廣東省廣州市天河區(qū)2024-2025學年高三1月模擬數(shù)學試題【含答案解析】

廣州市天河區(qū)2025屆高三1月模擬考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知直線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】由直線斜率與傾斜角的關系，求的值.【詳解】直線的斜率為，所以，解得.故選：C.2.已知曲線，從上任意一點向軸作垂線段，為垂足（若在軸上，即為），則線段的中點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用動點轉(zhuǎn)移可求的軌跡方程.【詳解】設，則，因在曲線上，故即，故選：A.3.已知直線與垂直，則的值是A.或 B. C. D.或【答案】C【解析】【詳解】由題意得，選C.4.對于常數(shù)、，“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為，則對于常數(shù)、，“”，可得“方程表示的曲線是雙曲線”是成立的；反之對于常數(shù)、，“方程表示的曲線是雙曲線”，則“”是成立的，所以“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的充要條件故選C.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準，以及充分條件、必要條件的判定，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.5.過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】設直線的方程為，利用設而不求法求弦長的表達式，再求線段的垂直平分線，由條件列方程求可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，若直線的斜率斜率為，則直線與拋物線只有一個交點，不滿足條件，故可設直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得，方程的判別式，設，則，所以，由已知，設的中點為，則，，所以線段的垂直平分線方程為，因為在線段的垂直平分線上，所以，故，所以，.故選：B.6.設分別為圓和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點的最大距離再加上圓的半徑，從而利用兩點距離公式與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，則兩點間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點的最大距離再加上圓的半徑，設，則，故，，所以圓心到橢圓的最大距離，因為開口向下，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，則，所以兩點間的最大距離是．故選：B．7.過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，點是坐標原點，若,則的面積為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合拋物線定義求出點的縱坐標即可得解.【詳解】拋物線的焦點為，顯然直線不垂直于軸，設直線的方程為，由消去，得，設，則，由對稱性不妨令點在第一象限，即，由拋物線的定義，得，解得，，則所以的面積．故選：B8.如圖，A，F(xiàn)分別是雙曲線的左頂點、右焦點，過F的直線l與C的一條漸近線垂直且與另一條漸近線和y軸分別交于P，Q兩點若，則C的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，直線，進而求出，，再結(jié)合可得，進而列式求解即可.【詳解】由題意，，直線，聯(lián)立，解得，即，將代入直線，得，因為，所以，化簡得，代入，得，則，解得或（舍去）．故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，則下列選項中正確的有（）A.直線的傾斜角為 B.直線的斜率為C.直線不經(jīng)過第三象限 D.直線的一個方向向量為【答案】CD【解析】【分析】由直線，可以得到直線的斜率和傾斜角，從而判斷A和B的正誤；通過計算直線的斜率和截距，從而判斷是否經(jīng)過第三象限，判斷C選項的正誤；取直線上兩點，得到直線的一個方向向量，從而判斷D選項的正誤.【詳解】因為，可以表示為，所以，傾斜角為，故選項A和B錯誤；因為直線，故斜率，縱截距，所以直線不經(jīng)過第三象限，故選項C正確；取直線上兩點,，所以得到方向向量，得到直線的一個方向向量為，故選項D正確.故選：CD10.若圓的圓心到直線的距離為，則實數(shù)的值為（）A2 B. C. D.0【答案】AD【解析】【分析】求出圓心坐標后，利用點到直線的距離公式列式可解得結(jié)果.【詳解】因為圓的圓心為，所以圓心到直線的距離為，所以或.故選：AD【點睛】關鍵點點睛：掌握點到直線的距離公式是解題關鍵.11.已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別為，的離心率，點是它們的一個交點，則以下判斷正確的有（）A.面積為B若，則C.若，則的取值范圍為D.若，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】由橢圓和雙曲線的焦點三角形面積公式可判斷A；由和結(jié)合基本不等式可判斷B；由條件可得，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可判斷C、D.【詳解】設，，，不妨設點是，在第一象限內(nèi)的交點，則，，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，一方面，所以，此時面積為；另一方面，，所以，此時面積為，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為且，所以，所以，所以，所以，又，所以，故B正確；當時，由得，即，所以，所以，，對于C，令，則，所以，，故C錯誤；對于D，，記，則，函數(shù)是對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線與直線平行，則這兩平行線間距離為_____【答案】##【解析】【分析】首先由兩直線平行求出參數(shù)，然后由平行線之間的距離公式直接計算即可求解.