離散型隨機(jī)變量及其分布列十四大題型（學(xué)生版）

題型1普通型 1題型2競賽（游戲）型 3題型3一人比賽（測試）型 6題型4兩人比賽賽制型 8題型5兩隊(duì)比賽型 題型6三人比賽型 題型7摸球型 題型8藥物相關(guān)型 題型9商品利潤型 題型10頻率分布圖型 題型11分布表型 題型12折線圖型 題型13導(dǎo)數(shù)型 題型14數(shù)列型 【例題1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營活動(dòng)．若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，ξ表示選取的人中來自該中學(xué)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式1-1】1.（2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）某職稱考試有A，B兩門課程，每年每門課程均分別有一次考試機(jī)會，若某門課程上一年通過，則下一年不再參加該科考試，只要在連續(xù)兩年內(nèi)兩門課程均通過就能獲得該職稱.某考生準(zhǔn)備今年兩門課程全部參加考試，預(yù)測每門課程今年通過的概率均為；若兩門均沒有通過，則明年每門課程通過的概率均為；若只有一門沒過，則明年這門課程通過的概率為.(1)求該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱的概率；(2)設(shè)該考生兩年內(nèi)參加考試的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【變式1-1】2.（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，已知該同學(xué)每次投籃投中的概率均為.(1)求該同學(xué)進(jìn)行三次投籃恰好有兩次投中的概率；(2)若該同學(xué)進(jìn)行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，記X為三次總得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【變式1-1】3.（2023上·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期中）某公司有A，B，C型三輛新能源電動(dòng)汽車參加陽光保險(xiǎn)，每輛車需要向陽光保險(xiǎn)繳納800元的保險(xiǎn)金，若在一年內(nèi)出現(xiàn)事故每輛車可賠8000元的賠償金（假設(shè)每輛車每年最多賠償一次）.設(shè)A,B,C型三輛車一年內(nèi)發(fā)生事故的概率分別為且每輛車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立.(1)求該公司獲賠的概率；(2)設(shè)獲賠金額為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式1-1】4.（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）2023年9月25日，在富陽銀湖體育中心舉行的杭州亞運(yùn)會射擊項(xiàng)目男子25米手槍速射團(tuán)體決賽中，中國隊(duì)以1765環(huán)的總成績擊敗韓國隊(duì)奪得冠軍，并打破世界記錄．現(xiàn)已知男子25米手槍速射決賽規(guī)則如下：取資格賽前6名選手進(jìn)入決賽，5發(fā)子彈為一組，每發(fā)子彈9.7環(huán)以上得1分，否則得0分．若進(jìn)入決賽的每位選手每組能得5分與4分概率分別為0.6，0.4.(1)求某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為14分的概率；(2)設(shè)某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為隨機(jī)變量ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列與期望.【變式1-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）某獵人發(fā)現(xiàn)在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準(zhǔn)備多次射擊.假設(shè)每次射擊結(jié)果之間相互獨(dú)立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.如果獵人第一次射擊沒有擊中藥物，則獵人經(jīng)過調(diào)整后進(jìn)行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時(shí)獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒有擊中獵物，則第三次射擊時(shí)獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進(jìn)行下去，每次射擊如果沒有擊中，則下一次射擊時(shí)獵物和他之間的距離都會增加50米，當(dāng)獵人擊中獵物或發(fā)現(xiàn)下次射擊擊中的概率小于時(shí)就停止射擊，求獵人停止射擊時(shí)射擊次數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.【例題2】（2023上·北京·高三北京市第三十五中學(xué)?？计谥校┠承Ｅe辦知識競賽，已知學(xué)生甲是否做對每個(gè)題目相互獨(dú)立，做對A，B，C三道題目的概率以及做對時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如表所示．規(guī)則如下：按照A，B，C的順序做題，只有做對當(dāng)前題目才有資格做下一題.題目ABC做對的概率341214獲得的獎(jiǎng)金/元[注：甲最終獲得的獎(jiǎng)金為答對的題目相對應(yīng)的獎(jiǎng)金總和．](1)求甲沒有獲得獎(jiǎng)金的概率；(2)求甲最終獲得的獎(jiǎng)金X的分布列及期望；(3)如果改變做題的順序，最終獲得的獎(jiǎng)金期望是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序最終獲得的獎(jiǎng)金期望最大？（不需要具體計(jì)算過程，只需給出判斷）【變式2-1】1.（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）某娛樂節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為1000元、2000元、3000元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為.第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.(1)求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；(2)設(shè)小劉所得獎(jiǎng)金為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【變式2-1】2.（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）某闖關(guān)游戲共設(shè)置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)選手甲答對第1題的概率為，甲答對題序?yàn)閕的題目的概率pi=，i∈{1,2,3,4}，各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1)若甲已經(jīng)答對了前3題，求甲答對第4題的概率；(2)求甲停止答題時(shí)答對題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【變式2-1】3.（2023上·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在十一黃金周期間，某商場規(guī)定單次消費(fèi)超過500元的顧客可參與如下的游戲．活動(dòng)規(guī)則如下：現(xiàn)有甲，乙，丙三個(gè)游戲，每位參與者從中隨機(jī)選擇一個(gè)游戲，若不通過，則游戲結(jié)束，若通過，則再從剩下的兩個(gè)游戲中隨機(jī)選擇一個(gè)游戲，若不通過，則游戲結(jié)束，若通過，則再進(jìn)行最后一個(gè)游戲，最后一個(gè)游戲無論是否通過都結(jié)束游戲．每通過一個(gè)游戲都可獲得對應(yīng)的獎(jiǎng)金，且參與游戲的順序由顧客確定，顧客是否通過每個(gè)游戲相互獨(dú)立，已知通過游戲的概率以及獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如下表所示游戲甲乙丙通過的概率0.80.60.4獲得的獎(jiǎng)金金額/元200300(1)求參與游戲的顧客沒有獲得獎(jiǎng)金的概率；(2)現(xiàn)有王先生、李先生兩名顧客分別以甲→乙→丙、丙→乙→甲的順序進(jìn)行游戲，請問哪位顧客獲得獎(jiǎng)金的期望值較大？【變式2-1】4.（2023上·四川·高三重慶第二外國語學(xué)校?？计谥校┲貞c市第二外國語學(xué)校在83周年校慶時(shí)組織了“校史”知識競賽，有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得40分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得60分，否則得0分.已知小王同學(xué)能正確回答A類問題的概率為0.7，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.5，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小王先回答A類問題，記X為小王的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小王應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【變式2-1】5.（2023上·江蘇南京·高三校聯(lián)考期中）某校在一次慶?；顒?dòng)中，設(shè)計(jì)了一個(gè)“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個(gè)套圈，向M，N兩個(gè)目標(biāo)投擲，先向目標(biāo)M擲一次，套中得1分，沒有套中不得分，再向目標(biāo)N連續(xù)擲兩次，每套中一次得2分，沒套中不得分，根據(jù)累計(jì)得分發(fā)放獎(jiǎng)品．已知小明每投擲一次，套中目標(biāo)M的概率為，套中目標(biāo)N的概率為,假設(shè)小明每次投擲的結(jié)果相互獨(dú)立，累計(jì)得分記為X.(1)求小明恰好套中2次的概率；(2)求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【例題3】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）小梅參加甲、乙兩項(xiàng)測試，每次測試結(jié)果只有3種，分別是優(yōu)秀、良好、合格，結(jié)果為優(yōu)秀得3分、良好得1分、合格得0分，小梅參加甲項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，參加乙項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項(xiàng)測試互不影響，兩項(xiàng)測試結(jié)束后，小梅得分之和為ξ.