2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征練習(xí)含解析新人教A版必修3

PAGE1-2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2024·四川省宜賓市教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42，43，46，52，42，50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都減8后所得數(shù)據(jù)，則A、B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是()A．平均數(shù) B．標(biāo)準(zhǔn)差C．眾數(shù) D．中位數(shù)解析：選B.A樣本數(shù)據(jù)為42，43，46，52，42，50，其平均數(shù)為eq\f(42＋43＋46＋52＋42＋50,6)＝eq\f(275,6)，眾數(shù)為42，中位數(shù)為eq\f(43＋46,2)＝eq\f(89,2)，由題可得，B樣本數(shù)據(jù)為34，35，38，44，34，42，其平均數(shù)為eq\f(34＋35＋38＋44＋34＋42,6)＝eq\f(227,6)，眾數(shù)為34，中位數(shù)為eq\f(35＋38,2)＝eq\f(73,2)，所以A、B兩樣本的下列數(shù)字特征：平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)都不同．故選B.2．(2024·廣東省惠州市期末考試)某班有50名學(xué)生，男女人數(shù)不相等．隨機(jī)詢問(wèn)了該班5名男生和5名女生的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成果，用莖葉圖記錄如圖所示，則下列說(shuō)法肯定正確的是()A．這5名男生成果的標(biāo)準(zhǔn)差大于這5名女生成果的標(biāo)準(zhǔn)差B．這5名男生成果的中位數(shù)大于這5名女生成果的中位數(shù)C．該班男生成果的平均數(shù)大于該班女生成果的平均數(shù)D．這種抽樣方法是一種分層抽樣解析：選A.5名男生成果的平均數(shù)為eq\f(90＋92＋94＋86＋88,5)＝90，5名女生成果的平均數(shù)為eq\f(93＋93＋93＋88＋88,5)＝91，這5名男生成果的方差為eq\f(1,5)×(22＋42＋22＋42)＝8，女生成果的方差為eq\f(1,5)×(22×3＋32×2)＝6，男生方差大于女生方差，所以男生標(biāo)準(zhǔn)差大于女生標(biāo)準(zhǔn)差，所以A對(duì)；這5名男生成果的中位數(shù)是90,5名女生成果的中位數(shù)為93，所以B錯(cuò)；該班男生和女生成果的平均數(shù)可通過(guò)樣本估計(jì)，但不能通過(guò)樣本計(jì)算得到平均數(shù)精確值，所以C錯(cuò)；若抽樣方法是分層抽樣，因?yàn)槟猩坏?，所以分別抽取的人數(shù)不等，所以D錯(cuò)．故選A.3．甲、乙兩人在一次射擊競(jìng)賽中各射靶5次，兩人成果的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則()A．甲的成果的平均數(shù)小于乙的成果的平均數(shù)B．甲的成果的中位數(shù)等于乙的成果的中位數(shù)C．甲的成果的方差小于乙的成果的方差D．甲的成果的極差小于乙的成果的極差解析：選C.由題意可知，甲的成果為4，5，6，7，8，乙的成果為5，5，5，6，9.所以甲、乙的成果的平均數(shù)均為6，A錯(cuò)；甲、乙的成果的中位數(shù)分別為6，5，B錯(cuò)；甲、乙的成果的方差分別為eq\f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，eq\f(1,5)×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝eq\f(12,5)，C對(duì)；甲、乙的成果的極差均為4，D錯(cuò)．4．(2024·河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)期末考試)某班有50名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分?jǐn)?shù)為70，方差為75，后來(lái)發(fā)覺(jué)有2名學(xué)生的成果統(tǒng)計(jì)有誤，學(xué)生甲實(shí)際得分是80分卻誤記為60分，學(xué)生乙實(shí)際得分是70分卻誤記為90分，更正后的平均分?jǐn)?shù)和方差分別是()A．70和50 B．70和67C．75和50 D．75和67解析：選B.設(shè)更正前甲、乙、…的成果依次為a1，a2，…，a50，則a1＋a2＋…＋a50＝50×70，即60＋90＋a3＋…＋a50＝50×70，(a1－70)2＋(a2－70)2＋…＋(a50－70)2＝50×75，即102＋202＋(a3－70)2＋…＋(a50－70)2＝50×75，更正后平均分為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,50)×(80＋70＋a3＋…＋a50)＝70；方差為s2＝eq\f(1,50)×[(80－70)2＋(70－70)2＋(a3－70)2＋…＋(a50－70)2]＝eq\f(1,50)×[100＋(a3－70)2＋…＋(a50－70)2]＝eq\f(1,50)×[100＋50×75－102－202]＝67.故選B.5．(2024·江西省上饒市期末統(tǒng)考)甲、乙兩人在相同的條件下投籃5輪，每輪甲、乙各投籃10次，投籃命中次數(shù)的狀況如圖所示(實(shí)線為甲的折線圖，虛線為乙的折線圖)，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)比乙的小B．甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比乙的小C．甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)比乙的大D．甲投籃命中的成果比乙的穩(wěn)定解析：選B.由折線圖可知，甲投籃5輪，命中的次數(shù)分別為5，8，6，8，8，乙投籃5輪，命中的次數(shù)分別為3，7，9，5，9，則甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)為8，乙投籃命中次數(shù)的眾數(shù)為9，所以A正確；甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為7，乙投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為6.6，所以B不正確；甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)為8，乙投籃命中次數(shù)的中位數(shù)為7，所以C正確；甲投籃命中次數(shù)的數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)的左右，方差較小，乙投籃命中次數(shù)的數(shù)據(jù)比較分散，方差較大，所以甲的成果更穩(wěn)定一些，所以D正確．