間,都是到達(dá)一地之后立即返回,乙車較
甲車快.設(shè)兩輛車同時(shí)從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地.那么到兩車第三次相遇為
止,乙車共走了多少千米?
【例16]小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā),在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回),他們
在離甲村3.5千米處第一次相遇,在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離
乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)?
[例17]A,B兩地間有條公路,甲從A地出發(fā)步行到B地,乙騎摩托車從B地出發(fā)不停頓地往返于A,B兩
地之間,他們同時(shí)出發(fā),80分后兩人第一次相遇,100分后乙第一次超過甲.問:當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí),
乙追上甲幾次?
【例18]電子玩具車4與A在一條軌道的兩端同時(shí)出發(fā)相向而行,在軌道上往返行駛.已知A比“的速度
快50%,根據(jù)推算,第2007^次相遇點(diǎn)與第20082°0s次相遇點(diǎn)相距5S厘米,軌道長_厘米.
板塊四、解多次相遇問題的工具——柳卡
柳卡圖,不用基本公式解決,快速的解法是直接畫時(shí)間■距離圖,再畫上密密麻麻的交叉線,按要求數(shù)交點(diǎn)
個(gè)數(shù)即可完成.折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中“相遇的次數(shù)”,“相遇的地點(diǎn)”,以及“由相遇的地
點(diǎn)求出全程“,使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少.如果不畫
圖,單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來說不容易.
【例19】每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約,且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在途
中均要航行七天七夜.試問:某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前(途中)能遇上幾艘從紐約
開來的輪船?
【鞏固】一條電車線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站,每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站,
全程要走15分鐘.有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他出發(fā)的時(shí)候,恰好有一輛電
車到達(dá)乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達(dá)甲站時(shí),恰好又有一輛電車從甲站開
出.問他從乙站到甲站用了多少分鐘?
【例20]甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如
果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā),當(dāng)他們跑了10分鐘后,共相遇幾次?
[例21]A.B兩地位于同一條河上地在A地下游100千米處.甲船從A地、乙船從B地同時(shí)出發(fā),
相向而行,甲船到達(dá)8地、乙船到達(dá)A地后,都立即按原來路線返航.水速為2米/秒,且兩船在靜
水中的速度相同.如果兩船兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米,那么兩船在靜水中的速度是
米/秒.
【例22】A、B兩地相距1000米,甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā),在A、B兩地間往返鍛煉.乙跑步
每分鐘行150米,甲步行每分鐘行60米,在30分鐘內(nèi),甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距B地最近(從
后面追上也算作相遇)?最近距離是多少?
【鞏固】A、B兩地相距950米.甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí).甲步行,每分鐘走40米;
乙跑步,每分鐘行150米.則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距B地最近?
【鞏固】A、8兩地相距950m,甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā),往返A(chǔ)、8兩地跑步90分鐘.甲跑步的速度
是每分鐘40m;乙跑步的速度是每分鐘150m.在這段時(shí)間內(nèi)他們面對(duì)面相遇了數(shù)次,請(qǐng)問在第
幾次相遇時(shí)他們離8點(diǎn)的距離最近?
【鞏固】A、B兩地相距2400米,甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā),在A、B兩地間往返鍛煉.甲每分
鐘跑300米,乙每分鐘跑240米,在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng).甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距A地最
近?最近距離是多少?
板塊五、多次相遇問題——變道問題
【例23】甲、乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)4出發(fā),沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛.甲車每小時(shí)行駛
65千米,乙車每小時(shí)行駛55千米.一旦兩車迎面相遇,則乙車立刻調(diào)頭;一旦甲車從后面追上乙
車,則甲車立刻調(diào)頭,那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離A點(diǎn)有多少米?(每一次甲車追上乙
車也看作一次相遇)
【例24】下圖是一個(gè)邊長90米的正方形,甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),甲逆時(shí)針每分行75米,乙順時(shí)針每
分行45米.兩人第一次在CD邊(不包括C,D兩點(diǎn))上相遇,是出發(fā)以后的第幾次相遇?
【例25】如圖所示,甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的A點(diǎn)背向出發(fā)跑步.跑道右半部分(粗線部分)
道路比較泥濘,所以兩人的速度都將減慢,在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米,而在泥濘道路
上兩人的速度均為每秒4米.兩人一直跑下去,問:他們第99次迎面相遇的地方距A點(diǎn)還有
米.
【例26】如圖,學(xué)校操場(chǎng)的400米跑道中套著300米小跑道,大跑道與小跑道有200米路程相重.甲以每秒
6米的速度沿大跑道逆時(shí)針方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道順時(shí)針方向跑,兩人同時(shí)從兩跑
道的交點(diǎn)A處出發(fā),當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí),甲共跑了多少米?
甲一A甲—年
【例27】下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A,大圓直徑48厘米,小圓直徑30厘米.兩只甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)出
發(fā),按箭頭所指的
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