中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)二次函數(shù)重難點練習(xí)專題20 二次函數(shù)與相似三角形存在性問題（原卷版）

專題20二次函數(shù)與相似三角形存在性問題解題點撥【問題描述】在坐標(biāo)系中確定點，使得由該點及其他點構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問題”．【基本定理】判定1：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形是相似三角形；判定2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；判定3：有兩組角對應(yīng)相等的三角形是相似三角形．以上也是坐標(biāo)系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，解決問題．【題型分析】通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點”類、“雙動點”兩類問題．【思路總結(jié)】根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關(guān)鍵點也是先找到一組相等角．然后再找：思路1：兩相等角的兩邊對應(yīng)成比例；思路2：還存在另一組角相等．事實上，坐標(biāo)系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1．一、如何得到相等角？二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？搞定這兩個問題就可以了．直擊中考1．如圖，設(shè)拋物線與軸交于兩個不同的點、，對稱軸為直線，頂點記為點．且．(1)求的值和拋物線的解析式；(2)已知過點A的直線交拋物線于另一點．若點在軸上，以點、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，的外接圓半徑等于．（直接寫答案）

2．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(-1，0)，B兩點，交y軸于點C(0，3)，頂點D的橫坐標(biāo)為1．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸的負半軸上是否存在點P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)過點C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個交點為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點M，過點M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點為頂點的三角形與ΔADE相似？若存在，請求出M點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

3．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過點A(3，0)，點C(0，﹣3)，直線y＝﹣x+b經(jīng)過點A，交拋物線于點E．拋物線的對稱軸交AE于點B，交x軸于點D，交直線AC于點F．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖①，點P為直線AC下方拋物線上的點，連接PA，PC，△BAF的面積記為S1，△PAC的面積記為S2，當(dāng)S2＝S1時．求點P的橫坐標(biāo)；(3)如圖②，連接CD，點Q為平面內(nèi)直線AE下方的點，以點Q，A，E為頂點的三角形與△CDF相似時（AE與CD不是對應(yīng)邊），請直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo)．

4．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于C點，拋物線的對稱軸l與x軸交于點N，長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運動．(1)直接寫出A，B，C三點的坐標(biāo)；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)過點P作PM⊥y軸于點M，當(dāng)CPM和QBN相似時，求點Q的坐標(biāo)．

5．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線：與x軸交于點A，（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸是直線，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點．(1)求拋物線的解析式；(2)若點D為線段的中點，則能否是等邊三角形？請說明理由；(3)過點P作x軸的垂線與線段交于點M，垂足為點H，若以P，M，C為頂點的三角形與相似，求點P的坐標(biāo)．

6．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，連接，與拋物線的對稱軸交于點E，頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一個動點，點Q在射線上，若以點P、Q、E為頂點的三角形與相似，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

7．（2023秋·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的正、負半軸分別交于點B、A，與y軸交于點C，已知，，．(1)求該拋物線的表達式；(2)設(shè)該拋物線的對稱軸分別與x軸、交于點E、F，求的長；(3)在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)，如果點P在該拋物線的對稱軸上，當(dāng)和相似時，求點P的坐標(biāo)

8．如圖，直線分別交軸、軸于、兩點，繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，拋物線經(jīng)過、、三點．(1)填空：，、，、，；(2)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)為拋物線的頂點，在線段上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

9．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）已知：如圖，，，點的坐標(biāo)為，拋物線過、、三點．(1)求拋物線的解析式；(2)過點作交拋物線于點，求四邊形的面積；(3)在軸上方軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點，過作軸于點，使以、、三點為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

10．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點．(1)寫出點的坐標(biāo)；(2)將直線沿軸向上平移，分別交軸于點、交軸于點，點是該拋物線與該動直線的一個公共點，試求當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，點的坐標(biāo)；(3)已知點是二次函數(shù)圖象在軸右側(cè)部分上的一個動點，若的外接圓直徑為，試問：以、、為頂點的三角形與能否相似？若能，請求出點的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

11．已知拋物線與軸交于，兩點，（在的左側(cè)），與軸交于，若，且．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線的頂點為，點在拋物線的對稱軸上，且，求點的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在一點，過作軸于，以、、為頂點的三角形與相似，若存在，求出所有符合條件的點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

12．如圖，已知過坐標(biāo)原點的拋物線經(jīng)過，，，兩點，且、是方程兩根，拋物線頂點為．(1)求拋物線的解析式；(2)若點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，且以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的坐標(biāo)；(3)是拋物線上的動點，過點作軸，垂足為，是否存在點使得以點、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

13．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）已知，如圖二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，，點，拋物線的對稱軸為，直線交拋物線于點．(1)求二次函數(shù)的解析式并寫出點坐標(biāo)；(2)點是中點，點是線段上一動點，當(dāng)和相似時，求點的坐標(biāo)．

14．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交點(1)求拋物線的解析式以及頂點的坐標(biāo)；(2)若是線段的中點，連接，猜想線段與線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點，使得以P、A、C為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

15．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點、、在軸上，點、在軸上，，，，直線與經(jīng)過、、三點的拋物線交于、兩點，與其對稱軸交于．點為線段上一個動點（與、不重合），PQ∥y軸與拋物線交于點．(1)求經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式；(2)是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理