故選B.6．甲、乙、丙、丁四人參與某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成果和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4若要從這四人中選擇一人去參與該運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目競(jìng)賽，最佳人選是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個(gè))解析：分析表格數(shù)據(jù)可知，乙與丙的平均環(huán)數(shù)最多，又丙的方差比乙小，說(shuō)明丙成果發(fā)揮得較為穩(wěn)定，所以最佳人選為丙．答案：丙7．(2024·陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)第一中學(xué)期末考試)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28，方差是4，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上20，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________，方差是________．解析：設(shè)該組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn；則新數(shù)據(jù)為x1＋20，x2＋20，…，xn＋20；因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝28，所以eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(x1＋20＋x2＋20＋…＋xn＋20,n)＝20＋28＝48.因?yàn)閟2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，所以s′2＝eq\f(1,n)[(x1＋20－(eq\o(x,\s\up6(－))＋20))2＋(x2＋20－(eq\o(x,\s\up6(－))＋20))2＋…＋(xn＋20－(eq\o(x,\s\up6(－))＋20))2]＝s2＝4.答案：4848．(2024·湖北省華中師范高校第一附屬中學(xué)期末考試)樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a，0，1，2，3，若該樣本平均數(shù)為1，則樣本方差為_(kāi)_______．解析：因?yàn)闃颖镜钠骄鶖?shù)為1，所以eq\f(1,5)×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.所以樣本的方差為eq\f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：29．甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/km2)：第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8若某村要從中引進(jìn)一種冬小麥大量種植，給出你的建議．解：由題意得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝10.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都等于10，且seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以產(chǎn)量比較穩(wěn)定的為甲種冬小麥，舉薦引進(jìn)甲種冬小麥大量種植．10．為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果狀況，用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成果(百分制)作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖：(1)若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果的及格率(60分及60分以上為及格)；(2)設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成果分別為eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，估計(jì)eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－))2的值．解：(1)設(shè)甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為n.由題意知eq\f(30,n)＝0.05，解得n＝600.樣本中甲校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成果不及格人數(shù)為5，據(jù)此估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果的及格率為1－eq\f(5,30)＝eq\f(5,6).(2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))1′，eq\o(x,\s\up6(－))2′.依據(jù)樣本莖葉圖可知30(eq\o(x,\s\up6(－))1′－eq\o(x,\s\up6(－))2′)＝30eq\o(x,\s\up6(－))1′－30eq\o(x,\s\up6(－))2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此eq\o(x,\s\up6(－))1′－eq\o(x,\s\up6(－))2′＝0.5.故eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－))2的估計(jì)值為0.5分．[B實(shí)力提升]11．(2024·湖南省張家界市期末聯(lián)考)某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9，(x，y∈N)，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為()A．4 B．3C．2 D．1解析：選A.由這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，因?yàn)椴灰纱嗲蟪鰔、y，只要求出|x－y|，設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4；所以|x－y|＝2|t|＝4.故選A.12．某市有15個(gè)旅游景點(diǎn)，經(jīng)計(jì)算，黃金周期間各個(gè)景點(diǎn)的旅游人數(shù)平均為20萬(wàn)，標(biāo)準(zhǔn)差為s，后來(lái)經(jīng)核實(shí)，發(fā)覺(jué)甲、乙兩處景點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的人數(shù)有誤，甲景點(diǎn)實(shí)際為20萬(wàn)，被誤統(tǒng)計(jì)為15萬(wàn)，乙景點(diǎn)實(shí)際為18萬(wàn)，被誤統(tǒng)計(jì)成23萬(wàn)；更正后重新計(jì)算，得到標(biāo)準(zhǔn)差為s1，則s與s1的大小關(guān)系為()A．