2025屆湖南省婁底市漣源市部分學(xué)校高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市漣源市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知平面向量，，，則實數(shù)（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】因為，，，所以，解得，故選：A2.已知為虛數(shù)單位，，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】依題意，，而，則，所以.故選：C3.已知集合且，，則的子集的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】由題意可知，，則，所以的子集的個數(shù)為.故選：B4.若命題，，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題，為存在量詞命題，則該命題的否定為，，故選：D．5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，定義域為，又，所以是奇函數(shù)，從而ACD錯誤，B正確.故選：B.6.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若對任意的都有，則圖中的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.的圖象上的所有點向左平移個單位長度后得的圖象，由題意知為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，得函數(shù)的圖象過點.設(shè)最小正周期為，則，所以，故.又，，且，可得，所以，.故選：A.7.已知數(shù)列的通項公式，在其相鄰兩項之間插入個，得到新的數(shù)列，記的前項和為，則使成立的的最小值為（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B【解析】由題意得數(shù)列的前項依次為：，個，，個，，個，，個，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以使成立的的最小值為.故選：B.8.已知點、是橢圓的左、右焦點，點M為橢圓B上一點，點關(guān)于的角平分線的對稱點N也在橢圓B上，若，則橢圓B的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，，且，，所以，因為，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得，整理得，所以即.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某超市在兩周內(nèi)的藍(lán)莓每日促銷量如圖所示，根據(jù)此折線圖，下面結(jié)論正確的是（）A.這14天日促銷量的眾數(shù)是214B.這14天日促銷量的中位數(shù)是196C.這14天日促銷量的極差為195D.這14天日促銷量的第80百分位數(shù)是243【答案】AC【解析】根據(jù)題意得藍(lán)莓每日促銷量從小到大排列得到數(shù)據(jù)為：，對于A，則這14天藍(lán)莓每日促銷量的眾數(shù)是214，故A正確；對于B，這14天藍(lán)莓每日促銷量的中位數(shù)是第7和8個數(shù)據(jù)的平均值，即，故B錯誤；對于C，這14天藍(lán)莓每日促銷量的極差是，故C正確；對于D，因為，所以這14天藍(lán)莓每日促銷量的第80百分位數(shù)為第12個數(shù)據(jù)，即260，故D錯誤.故選：AC.10.已知直線和圓相交于M，N兩點，則下列說法正確的是（）A.直線過定點B.的最小值為3C.的最小值為D.圓上到直線的距離為的點恰好有三個，則【答案】AC【解析】對于A，直線，即，由解得，所以定點坐標(biāo)為，A正確，對于B，圓的圓心為，半徑為，點與圓心的距離為，所以的最小值為，此時直線垂直于軸，故此時無最小值，故B錯誤，對于C，設(shè)，則，當(dāng)，即直線方程為時，取得最小值為，所以C正確，對于D，若圓上到直線的距離為的點恰好有三個，則圓心到直線的距離為，所以，整理得，所以D錯誤.故選：AC11.如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱的中點，P是正方形內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面CEF，則點P的軌跡長度為B.若，則點P的軌跡長度為C.若P是正方形的中心，Q在線段EF上，則的最小值為D.若P是棱的中點，三棱錐的外接球球心為O，則平面截球O所得截面的面積為【答案】ACD【解析】如圖，取的中點為N，M，連接MN，DN，BD，BM，NE，，所以，又E，F(xiàn)分別是棱的中點，所以，所以，平面CEF，平面CEF，∴平面CEF，因為N，E分別是棱的中點，所以，且，所以四邊形CDNE為平行四邊形，所以，又平面CEF，平面CEF，∴平面CEF，又，MN，平面BDNM，所以平面平面CEF，點P是正方形內(nèi)的動點，且平面CEF，所以點P的軌跡為線段MN，由勾股定理得，故A正確；如圖，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得A0,0,0，設(shè)，，所以，所以點P的軌跡為為圓心，半徑為1的個圓，所以點P的軌跡長度為，故B錯誤：如圖，將平面CEF翻折到與平面共面，連接PC，與EF交于點Q，此時取到最小值，∵，且，所以點Q為EF的中點，所以，所以，即的最小值為，故C正確：如圖，連接PF，交于點，連接PE，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，若P是棱的中點，則，所以FP是外接圓的一條直徑，所以是外接圓的圓心，過點作平面ABCD的垂線，則三棱錐的外接球的球心O一定在該垂線上，連接OP，設(shè)，則，連接OC，，所以，所以，解得，所以，點到平面的距離為，則球心到平面的距離為，則截面圓的半徑為，所以截面的面積為，故D正確；故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的最大值為_______．