(1)求小梅參加兩項(xiàng)測試恰有一次為合格的概率；(2)求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.【變式3-1】1.（2023上·湖南邵陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在一個(gè)有獎(jiǎng)游戲中，參與者可從A，B兩類數(shù)學(xué)試題中選擇作答，答題規(guī)則如下：規(guī)則一：參與者只有在答對第一次所選試題的情況下，才有資格進(jìn)行第二次選題，且連續(xù)兩次選題不能是同一類試題，每人至多有兩次答題機(jī)會；規(guī)則二：參與者連續(xù)兩次選題可以是同一類試題，答題次數(shù)不限.(1)小周同學(xué)按照規(guī)則一進(jìn)行答題，已知小周同學(xué)答對A類題的概率均為0.75，答對一次可得2分；答對B類題的概率均為0.6，答對一次可得3分．如果答題的順序由小周選擇，那么A，B兩類題他應(yīng)優(yōu)先選擇答哪一類試題？請說明理由；(2)小南同學(xué)按照規(guī)則二進(jìn)行答題，小南同學(xué)第1次隨機(jī)地選擇其中一類試題作答，如果小南第1次選擇A類試題，那么第2次選擇A類試題的概率為0.6；如果第1次選擇B類試題，那么第2次選擇A類試題的概率為0.8．求小南同學(xué)第2次選擇A類試題作答的概率.【變式3-1】2.（2023上·北京·高三北京五十五中?？茧A段練習(xí)）某闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功，其中第一關(guān)是答題，分別設(shè)置“文史常識題”“生活常識題”“影視藝術(shù)常識題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：方案一：答題3道，至少有2道答對方案二：在這3道題目中，隨機(jī)選取2道，這2道都答對.方案一和方案二中只要完成一個(gè)，就能通過第一關(guān)，假設(shè)甲選擇方案一、且答對每一道題的概率是，乙選擇方案二，且3道題中只能答對其中兩道題.(1)求甲答對題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列；(3)若丙答對這3道題中每一道題的概率都是pp∈0,1))，且這3道題是否答對相互之間沒有影響，丙選擇方案一通過第一關(guān)的概率為p1，選擇方案二通過第一關(guān)的概率為p2，直接比較p1與p2的大小.【變式3-1】3.（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）第22屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行，這是我國第三次舉辦亞運(yùn)會．為迎接這場體育盛會，杭州市某社區(qū)決定舉辦一次亞運(yùn)會知識競賽，要求每組參賽隊(duì)伍由兩人組成，競賽分為預(yù)賽和決賽，其中預(yù)賽規(guī)則如下：①每組隊(duì)伍先從A，B兩類問題中選擇一類，并由兩位選手從中各隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，答錯(cuò)的選手本輪競賽結(jié)束；答對的選手再從另一類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題進(jìn)行回答，無論答對與否，本輪競賽結(jié)束；②若在本輪競賽中每組隊(duì)伍的兩名選手合計(jì)答對問題的個(gè)數(shù)不少于3個(gè)，則可進(jìn)入決賽.市民甲與乙組成“夢幻”隊(duì)參加了這次競賽，已知甲答對A類中每個(gè)問題的概率均為0.7，答對B類中每個(gè)問題的概率均為0.5，乙答對A類中每個(gè)問題的概率均為0.4，答對B類中每個(gè)問題的概率均為0.8.(1)若“夢幻”隊(duì)先回答A類問題，記X為“夢幻”隊(duì)答對問題的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)為使“夢幻”隊(duì)進(jìn)入決賽的概率最大，“夢幻”隊(duì)?wèi)?yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【變式3-1】4.（2023上·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已脫貧的西部地區(qū)某貧困縣，鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，在國家產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，利用當(dāng)?shù)刈匀粭l件，在山上發(fā)展果樹種植，現(xiàn)已開始大量結(jié)果，為了普及果樹種植技術(shù)，該縣舉辦“果樹種植技術(shù)知識競賽”，競賽規(guī)則如下：先進(jìn)行預(yù)賽，預(yù)賽共進(jìn)行四輪答題比賽，在每輪答題比賽中，選手可選易，中，難三類題中的一題，答對得分，答錯(cuò)不得分，四輪答題中，易，中，難三類題中的每一類題最多選兩個(gè)，預(yù)賽的四輪答題比賽得分不低于10分的進(jìn)入決賽，某選手A答對各題相互獨(dú)立，答對每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對概率 3 512 答對得分345(1)若選手A前兩輪都選擇了中等難度題，且對了一題，錯(cuò)了一題，請你為選手A計(jì)劃后兩輪應(yīng)該怎樣選擇答題，使得進(jìn)入決賽的可能性更大，并說明理由；(2)選手A四輪答題中，選擇了一個(gè)容易題，兩個(gè)中等難度題，一個(gè)難題，已知容易題答對，記選手A預(yù)賽四輪答題比賽得分總和為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例題4】（2023上·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了提高居民參與健身的積極性，某社區(qū)組織居民進(jìn)行乒乓球比賽，每場比賽采取五局三勝制，先勝3局者為獲勝方，同時(shí)該場比賽結(jié)束，每局比賽沒有平局.在一場比賽中，甲每局獲勝的概率均為p，且前4局甲和對方各勝2局的概率為.(1)求p的值；(2)記該場比賽結(jié)束時(shí)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與期望.【變式4-1】1.（2023上·遼寧沈陽·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場比賽甲獲勝的概率；(2)這場比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望（保留兩位有效數(shù)字(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算這場比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的方差.【變式4-1】2.（2023上·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某中學(xué)舉辦羽毛球比賽，經(jīng)過三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進(jìn)行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位先贏得三局比賽時(shí)，則該選手獲勝，則比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前比賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在每一局獲勝的概率均為p(0<p<1).(1)若比賽進(jìn)行三局就結(jié)束的概率為fp，求fp的最小值；(2)記（1）中，fp取得最小值時(shí)，p的值為p0，以p0作為p的值，用X表示甲、乙實(shí)際比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.【變式4-1】3.（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某校為了弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，在校藝術(shù)節(jié)上舉辦班級“古詩詞雙人團(tuán)體賽”，每班限報(bào)一隊(duì)，每隊(duì)兩人，每隊(duì)通過回答多個(gè)問題的形式進(jìn)行競賽.現(xiàn)甲，乙兩隊(duì)進(jìn)行競答比賽，比賽規(guī)則是：每輪比賽中每隊(duì)僅派一人代表答題，兩人都全部答對或者都沒有全部答對則均記1分；一人全部答對而另一人沒有全部答對，則全部答對的隊(duì)伍記3分，沒有全部答對的記0分.設(shè)每輪比賽中甲隊(duì)全部答對的概率為，乙隊(duì)全部答對的概率為，甲，乙兩隊(duì)答題相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響.(1)經(jīng)過1輪比賽，設(shè)甲隊(duì)的得分為X，求X的分布列和期望；(2)若比賽采取3輪制，請計(jì)算第3輪比賽后甲隊(duì)累計(jì)得分低于乙隊(duì)累計(jì)得分的概率.【變式4-1】4.（2023上·福建漳州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用2n?1(n∈N?)局n勝制（當(dāng)一選手先贏下n局比賽時(shí)，該選手獲勝，比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為1?p.若n=2，p=比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若n=3比n=2對甲更有利，求p的取值范圍.【變式4-1】5.（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規(guī)競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時(shí)間內(nèi)復(fù)原．廣義的魔方，指各類可以通過轉(zhuǎn)動(dòng)打亂和復(fù)原的幾何體．魔方與華容道、法國的單身貴族（獨(dú)立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議．在2018WCA世界魔方蕪湖公開賽上，杜宇生以3.47秒的成績打破了三階魔方復(fù)原的世界紀(jì)錄，勇奪世界魔方運(yùn)動(dòng)的冠軍，并成為世界上第一個(gè)三階魔方速擰進(jìn)入4秒的選手.