2025屆甘肅省平?jīng)鍪心承８呷蠈W(xué)期第四次階段性考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省平?jīng)鍪心承?025屆高三上學(xué)期第四次階段性考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得或.所以或，又，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】A【解析】由題意得，所以.故選：A.3.已知角終邊上一點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，所以.故選：D.4.已知函數(shù)過定點(diǎn)M，點(diǎn)M在直線上且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)，恒過點(diǎn)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以目標(biāo)式最小值為.故選：A5.設(shè)與是兩個(gè)向量，則是或的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由得，則，若或，可得，即，可知必要性成立；若則，即，無法得出或，綜上所述，是或的必要不充分條件.故選：B.6.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，∵從第10項(xiàng)開始為正數(shù)，∴，解得，∴公差的取值范圍是，故選：D.7.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍為（）A.1,+∞ B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以且，則，故，令，則在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍是.故選：C8.如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】連接，過作，連接，過作.因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平?因?yàn)槠矫妫?所以.又因?yàn)?，所?即.因?yàn)椋?在中，.因?yàn)椋?即，.所以.即的最小值為故選：C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9.下列說法正確的有（）A.命題，的否定是，.B.P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則P是的垂心C.關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根，則D.若，，，則此三角形有兩解【答案】AB【解析】A選項(xiàng)：命題的否定是，A正確；B選項(xiàng)：由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B正確；C選項(xiàng)：當(dāng)方程有一正一負(fù)根時(shí)，，解得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由正弦定理，得，即，得，不符合題意，此時(shí)三角形無解，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C.圖象關(guān)于對(duì)稱 D.與有2個(gè)交點(diǎn)【答案】AC【解析】把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，再把向左平移個(gè)單位長度得到，又，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，且，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，且，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下所示：由圖可知與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，分別是，的中點(diǎn)，正方形的邊長為2，則在三棱錐中（）A.的面積為 B.C.平面平面 D.三棱錐的體積為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，易知，故A正確；對(duì)于B，連接交于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)易知，所以有，又平面，所以平面，平面，所以，故B正確；對(duì)于C，由上可知為平面與平面的夾角，易知，則不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意可知兩兩垂直，則，故D正確故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，則______.【答案】3【解析】因?yàn)?，所?故答案為：3.13.在四面體中，，，，，則該四面體外接球的表面積為______.【答案】【解析】如圖所示：由，，可知.因?yàn)椋?，所以，?設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以為四面體外接球的球心，四面體的外接球半徑，所以外接球表面積.故答案為：14.已知函數(shù)，若恒成立，則最大值為__________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，若，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以；設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)則故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.（2）由.所以，即的最小值為.16.如圖，三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面均為邊長為的正方形，、分別是、的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值．（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接、，在三棱柱中，且，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?（2）解：因?yàn)槿庵?，?cè)面與側(cè)面均為邊長為的正方形，則，又因?yàn)?，所以，，則，因?yàn)椋?，，、平面，所以，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，所以，，則，故，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的正切值為.17.在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若，角的平分線交于點(diǎn)，求線段的長．解：（1）由，由正弦定理可得,又，所以，所以，可得，又，所以，所以，可得，（2）中，，由余弦定理得，解得（舍），或，由，得，即，故線段BD的長為.18.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使成立，求整數(shù)的最小值．解：（1）由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，令，或；時(shí)，，在單調(diào)遞增；時(shí)，，在單調(diào)遞減；綜上所述，增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）原式等價(jià)于，即存在，使成立．設(shè)，，則，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增．又，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，且，即，∴.由題意可知，又，，∴a的最小值為5．19.定義：在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，例如：數(shù)列1，2，3經(jīng)過第一次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，3，2，5，3；第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2，7，5，8，3.設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過n次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，所有項(xiàng)的和為.（1）若，，，求，；（2）若，求正整數(shù)n的最小值；（3）是否存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得數(shù)列為等比數(shù)列?若存在，求a，b，c滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1），第一次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列，第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列，，；（2）數(shù)列經(jīng)每一次“和擴(kuò)充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，數(shù)列經(jīng)過次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則經(jīng)第次“和擴(kuò)充”后增加的項(xiàng)數(shù)為，所以，所以，其中數(shù)列經(jīng)過1次“和擴(kuò)充”后，得到，故，故是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，故，則，即，又，解得，最小值為10；（3）因?yàn)椋来晤愅?，，故，若使為等比?shù)列，則或.甘肅省平?jīng)鍪心承?025屆高三上學(xué)期第四次階段性考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得或.所以或，又，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】A【解析】由題意得，所以.故選：A.3.已知角終邊上一點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，所以.故選：D.4.已知函數(shù)過定點(diǎn)M，點(diǎn)M在直線上且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)，恒過點(diǎn)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以目標(biāo)式最小值為.故選：A5.設(shè)與是兩個(gè)向量，則是或的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由得，則，若或，可得，即，可知必要性成立；若則，即，無法得出或，綜上所述，是或的必要不充分條件.故選：B.6.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，∵從第10項(xiàng)開始為正數(shù)，∴，解得，∴公差的取值范圍是，故選：D.7.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍為（）A.1,+∞ B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以且，則，故，令，則在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍是.故選：C8.如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】連接，過作，連接，過作.因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平?因?yàn)槠矫?，所?所以.又因?yàn)?，所?即.因?yàn)?，所?在中，.因?yàn)?，所?即，.所以.即的最小值為故選：C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9.下列說法正確的有（）A.命題，的否定是，.B.P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則P是的垂心C.關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根，則D.若，，，則此三角形有兩解【答案】AB【解析】A選項(xiàng)：命題的否定是，A正確；B選項(xiàng)：由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B正確；C選項(xiàng)：當(dāng)方程有一正一負(fù)根時(shí)，，解得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由正弦定理，得，即，得，不符合題意，此時(shí)三角形無解，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C.圖象關(guān)于對(duì)稱 D.與有2個(gè)交點(diǎn)【答案】AC【解析】把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，再把向左平移個(gè)單位長度得到，又，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，且，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，且，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下所示：由圖可知與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，分別是，的中點(diǎn)，正方形的邊長為2，則在三棱錐中（）A.的面積為 B.C.平面平面 D.三棱錐的體積為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，易知，故A正確；對(duì)于B，連接交于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)易知，所以有，又平面，所以平面，平面，所以，故B正確；對(duì)于C，由上可知為平面與平面的夾角，易知，則不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意可知兩兩垂直，則，故D正確故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，則______.【答案】3【解析】因?yàn)?，所?故答案為：3.13.在四面體中，，，，，則該四面體外接球的表面積為______.【答案】【解析】如圖所示：由，，可知.因?yàn)椋?，所以，?設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以為四面體外接球的球心，四面體的外接球半徑，所以外接球表面積.故答案為：14.已知函數(shù)，若恒成立，則最大值為__________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，若，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以；設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)則故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.（2）由.所以，即的最小值為.16.如圖，三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面均為邊長為的正方形，、分別是、的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值．（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接、，在三棱柱中，且，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋瑒t為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?（2）解：因?yàn)槿庵校瑐?cè)面與側(cè)面均為邊長為的正方形，則，又因?yàn)?，所以，，則，因?yàn)?，，，、平面，所以，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，所以，，則，故，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的正切值為.17.在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若，角的平分線交于點(diǎn)，求線段的長．解：（1）由，由正弦定理可得,又，所以，所以，可得，又，所以，所以，可得，（2）中，，由余弦定理得，解得（舍），或，由，得，即，故線段BD的長為.18.已知函