《空間向量求距離》課件

空間向量求距離課程目標(biāo)理解空間向量掌握空間向量概念和基本運(yùn)算。熟練運(yùn)用向量運(yùn)算掌握空間向量求距離、夾角、方向等問題。提升空間想象力通過空間向量解決立體幾何問題，增強(qiáng)空間思維能力。向量概念復(fù)習(xí)大小和方向向量具有大小和方向，可以用來(lái)表示位移、速度和力等物理量。向量加法向量加法遵循平行四邊形法則，將兩個(gè)向量首尾相連，則對(duì)角線表示它們的和向量。向量減法向量減法可以理解為將減數(shù)反向后與被減數(shù)相加。向量的基本運(yùn)算加法向量加法滿足平行四邊形法則，即兩個(gè)向量相加等于以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線。減法向量減法可以理解為求兩個(gè)向量的差向量，差向量等于被減向量的終點(diǎn)指向減向量的終點(diǎn)的向量。數(shù)乘數(shù)乘是指用一個(gè)實(shí)數(shù)乘以一個(gè)向量，得到一個(gè)新的向量，新的向量的方向與原向量相同或相反，長(zhǎng)度是原向量長(zhǎng)度的k倍?？臻g向量的定義定義空間向量是具有大小和方向的量，可以表示為空間中的一個(gè)有向線段。表示空間向量通常用一個(gè)帶箭頭的字母表示，例如向量a。坐標(biāo)空間向量可以使用三個(gè)坐標(biāo)值來(lái)表示，分別對(duì)應(yīng)向量在空間中的三個(gè)方向上的投影長(zhǎng)度。空間向量的線性運(yùn)算1加法兩個(gè)向量相加，結(jié)果是新的向量，其起點(diǎn)為第一個(gè)向量的起點(diǎn)，終點(diǎn)為第二個(gè)向量的終點(diǎn)。2減法兩個(gè)向量相減，結(jié)果是新的向量，其起點(diǎn)為第一個(gè)向量的起點(diǎn)，終點(diǎn)為第二個(gè)向量的終點(diǎn)。3數(shù)乘一個(gè)實(shí)數(shù)乘以一個(gè)向量，結(jié)果是新的向量，其方向與原向量相同，長(zhǎng)度為原向量長(zhǎng)度的倍數(shù)?？臻g向量的坐標(biāo)表示1定義空間向量可以用三個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示，分別表示向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度。2符號(hào)空間向量可以用三個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示，分別表示向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度。3示例空間向量可以用三個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示，分別表示向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度?？臻g向量的內(nèi)積1定義兩個(gè)空間向量的內(nèi)積是一個(gè)標(biāo)量，等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。2性質(zhì)內(nèi)積具有對(duì)稱性、分配律、結(jié)合律，以及與數(shù)量乘法的分配律。3幾何意義兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們模長(zhǎng)的乘積乘以它們夾角的余弦值。空間向量的夾角計(jì)算1定義兩個(gè)空間向量夾角的定義與平面向量一致2公式利用內(nèi)積公式計(jì)算3應(yīng)用求解向量之間的夾角，判斷向量是否垂直空間向量的外積定義兩個(gè)向量的外積是一個(gè)新的向量，其方向垂直于這兩個(gè)向量所在的平面，大小等于這兩個(gè)向量長(zhǎng)度的乘積再乘以它們之間夾角的正弦值。性質(zhì)外積不滿足交換律，滿足分配律和結(jié)合律，并且可以用來(lái)計(jì)算向量組成的平行四邊形的面積。應(yīng)用在物理學(xué)中，外積可以用來(lái)表示力矩、磁場(chǎng)和電場(chǎng)等物理量，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，外積可以用來(lái)計(jì)算法線向量?？臻g向量的混合積定義設(shè)a,b,c為三個(gè)空間向量，則a?(b×c)稱為a,b,c的混合積，記作[a,b,c]。幾何意義空間向量a,b,c的混合積的值等于由a,b,c所構(gòu)成的平行六面體的體積。性質(zhì)[a,b,c]=[b,c,a]=[c,a,b]計(jì)算公式[a,b,c]=a?(b×c)=|a1a2a3||b1b2b3||c1c2c3|空間直線的方程方向向量方向向量決定了直線的方向。直線上一點(diǎn)直線上一點(diǎn)可以確定直線的位置。方程形式方程形式描述了直線上所有點(diǎn)的關(guān)系。空間直線的參數(shù)方程方向向量描述直線的方向，用向量表示。直線上一點(diǎn)確定直線的位置，用坐標(biāo)表示。兩空間直線的距離1定義兩條空間直線之間距離是指它們之間最短的距離，也就是它們之間的公垂線的長(zhǎng)度。