(1)小王和小吳同學(xué)比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為，若采用三局兩勝制，兩人共進(jìn)行了X局比賽，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)小王和小吳同學(xué)比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應(yīng)選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？【變式4-1】6.（2023上·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）喜迎新學(xué)期，高三一班、二班舉行數(shù)學(xué)知識競賽，賽制規(guī)定：共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽每個(gè)班可以從A,B兩個(gè)題庫中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個(gè)班的題目必須來自同一題庫，后三輪比賽中每個(gè)班的題目必須來自同一題庫，A題庫每題20分，B題庫每題30分，一班能正確回答A,B題庫每題的概率分別為、，二班能正確回答A,B題庫每題的概率均為，且每輪答題結(jié)果互不影響.(1)若一班前兩輪選A題庫，后三輪選B題庫，求其總分不少于100分的概率；(2)若一班和二班在前兩輪比賽中均選了B題庫，而且一班兩輪得分60分，二班兩輪得分30分，一班后三輪換成A題庫，二班后三輪不更換題庫，設(shè)一班最后的總分為X，求X的分布列，并從每班總分的均值來判斷，哪個(gè)班贏下這場比賽？【例題5】（2024上·吉林白城·高三?？茧A段練習(xí)）科普知識是一種用通俗易懂的語言，來解釋種種科學(xué)現(xiàn)象和理論的知識文字，以普及科學(xué)知識為目的.科普知識涵蓋了科學(xué)領(lǐng)域的各個(gè)方面，無論是物理?化學(xué)?生物各個(gè)學(xué)科，還是日常生活無不涉及到科普知識.由于其范圍的廣泛性，奠定了科普知識的重要意義和影響.某校為了普及科普知識，在全校組織了一次科普知識競賽.經(jīng)過初賽?復(fù)賽，甲?乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)3人）進(jìn)入了決賽.決賽規(guī)則為每人回答一個(gè)問題，答對者為本隊(duì)贏得5分，答錯(cuò)或不答者得0分.假設(shè)甲隊(duì)中3人答對的概率分別為,,，乙隊(duì)中每人答對的概率均為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.(1)設(shè)隨機(jī)變量X表示甲隊(duì)的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲?乙兩隊(duì)總得分之和等于15分且乙隊(duì)得分高的概率.【變式5-1】1.（2023·全國·模擬預(yù)測）為了引導(dǎo)人民強(qiáng)健體魄，某市組織了一系列活動(dòng)，其中乒乓球比賽的冠軍由A，B兩隊(duì)爭奪，已知A，B兩隊(duì)之間的比賽采用5局3勝制，且本次比賽共設(shè)有3000元獎(jiǎng)金，獎(jiǎng)金分配規(guī)則如下：①若比賽進(jìn)行3局即可決定勝負(fù)，則贏方獲得全部獎(jiǎng)金，輸方?jīng)]有獎(jiǎng)金；②若比賽進(jìn)行4局即可決定勝負(fù)，則贏方獲得90%的獎(jiǎng)金，輸方獲得10%的獎(jiǎng)金；③若比賽打滿5局才決定勝負(fù)，則贏方獲得80%的獎(jiǎng)金，輸方獲得20%的獎(jiǎng)金．已知每局比賽A隊(duì)，B隊(duì)贏的概率分別為且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)若比賽進(jìn)行4局即可決定勝負(fù)，則A隊(duì)贏得比賽的概率為多少？(2)求A隊(duì)獲得獎(jiǎng)金金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【變式5-1】2.（2023·全國·模擬預(yù)測）某中學(xué)為了響應(yīng)國家雙減政策，開展了校園娛樂活動(dòng)．在一次五子棋比賽活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)每賽一局，勝者得1分，對方得0分，沒有平局．規(guī)定當(dāng)一人比另一人多得5分或進(jìn)行完10局比賽時(shí)，活動(dòng)結(jié)束．假設(shè)甲、乙兩位同學(xué)獲勝的概率都為，且兩人各局勝負(fù)分別相互獨(dú)立．已知現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)行了3局比賽，甲得2分，乙得1分，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)比賽.(1)只有當(dāng)一人比另一人多得5分時(shí)，得分高者才能獲得比賽獎(jiǎng)品，求甲獲得比賽獎(jiǎng)品的概率；(2)設(shè)X表示該活動(dòng)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的比賽的總輪數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【變式5-1】3.（2023上·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）第19屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，增強(qiáng)鍛煉身體意識，某學(xué)校舉辦一場羽毛球比賽．已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛球單打比賽，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，乙得分的概率為；若乙發(fā)球，乙得分的概率為，甲得分的概率為．每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．經(jīng)抽簽決定，第一回合由甲發(fā)球.(1)求第三回合甲發(fā)球的概率；(2)設(shè)前三個(gè)回合中，甲的總得分為X，求X的分布列及期望.【變式5-1】4.（2023上·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）為了豐富在校學(xué)生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運(yùn)動(dòng)會活動(dòng)，學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項(xiàng)目B“袋鼠接力跳”.甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)行班級對抗賽.第一個(gè)比賽項(xiàng)目A采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束第二個(gè)比賽項(xiàng)目B采取領(lǐng)先3局者獲勝。每局不存在平局.假設(shè)在項(xiàng)目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項(xiàng)目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響.(1)求甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率；(2)若第二個(gè)比賽項(xiàng)目B進(jìn)行了7局，仍然沒有人領(lǐng)先3局，比賽結(jié)束，領(lǐng)先者也獲勝.現(xiàn)比賽已經(jīng)進(jìn)行了2局，甲班2局全輸.設(shè)甲班在第二個(gè)比賽項(xiàng)目B中參加總局?jǐn)?shù)為X、求隨機(jī)變量X的分布列及期望.【變式5-1】5.（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在2005年世青賽中，被稱作“超白金一代”的中國男足U23代表隊(duì)打出了中國男足在世界舞臺上的最好表現(xiàn)．球隊(duì)的戰(zhàn)術(shù)核心，來自沈陽的陳濤入選了賽事最佳陣容．世青賽的賽制分為小組賽、淘汰賽兩個(gè)階段．小組賽中，每個(gè)小組4支球隊(duì)，按照單循環(huán)賽制選出兩支球隊(duì)進(jìn)入淘汰賽．淘汰賽中16支球隊(duì)逐隊(duì)廝殺，通過4輪比賽決出最后的冠軍.(1)已知在小組賽中，每贏一場記3分，打平一場記1分，輸一場記0分，小組賽階段中國隊(duì)與巴拿馬、土耳其、烏克蘭三支球隊(duì)分在同一組．首戰(zhàn)中中國隊(duì)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝了歐洲亞軍土耳其隊(duì)，在小組賽占據(jù)了優(yōu)勢．面對后兩場比賽的對手烏克蘭隊(duì)和巴拿馬隊(duì)，根據(jù)賽前球探報(bào)告分析，可以近似認(rèn)為后兩場比賽中國的獲勝的概率都為0.5，打平的概率都為0.2，輸球的概率都為0.3．中國隊(duì)三場小組賽之后的總積分為隨機(jī)變量X，求出其分布列和期望.(2)10號隊(duì)員陳濤作為中國隊(duì)的進(jìn)攻核心，他的表現(xiàn)對中國隊(duì)而言舉足輕重．過往數(shù)據(jù)表示，在所有陳濤出場并且有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國隊(duì)贏得了其中80%的場次，在所有陳濤沒有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國隊(duì)贏得了其中20%的場次，陳濤在其代表中國隊(duì)出場的40場比賽中，有30場比賽完成了進(jìn)球或者助攻．在本屆比賽中，中國隊(duì)在小組賽中順利出線，淘汰賽首輪中對陣世界足壇的傳統(tǒng)強(qiáng)隊(duì)德國隊(duì)．已知在淘汰賽對陣德國隊(duì)的比賽中，陳濤代表中國隊(duì)出場比賽，雖然經(jīng)過全隊(duì)不懈努力，仍然不敵強(qiáng)大的德國隊(duì)，若以過往的數(shù)據(jù)估計(jì)概率，請估計(jì)陳濤在本場比賽貢獻(xiàn)進(jìn)球或者助攻的概率.【例題6】（2023上·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個(gè)階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為p和?p，其中<(1)甲、乙、丙三人中，哪個(gè)人進(jìn)入決賽的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為，求p的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列.【變式6-1】1.（2023上·湖南·高三邵陽市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年北京冬奧會成功舉辦后，冰雪運(yùn)動(dòng)深受人們喜愛.高山滑雪運(yùn)動(dòng)愛好者乙堅(jiān)持進(jìn)行高山滑雪專業(yè)訓(xùn)練，為了更好地提高滑雪技能，使用A,B兩個(gè)氣候條件有差異的標(biāo)準(zhǔn)高山滑雪場進(jìn)行訓(xùn)練.(1)已知乙第一次去A,B滑雪場訓(xùn)練的概率分別為0.4和0.6.