小學(xué)奧數(shù)專題-多次相遇和追及問題學(xué)生版

3-1-4多次相遇和追及問題

1.學(xué)會(huì)畫圖解行程題

2.能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題

3.能夠利用比例解多人相遇和追及問題

板塊一、由簡(jiǎn)單行程問題拓展出的多次相遇問題

所有行程問題都是圍繞“路程=速度X時(shí)間”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)

雜,但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量,問題即可迎刃而解.

［例1］甲、乙兩名同學(xué)在周長為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑3.5米,乙每秒

鐘跑4米洞：他們第十次相遇時(shí)，甲壞需跑多少米才能問到出發(fā)點(diǎn)？

【鞏固】甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米,如果他們

同時(shí)分別從直路兩端出發(fā),10分鐘內(nèi)共相遇幾次？

【鞏固】甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā),8分鐘后兩人第五次相遇,已知每秒鐘甲

比乙多走0?1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米？

【例2】甲、乙二人從相距60千米的兩地同時(shí)相向而行,6時(shí)后相遇.如果二人的速度各增加1千米/時(shí),

那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇地點(diǎn)1千米.問：甲、乙二人的速度各是多少？

板塊二、運(yùn)用倍比關(guān)系解多次相遇問題

【例3】上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā),8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他,在離家4千米的地方追

上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這

時(shí)是幾點(diǎn)幾分？

［例4］甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)，不停的往返行駛于A,B兩地之間.已知甲車的速度比乙車快，并且兩

車出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中C地.問：甲車的速度是乙車的多少倍？

【例5】如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米史又第二次相遇.求此圓形場(chǎng)地

的周長.

【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇，在D點(diǎn)

第二次相遇.已知C離A有75米,D離B有55米,求這個(gè)圓的周長是多少米？

【鞏固】如右圖,A,B是圓的直徑的兩端.甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇,

在D點(diǎn)第二次相遇.已知C離A有8。米,D離B有60米，求這個(gè)圓的周長.

【鞏固】在一圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,6分后兩人相遇，再過4分甲到達(dá)B點(diǎn),

又過8分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？

板塊三、多次相遇與全程的關(guān)系

1.兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程;

第2次相遇，共走3個(gè)全程;

第3次相遇，共走5個(gè)全程;

第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程.即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N米.

2.同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個(gè)全程；

第2次相遇，共走4個(gè)全程;

第3次相遇，共走6個(gè)全程;

第N次相遇，共走2N個(gè)全程:

3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程

多人相遇追及的解題關(guān)健路程差

【例6】甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，第一次在離A地95千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)

到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離R地25千米處相遇.求A、B兩地間的距離是多少千米？

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千

米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇

地點(diǎn)之間的距離.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7千

米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地5千米處第二次相遇，求兩次相遇

地點(diǎn)之間的距離.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地6千

米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地4二米處第二次相遇，求兩人第5

次相遇地點(diǎn)距B多遠(yuǎn).

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7千

米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求第三次相

遇時(shí)共走了多少千米.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地3千

米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地2千米處第二次相遇，求第2000次

相遇地點(diǎn)與第2001次相遇地點(diǎn)之間的距離.

t鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地18

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地13千米處第二次相遇，求AB兩

地之間的距離.

【鞏固】甲、乙兩車同時(shí)從A,B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇.他們各自到達(dá)對(duì)方車站后立即返

回原地，途中又在距A地42千米處相遇.求兩次相遇地點(diǎn)的距離.

【鞏固】湖中有A,B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個(gè)來回.兩人分別從A,B兩島同時(shí)出發(fā)，他們第一

次相遇時(shí)距A島700米，第二次相遇時(shí)距B島400米.問：兩島相距多遠(yuǎn)？

【例7】A.B兩地相距2400米，甲從4地、乙從E地同時(shí)出發(fā)，在4、B間往返長跑.甲每分鐘跑300米,

乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng).甲、乙兩人在第幾次相遇時(shí)4地最近？最近距離是多

少米？

【鞏固】A、5兩地相距950米.甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí).甲步行，每分鐘走40米；乙

跑步，每分鐘行150米.則甲、乙二人第次迎面相遇時(shí)距B地最近.

【例8】如圖8,甲、乙兩艘快船不斷往返于4、〃兩港之間.若甲、乙同時(shí)從4港出發(fā)，它們能否同時(shí)到達(dá)

下列地點(diǎn)？若能，請(qǐng)推出它們何時(shí)到達(dá)該地點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說明理由：

(1)A港口；

(2)3港口；

(3)在兩港口之間且距離3港30千米的大橋.

甲：群水航速兩港睡

；勺5/0kmm180lai)

水洗速度

jOkinh

乙：搟水鐮速

50kinh

圖8

［例9］甲、乙二人進(jìn)行游泳追逐賽，規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時(shí)開始游,直到一方追上

另一方為止，追上者為勝.己知甲、乙的速度分別為1?0米/秒和0.8米/秒.問：(1)比賽開始后

多長時(shí)間甲追上乙？(2)甲追上乙時(shí)兩人共迎面相遇了幾次？

【例10】甲、乙兩車分別從A,B兩地出發(fā)，并在A,B兩地間不斷往返行駛.已知甲車的速度是15千米/時(shí),

乙車的速度是25千米/時(shí).甲、乙兩車第三次相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)相差10()千米.求A,B

兩地的距離.

