2024-2025學年高中數學第三章概率3.3幾何概型3.3.1幾何概型3.3.2幾何概型均勻隨機數的產生課后課時精練新人教A版必修3_第1頁
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PAGE1-3.3.1幾何概型3.3.2幾何概型勻稱隨機數的產生A級:基礎鞏固練一、選擇題1.在長為12cm的線段AB上任取一點M,并以線段AM為一邊作正方形,則此正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率為()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)答案C解析正方形的面積介于36cm2與81cm2之間,所以正方形的邊長介于6cm與9cm之間,線段AB的長度為12cm,故所求概率為eq\f(9-6,12)=eq\f(1,4).2.某人向圖中的靶子上射箭,假設每次射擊都能中靶,且箭頭落在任何位置都是等可能的,則最簡單射中陰影區(qū)域的是()答案B解析由題意,設圖中每個等邊三角形的面積為1,則正六邊形的面積為6.選項A:陰影面積為2,射中陰影區(qū)域的概率為eq\f(1,3);選項B:陰影面積為3,射中陰影區(qū)域的概率為eq\f(1,2);選項C:陰影面積為2,射中陰影區(qū)域的概率為eq\f(1,3);選項D:陰影面積為2.5,射中陰影區(qū)域的概率為eq\f(5,12).因為eq\f(1,2)>eq\f(5,12)>eq\f(1,3),所以最簡單射中陰影區(qū)域的是選項B.故選B.3.在我國古代數學著作《九章算術》勾股章有一《池葭出水》的趣題(如圖所示):“今有池方一丈,葭生其中心,出水一尺.引葭赴岸,適與岸齊.問水深、葭長各幾何?”其意思是:有一個正方形的池子,邊長為1丈,池中心有一株蘆葦,露出水面1尺,將蘆葦拉至池邊,它的頂端正好與水面一樣平,問水有多深?該植物有多長?(“丈”和“尺”都是舊制長度單位,現已停止運用,1丈=10尺,1米=3尺).若從該蘆葦上隨機取一點,則該點取自水下的概率是()A.eq\f(9,10)B.eq\f(12,13)C.eq\f(13,14)D.eq\f(14,15)答案B解析設水深為x尺,則(x+1)2=x2+52,解得x=12,即水深12尺,蘆葦長13尺,則所求概率P=eq\f(12,13).4.分別在區(qū)間[1,6],[1,4]內各任取一個實數,依次記為m,n,則m>n的概率是()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8答案C解析畫出圖形(如圖所示),m,n所滿意的區(qū)域為矩形ABCD,而m>n所滿意的區(qū)域為梯形ABCE,所以m>n的概率P=eq\f(S梯形ABCE,S矩形ABCD)=eq\f(15-\f(9,2),15)=0.7.故選C.5.在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數x,則事務“-1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)答案A解析由-1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))≤1得logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2),所以eq\f(1,2)≤x+eq\f(1,2)≤2,解得0≤x≤eq\f(3,2),故事務“-1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為eq\f(\f(3,2),2)=eq\f(3,4).二、填空題6.一只螞蟻在三邊長分別為3、4、5的三角形面上自由爬行,某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離不超過1的概率為________.答案eq\f(π,12)解析由已知得到三角形為直角三角形,三角形ABC的面積為eq\f(1,2)×3×4=6,離三個頂點距離都不大于1的地方如圖三角形的陰影部分,它的面積為半徑為1的半圓面積S=eq\f(1,2)π×12=eq\f(π,2),所以其恰在離三個頂點距離不超過1的概率為P=eq\f(\f(π,2),6)=eq\f(π,12).7.記函數f(x)=eq\r(6+x-x2)的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數x,則x∈D的概率是________.答案eq\f(5,9)解析由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,則D=[-2,3],則所求概率為eq\f(3--2,5--4)=eq\f(5,9).8.“丁香”和“小花”是好摯友,她們相約本周末去爬歌樂山,并約定周日早上8:00至8:30之間(假定她們在這一時間段內任一時刻等可能地到達)在歌樂山健身步道起點處會合,若“丁香”先到,則她最多等待“小花”15分鐘.若“小花”先到,則她最多等待“丁香”10分鐘.若在等待時間內對方到達,則她倆就一起歡樂地爬山,否則,她們均不再等候對方而獨自去爬山,則“丁香”和“小花”歡樂地一起爬歌樂山的概率是________(用數字作答).答案eq\f(47,72)解析由題意知本題是一個幾何概型.設“小花”和“丁香”到達的時間分別為(8+x)時和(8+y)時,則0≤x≤eq\f(1,2),0≤y≤eq\f(1,2),若兩人見面,則0≤x-y≤eq\f(15,60)=eq\f(1,4),或者0≤y-x≤eq\f(10,60)=eq\f(1,6),如圖,正方形的面積為eq\f(1,4),落在兩直線之間部分的面積為eq\f(1,4)-eq\f(1,18)-eq\f(1,32),所以“丁香”和“小花”歡樂地一起爬歌樂山的概率是eq\f(\f(1,4)-\f(1,18)-\f(1,32),\f(1,4))=eq\f(47,72).故答案為eq\f(47,72).三、解答題9.在轉盤嬉戲中,假設有紅、綠、藍三種顏色.在轉盤停止時,假如指針指向紅色為贏,綠色為平,藍色為輸,問:若每種顏色被平均分成四塊,不同顏色相間排列,要使贏的概率為eq\f(1,5),輸的概率為eq\f(1,3),則每個綠色扇形的圓心角為多少度?(假設轉盤停止位置都是等可能的)解因為贏的概率為eq\f(1,5).所以紅色所占角度為周角的eq\f(1,5),即α1=eq\f(360°,5)=72°.同理,藍色占周角的eq\f(1,3),即α2=eq\f(360°,3)=120°,所以綠色所占角度α3=360°-120°-72°=168°.將α3分成四等份,得α3÷4=168°÷4=42°,即每個綠色扇形的圓心角為42°.B級:實力提升練10.如圖所示,在地上畫一個正方形方框,其邊長等于一枚硬幣直徑的2倍,向方框中投硬幣,硬幣完全落在正方形外的狀況不計,求硬幣完全落在正方形內的概率.解如圖所示,設正方形ABCD的邊長為4a,硬幣的半徑r=a,則正方形O1O2O3O4的面積為4a2,曲邊多邊形EFGHI

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