選擇A,B高山滑雪場的規(guī)律是：如果第一次去A滑雪場，那么第二次去A滑雪場的概率為0.6；如果第一次去B滑雪場，那么第二次去A滑雪場的概率為0.5，求高山滑雪運(yùn)動(dòng)愛好者乙第二次去A滑雪場的概率；(2)高山滑雪愛好者協(xié)會組織高山滑雪挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)賽的決賽由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的“飛雪”隊(duì)進(jìn)行比賽，約定賽制如下：“飛雪”隊(duì)的乙、丙兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場比賽則甲獲勝；若甲連續(xù)輸兩場比賽則“飛雪”隊(duì)獲勝；若比賽三場還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束.各場比賽相互獨(dú)立，每場比賽都分出勝負(fù)，若甲與乙比賽，乙贏的概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中<p<.賽事組委會規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬元.若“飛雪”隊(duì)第一場安排乙與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組委會預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望EX的取值范圍.【變式6-1】2.（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉辦．中國田徑隊(duì)擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽．比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽和半決賽都獲得晉級才能進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率均為；乙在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率分別為和；丙在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率分別為p和?p，其中，甲、乙、丙三人晉級與否互不影響.(1)試比較甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的可能性大小；(2)若甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽的概率為，求三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)ξ的分布列和期望.【變式6-1】3.（2023下·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球單打比賽，約定：隨機(jī)選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人進(jìn)行下一局的比賽，先獲勝兩局者為優(yōu)勝者，比賽結(jié)束．已知每局比賽均無平局，且甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，乙贏丙的概率為.(1)若甲、乙兩人打第一局，求比賽局?jǐn)?shù)X的概率分布列；(2)求甲成為優(yōu)勝者的概率；(3)為保護(hù)甲的比賽熱情，由甲確定第一局的比賽雙方，請你以甲成為優(yōu)勝者的概率大為依據(jù)，幫助甲進(jìn)行決策.【變式6-1】4.（2022·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）甲?乙?丙三人進(jìn)行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去，三人經(jīng)過抽簽決定由甲?乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)每局比賽中：甲乙比賽甲勝概率為，乙丙比賽乙勝概率為，丙甲比賽丙勝概率為，每場比賽相互獨(dú)立且每場比賽沒有平局.(1)比賽完3局時(shí)，求甲?乙?丙各勝1局的概率；(2)比賽完4局時(shí)，設(shè)丙作為旁觀者的局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，求的X分布列和期望.題型7摸球型【例題7】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）機(jī)器人甲、乙分別在A,B兩個(gè)不透明的箱子中取球，甲先A箱子中取2個(gè)或3個(gè)小球放入B箱子，然后乙再從B箱子中取2個(gè)或3個(gè)小球放回A箱子，這樣稱為一個(gè)回合．已知甲從A箱子中取2個(gè)小球的概率為，取3個(gè)小球的概率為；乙從B箱子中取2個(gè)小球的概率為，取3個(gè)小球的概率為．現(xiàn)A,B兩個(gè)箱子各有除顏色外其它都相同的6個(gè)小球，其中A箱子中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球；B箱子中有2個(gè)紅球，4個(gè)白球.(1)求第一個(gè)回合甲從A箱子取出的球中有2個(gè)紅球的概率；(2)求第一個(gè)回合后A箱子和B箱子中小球個(gè)數(shù)相同的概率；(3)兩個(gè)回合后，用X表示A箱子中小球個(gè)數(shù)，用Y表示B箱子中小球個(gè)數(shù)，求X?Y的分布列及數(shù)學(xué)期望.【變式7-1】1.（2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中）設(shè)有甲?乙?丙三個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱中裝有除顏色外都相同的5個(gè)球，其中甲箱有3個(gè)藍(lán)球和2個(gè)黑球，乙箱有4個(gè)紅球和1個(gè)白球，丙箱有2個(gè)紅球和3個(gè)白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個(gè)球，若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色相同，則從乙箱中摸出1個(gè)球放入丙箱，再從丙箱中一次摸出2個(gè)球；若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色不同，則從丙箱中摸出1個(gè)球放入乙箱，再從乙箱中一次摸出2個(gè)球.(1)若最后摸出的2個(gè)球顏色不同，求這2個(gè)球是從丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記1分，用隨機(jī)變量X表示最后摸出的2個(gè)球的分?jǐn)?shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【變式7-1】2.（2023上·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某商場在“雙十二”那天進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，規(guī)定凡在該商場購物滿500元的顧客，均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會.摸獎(jiǎng)規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、白、黑).顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止，否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定：摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)30元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)15元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).(1)求1名顧客摸球3次摸獎(jiǎng)停止的概率；(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式7-1】3.（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）機(jī)器人甲、乙分別在A,B兩個(gè)不透明的箱子中取球，甲先A箱子中取2個(gè)或3個(gè)小球放入B箱子，然后乙再從B箱子中取2個(gè)或3個(gè)小球放回A箱子，這樣稱為一個(gè)回合．已知甲從A箱子中取2個(gè)小球的概率為，取3個(gè)小球的概率為；乙從B箱子中取2個(gè)小球的概率為，取3個(gè)小球的概率為．現(xiàn)A,B兩個(gè)箱子各有除顏色外其它都相同的6個(gè)小球，其中A箱子中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球；B箱子中有2個(gè)紅球，4個(gè)白球.(1)求第一個(gè)回合甲從A箱子取出的球中有2個(gè)紅球的概率；(2)求第一個(gè)回合后A箱子和B箱子中小球個(gè)數(shù)相同的概率；(3)兩個(gè)回合后，用X表示A箱子中小球個(gè)數(shù)，用Y表示B箱子中小球個(gè)數(shù)，求X?Y的分布列及數(shù)學(xué)期望.【變式7-1】4.（2023上·湖北·高三鄂南高中校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有大小相同的7個(gè)紅球和8個(gè)黑球，一次取出4個(gè).(1)求恰有一個(gè)黑球的概率；(2)取出紅球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)取出4個(gè)球同色，求全為紅球的概率.【變式7-1】5.（2023下·河南開封·高三通許縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)小球，其中有3個(gè)白色小球，2個(gè)紅色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個(gè)小球，摸后不放回，摸到第2個(gè)紅球的人獲勝，同時(shí)結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲，且本次游戲中輸?shù)舻娜嗽谙乱淮斡螒蛑邢让颍『托垳?zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小胡先摸球.(1)在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；(2)記3次游戲中小胡獲勝的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例題8】（2023上·云南楚雄·高三統(tǒng)考期中）某單位有200名職工，想通過驗(yàn)血的方法篩查某種病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占5%，每個(gè)人是否攜帶病毒互不影響.