【答案】【解析】因為，所以，故.又因為，故，從而，這就得到.而當(dāng)，時，有，且.所以的最大值為.故答案為：.13.在的展開式中，的系數(shù)為_________________．【答案】224【解析】因為通項公式為，當(dāng)即時，，所以系數(shù)為224，故答案為：224.14.已知數(shù)列，等可能取，0或1，數(shù)列滿足，且，則的概率為_______．【答案】【解析】由題意可得：，，，，若，則，從各隨機從中選一個，共有種情況；若，可分為三類：都取0，一種情況；中兩個取0，一個取1，一個取，共有，中兩個取1，兩個取，共有，共計19種情況，所以的概率為：．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面積．解：（1）在中，，又，所以，由余弦定理得，又，則.（2）在中，，，由余弦定理，得，即，解得或．當(dāng)，，時，可構(gòu)成三角形，此時的面積為；當(dāng)，，時，可構(gòu)成三角形，此時面積為．16.如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為為等邊三角形，為的中點，所以．過作，垂足為，因為底面為直角梯形，，，，，所以，則，由得，所以因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面．因為平面，所以．又，平面，所以平面．（2）解：由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點，過且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17.已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程：（2）過點的直線與橢圓交于點、，設(shè)點，若的面積為，求直線的斜率.解：（1）由橢圓的離心率為，得，解得，由橢圓過點，得，聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意，直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，，則，由消去得，顯然，則，的面積，解得，所以直線的斜率.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，（?。┣蟮臉O值；（ⅱ）若的極小值小于0，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，則，，可得，，即切點坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即；（2）（?。┮驗榈亩x域為，且，令，解得；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值；（ⅱ）解法一：由題意可得：，因為，所以，構(gòu)建，，因為，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因為，不等式等價于，解得，所以的取值范圍為.解法二：由題意可得：，即，構(gòu)建，，因為，在內(nèi)均單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價于，解得，所以的取值范圍為.19.已知數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)都有.（1）寫出，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，若存在正整數(shù)，使得，求的值；（3）設(shè)是數(shù)列的前項和，求證：.（1）解：因為對任意正整數(shù)都有，故，，令，可得，所以.當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合上式，所以；（2）解：由（1）得，當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，.綜上所述，；若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，由，得，解得（舍去）或；若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，由，得，方程無解，不合題意，舍去.綜上，所求的值為2.（3）證明：由現(xiàn)在我們來證明時，，令，求導(dǎo)得，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，結(jié)合當(dāng)時，，有，所以故湖南省婁底市漣源市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知平面向量，，，則實數(shù)（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】因為，，，所以，解得，故選：A2.已知為虛數(shù)單位，，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】依題意，，而，則，所以.故選：C3.已知集合且，，則的子集的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】由題意可知，，則，所以的子集的個數(shù)為.故選：B4.若命題，，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題，為存在量詞命題，則該命題的否定為，，故選：D．5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，定義域為，又，所以是奇函數(shù)，從而ACD錯誤，B正確.故選：B.6.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若對任意的都有，則圖中的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.的圖象上的所有點向左平移個單位長度后得的圖象，由題意知為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，得函數(shù)的圖象過點.