【詳解】由題意直線與直線平行，所以，解得，所以兩平行線、之間的距離為.故答案為：.13.若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則________.【答案】【解析】【分析】由拋物線的方程可得焦點坐標，代入直線方程可得的值．【詳解】可化為，焦點坐標為由題意可得：，故．故答案為：.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及點在直線上的性質(zhì)，屬于基礎題．14.已知橢圓的左?右焦點分別為為上一點，且，若，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓的離心率__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義，利用等面積法可得方程，由此可得，再由正弦定理可得，又根據(jù)的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，可得，由此列出方程化簡即可得到齊次式，即解方程注意即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)已知條件有，有正弦定理面積公式有：，又，所以，設的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，因為為橢圓上一點，則，又，以的三邊為底，內(nèi)切圓半徑為高的三個三角形面積和等于面積，所以，解得，由正弦定理有：，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，即，即，所以，即，即，兩邊同除以，得，又，解得.故答案：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用等面積法求出，再利用正弦定理求出，結(jié)合已知條件得到關于、的齊次式求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別為，，.（1）求邊所在的直線方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）15【解析】【分析】（1）由B，C兩點的坐標，得直線的兩點式方程，化簡得一般式方程；（2）用兩點間距離公式求B，C兩點間的距離，計算點A到直線BC的距離可得三角形的高，得三角形的面積.【小問1詳解】因為，，所以BC所在的直線方程為，即.【小問2詳解】B，C兩點間的距離為，點A到直線BC的距離，所以的面積為.16.已知點在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．（1）求雙曲線的方程；（2）若過點且斜率為的直線與雙曲線僅有一個交點，求實數(shù)的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由漸近線公式，以及代入點的坐標，即可求解雙曲線方程；（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)交點個數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由條件可知，，且，解得：，，所以雙曲線方程為；【小問2詳解】設直線的方程為，聯(lián)立，，時，，得；當時，時，，得，滿足條件，綜上可知，或.17.著名古希臘數(shù)學家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式，（分別為橢圓的長半軸長和短半軸長）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎，已知橢圓：．（1）求的面積；（2）若直線交于兩點，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓方程和橢圓面積公式，即可求解；（2）直線與橢圓方程來努力，利用弦長公式，即可求解.小問1詳解】橢圓的方程為，所以，，則，，所以橢圓的面積；【小問2詳解】聯(lián)立，得，，，，.18.圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4有怎樣的位置關系？試說明理由．【答案】圓與橢圓，當或時沒有公共點；當時恰有一個公共點；當或或時恰有二個公共點；當時恰有三個公共點；當或時恰有四個公共點．【解析】【分析】將圓和橢圓的方程聯(lián)立組成方程組，根據(jù)解的個數(shù)判斷位置關系.【詳解】解方程組得，（一）當時以上方程組的只有一個解，此時解得，則圓與橢圓有兩個公共點.（二）當時方程組的有兩個不同的解或.當時，.（1）若或，圓與橢圓沒有公共點；（2）若，圓與橢圓恰有一個公共點；（3）若，圓與橢圓恰有二個公共點．當時，，（1）若或，圓與橢圓沒有公共點；（2）若，圓與橢圓恰有一個公共點；（3）若，圓與橢圓恰有二個公共點．綜上所述，圓與橢圓，當或時沒有公共點；當時恰有一個公共點；當或或時恰有二個公共點；當時恰有三個公共點；當或時恰有四個公共點．19.已知橢圓：的右焦點與拋物線的焦點重合．（1）求拋物線的方程；（2）已知為拋物線上一個動點，直線，，求點到直線的距離之和的最小值；（3）若點是拋物線上一點（不同于坐標原點），是的內(nèi)心，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用題意求出焦點坐標求解就可以了；（2）找到距離之間關系，利用幾何法求解即可；（3）利用內(nèi)心的性質(zhì)找到面積之間的關系，然后表示出面積，再利用函數(shù)關系求其范圍即可.【小問1詳解】由題可知，橢圓右焦點坐標為，拋物線焦點坐標為所以,所以拋物線方程為,【小問2詳解】由題可知，為拋物線準線，所以點到的距離等于點到焦點的距離；聯(lián)立，顯然無實數(shù)根，故直線與拋物線