現(xiàn)有兩種篩查方案，方案1：對每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，需要化驗(yàn)200次；方案2：隨機(jī)地按10人一組分組，然后將各組10個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說明這10個(gè)人的血樣全部為陰性，如果混合血樣呈陽性，說明這10個(gè)人中至少有一個(gè)人的血樣呈陽性，就需要對這10個(gè)人每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.(1)某夫妻二人都在這個(gè)單位工作，若按照方案1，隨機(jī)地進(jìn)行逐一篩查，則他們二人恰好是先篩查的兩個(gè)人的概率是多少；(2)若每次化驗(yàn)的費(fèi)用為16元，采用方案2進(jìn)行化驗(yàn)時(shí)，此單位大約需要總費(fèi)用多少元參考數(shù)據(jù)：0.9510≈0.60）【變式8-1】1.（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）當(dāng)前，新冠病毒致死率低，但傳染性較強(qiáng).經(jīng)初步統(tǒng)計(jì)，體質(zhì)好的人感染呈顯性（出現(xiàn)感染癥狀）或呈隱性（無感染癥狀）的概率都是，體質(zhì)不好的人（易感人群）感染會呈顯性，感染后呈顯性與呈隱性的傳染性相同，且人感染后在相當(dāng)一段時(shí)期內(nèi)不會二次感染.現(xiàn)有甲乙丙三位專家要當(dāng)面開個(gè)小型研究會，其中甲來源地人群的感染率是，乙來源地人群的感染率是，丙來源地?zé)o疫情，甲乙兩人體質(zhì)很好，丙屬于易感人群，參會前三人都沒有感染癥狀，只確定丙未感染.會議期間，三人嚴(yán)格執(zhí)行防疫措施，能隔斷的病毒傳播，且會議期間不管誰感染，會議都要如期進(jìn)行，用頻率估計(jì)概率.(1)求參會前甲已感染的概率；(2)若甲參會前已經(jīng)感染，丙在會議期間被感染，求丙感染是因?yàn)橐覀魅镜母怕剩?3)若參會前甲已感染，而乙?丙均未感染，設(shè)會議期間乙?丙兩人中感染的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望.【變式8-1】2.（2022上·福建福州·高三福建師大附中校考階段練習(xí)）核酸檢測也就是病毒DNA和RNA的檢測，是目前病毒檢測最先進(jìn)的檢驗(yàn)方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝?丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機(jī)體有無病原體感染.某研究機(jī)構(gòu)為了提高檢測效率降低檢測成本，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)，預(yù)備12份試驗(yàn)用血液標(biāo)本，從標(biāo)本中隨機(jī)取出n份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰性，不再逐一檢測；若結(jié)果為陽性，需對該組標(biāo)本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結(jié)果：2份陽性，10份陰性.若每次檢測費(fèi)用為a元（a為常數(shù)記檢測的總費(fèi)用為X元.(1)當(dāng)n=3時(shí)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)以檢測成本的期望值為依據(jù)，在n=3與n=4中選其一，應(yīng)選哪個(gè)？【變式8-1】3.（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）衛(wèi)生檢疫部門在進(jìn)行病毒檢疫時(shí)常采用“混采檢測”或“逐一檢測”的形式進(jìn)行，某興趣小組利用“混采檢測”進(jìn)行試驗(yàn)，已知6只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗(yàn)來確定患病的動(dòng)物，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的為患病動(dòng)物，下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：將各動(dòng)物的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物為止.方案乙：先取4只動(dòng)物的血液混在一起化驗(yàn)，若呈陽性，則對這4只動(dòng)物的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物；若不呈陽性，則對剩下的2只動(dòng)物再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物.(1)用x表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)，求變量x的期望；(2)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率.【變式8-1】4.（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）在過去三年防疫攻堅(jiān)戰(zhàn)中，我國的中醫(yī)中藥起到了舉世矚目的作用．某公司收到國家藥品監(jiān)督管理局簽發(fā)的散寒化濕顆?！端幤纷宰C書》，散寒化濕顆粒是依據(jù)第六版至第九版《新型冠狀病毒肺炎診療方案》中的“寒濕疫方”研制的中藥新藥．初期為試驗(yàn)這種新藥對新冠病毒的有效率，把該藥分發(fā)給患有相關(guān)疾病的志愿者服用.(1)若10位志愿者中恰有6人服藥后有效，從這10位患者中選取3人，以ξ表示選取的人中服藥后有效的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有3組志愿者參加試驗(yàn)，甲，乙，丙組志愿者人數(shù)分別占總數(shù)的40%，32%，28%，服藥后，甲組的有效率為64%，乙組的有效率為75%，丙組的有效率為80%，從中任意選取一人，發(fā)現(xiàn)新藥對其有效，計(jì)算他來自乙組的概率.【例題9】（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）為了促進(jìn)消費(fèi)，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動(dòng)：每位會員客戶可在價(jià)值80元，90元，100元的A，B，C三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換A，B，C三種商品的概率分別為乙兌換A，B，C三種商品的概率分別為且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；(2)記X為兩人兌換商品后的積分總余額，求X的分布列與期望【變式9-1】1.（2023上·全國·高三專題練習(xí)）小張經(jīng)常在某網(wǎng)上購物平臺消費(fèi)，該平臺實(shí)行會員積分制度，每個(gè)月根據(jù)會員當(dāng)月購買實(shí)物商品和虛擬商品(充話費(fèi)等)的金額分別進(jìn)行積分，詳細(xì)積分規(guī)則以及小張每個(gè)月在該平臺消費(fèi)不同金額的概率如下面的表1和表2所示，并假設(shè)購買實(shí)物商品和購買虛擬商品相互獨(dú)立.表1購買實(shí)物商品(元)積分246概率141214表2購買虛擬商品(元)積分1234概率13141416(1)求小張一個(gè)月購買實(shí)物商品和虛擬商品均不低于100元的概率；(2)求小張一個(gè)月積分不低于8分的概率；(3)若某個(gè)月小張購買了實(shí)物商品和虛擬商品，消費(fèi)均低于100元，求他這個(gè)月的積分X的分布列.【變式9-1】2.（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年國慶節(jié)某商場進(jìn)行砸金蛋活動(dòng)，現(xiàn)有8個(gè)外形完全相同的金蛋，8個(gè)金蛋中有1個(gè)一等獎(jiǎng)，1個(gè)二等獎(jiǎng)，3個(gè)三等獎(jiǎng)，3個(gè)參與獎(jiǎng)，現(xiàn)甲乙兩人進(jìn)行砸金蛋比賽，砸中1個(gè)一等獎(jiǎng)記4分，砸中1個(gè)二等獎(jiǎng)記3分，砸中1個(gè)三等獎(jiǎng)記2分，砸中1個(gè)參與獎(jiǎng)記1分，規(guī)定砸蛋人得分不低于8分為獲勝，否則為負(fù)，并制定規(guī)則如下：①一個(gè)人砸蛋，另一人不砸蛋；②砸蛋的人先砸1個(gè)金蛋，若砸出的是一等獎(jiǎng)，則再砸2個(gè)金蛋；若砸出的不是一等獎(jiǎng)，則再砸3個(gè)金蛋，砸蛋人的得分為兩次砸出金蛋的記分之和.(1)若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等獎(jiǎng)，求該局甲獲勝的概率；(2)若由乙砸蛋，如果乙先砸出的是二等獎(jiǎng)，求該局乙得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).【變式9-1】3.(2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將我國現(xiàn)行憲法實(shí)施日即12月4日，作為每年一次的全國法制宣傳日．目的是要通過開展系列的宣傳活動(dòng)，進(jìn)一步在廣大干部群眾中牢固樹立憲法是國家根本大法的觀念、國家一切權(quán)利屬于人民的觀念、公民權(quán)力和義務(wù)對等的觀念、依法治國的觀念和法治與德治相結(jié)合的觀念．2022年12月4日是第二十二屆全國法制宣傳日，某商場舉行法制安全答題贏現(xiàn)金活動(dòng)：活動(dòng)組備有甲，乙兩類題目，每位參加活動(dòng)的顧客從裝有大小相同但顏色不同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球的箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出白球回答甲類題目，摸出紅球回答乙類題目，若答錯(cuò)則該顧客的答題結(jié)束；若答對則從另一類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)題目回答，無論答對答錯(cuò)，該顧客答題結(jié)束．答對甲類題目中的每個(gè)題目可獲得獎(jiǎng)金30元，否則得0元；答對乙類題目中的每個(gè)題目可獲得獎(jiǎng)金70元，否則得0元．已知小王能答對甲類題目的概率為0.8，能答對乙類題目的概率為0.7，且能答對題目的概率與回答次序無關(guān).(1)計(jì)算小王累計(jì)獲得獎(jiǎng)金100元的概率；(2)記X為小王的累計(jì)獎(jiǎng)金，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式9-1】4.（2022·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？寄M預(yù)測）在黨中央的英明領(lǐng)導(dǎo)下，在全國人民的堅(jiān)定支持下，中國的抗擊“新型冠狀肺炎”戰(zhàn)役取得了階段性勝利，現(xiàn)在擺在我們大家面前的是有序且安全的復(fù)工復(fù)產(chǎn)．