【例11】歡歡和樂樂在操場(chǎng)上的A、B兩點(diǎn)之間練習(xí)往返跑，歡歡的速度是每秒8米，樂樂的速度是每秒5

米.兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)B點(diǎn)后返回，已知他們第二次迎面相遇的地點(diǎn)距離的中點(diǎn)5

米,之間的距離是.

【例12】甲、乙兩車同時(shí)從A、8兩地相對(duì)亦開出,兩車第一次距A地32千米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)行

駛，各自達(dá)到3、A兩地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米處相遇，則A、B兩地間的距

離是千米.

【例13］小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅的速

度為4米/秒.他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時(shí)間內(nèi)，他們迎面相遇了多少

次？

【例14】A、8兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到8地,乙騎摩托車從8地出發(fā)，不停地往返于A、B

兩地之間,他們同時(shí)出發(fā),80分鐘后兩人第一次相遇,100分鐘后乙第一次追上甲，問：當(dāng)甲到達(dá)8

地時(shí)，乙追上甲幾次？

【例15】甲、乙兩人分別從A、3兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的2,二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到8

3

地、乙到A地后立即返回.已知兩人第二次相遇的地點(diǎn)距第三次相遇的地點(diǎn)是100千米,那么,A、

“兩地相距千米.

【鞏固】小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩人第一次在距

甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇（追上也算作相遇），則甲、乙兩地的距離為

千米.

【鞏固】A,B兩地相距540千米.甲、乙兩車往返行駛于A,B兩地之間，都是到達(dá)一地之后立即返回,乙車較

甲車快.設(shè)兩輛車同時(shí)從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地.那么到兩車第三次相遇為

止，乙車共走了多少千米？

【例16］小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā),在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們

在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離

乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？

［例17］A,B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)步行到B地,乙騎摩托車從B地出發(fā)不停頓地往返于A,B兩

地之間,他們同時(shí)出發(fā),80分后兩人第一次相遇,100分后乙第一次超過甲.問：當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí),

乙追上甲幾次？

【例18］電子玩具車4與A在一條軌道的兩端同時(shí)出發(fā)相向而行，在軌道上往返行駛.已知A比“的速度

快50%，根據(jù)推算，第2007^次相遇點(diǎn)與第20082°0s次相遇點(diǎn)相距5S厘米，軌道長_厘米.

板塊四、解多次相遇問題的工具——柳卡

柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間■距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)

個(gè)數(shù)即可完成.折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中“相遇的次數(shù)”,“相遇的地點(diǎn)”,以及“由相遇的地

點(diǎn)求出全程“，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少.如果不畫

圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來說不容易.

【例19】每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約,且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在途

中均要航行七天七夜.試問：某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約

開來的輪船？

【鞏固】一條電車線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站,

全程要走15分鐘.有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電

車到達(dá)乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達(dá)甲站時(shí),恰好又有一輛電車從甲站開

出.問他從乙站到甲站用了多少分鐘？

【例20］甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米.如

果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？

［例21］A.B兩地位于同一條河上地在A地下游100千米處.甲船從A地、乙船從B地同時(shí)出發(fā),

相向而行，甲船到達(dá)8地、乙船到達(dá)A地后，都立即按原來路線返航.水速為2米/秒，且兩船在靜

水中的速度相同.如果兩船兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米,那么兩船在靜水中的速度是

米/秒.

【例22】A、B兩地相距1000米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩地間往返鍛煉.乙跑步

每分鐘行150米，甲步行每分鐘行60米,在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距B地最近（從

后面追上也算作相遇）？最近距離是多少？

【鞏固】A、B兩地相距950米.甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí).甲步行，每分鐘走40米;

乙跑步，每分鐘行150米.則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距B地最近？

【鞏固】A、8兩地相距950m,甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，往返A(chǔ)、8兩地跑步90分鐘.甲跑步的速度

是每分鐘40m；乙跑步的速度是每分鐘150m.在這段時(shí)間內(nèi)他們面對(duì)面相遇了數(shù)次，請(qǐng)問在第

幾次相遇時(shí)他們離8點(diǎn)的距離最近？

【鞏固】A、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩地間往返鍛煉.甲每分

鐘跑300米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng).甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距A地最

近？最近距離是多少？

板塊五、多次相遇問題——變道問題

【例23】甲、乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)4出發(fā),沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛.甲車每小時(shí)行駛

65千米，乙車每小時(shí)行駛55千米.一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙

車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離A點(diǎn)有多少米？（每一次甲車追上乙

車也看作一次相遇）

【例24】下圖是一個(gè)邊長90米的正方形，甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，甲逆時(shí)針每分行75米，乙順時(shí)針每

分行45米.兩人第一次在CD邊（不包括C,D兩點(diǎn)）上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？

【例25】如圖所示，甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的A點(diǎn)背向出發(fā)跑步.跑道右半部分（粗線部分）

道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米,而在泥濘道路

上兩人的速度均為每秒4米.兩人一直跑下去，問：他們第99次迎面相遇的地方距A點(diǎn)還有

米.

【例26】如圖，學(xué)校操場(chǎng)的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有200米路程相重.甲以每秒

6米的速度沿大跑道逆時(shí)針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時(shí)針方向跑，兩人同時(shí)從兩跑

道的交點(diǎn)A處出發(fā)，當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí)，甲共跑了多少米？

甲一A甲—年

【例27】下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米.兩只甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)出

發(fā),按箭頭所指的