2公式利用向量方法可以方便地計(jì)算兩空間直線的距離。3應(yīng)用在工程應(yīng)用中，計(jì)算兩條空間直線的距離在許多領(lǐng)域都有重要意義，例如：機(jī)械設(shè)計(jì)、建筑工程、航空航天等等?？臻g平面的方程一般方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C不全為0，表示一個(gè)空間平面，其中A、B、C為平面的法向量，D為常數(shù)。點(diǎn)法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中(x0,y0,z0)為平面上一點(diǎn)，(A,B,C)為平面的法向量。參數(shù)方程x=x0+at+bs，y=y0+ct+ds，z=z0+et+fs，其中(x0,y0,z0)為平面上一點(diǎn)，(a,c,e)、(b,d,f)為平面的方向向量，t、s為參數(shù)。空間平面的參數(shù)方程參數(shù)方程空間平面參數(shù)方程一般形式：r=r0+λa+μb。其中，r0是平面內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)向量，a和b是平面內(nèi)不平行的兩個(gè)方向向量，λ和μ是參數(shù)。意義平面參數(shù)方程描述了平面內(nèi)所有點(diǎn)的坐標(biāo)向量，通過改變參數(shù)λ和μ，可以得到平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)。推導(dǎo)由平面內(nèi)一點(diǎn)r0和兩個(gè)方向向量a和b可以構(gòu)造出平面內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)向量r，即r=r0+λa+μb。點(diǎn)到平面的距離計(jì)算公式點(diǎn)到平面的距離可以通過公式計(jì)算，其中P為點(diǎn)，d為平面法向量，n為平面方程系數(shù)，A為平面上任意一點(diǎn)。幾何意義點(diǎn)到平面的距離表示點(diǎn)到平面的最短距離，即點(diǎn)到平面上垂足的距離。應(yīng)用場(chǎng)景在空間幾何中，點(diǎn)到平面的距離是解決許多問題的基礎(chǔ)，例如求點(diǎn)到平面的投影點(diǎn)等。點(diǎn)到直線的距離1投影向量求出點(diǎn)到直線的垂足2向量長(zhǎng)度計(jì)算點(diǎn)到垂足的距離兩平面的夾角1定義兩平面之間的夾角是指它們法向量的夾角。2計(jì)算可以通過求解法向量的內(nèi)積來(lái)計(jì)算。3公式cosθ=(n1·n2)/(|n1||n2|)直線和平面的夾角定義直線和平面的夾角是指直線與平面所成的角中，最小的那個(gè)角。計(jì)算方法可以先求出直線的方向向量和平面的法向量，然后利用向量夾角公式計(jì)算。應(yīng)用在空間幾何中，直線和平面的夾角是解決許多問題的關(guān)鍵，例如求點(diǎn)到平面的距離，求直線與平面的交點(diǎn)等。平面和平面的夾角1法向量?jī)蓚€(gè)平面的夾角等于它們法向量的夾角。2余弦值可以通過計(jì)算兩個(gè)法向量的內(nèi)積，再除以它們模長(zhǎng)的乘積來(lái)求得夾角的余弦值。3角度最后，利用反余弦函數(shù)求得夾角。幾何意義復(fù)習(xí)距離公式利用向量模長(zhǎng)求兩點(diǎn)距離、點(diǎn)到直線距離、點(diǎn)到平面距離等.夾角公式利用向量?jī)?nèi)積求兩向量夾角、直線與平面夾角、平面與平面夾角等.面積公式利用向量外積求平行四邊形面積、三角形面積等.典型習(xí)題11求兩點(diǎn)距離已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求這兩點(diǎn)之間的距離。2求點(diǎn)到直線距離已知一點(diǎn)和一條直線的方程，求該點(diǎn)到這條直線的距離。3求兩直線距離已知兩條直線的方程，求這兩條直線之間的距離。典型習(xí)題2直線方程確定兩點(diǎn)之間的直線方程。平面方程找出包含三個(gè)給定點(diǎn)的平面的方程。兩直線距離計(jì)算兩條不平行直線的距離。典型習(xí)題31求點(diǎn)到平面的距離已知點(diǎn)$A(1,2,3)$和平面$x+2y-3z=4$，求點(diǎn)$A$到平面的距離.2求兩直線的距離已知直線$l_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}$和直線$l_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+3}{-3}$，求兩直線的距離.3求兩平面的夾角已知平面$π_1:x+2y-3z=4$和平面$π_2:2x-y+z=1$，求兩平面的夾角.典型習(xí)題4求點(diǎn)到平面的距離給定空間中一點(diǎn)和一個(gè)平面，求該點(diǎn)到平面的距離。求兩條直線的距離給定空間中兩條直線，求這兩條直線的距離。典型習(xí)題5兩條直線判斷兩條直線的位置關(guān)系，并求距離。直線與平面求點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離。平面與平面判斷兩平面的位置關(guān)系，并求距離。本章小結(jié)理解空間向