某商場為了提振顧客的消費(fèi)信心，對某中型商品實(shí)行分期付款方式銷售，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)5的分布列如ξ456P0.4ab(1)求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；(2)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場獲得的利潤為3000元，假設(shè)該商場銷售兩件該商品所獲得的利潤為X（單位：元當(dāng)X=5500的概率取得最大值時(shí)，求利潤X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例題10】（2023上·四川廣安·高三廣安二中?？茧A段練習(xí)）電網(wǎng)公司將調(diào)整電價(jià)，為此從某社區(qū)隨機(jī)抽取100戶用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在50～350kw?h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開區(qū)間畫出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值；(2)若采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從月用電量不低于250kw?h的用戶中抽9戶用戶，再從這9戶用戶中隨機(jī)抽取3戶，記月用電量在區(qū)間300,350)內(nèi)的戶數(shù)為ξ,試求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式10-1】1.（2023上·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）近年來，中學(xué)生的體質(zhì)健康情況成了網(wǎng)絡(luò)上的一個(gè)熱門話題，各地教育部門也采取了相關(guān)的措施，旨在提升中學(xué)生的體質(zhì)健康，其中一項(xiàng)便是增加中學(xué)生一天中的體育活動(dòng)時(shí)間．某地區(qū)中學(xué)生的日均體育活動(dòng)時(shí)間均落在區(qū)間[40,90內(nèi)，為了了解該地區(qū)中學(xué)生的日均體育活動(dòng)時(shí)間，研究人員隨機(jī)抽取了若干名中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.(1)求a的值以及該地區(qū)中學(xué)生日均體育活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)；(2)現(xiàn)按比例進(jìn)行分層抽樣，從日均體育活動(dòng)時(shí)間在70,80和80,90的中學(xué)生中抽取12人，再從這12人中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人體育活動(dòng)時(shí)間超過80min的概率；(3)以頻率估計(jì)概率，若在該地區(qū)所有中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記日均體育活動(dòng)時(shí)間在60,80的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【變式10-1】2.（2023·全國·模擬預(yù)測）2023年空軍航空開放活動(dòng)·長春航空展于7月26日至30日在長春舉行．某機(jī)構(gòu)為了了解網(wǎng)民對本屆航展的關(guān)注度，對網(wǎng)民進(jìn)行關(guān)注度的問卷調(diào)查，從調(diào)查問卷中隨機(jī)抽取60份對得分（問卷得分均在60,100內(nèi)）情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計(jì)網(wǎng)民關(guān)注度得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表(2)利用分層抽樣的方法從關(guān)注度得分在60,68和92,100的樣本中隨機(jī)抽取9個(gè)樣本，再從這9個(gè)樣本中隨機(jī)抽取4個(gè)樣本，記這4個(gè)樣本中關(guān)注度得分在60,68)的樣本數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【變式10-1】3.（2023上·廣東汕尾·高三校考期中）為進(jìn)一步增強(qiáng)疫情防控期間群眾的防控意識，使廣大群眾充分了解新冠肺炎疫情防護(hù)知識，提高預(yù)防能力做到科學(xué)防護(hù)，科學(xué)預(yù)防．某組織通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行新冠肺炎疫情防控科普知識問答，共有100人參加了這次問答，將他們的成績（滿分100分）分成40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100這六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中a的值，并估計(jì)這100人問答成績的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組中點(diǎn)值值代替(2)用分層抽樣的方法從問答成績在60,80)內(nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本，再從樣本中任意抽取2人，記問答成績在[70,80)內(nèi)的人數(shù)是ξ,求ξ的分布列，及數(shù)學(xué)期望.【變式10-1】4.（2023上·北京·高三北京八中校考期中）隨著“中華好詩詞”節(jié)目的播出，掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩詞經(jīng)典的熱潮．某社團(tuán)為調(diào)查大學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好，從甲、乙兩所大學(xué)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時(shí)間，按照[0,10)，[10,20，20,30，30,40，40,50，50,60]分組，并整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時(shí)間，可以將學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好程度分為三個(gè)等級：學(xué)習(xí)時(shí)間分鐘/天）tt等級一般愛好癡迷(1)從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生，試估計(jì)其“愛好”中華詩詞的概率；(2)從這兩組“癡迷”的同學(xué)中隨機(jī)選出2人，記ξ為選出的兩人中甲大學(xué)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ;(3)試判斷選出的這兩組學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”時(shí)間的平均值甲與乙的大小，及方差S與S的大小只需寫出結(jié)論）【例題11】（2023上·上海虹口·高三上外附中?？计谥校┠趁ず谐楠?jiǎng)活動(dòng)中，主辦方從一批汽車模型中隨機(jī)抽取50個(gè)裝入盲盒用于抽獎(jiǎng)．已知抽出的50個(gè)汽車模型的外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示.紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾米色內(nèi)飾5(1)從這50個(gè)模型中隨機(jī)取一個(gè)，用A表示事件“取出的模型外觀為紅色”，用B表示事件“取出的模型內(nèi)飾為米色”，求PB和PBA)，并判斷事件A與B是否相互獨(dú)立；(2)活動(dòng)規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性拿兩個(gè)盲盒，對其中的模型給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)300元，二等獎(jiǎng)200元、三等獎(jiǎng)100元；請你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金額，寫出X的分布并求出X的期望（精確到元）.【變式11-1】1.（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某食堂為了了解同學(xué)們在高峰期打飯的時(shí)間，故安排一名食堂阿姨隨機(jī)收集了在食堂某窗口打飯的100位同學(xué)的相關(guān)數(shù)據(jù)(假設(shè)同學(xué)們打飯所用時(shí)間均為下表列出時(shí)間之一)，如下表所示.學(xué)生數(shù)(人)xy打飯時(shí)間(秒/人)已知這100位同學(xué)的打飯時(shí)間從小排到大的第65百分位數(shù)為17.5秒.(1)確定x，y的值；(2)若各學(xué)生的結(jié)算相互獨(dú)立，記X為該窗口開始打飯至20秒末已經(jīng)打飯結(jié)束的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列．(注：將頻率視為概率)【變式11-1】2.（2023上·湖南岳陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）魔方是民間益智玩具，能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，鍛煉眼腦的協(xié)調(diào)性，全面提高專注力、觀察力、反應(yīng)力.基于此特點(diǎn)某小學(xué)開設(shè)了魔方興趣班，共有100名學(xué)生報(bào)名參加，在一次訓(xùn)練測試中，老師統(tǒng)計(jì)了學(xué)生還原魔方所用的時(shí)間（單位：秒得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：時(shí)間人數(shù)年級[50,80)[110,140[140,170170,200)低年級284高年級2(1)估計(jì)這100名學(xué)生這次訓(xùn)練測試所用時(shí)間的第78百分位數(shù)；(2)在這次測試中，從所用時(shí)間在80,110和110,140)內(nèi)的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，記抽到低年級學(xué)生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式11-1】3.