第二章函數(shù)、導數(shù)及其應用第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值知識課件

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1＜x2時，都有__________，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1＜x2時，都有________________，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)圖象描述自左向右看圖象是________自左向右看圖象是______上升的下降的2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件①對于任意的x∈I，都有_________________；②存在x0∈I，使得____________________①對于任意的x∈I，都有__________；②存在x0∈I，使得______________結(jié)論M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝M.f(x)≥Mf(x0)＝M.1．如圖2－2－1所示，函數(shù)f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0]∪(0，＋∞)嗎？

【提示】

不是，其單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0]，(0，＋∞)．2．函數(shù)的最大(小)值反映在其函數(shù)圖象上有什么特征？

【提示】

最大(小)值是函數(shù)圖象上最高(低)點的縱坐標，若x0是函數(shù)f(x)的最大(小)值點，反映在圖象上點(x0，f(x0))是函數(shù)圖象的最高(低)點．函數(shù)單調(diào)性的判定與證明

1．(1)函數(shù)的單調(diào)性只能在定義域內(nèi)討論，可以是整個定義域，也可以是定義域的某個區(qū)間．(2)如果函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)的，那么在這個區(qū)間的子區(qū)間上也是單調(diào)的．

2．(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法有：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導數(shù)法．(2)證明函數(shù)的單調(diào)性的方法有：①定義法；②導數(shù)法.

(2012·惠州調(diào)研)用min{a，b，c}表示a，b，c三個數(shù)中的最小值．設(shè)f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，則f(x)的最大值為(

) A．4

B．5

C．6

D．7 【思路點撥】

首先明確f(x)的意義，數(shù)形結(jié)合求分段函數(shù)f(x)的最大值．求函數(shù)的最值

【答案】

C

1．利用單調(diào)性是求函數(shù)最值的最主要方法，函數(shù)圖象是單調(diào)性的最直觀體現(xiàn)，函數(shù)的最大(小)值是圖象的最高(低)點的縱坐標，本題借助圖象的直觀性求得最大值．

2．配方法：若函數(shù)是二次函數(shù)，常用配方法．

3．基本不等式法：當函數(shù)是分式形式且分子、分母不同次時常用此法．

4．導數(shù)法：當函數(shù)較復雜時，一般采用此法．

(2011·上海高考)已知函數(shù)f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0. (1)若ab＞0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)時的x的取值范圍．

【思路點撥】

(1)討論a、b的符號，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判定f(x)的單調(diào)性；(2)由f(x＋1)＞f(x)，轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式求解．函數(shù)單調(diào)性的應用

已知函數(shù)f(x)對任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且當x＞0時，f(x)＞1. (1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)＜3.抽象函數(shù)的單調(diào)性

1．本題易犯如下錯誤：(1)不會構(gòu)造f(x2－x1)，不會利用f(x2－x1)＞1這個條件；(2)不能將“3”代換為f(2)，導致無法由函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”．

2．?x1，x2∈R，f(x)遞增，則f(x1)＜f(x2)?x1＜x2；這類問題的求解關(guān)鍵在于利用函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系． 函數(shù)的單調(diào)性與最值是高考的重點，主要涉及單調(diào)性的判斷，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與最值，函數(shù)單調(diào)性的簡單應用；考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學思想，函數(shù)的單調(diào)性與其它知識交匯滲透，特別是與新情景相結(jié)合是命題的亮點，求解時要避免思維僵化，靈活應用性質(zhì)．易錯辨析之三受思維定勢消極影響致誤 錯因分析：(1)僅考慮函數(shù)f(x)的單調(diào)性，忽略定義區(qū)間的限制(1－x2＞0)．

(2)作為分段函數(shù)，忽視x取值范圍影響