上海市東昌中學2024-2025學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（含答案）

東昌中學2024學年第一學期高二年級數(shù)學期末2025.01一、填空題（本大題滿分54分）1-6題每空4分，7-12題每空5分．1．已知，，則直線、的位置關(guān)系為________（填平行、相交、異面）．2．空間直角坐標系中，已知，則點關(guān)于平面的對稱點的坐標為________．3．直線與直線的夾角的大小為________．4．若直線與直線平行，則它們之間的距離為________．5．如圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的正的直觀圖，其中，則的面積為________．6．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且滿足，則________．7．已知一個圓錐的高為6，且側(cè)面展開圖恰是一個半圓，則該圓錐的側(cè)面積為________．8．已知函數(shù)，則________．9．若，，是三個不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，則________．10．若直線與曲線恰有兩個不同公共點，則實數(shù)的取值范圍是________．11．已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為________．12．若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍是________．二、選擇題（本大題滿分18分）13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分．13．直線的傾斜角的取值范圍是（）．A． B．C． D．14．若函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍（）．A． B．C． D．15．已知正方體，點、、分別是線段，和上的動點，觀察直線與，與給出下列結(jié)論：①對于任意給定的點，存在點，使得；②對于任意給定的點，存在點，使得；③對于任意給定的點，存在點，使得；④對于任意給定的點，存在定點，使得．其中正確的結(jié)論是（）A．① B．②③ C．①④ D．②④

16．某學校航天興趣小組利用計算機模擬“天問一號火星探測器”，如圖，探測器在環(huán)火星橢圓軌道近火星點處制動（俗稱“踩剎車”）后，以的速度進入距離火星表面的環(huán)火星圓形軌道（火星的球心為橢圓的一個焦點），環(huán)繞周期為．已知為火星的半徑，遠火星點到火星表面的最近距離為，則下列說法不正確的是（）．A．橢圓軌道的離心率為B．圓形軌道的周長為C．火星半徑為D．近火星點與遠火星點的距離為三、解答題（本大題滿分78分）17．（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分．如圖所示的幾何體，是將體積為、底面半徑為2的圓柱沿著過旋轉(zhuǎn)軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后形成的，、為底面直徑，、為圓柱的母線，、、分別為、、的中點，為弧的中點，為弧的中點．（1）求這個幾何體的表面積；（2）求異面直線與所成角的余弦值．18．（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分．已知圓，圓經(jīng)過點，且與圓相切于點．（1）求圓的標準方程；（2）已知直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程．19．（本題滿分18分）第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，，為棱的中點．（1）求直線與平面所成線面角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（2）求二面角的余弦值；（3）探究在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．20．（本題滿分18分）第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．已知橢圓．記橢圓的左右焦點分別為，，直線交橢圓于不同的兩點、．（1）若橢圓過點求橢圓的標準方程和離心率；（2）設(shè)，若直線過點，且以線段為直徑的圓過點，求直線的方程；（3）設(shè)，若，求的面積．21．（本題滿分18分）第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．設(shè)是直角坐標平面上的一點，曲線是函數(shù)的圖象．若過點恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點”．（1）判斷點是否為函數(shù)的1度點，并說明理由；（2）若點是，的0度點，求的最小值；（3）求函數(shù)的全體2度點構(gòu)成的集合．參考答案一、填空題1.平行或異面；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；二、選擇題13.A；14.B；15.A；16.C15.已知正方體，點、、分別是線段，和上的動點，觀察直線與，與給出下列結(jié)論：①對于任意給定的點，存在點，使得；②對于任意給定的點，存在點，使得；③對于任意給定的點，存在點，使得；④對于任意給定的點，存在定點，使得．其中正確的結(jié)論是（）A．① B．②③ C．①④ D．②④【答案】A【解析】①當點與重合時，，且，所以平面，

因為對于任意給定的點，都有平面，

所以對于任意給定的點，存在點，使得，所以①正確；

②只有平面，即平面時，

才能滿足對于任意給定的點，存在點，使得，

因為過點與平面垂直的直線只有一條，而，所以②錯誤；

③當與，重合時，在線段上找不到點，使，所以③不正確；

④只有當平面，若存在點，使得，則平面，又平面，則有平面平面，顯然不可能，

所以對于任意給定的點不存在點，使，故④不正確．故選：．16.某學校航天興趣小組利用計算機模擬“天問一號火星探測器”，如圖，探測器在環(huán)火星橢圓軌道近火星點處制動（俗稱“踩剎車”）后，以的速度進入距離火星表面的環(huán)火星圓形軌道（火星的球心為橢圓的一個焦點），環(huán)繞周期為．已知為火星的半徑，遠火星點到火星表面的最近距離為，則下列說法不正確的是（）．A．橢圓軌道的離心率為B．圓形軌道的周長為C．火星半徑為D．近火星點與遠火星點的距離為【答案】C【解析】如圖，以線段的中點為原點，所在直線為軸，以的方向為軸正方向建立直角坐標系，

則可設(shè)軌道所在的橢圓的標準方程為：，則由已知，，

所以，故離心率為，故正確；以的速度進入距離火星表面的環(huán)火星圓形軌道，環(huán)繞周期為，

所以環(huán)繞的圓形軌道周長為，半徑為，所以火星半徑為，故正確，錯誤，因為近火星點與遠火星點的距離為

，故正確；故選：C．三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）（3）存在，20.（1）（2）或（3）略21.設(shè)是直角坐標平面上的一點，曲線是函數(shù)的圖象．若過點恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點”．（1）判斷點是否為函數(shù)的1度點，并說明理由；（2）若點是，的0度點，求的最小值；（3）求函數(shù)的全體2度點構(gòu)成的集合．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】（1）原點是函數(shù)的一個1度點，理由如下：

設(shè)，則曲線在點處的切線方程為，

則該切線過點當且僅當，即，故原點是函數(shù)的一個1度點；

（2）設(shè)，

則曲線在點處的切線方程為，

則該切線過點當且僅當，

設(shè)，則當時，,

故在區(qū)間遞增，，，

①若恒不成立，即點是的一個0度點；

②若，則當時，，存在唯一的，使得成立，

即點是的一個1度點，綜上，實數(shù)的最小值為；

（3），曲線在點處的切線方程為，

故點為函數(shù)的一個2度點當且僅當關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，

設(shè)，則點為函數(shù)的一個2度點當且僅當兩個不同的零點，

①若，則在上遞增，只有一個實數(shù)解，不合要求；

②