（2023上·上海閔行·高三上海市文來中學(xué)校考期中）為了調(diào)查居民對垃圾分類的了解程度，某社區(qū)居委會從A小區(qū)與B小區(qū)各隨機(jī)抽取300名社區(qū)居民（分為18-40歲、41歲-70歲及其他人群各100名，假設(shè)兩個(gè)小區(qū)中每組人數(shù)相等）參與問卷測試，分為比較了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分并將問卷得分不低于60分的人數(shù)繪制頻數(shù)分布表如下分組A小區(qū)頻數(shù)B小區(qū)頻數(shù)18-40歲人群41-70歲人群8090其他人群假設(shè)用頻率估計(jì)概率，所有居民的問卷測試結(jié)果互不影響.(1)從A小區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問卷測試，估計(jì)其對垃圾分類比較了解的概率；(2)從A、B小區(qū)41-70歲人群中各隨機(jī)抽取一名居民，記其對垃圾分類比較了解的居民人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式11-1】4.（2023上·山東濟(jì)南·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）(A,A)(A,B)(B,A)(B,B)王同學(xué)9天張老師假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，PM>0，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該 餐廳就餐的概率要大，證明．PMN>РMN.【變式11-1】5.（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）新冠疫情下，為了應(yīng)對新冠病毒極強(qiáng)的傳染性，每個(gè)人出門做好口罩防護(hù)工作刻不容緩．某口罩加工廠加工口罩由A,B,C三道工序組成，每道工序之間相互獨(dú)立，且每道工序加工質(zhì)量分為高和低兩種層次級別，A,B,C三道工序加工的質(zhì)量層次決定口罩的過濾等級；A,B,C工序加工質(zhì)量層次均為高時(shí)，口罩過濾等級為100等級(表示最低過濾效率為99.97%)；C工序的加工質(zhì)量層次為高，A,B工序至少有一個(gè)質(zhì)量層次為低時(shí)，口罩過濾等級為99等級(表示最低過濾效率為99%)；其余均為95級(表示最低過濾效率為95%).表①:表示A,B,C三道工序加工質(zhì)量層次為高的概率；表②:表示加工一個(gè)口罩的利潤.表①工序ABC概率1234 4 5表②口罩等級100等級99等級95等級利潤/元(1)X表示一個(gè)口罩的利潤，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于工廠中A工序加工質(zhì)量層次為高的概率較低，工廠計(jì)劃通過增加檢測環(huán)節(jié)對A工序進(jìn)行升級．在升級過程中，每個(gè)口罩檢測成本增加了a(0≤a≤0.4)元時(shí)，相應(yīng)的A工序加工層次為高的概率在原來的基礎(chǔ)上增加了b;試問：若工廠升級方案后對一個(gè)口罩利潤的期望有所提高，則a與b應(yīng)該滿足怎樣的關(guān)系?【變式11-1】6.（2023上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）根據(jù)過去50年的水文資料，對某水庫的年入流量x（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理得到下表：年入流量x[20,4040,60)年數(shù)55將過去50年統(tǒng)計(jì)所得的年入流量在五個(gè)區(qū)間的頻率作為年入流量在相應(yīng)區(qū)間的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.已知各年的發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)N與年入流量x相關(guān)，關(guān)系如下表：年入流量x[40,6060,80)[100,120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)N1234(1)德國數(shù)學(xué)家高斯用取整符號“[]”定義了取整運(yùn)算：對于任意的實(shí)數(shù)，取整運(yùn)算的結(jié)果為不超過該實(shí)數(shù)的最大整數(shù).例如，當(dāng)0<x<1時(shí)，x=0.請運(yùn)用取整運(yùn)算，寫出發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)N關(guān)于年入流量x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)?shù)卣?jì)劃在該水庫建一座水電站.當(dāng)發(fā)電機(jī)正常運(yùn)行，年利潤為4000萬元/臺；當(dāng)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，年虧損500萬元/臺.若要使發(fā)電機(jī)的年總利潤的期望值最大，則該水庫應(yīng)安裝多少臺發(fā)電機(jī)？【例題12】（2023上·北京西城·高三北京市第一六一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是2023年11月1日到11月20日，某地區(qū)甲流疫情新增數(shù)據(jù)的走勢圖.(1)從這20天中任選1天，求新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過100的概率；(2)從新增確診的人數(shù)超過100的日期中任選兩天，用X表示新增確診的人數(shù)超過140的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記每天新增確診的人數(shù)為Y，每天新增疑似的人數(shù)Z，根據(jù)這20天統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試判斷DY與DZ的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）.【變式12-1】1.（2023上·北京·高三北京市第十三中學(xué)?？计谥校┠承９_展健步走活動(dòng)，要求教職工上傳3月1日至3月7日微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微信記步數(shù)情況：(1)從3月1日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率；(2)從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)如圖是校工會根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)，制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方圖．已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名分別為第68和第142，請指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖（結(jié)論不要求證明）【變式12-1】2.（2023上·北京昌平·高三昌平一中?？计谥校┙煌〒矶轮笖?shù)（TPI）是表征交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，用TPI表示，TPI越大代表擁堵程度越高.某平臺計(jì)算TPI的公式為：TIP=，并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分如下表所示的4個(gè)等級：TPI不低于4擁堵等級暢通緩行擁堵嚴(yán)重?fù)矶履呈?023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下(1)從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；(2)從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX；(3)把12月29日作為第1天，將2023年元旦前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次.請直接寫出ci?c取得最大值時(shí)i的值.【變式12-1】32023上·北京·高三北京市第三十五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖是某年11月1日到11月20日，某地區(qū)甲流疫情新增數(shù)據(jù)的走勢圖.(1)從這20天中任選1天，求新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過100的概率；(2)從新增確診的人數(shù)超過100的日期中任選兩天，用X表示新增確診的人數(shù)超過140的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)觀察新增病例8日到14日這7天的折線圖，指出從哪天開始連續(xù)三天新增確診病例的方差最大（直接寫出結(jié)論即可）.【變式12-1】4.（2023上·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）北京冬奧會之后，多個(gè)中小學(xué)開展了模擬冬奧會賽事的活動(dòng).為了深入了解學(xué)生在“單板滑雪”活動(dòng)中的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：(1)“單板滑雪”參與人數(shù)超過45人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)?！?，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記X為選出可作“基地學(xué)?！钡膶W(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行?轉(zhuǎn)彎?停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.在集訓(xùn)測試中，小明同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測試互不影響.如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到5次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測試？【例題13】（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)校聯(lián)考期中）根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有X個(gè)孩子的概率模型為：X1230概率 α pαα(1?p)α(12其中α>0，0<p<1.每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨(dú)立，事件Ai表示一個(gè)家庭有i個(gè)孩子（i=0,1,2,3事件B表示一個(gè)家庭的男孩比女孩多（例如：一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩，則該家庭男孩多.）