s＝s1 B．s＜s1C．s＞s1 D．不能確定解析：選C.由已知，兩次統(tǒng)計(jì)所得的旅游人數(shù)總數(shù)沒(méi)有變，即兩次統(tǒng)計(jì)的各景點(diǎn)旅游人數(shù)的平均數(shù)是相同的，設(shè)為eq\o(x,\s\up6(－))，則s＝eq\r(\f(1,15)[（15－\o(x,\s\up6(－))）2＋（23－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x3－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（x15－\o(x,\s\up6(－))）2])，s1＝eq\r(\f(1,15)[（20－\o(x,\s\up6(－))）2＋（18－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x3－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（x15－\o(x,\s\up6(－))）2]).若比較s與s1的大小，只需比較(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2與(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2的大小即可．而(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝754－76eq\o(x,\s\up6(－))＋2eq\o(x,\s\up6(－))2，(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝724－76eq\o(x,\s\up6(－))＋2eq\o(x,\s\up6(－))2，所以(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2＞(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2.從而s＞s1.13．為提倡節(jié)能減排，同時(shí)減輕居民負(fù)擔(dān)，廣州市主動(dòng)推動(dòng)“一戶一表”工程．非一戶一表用戶電費(fèi)采納“合表電價(jià)”收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：0.65元/度．“一戶一表”用戶電費(fèi)采納階梯電價(jià)收取，其11月到次年4月起執(zhí)行非夏季標(biāo)準(zhǔn)如下：第一檔其次檔第三檔每戶每月用電量(單位：度)[0，200](200，400](400，＋∞)電價(jià)(單位：元/度)0.610.660.91例如：某用戶11月用電410度，采納合表電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)交電費(fèi)410×0.65＝266.5(元)，若采納階梯電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)交電費(fèi)200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．為調(diào)查階梯電價(jià)是否能取到“減輕居民負(fù)擔(dān)”的效果，隨機(jī)調(diào)查了該市100戶居民的11月用電量，工作人員已經(jīng)將90戶的月用電量填在下面的頻率分布表中，最終10戶的月用電量(單位：度)為88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.組別月用電量頻數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)頻率①[0，100]②(100，200]③(200，300]④(300，400]⑤(400，500]⑥(500，600]合計(jì)(1)完成頻率分布表，并繪制頻率分布直方圖；(2)依據(jù)已有信息，試估計(jì)全市住戶11月的平均用電量(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)設(shè)某用戶11月用電量為x度(x∈N)，依據(jù)合表電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)交y1元，依據(jù)階梯電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)交y2元，請(qǐng)用x表示y1和y2，并求當(dāng)y2≤y1時(shí)，x的最大值，同時(shí)依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)“階梯電價(jià)”能否給不低于75%的用戶帶來(lái)實(shí)惠？解：(1)頻率分布表如下：組別月用電量頻數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)頻率①[0，100]40.04②(100，200]120.12③(200，300]240.24④(300，400]300.3⑤(400，500]260.26⑥(500，600]40.04合計(jì)1001頻率分布直方圖如圖：(2)該100戶用戶11月的平均用電量eq\o(x,\s\up6(－))＝50×0.04＋150×0.12＋250×0.24＋350×0.3＋450×0.26＋550×0.04＝324(度)，所以估計(jì)全市住戶11月的平均用電量為324度．(3)y1＝0.65x，y2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.61x，0≤x≤200,0.66（x－200）＋122＝0.66x－10，200<x≤400,0.91（x－400）＋254＝0.91x－110，x>400)).由y2≤y1得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.61x≤0.65x,0≤x≤200))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200<x≤400,0.66x－10≤0.65x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.91x－110≤0.65x,x>400))，解得x≤eq\f(110,0.26)≈423.1.因?yàn)閤∈N，故x的最大值為423.依據(jù)頻率分布直方圖，x≤423時(shí)的頻率為0.04＋0.12＋0.24＋0.3＋23×0.0026＝0.7598>0.75，故估計(jì)“階梯電價(jià)”能給不低于75%的用戶帶來(lái)實(shí)惠．14．(選做題)某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表．工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922