設(shè)最小正周期為，則，所以，故.又，，且，可得，所以，.故選：A.7.已知數(shù)列的通項公式，在其相鄰兩項之間插入個，得到新的數(shù)列，記的前項和為，則使成立的的最小值為（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B【解析】由題意得數(shù)列的前項依次為：，個，，個，，個，，個，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以使成立的的最小值為.故選：B.8.已知點、是橢圓的左、右焦點，點M為橢圓B上一點，點關(guān)于的角平分線的對稱點N也在橢圓B上，若，則橢圓B的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，，且，，所以，因為，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得，整理得，所以即.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某超市在兩周內(nèi)的藍(lán)莓每日促銷量如圖所示，根據(jù)此折線圖，下面結(jié)論正確的是（）A.這14天日促銷量的眾數(shù)是214B.這14天日促銷量的中位數(shù)是196C.這14天日促銷量的極差為195D.這14天日促銷量的第80百分位數(shù)是243【答案】AC【解析】根據(jù)題意得藍(lán)莓每日促銷量從小到大排列得到數(shù)據(jù)為：，對于A，則這14天藍(lán)莓每日促銷量的眾數(shù)是214，故A正確；對于B，這14天藍(lán)莓每日促銷量的中位數(shù)是第7和8個數(shù)據(jù)的平均值，即，故B錯誤；對于C，這14天藍(lán)莓每日促銷量的極差是，故C正確；對于D，因為，所以這14天藍(lán)莓每日促銷量的第80百分位數(shù)為第12個數(shù)據(jù)，即260，故D錯誤.故選：AC.10.已知直線和圓相交于M，N兩點，則下列說法正確的是（）A.直線過定點B.的最小值為3C.的最小值為D.圓上到直線的距離為的點恰好有三個，則【答案】AC【解析】對于A，直線，即，由解得，所以定點坐標(biāo)為，A正確，對于B，圓的圓心為，半徑為，點與圓心的距離為，所以的最小值為，此時直線垂直于軸，故此時無最小值，故B錯誤，對于C，設(shè)，則，當(dāng)，即直線方程為時，取得最小值為，所以C正確，對于D，若圓上到直線的距離為的點恰好有三個，則圓心到直線的距離為，所以，整理得，所以D錯誤.故選：AC11.如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱的中點，P是正方形內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面CEF，則點P的軌跡長度為B.若，則點P的軌跡長度為C.若P是正方形的中心，Q在線段EF上，則的最小值為D.若P是棱的中點，三棱錐的外接球球心為O，則平面截球O所得截面的面積為【答案】ACD【解析】如圖，取的中點為N，M，連接MN，DN，BD，BM，NE，，所以，又E，F(xiàn)分別是棱的中點，所以，所以，平面CEF，平面CEF，∴平面CEF，因為N，E分別是棱的中點，所以，且，所以四邊形CDNE為平行四邊形，所以，又平面CEF，平面CEF，∴平面CEF，又，MN，平面BDNM，所以平面平面CEF，點P是正方形內(nèi)的動點，且平面CEF，所以點P的軌跡為線段MN，由勾股定理得，故A正確；如圖，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得A0,0,0，設(shè)，，所以，所以點P的軌跡為為圓心，半徑為1的個圓，所以點P的軌跡長度為，故B錯誤：如圖，將平面CEF翻折到與平面共面，連接PC，與EF交于點Q，此時取到最小值，∵，且，所以點Q為EF的中點，所以，所以，即的最小值為，故C正確：如圖，連接PF，交于點，連接PE，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，若P是棱的中點，則，所以FP是外接圓的一條直徑，所以是外接圓的圓心，過點作平面ABCD的垂線，則三棱錐的外接球的球心O一定在該垂線上，連接OP，設(shè)，則，連接OC，，所以，所以，解得，所以，點到平面的距離為，則球心到平面的距離為，則截面圓的半徑為，所以截面的面積為，故D正確；故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的最大值為_______．【答案】【解析】因為，所以，故.又因為，故，從而，這就得到.而當(dāng)，時，有，且.所以的最大值為.故答案為：.13.在的展開式中，的系數(shù)為_________________．【答案】224【解析】因為通項公式為，當(dāng)即時，，所以系數(shù)為224，故答案為：224.14.已知數(shù)列，等可能取，0或1，數(shù)列滿足，且，則的概率為_______．【答案】【解析】由題意可得：，，，，若，則，從各隨機從中選一個，共有種情況；若，可分為三類：都取0，一種情況；中兩個取0，一個取1，一個取，共有，中兩個取1，兩個取，共有，共計19種情況，所以的概率為：．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面積．解：（1）在中，，又，所以，由余弦定理得，又，則.（2）在中，，，由余弦定理，得，即，解得或．當(dāng)，，時，可構(gòu)成三角形，此時的面積為；當(dāng)，，時，可構(gòu)成三角形，此時面積為．16.如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為為等邊三角形，為的中點，所以．過作，垂足為，因為底面為直角梯形，，，，，所以，則，由得，所以因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面．因為平面，所以．又，平面，所以平面．（2）解：由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點，過且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z