(1)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)p受到各種因素的影響（例如生育保險(xiǎn)的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等是否存在p的值使得請說明理由；(2)若p=，求α,并根據(jù)全概率公式PB=Σ=0P(BIAiPAi，求PB).【變式13-1】1.（2023·全國·模擬預(yù)測）乒乓球被稱為我國的“國球”，是一種深受人們喜愛的球類體育項(xiàng)目．在某高校運(yùn)動(dòng)會的女子乒乓球單打半決賽階段，規(guī)定：每場比賽采用七局四勝制，率先取得四局比賽勝利的選手獲勝，且該場比賽結(jié)束．已知甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了一場比賽，且均充分發(fā)揮出了水平，其中甲運(yùn)動(dòng)員每局比賽獲勝的概率為p(0<p<1)，每局比賽無平局，且每局比賽結(jié)果互不影響.(1)若前三局比賽中，甲至少贏得一局比賽的概率為p，求乙每局比賽獲勝的概率；(2)若前三局比賽中甲只贏了一局，設(shè)這場比賽結(jié)束還需要比賽的局?jǐn)?shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望fp，并求當(dāng)p為何值時(shí)，fp最大.【變式13-1】2.（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某地盛產(chǎn)橙子，但橙子的品質(zhì)與當(dāng)?shù)氐臍庀笙嚓P(guān)指數(shù)λ有關(guān)，氣象相關(guān)指數(shù)λ越大，橙子品質(zhì)越高，售價(jià)同時(shí)也會越高，某合作社統(tǒng)計(jì)了近10年當(dāng)?shù)氐臍庀笙嚓P(guān)指數(shù)λ,得到了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值；(2)從這10年中任意抽取3年研究氣象指數(shù)λ對橙子品質(zhì)的影響，求這3年的氣象相關(guān)指數(shù)λ在[0.9,1]之間的個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(3)根據(jù)往年數(shù)據(jù)知，該合作社的利潤y(單位：千元)與每畝地的投入x(單位：千元)和氣象相關(guān)指數(shù)λ的關(guān)系為y=100λ?λ?4x?40,x∈[4,8]，求氣象相關(guān)指數(shù)λ取何值時(shí)，能使對于任意的x∈[4,8]，該合作社都不虧損.【變式13-1】3.（2021下·北京·高三中關(guān)村中學(xué)校考階段練習(xí)）某企業(yè)發(fā)明了一種新產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)值為m(m∈[70,100])，其質(zhì)量指標(biāo)等級如下表：質(zhì)量指標(biāo)值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)質(zhì)量指標(biāo)等級優(yōu)秀合格廢品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn)，現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值m的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品的概率；（2）若從質(zhì)量指標(biāo)值m≥85的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求m∈[90,95)的件數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值m與利潤y(單位：元)的關(guān)系如下表：(1<t<4)質(zhì)量指標(biāo)值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)利潤y(元)6t8t4t2t5t3試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請說明理由；若能，試確定t為何值時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大？(參考數(shù)值：ln2=0.7,ln5=1.6)【變式13-1】4.（2020·安徽合肥·統(tǒng)考二模）某企業(yè)擬對某條生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級，現(xiàn)有兩種方案可供選擇：方案A是報(bào)廢原有生產(chǎn)線，重建一條新的生產(chǎn)線；方案B是對原有生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)改造．由于受諸多不可控因素的影響，市場銷售狀態(tài)可能會發(fā)生變化．該企業(yè)管理者對歷年產(chǎn)品銷售市場行情及回報(bào)率進(jìn)行了調(diào)研，編制出下表：市場銷售狀態(tài)暢銷平銷滯銷市場銷售狀態(tài)概率(0<p<1)1p預(yù)期平均年利潤（單位：萬元）方案A700400?400方案B600300?100（1）以預(yù)期平均年利潤的期望值為決策依據(jù)，問：該企業(yè)應(yīng)選擇哪種方案？（2）記該生產(chǎn)線升級后的產(chǎn)品（以下簡稱“新產(chǎn)品”）的年產(chǎn)量為x（萬件通過核算，實(shí)行方案A時(shí)新產(chǎn)品的年度總成本y1（萬元）為y1=x3?8x2+10x+160，實(shí)行方案B時(shí)新產(chǎn)品的年度總成本y2（萬元）為y2=x3?3x2+20x+100．已知p=0.2，x≤20．若按（1）的標(biāo)準(zhǔn)選擇方案，則市場行情為暢銷、平銷和滯銷時(shí)，新產(chǎn)品的單價(jià)t（元）分別為60，60?x，60?x，且生產(chǎn)的新產(chǎn)品當(dāng)年都能賣出去．試問：當(dāng)x取何值時(shí)，新產(chǎn)品年利潤ξ的期望取得最大值？并判斷這一年利潤能否達(dá)到預(yù)期目標(biāo).【例題14】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）佛山嶺南天地位于禪城區(qū)祖廟大街2號，主要景點(diǎn)有龍?zhí)猎娚?、文會里嫁娶屋、黃祥華如意油祖鋪、李眾勝堂祖鋪、祖廟大街等，這里的每一處景色都極具嶺南特色，其中龍?zhí)猎娚绾妥鎻R大街很受年輕人的青睞.為進(jìn)一步合理配置旅游資源，現(xiàn)對已在龍?zhí)猎娚缬斡[的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若繼續(xù)游玩祖廟大街景點(diǎn)的記2分，若不繼續(xù)游玩祖廟大街景點(diǎn)的記1分，每位游客選擇是否游覽祖廟大街的概率均為，游客之間的選擇意愿相互獨(dú)立.(1)從游客中隨機(jī)抽取3人，記總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)(ⅰ)若從游客中隨機(jī)抽取m人，記總得分恰為m分的概率為Am，求數(shù)列{Am}的前10項(xiàng)和；(ⅱ)在對所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的累計(jì)得分恰為n分的概率為Bn，探討B(tài)n與Bn?1之間的關(guān)系式，并求數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)公式.【變式14-1】1.（2023上·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某梯級共20級，某人上梯級（從0級梯級開始向上走）每步可跨一級或兩級，每步上一級的概率為，上兩級的概率為，設(shè)他上到第n級的概率為Pn.(1)求他上到第10級的概率P10（結(jié)果用指數(shù)形式表示(2)若他上到第5級時(shí)，求他所用的步數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式14-1】2.（2023·四川成都·石室中學(xué)?？家荒＃┦抑袑W(xué)社團(tuán)為慶祝石室中學(xué)2166年校慶，為同學(xué)們準(zhǔn)備了豐富多彩的游戲節(jié)目.其中某個(gè)知識答題游戲節(jié)目，共需要完成n(n∈N+,且n≥2)次答題，并以累計(jì)的總分作為參考依據(jù).若甲同學(xué)參加該游戲，且每次回答正確的概率為，回答錯(cuò)誤的概率為，各次答題相互獨(dú)立.規(guī)定第一次答題時(shí)，回答正確得20分，回答錯(cuò)誤得10分，第二次答題時(shí)，設(shè)置了兩種答題方案供選擇，方案一：回答正確得50分，回答錯(cuò)誤得0分.方案二：若回答正確，則獲得上一次答題分?jǐn)?shù)的兩倍，回答錯(cuò)誤得10分.從第三次答題開始執(zhí)行第二次答題所選方案，直到答題結(jié)束.(1)如果n=2，甲選擇何種方案參加比賽答題更加有利？并說明理由；(2)若甲選擇方案二，則①記甲第i次獲得的分?jǐn)?shù)為Xi，期望為EXi，求EXn；②若甲累計(jì)總分的期望值超過2166分，即可獲得校園文創(chuàng)產(chǎn)品一份，求至少需要答題的次數(shù).(參考數(shù)據(jù)：1.213≈10.7；1.214≈12.84；1.215≈15.4；1.216≈18.5)【變式14-1】3.（2023上·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年10月5日晚，杭州亞運(yùn)會五人制女籃比賽收官．決賽中，中國女籃74:72戰(zhàn)勝日本女籃，以六戰(zhàn)全勝的成績衛(wèi)冕成功．這也是繼亞洲杯決賽后，中國女籃再度擊敗對手．這也是中國女籃第七次獲得亞運(yùn)會冠軍．中國女籃首發(fā)五人分別是李夢、韓旭、黃思靜、王思雨和金維娜娜．主教練鄭薇準(zhǔn)備從這五人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練．訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.(1)記李夢，韓旭，黃思靜三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列：(2)若剛好抽到李夢，韓旭，黃思靜三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由李夢將球傳出，記n次傳球后球在李夢手中的概率為pn,n=1,2,3,???,①直接寫出p1,p2,p3的值；②求pn+1與pn的關(guān)系式(n∈N*)，并求pn(n∈N*).【變式14-1】4.（2023上·廣東·高三廣州市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)不透明盒子，甲盒子裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙盒子裝有4個(gè)白球，這些球的大小、形狀、質(zhì)地完全相同．在一次球交換過程中，從甲盒子與乙盒子中各隨機(jī)選擇1個(gè)球進(jìn)行交換，重復(fù)n次這樣的交換過程后，甲盒子里裝有紅球的個(gè)數(shù)為Xn.(1)求X2的概率分布及數(shù)學(xué)期望；(2)求P(Xn=1)